常微分方程期末复习

1.求下列方程的通解。

1sin 4-=-x e dx

dy

y . 解：方程可化为1sin 4-+-=x e dx

de y y

令y

e z =，得

x z dx

dz

sin 4+-= 由一阶线性方程的求解公式，得

[]x

x x dx dx ce x x c e x x e c dx xe e z -----+-=+-=+??=?)cos (sin 2)cos (sin 2)sin 4()1()1(所以原方程为：y e ＝x

ce

x x -+-)cos (sin 2

2.求下列方程的通解。

1)(122=?????

?

-dx dy y .

解：设

t p dx

dy

sin ==，则有t y sec =， 从而c tgt t tdt c tdt tgt t

x +=+=+?=??2sec sec sin 1

，

故方程的解为2

2

1)(y c x =++， 另外1±=y 也是方程的解 .

3.求方程

2y x dx

dy

+=通过)0,0(的第三次近似解. 解：0)(0=x ? 2012

1)(x xdx x x

=

=??

5

20

4220

12

1)4

1()(x x dx x x x x +

=+=?? dx x x x x dx x x x x x x

??

??

? ??+++=??????

++=

071040

2523201400141)20121()(? 81152160

14400120121x x x x +++=

4.求解下列常系数线性方程。 0=+'+''x x x

解：对应的特征方程为：012

=++λλ， .解得i i 2

3

,23212211--=+

-=λλ 所以方程的通解为：)2

3sin 23cos

(212

1

t c t c e

x t +=-

5.求解下列常系数线性方程。

t e x x =-'''

解：齐线性方程0=-'''x x 的特征方程为013

=-λ，解得2

31,13,21i

±-=

=λλ， 故齐线性方程的基本解组为：i e i e

e t

2

3sin ,23cos ,21

2

1--

，

因为

1=λ是特征根，所以原方程有形如t tAe t x =)(，代入原方程得，

t

t t t e Ate Ate Ae =-+3，所以3

1

=A ，所以原方程的通解为21

21-+=e c e c x t

t te i e c i 3

1

23sin 23cos 21

3++-

6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：

5,1--=+--=y x dt

dy

y x dt dx 解： ??

?=--=+--050!y x y x 解得?

??-==23y x 所以奇点为（)2,3-

经变换，??

?+=-=3

3

y Y x X

方程组化为?????-=--=Y X dt

dy Y X dt dx

因为,0111

1≠---

又

01)1(1

1

1

1

2=++=+-+λλλ 所以i i --=+-=1,121λλ，

故奇点为稳定焦点，

所对应的零解为渐近稳定的。

7.设)(t φ为方程Ax x ='（Ａ为n n ?常数矩阵）的标准基解矩阵（即))0(E =φ，证明

)(t φ)()(001t t t -=-φφ其中0t 为某一值

证明：)(t φ为方程Ax x ='的基解矩阵)(01

t -φ

为一非奇异常数矩阵，

所以)()(01

t t -φφ也是方程Ax x ='的基解矩阵，且)(0t t -φ也是方程Ax x =' 的基解

矩阵， .

且都满足初始条件)(t φ)

(01t -φE =，E t t ==-)0()(00φφ

所以)(t φ)()(001

t t t -=-φφ

即命题得证。

8.求方程0)1(243

2

2

=-+dy y x dx y x 的通解 解：

y x x

N

y x y M 226,8=??=?? y

M x N

y M 21-=-??-?? 积分因子2121)(--=?=y e y dy y

μ

两边同乘以)(y μ后方程变为恰当方程：0)1(2432

13

22

=-+-dy y x y

dx y x

3224y x M x u ==?? 两边积分得：)(3

4

23

3y y x u ?+= 21

213'21322)(2--==+=??y y x N y y x y

u

?

得：2

14)(y y -=?

因此方程的通解为：c y x y =-)3(3

2

1

9.求方程0=-+x e dx

dy

dx dy

的通解 解：令

p y dx

dy

==' 则0=-+x e p p

得：p

e p x += 那么??

+==

dp e p pdx y p

)1( c e pe p p p +-+=2

2

. 因此方程的通解为：??

?

??+-+=+=c e p p y e p x p

p )1(22

10.求初值问题?????=--=0

)1(2

2y y x dx dy

1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，

给出在解的存在区间的误差估计 解：4),(max ),(==∈y x f M R

y x

b y y a x x =≤-=≤-1,100，4

1

),min(==M b a h ， 解的存在区间为4

110=≤+=-h x x x 即4

345-≤≤-

x 令0)(00==y x ?

3

1

30)(312

1+=

+=?-x dx x x x

? 4211

918633)313(0)(47312322+---=??

????+-+=?-x x x x dx x x x x

?

又

L y y

f

=≤-=??22 误差估计为：24

1

)!1()()(12=+≤-+n n h n ML x x ??

11.求方程t t x x 3sin 9'

'=+的通解 解：i i 3,309212

-==?=+λλλ .

i 3=λ是方程的特征值， 设it e B At t t x 3)()(+=-

得：it

e At Bi Ait Bt A x 32

"

)961292(-++-= 则t Bi Ait A =++6122 得：36

1

,121=

-

=B i A . 因此方程的通解为：t t t t t c t c t x 3sin 36

1

3cos 1213sin 3cos )(221+-+=

12.试求方程组)('

t f Ax x +=的解).(t ?

??

????=???

???=??????-=1)(,3421,11)0(t e t f A ?

解：0)5)(1(3

4

2

1

)det(=-+=----=

-λλλλλA E

5,121=-=λλ 0)(11=-v A E λ 得 ????

??-=αα1v 取???

???-=111v 0)(22=-v A E λ 得 ????

??=ββ22v 取???

???=212v 则基解矩阵??

?

???-=Φ-t t

t t

e e

e e t 552)( ??

????-=??????-??????????????-=ΦΦ-----t t t t

t t

e e e e

e e t 11212

101

2)0()(551

η

?

?

???

?????+--+=ΦΦ?-5121103524120

3)()()(5510t t t t t t e e e e ds s f s t 因此方程的通解为：?

--ΦΦ+ΦΦ=t

t ds s f s t t t 0

)()()

()0()()(11η?

?

?????????++---+=--512110

3524120355t

t t t t t e e e e e e

13.试求线性方程组52,1972+-=+-=y x dt

dy y x dt dx 的奇点，并判断奇点的类型及稳定性 解：??

?==???

?=+-=+-3

1

05201972y x y x y x （1，3）是奇点

令2

5

,219-=+=y Y x X Y x dt

dY

y X dt dX 2,72-=-=

023*******≠-

-=--，那么由02

3072217

22=-+-=

+--λλλλλ 可得：i i 3,321-==

λλ

因此（1，3）是稳定中心

14.证明题：如果)(t ?是Ax x ='满足初始条件η

?=)(0t 的解，那么

[]η?)(ex p )(0t t A t -=

证明：由定理8可知ds s f s t t t t t

t )()()()()()(0

101?

--ΦΦ+ΦΦ=η?

又因为)ex p()(ex p )(,ex p )(01

001At At t At t -==Φ=Φ--

0)(=s f

所以η?)ex p(ex p )(0At At t -?= 又因为矩阵)()()()(00At At At At ?-=-?

所以[]

η?)(ex p )(0t t A t -= 即命题得证。

15.求下列方程的通解

3()0ydx x y dy -+=

解：因为

1,1M N

y x ??==-??，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子

2

2ln 21()dy

y y y e

e

y

μ--?===，

两边同乘2

1y

得

3

20dx x y dy y y +-= 所以解为

32

1

x x y y dx dy c y y y

?

????-++-=?????????

?? 2

2

x y c y +=即22()x y y c =+另外y=0也是解

16.求下列方程的通解

sin cos2x x t t ''+=-

解：线性方程0x x ''+

=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±

1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方

程A=-1

2

B=0

2()cos 2f t t =- 2i λ=不是特征根，原方程有特解cos2sin 2x A t B t =+代入

原方程1

3

A =

B=0 所以原方程的解为1211

cos sin cos cos223

x c t c t t t t =+-+

17.若

2114A ??

=??

-??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????

并求expAt

解：

22

1

()6901

4

p λλλλλ--=

=-+=-解得1,23λ=此时 k=112n =

12v ηηη??==???? 111123322120()()(3)()!i

t i t i t t t e A E e t i ηηηη?ηηηη=??+-+????=-=??????+-+??

????∑

由公式expAt=

10()!

i

n t

i i t

e A E i λλ-=-∑得

[]33310111exp (3)01111t

t

t t t At e E t A E e t e t t ?-?-??????

=+-=+=????????

--+????????

18.求下列方程的通解

32()480dy dy

xy y dx dx

-+= 解：方程可化为3

2

84dy y dx x dy y dx

??+ ???=

令dy

p dx

=则有3284p y x yp +=

（*）

（*）两边对y 求导：322322(4)

(8)4dp

y p

y p y p y p dy

-+-= 即32

(4)(2)0dp p y y p dy --=由20dp y p dy -=得1

2p cy =即2()p y c

=将

y 代入

（*）2224c p x c =

+即方程的 含参数形式的通解为：222

24()c p

x c p y c ?=+????=??

p

为参数又由

3240p y -=得1

23(4)p

y =代入（*）得：

3

427

y x =

也是方程的解

19.求方程2dy

x y dx

=+经过（0，0）的第三次近似解

解： 002

100225

200410725118

3000

2

()4220()4400202204400160

x

x x y x y xdx x x x y x dx x x x x x x x y x dx ????===+=

=++=+

=++++=+++

??? 20.求

1,5dx dy

x y x y dt dt

=--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性 解：由1050x y x y --+=??--=?解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dx

x y dt

dy x y

dt

?=--????=-??

因为11

11

---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0）

由

221

1

21122011

λλλλλλ+=+++=++=-+得1i λ=-±故（3，-2）为稳定焦点。

21.证明题： n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解

证明：由解的存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n 解：

10200''1020011

1

10200()1,()0,

,()0()0,()1,

,()0

()0,()0,

,()1

n n n n n n x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---=========

考虑102001

0010[(),(),,()]100

1

n w x t x t x t =

=≠

从而()(1,2,)i x t i

n =是线性无关的。

22.求解方程：

dx dy =3

12

+++-y x y x 解： (x-y+1)dx-(x+2y +3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-2

y dy-3dy=0

即21d 2

x -d(xy)+dx-3

31dy -3dy=0 所以C

y y x xy x =--+-331

2132

23.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

解：2)(1)(2-+-+-

=y x y x dx

dy ，令z=x+y 则dx dy dx

dz +

=1 ,212121+-+=---=z z z z dx dz dx dz z z =++-12

所以 –z+3ln|z+1|=x+1C ， ln 3

|1|+z =x+z+1C .

即y

x Ce y x +=++23)1(

24.讨论方程2

3=dx dy 3

1

y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，

0）的一切解

解： 设f(x,y)= 233

1

y ,则)0(2132

≠=??-y y y f

故在0≠y 的任何区域上y f

??存在且连续，

因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，

显然，0≡y 是通过点（0，0）的一个解；

又由2

3=

dx dy 31y 解得，|y|=23

)(c x -

所以，通过点（0，0）的一切解为0≡y 及

|y|=??

??

?≥>-≤是常数

0),()()(023c c x c x c x

25.求解常系数线性方程：

t e x x x t cos 32///-=+-

解： (1)

i

21,

0322,12±==+-λλλ

齐次方程的通解为x=)2sin 2cos (21t c t c e t +

(2)i ±-=1λ不是特征根，故取t

e t B t A x -+=)sin cos (

代入方程比较系数得A=415，B=-414

于是

t e t t x --=)sin 414

cos 415(

通解为x=)2sin 2cos (21t c t c e t

++t e t t --)sin 4cos 5(411

26.试求方程组Ax x =/

的一个基解矩阵，并计算???

?

??3421,为其中A e At 解： det(A E -λ)=

543

42

1

2=--=----λλλλ

所以，5,121=-=λλ

设11-=λ对应的特征向量为1v

由0

110

442211≠?

??

?

??-==????

??----ααv v 可得

取

?

??

?

??=?

???

??-=211121v v 同理取

所以，)(t Φ=

[

]

=-251v e v e t

t ????

??---t t

t t

e e

e e 552

27.试讨论方程组

cy dt

dy

by ax dt dx

=+=, （1）的奇点类型，其中a,b,c 为常数，且ac ≠0。

解： 因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件

0≠=ac c

b

a ，故奇点为原点（0，0）

又由det(A-λE)=0

)(0

2=++-=--ac c a c b a λλλ

λ

得

c a

==21λλ

所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：

a ，c 为实数????

????????>><

?=≠=??

???><<>≠不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点

奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00c a c a b b c a ac c a c a ac c a

28.试证：如果Ax x t =/

）是（?满足初始条件η?=)(0t 的解，那么 =)(t ?[

]η)

(0t t A e

-

证明： 设)(t ?的形式为)(t ?=C e At

（1）

（C 为待定的常向量）

则由初始条件得)(0t ?η==C

e At 0

又

1

)(0-At e =0At e - 所以，C=

1

)(0-At e η=0At e -η 代入（1）得)(t ?=

ηη)(0

t t A At

At e e e --= 即命题得证。

29.求解方程0)()3

2(223

2

=++++dy y x dx y y x xy

解：因为222,2M N x x y x

y x ??=++=??

又因为M N

N y x ??-=??

所以方程有积分因子：u(x)=

x e

方程两边同乘以x e 得：

x e 2(2xy x y ++322

)()03x y dx e x y dy ++=

［3

2

2

2(2)][]0

3x

x x

x y e xy x y dx e x dy e dx e y dy ++++=

也即方程的解为

3

2

3x x

y e x y e c

+=．

30.求解方程

3330()dy

x y xy y dx '''+-==

解：令，dy

y p tx

dx '===，则

333230x t x tx +-=即

331t

x t =

+

从而2

3

31t p tx t ==+

又2

33

33()()11t t y dt c t t '=+++?

＝3

32

3142(1)t c t +++

故原方程的通解为

33

32313142(1)t x t t y c t ?

=?+??+?=+?+?

t 为参数

31.求解方程

22

2321d x dx

x t dt dt --=+

解：齐线性方程22

230d x dx x dt dt --=的特征方程为

2230λλ--= 故齐线性方程的一个基本解组为3t

e ，t

e -，

因为0λ

=不是特征方程的特征根

所以原方有形如()x t ＝01B t B +的特解

将()x t ＝01B t B +代入原方程，比较t 的同次幂系数得：

0013(23)21B t B B t -+--=+

故有00132231B B B -=??--=?解之得：032B =-，119B = 所以原方程的解为：

31231()()

29t t x t c e c e t -=++-+

32.求方程2

dy

x y dx =+经过（0，0）的第三次近似解.

解：

000y Φ==

2

10

2x

x xdx Φ==

? .

425

20

()4220x

x x x x dx Φ=+=+

?

4107

30

()440020x

x x x x dx

Φ=+++?

＝251182

204400160x x x x +++

33.试求：211121112-??

??-????-?

?的基解矩阵 解：记A=211121112-??

??-????-?

?,又()det()(1)(2)(3)0p E A λλλλλ=-=---= 得11λ=，232,3λλ==均为单根 .

设1λ对应的特征向量为1v ，则由1

1()0E A V λ-=得

10,0v ααα????=≠??????取

1011v ????

=??????, 同理可得23,λλ对应的特征向量为：

23111,011v v ????

????

==????????????

则231

12233(),(),()t t t t e v t e v t e v Φ=Φ=Φ=均为方程组的解 . 令

123()((),(),())t t t t ψ=ΦΦΦ

又011

(0)det (0)1100

111

w =ψ=≠

所以

123()((),(),())t t t t ψ=ΦΦΦ即为所求。

34.试求

22

320d x dx

x dt dt ++=的奇点类型及稳定性.

解：令dx y dt =，则：32dy y x

dt =--.

因为01023≠--，又由1

23λλ-=+得

2320λλ++=解之得121,2λλ=-=-.

为两相异实根，且均为负

故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。

35.一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。

解：由物理知识得：)

F (为质点受到的合外力为质点的加速度，其中合合a m

F a =

根据题意：

v

k t k F 21-=合

故：

)0(221>-=k v k t k dt dv

m

.

即：(*)

)(12t

m k v m k dt

dv

+-=

(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有

)(2

21c dt e t m k e

V dt m

k

dt m

k

+???=?-

)(222

22

121c e k mk e t k k e

t m k

t m

k t m

k +-?=-

.

又当t=0时，V=0，故c=221k mk

因此，此质点的速度与时间的关系为：

)

(22122

12

k m

t k k e k mk V t m k

-+=-

36.求解方程

3

y x y dx dy +=

解：2

3y y x y y x dy dx +=+= ，

则

)(121?+?

?

=-

c dy e

y e

x dy y

dy y

所以 cy y x +=23

另外 0=y 也是方程的解

37.求方程

2y x dx

dy

+=经过)0,0(的第三次近似解 解：

0)(0=x ?

[]

20

20121)()(x dx x x x x

=

+=???. []

520

21220121)()(x x dx x x x x

+=

+=???.

[]

8

11520

22316014400120121)()(x x x x dx x x x x

+++=

+=???

38.讨论方程

2y dx

dy

= ，1)1(=y 的解的存在区间 解：dx y dy

=2

两边积分

c x y +=-

1

所以 方程的通解为

c x y +-=

1

. 故 过1)1(=y 的解为

21--=

x y

通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到 ２， 所以解的存在区间为 )2,(-∞. 39.求方程01)(

22

=-+y dx

dy 的奇解 解: 利用p 判别曲线得

???==-+020122p y p 消去p 得

12

=y 即 1±=y 所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以 1±=y 是方程的奇解

40.求解方程 0)1()1(cos 2=-++

dy y

x

y dx y x 解: y M ??=2--y , x N

??=2--y , y M ??=x N ?? , 所以方程是恰当方程. ???????-=??+=??211cos y

x y y v y x x u 得

)(sin y y x

x u ?++

=.

)

('2y xy y u

?+-=??- 所以y y ln )(=?

故原方程的解为

c y y x

x =++

ln sin .

41.求解方程 x x x y y y 2

2

'

sin cos sin 2-=-+

解:

x x x y y y 2

2'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 x y sin = ,令x z y sin += ,

则方程可化为2z dx dz -= ,

c x z +=

1 . 即

c x x y +=

-1sin , 故 c x x y ++

=1

sin .

42.求解方程 0)37()32(2

3

2

=-+-dy xy dx y xy

解: 两边同除以2

y 得

037

322=-+

-xdy dy y ydx xdx .

0732=--y d

xy d dx .

所以

c y xy x =-

-7

32 , 另外 0=y 也是方程的解 .

43.试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解

证明: 设黎卡提方程的一个特解为 y y =

令 y z y += , dx y d dx dz dx dy += 又 )

()()(2x r y x q y x p dx dy ++= dx y

d x r y z x q y z x p dx dz -++++=)())(())((2 .

由假设 )()()(2x r y x q y x p dx y d ++= 得 []

z

x q y x p z x p dx dz

)()(2)(2++=

此方程是一个2=n 的伯努利方程,可用初等积分法求解 .

44.试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程

)()(x Q y x P dx

dy

+= , 当)(x P , )(x Q 在[]βα,上连续时,其解存在唯一 证明: 令R : x ∈[]βα, , R y ∈

)(x P , )(x Q 在[]βα,上连续, 则

)()(),(x Q y x P y x f += 显然在R 上连续 ,

因为 )(x P 为[]βα,上的连续函数 , 故)

(x P 在[]βα,上也连续且存在最大植 , 记为 L

即

)(x P L ≤ , x ∈[]βα, .

1y ?,R y ∈2 2121)()(),(),(y x P y x P y x f y x f -=-=)(x P 21y y -21y y L -≤

因此 一阶线性方程当)(x P , )(x Q 在[]βα,上连续时,其解存在唯一

45.求解方程

0)(4

2=++dx y x y xdy

解：所给微分方程可写成

0)(4

2=++dx y x ydx xdy 即有

0)(42=+dx y x xy d . 上式两边同除以4

)(xy ，得 01

)()(24=+dx x xy xy d

由此可得方程的通解为 13

1

)(31c x xy =--

即

3

33231y cx y x =+ )3(1c c -= .

46.求解方程3

22p p y +=

解：所给方程是关于y 可解的，两边对x 求导，有

dx dp

p p p )

62(2+=

（1） 当0=p 时，由所给微分方程得0=y ；

（2） 当dp p dx )62(+=时，得

c p p x ++=2

32。 因此，所给微分方程的通解为

c p p x ++=232，3

22p p y += （p 为参数）

而0=y 是奇解。

47.求解方程1442'

'

'++=+-t

t

e

e x x x

解：特征方程0442=+-λλ，22,1=λ，

故有基本解组t e 2，t

te 2，

对于方程t e x x x =+-44'''，因为1=λ不是特征根，故有形如t Ae t x =)(1的特解，

将其代入t e x x x 2'''44=+-，得t

e Ae t

222=，解之得

21

=

A ，

对于方程144'''=+-x x x ，因为0=λ不是特征根，故有形如A

t x =)(3的特解，

常微分方程习题及答案

第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是 。

8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+x dy y dx 的通解为 。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

2019年数学考试大纲

2019年数学二考试大纲 考试科目：高等数学、线性代数 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 三、试卷内容结构 高等数学约78% 线性代数约22% 四、试卷题型结构 单项选择题8小题，每小题4分，共32分 填空题6小题，每小题4分，共24分 解答题（包括证明题）9小题，共94分 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： ，

函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1。理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。 2。了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3。理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4。掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5。理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。 6。掌握极限的性质及四则运算法则。 7。掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8。理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 9。理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10。了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L‘Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径 考试要求

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，

《常微分方程》考试大纲

常微分方程》考试大纲 课程名称：常微分方程 一、考试的总体要求 本门课程主要考察学生对常微分方程的基本概念、基本原理以及基本解法的掌握程度。并且要求学生能够对上述基本知识进行灵活运用，具有较强的分析问题、建立模型、解决问题的能力。 二、考试的内容及比例 1、绪论(5?10%): (1)掌握微分方程的基本概念。 (2)了解利用物理基本概念建立简单微分方程模型。 2、一阶微分方程的初等解法( 10 ? 30%): (1)掌握变量可分离方程及可化为变量可分离方程的求解、线性方程的概念及常 数变易法的使用、恰当方程的判定以及积分因子的计算； (2)理解一阶隐方程的求解及参数表示。 3、一阶微分方程解的存在定理( 10 ? 20%): (1)掌握解的存在唯一性的证明方法，唯一性定理条件和结论。 (2)熟练运用解的存在唯一性定理计算解的存在区间。 (3)理解包络和奇解的概念，会求解克莱罗 (Clairaut) 方程。 (4)了解解的延拓以及解对初值问题的连续与可微性。 4、高阶微分方程( 15 ? 30%): (1)掌握齐次线性方程的解的性质与结构、非齐次线性方程与常数变易法。 (2)熟练运用各种常系数线性微分方程的解法。包括:常系数齐次线性方程和欧拉方程，非齐次线性方程。 (3)理解比较系数法与拉普拉斯(Laplace)变换法求解线性方程。 (4)了解一些可降阶的方程的求解。 5、线性微分方程组( 15 ? 30%): (1)掌握矩阵指数 expA 的定义和性质、基解矩阵的计算公式。 (2)熟练运用常数变易法求解线性微分方程组。 (3)理解线性微分方程组存在唯一性定理以及拉普拉斯变换解线性微分方程组。

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程， 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程， 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为 欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程． 三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）

四、求解微分方程组 满足初始条件的解. （10%） 五、证明题：（10%） 设，是方程 的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题 指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3） （4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.

(整理)常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题 一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程

常微分方程的初等解法与求解技巧

师大学本科毕业论文（设计） 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩

常微分方程的初等解法与求解技巧 容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧

Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques

《常微分方程》第三次作业

《常微分方程》第三次作业 第3章 一阶线性微分方程组 1．完成定理3.1的证明． 2．完成定理3.1′的证明 3．将下列方程式化为一阶方程组 （1）0)()(=++x g x x f x &&& （2）)(d d d d 22t f kx t x c t x m =++ （3）0)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y 4．求解方程组 ?????? ?+=+=y t p x t q t y y t q x t p t x )()(d d )()(d d 其中)(),(t q t p 在[a , b ]上连续． 5．设n n ?矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在（a , b ）上连续，试证明，若方程组 X A X )(d d 1t t = 与X A X )(d d 12t t = 有相同的基本解组，则)(1t A ≡)(2t A ． 6．求解下列方程组： （1）???????==y t y x t x 2d d d d （2）???????+=+=x y t y x y t x 54d d 45d d （3）???????+-=+=y x t y y x t x αββαd d d d 7．求解下列方程组： （1）???-=+=x y y y x x 23&& （2）??? ??+-=-+=+-=z y x z z y x y z y x x 222&&& 8．求解下列方程组： （1）???????=+=y t y y x t x 3d d 3d d （2）???? ?????=+=+=333222 11 2d d 2d d 2d d y x y y y x y y y x y （3）?????+=+=2 e 2t x y y x t && （4）???++=++=t y x y t y x x e 823532&&

常微分方程和偏微分方程的数值解法教学大纲

上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理

常微分方程解题方法总结.docx

常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半，课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来，如何将零散的知识点有机地结合起来，而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆，使知识自成体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴，他强调读 书要 “由薄到厚、由厚到薄 ”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 dy P ( x)dx P ( x) dx Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程解法：令 dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1） 代入得到dx —u y1 n，有 du(1 n) y n dy ， du(1 n) P(x)u(1 n)Q(x) dx 求解特征方程： 2pq 0三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根： 1 ,2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2)两个相等实根：12 通解： y c1c2 x e x (3)一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x] 当i不是特征值时，令 欢迎下载2

2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； （1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7．什么是求解常微分方程的初等积分法 8．分离变量一阶方程的特征是什么 9．求下列方程的通解 （1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二

个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy - 14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27

2019年考研数学一高等数学考试大纲附录10页

2012年考研数学一高等数学考试大纲 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限: 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则.

7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径 考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．

(整理)常微分方程(含解答)

第八章 常微分方程 【教学要求】 一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、特解、通解、初始条件和初值问题，线性微分方程。 二、熟练掌握一阶可分离变量微分方程的解法。 三、熟练掌握一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+' 的解法——常数变易法和公式法。 四、理解线性微分方程解的性质和解的结构。 五、熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的解法——特征根法。 会根据特征根的三种情况，熟练地写出方程的通解，并根据定解的条件写出方程特解。 六、熟练掌握二阶线性常系数非齐次微分方程qy y p y +'+'' )(x f =，当自由项f (x )为某些特殊情况时的解法——待定系数法。 所谓f (x )为某些特殊情况是指f (x )为多项式函数，指数函数 或它们的和或乘积形式、三角函数x x x ββαsin cos ,e 。 关键是依据f (x )的形式及特征根的情况，设出特解y *,代入原方程，定出y *的系数。 【教学重点】 一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性常系数微分方程的解法。 【典型例题】 。的阶数是微分方程例)(e )(12x y y y =-'+'' 2.1.B A 4. 3.D C 解：B 。的特解形式是微分方程例)( e 232x x y y y +=+'-'' x x x b ax B b ax A e )(.e ).(++ x x c b ax D cx b ax C e ).(e ).(++++ 解：C 是一阶线性微分方程。下列方程中例)( ,3 x x y y x B y A y x cos sin 1.e .2=+'='+ y x y D y y x y C ='=+'+''.0 . 解：B ???=='++1)1(0)1(4y y x y y 求解初值问题例 ??-=+x x y y y d )1(d 解：由变量可分离法得 c x y y ln ln 1ln +-=+∴ 代入上式得通解为由21ln ln 1)1(=?=c y x y y 211=+ 的特解。满足求解微分方程例1)0(e 252==-'y x y y x 解：由公式法得 ]d e e 2[e d 12d 1c x x y x x x +???=---?

秋华师《常微分方程》在线作业

秋华师《常微分方程》在线作业

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奥鹏1７春16秋华师《常微分方程》在线作业 一、单选题（共20 道试题，共60 分。） １. 微分方程ｙ''+y=sinx的一个特解具有形式()。 A. y*=asinx B．y＊＝acosx C．ｙ*=x(ａsiｎｘ＋bcosx) D．y*＝acｏsx+bｓinx 正确答案: 2. y'''+ｓｉnxy＇-ｘ=cｏsx的通解中应含(）个独立常数。 A. １ B. 2 C．3 D. ４ 正确答案： 3．微分方程xyy''+x（y')^3-y^4-ｙ'＝0的阶数是()。 A. 3 B. 4 C. 5 Ｄ. 2 正确答案： ４．微分方程ｙ'''-ｘ^2ｙ'＇-x^5＝１的通解中应含的独立常数的个数为（)。 A. 3 B. 5 C. 4 D． 2 正确答案： 5. 过点(１,3)且切线斜率为2x的曲线方程y=ｙ(x)应满足的关系是（）。 A.y'＝2x B. ｙ''＝２ｘ C. y＇＝2x,y(１)=３ Ｄ. ｙ''＝2x,ｙ(1）＝3 正确答案： ６.方程dy/ｄx=3y（2/３)过点(0，0）有（)． A. 无数个解 B. 只有一个解 C．只有两个解 D．只有三个解

正确答案： ７. 方程y'-２y=0的通解是（)。 A. y＝sinx B. y=4e^(２ｘ) C．ｙ=Ce^(2ｘ) Ｄ．ｙ=ｅ^x 正确答案： 8. 下列函数中,是微分方程y＇'-7y'+1２ｙ＝0的解()。 Ａ. y=ｘ^３ B. y=x^2 C. ｙ=e^(3x) D．y=ｅ^（2x) 正确答案： 9．按照微分方程通解定义,ｙ＇'=sinx的通解是()。 A. -sｉnｘ+C1x+C2 Ｂ. －ｓinx+C1+Ｃ2 Ｃ. siｎx+C１ｘ＋C2 D．ｓinx+C１x+C2 正确答案: 10．方程组dY/ｄx＝F(x,Y),ｘ∈R，Y∈R^n的任何一个解的图象是（）维空间中的一条积分曲线. A. n B.n+１ C．n-1 D. n－２ 正确答案: 1１．下列函数中，哪个是微分方程dｙ-２ｘdx=0的解（)。 A. y=2x Ｂ．y=x^2 C. ｙ=-2x D．y=－x 正确答案： １２. 微分方程cosｙdy=ｓｉnxdx的通解是()。 Ａ. sinｘ+cｏsｘ=C B．ｃosｙ-ｓinx=Ｃ C. cosｘ－siny＝C D.cｏｓx+sinｙ=C 正确答案: 13. 微分方程2ydｙ-ｄx=0的通解为（)。 A. y^2-x=C B. ｙ-x＾(１/2)＝C C. y=x+C D. y＝-x+C 正确答案：

常微分方程应用题和答案

应 用 题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=， 其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。 （1）求曲线()y f x =的方程； （2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为

常微分方程教学大纲

《常微分方程》课程教学大纲 课程代码： 090131009 课程英文名称：Ordinary Differential Equations 课程总学时：48 讲课：48 实验：0 上机：0 适用专业：信息与计算科学 大纲编写（修订）时间：2017.11 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 本课程是信息与计算科学专业的一门专业基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得关于常微分方程的基本理论知识，掌握普通的线性微分方程的求解办法，为对非线性微分方程的求解打下一定的基础，同时，使学生能够简单地利用数学手段去研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题, 是进一步学习偏微分方程、微分几何、泛函分析等后继课程的基础。 通过本课程的学习，学生将达到以下要求： 1. 掌握一阶线性微分方程的初等解法及理论、高阶线性微分方程的解法及理论，线性微分方程组理论，着重培养学生解决问题的基本技能。 2. 熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：要求学生掌握一阶微分方程的初等解法；一阶微分方程解的存在唯一性定理、解对初值的连续性和可微性定理及解的延拓；高阶微分方程理论、常系数线性微分方程的解法、以及高阶微分方程的降阶和幂级数解法；求矩阵指数，求解常系数线性微分方程组；非线性微分方程的稳定性、V函数方法。 2.基本理论和方法：掌握一阶和高阶线性微分方程以及方程组的求解方法，理解解的存在唯一性定理及解的延拓、解对初值的连续依赖定理等理论，并能应用到具体的证明题中。了解非线性微分方程的基本理论，会对稳定性等做出讨论。培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力；对微分方程的建模、求解的分析能力；利用微分方程理论解决实际问题的能力。 3.基本技能：使学生获得求解一阶和高阶微分方程、线性微分方程组的运算技能。 （三）实施说明 1．教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。 2．教学手段：本课程属于专业基础课，在教学中采用多媒体教学系统等先进教学手段，以确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。 （四）对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程主要的先修课程有数学分析3、高等代数2。 （五）对习题课、实践环节的要求 1. 至少两章安排一次习题课，总学时在6学时左右。 2. 习题课的教学内容要配合主讲课程的教学进度，由老师和同学在课堂上通过讲、练结合的方式进行。主讲教师通过批改学生的作业，将作业情况反馈给学生，要补充有一定难度和综合度的练习题，以拓宽同学们的思路。

常微分方程习题

第一章习题 1-1求下列两个微分方程的公共解。 （1）422x x y y -+=' （2）2422y y x x x y --++=' 解 两方程的公共解满足条件 4224222x x y y y x x x -+=--++， 即 022224=-+-y x y x ， 0))(122(22=-++y x y x ， 所以2 x y =或2212 x y +-=。 代入检验可知2 212 x y +-=不符合，所以两方程的公共解为2x y =。 评注：此题是求解方程满足一定条件的解，即求两个微分方程的公共解。在求解时由于令其导数相等，很容易产生增解，因而要对所求结果回代原方程进行检验，舍去增解。 1-2 求微分方程02 =-'+'y y x y 的直线积分曲线。 解 设直线积分曲线为b ax y +=，则a y ='，代入原方程得 02≡--+b ax xa a ， 即0)()(2 ≡-+-b a a a x ， 所以 ???=-=-0 02b a a a ， 可得0==b a 或1==b a 。 因而所求直线积分曲线为0=y 或1+=x y 。 评注：此题是求解方程的部分解，采用的是待定系数法。待定系数法是求解常微分方程常用的方法之一，有待定常数法和待定函数法。本题首先设出满足题设条件的含有待定常数

的解，然后代入原方程来确定待定常数，解决此类问题的关键在于正确地设出解的形式。 1-3 微分方程32224xy y y x =-'，证明其积分曲线是关于坐标原点成中心对称的曲线。 证 设)(x y ?=满足微分方程，只须证明)(x y --=?也满足方程即可。 作变换x t -=，则证明)(t y ?-=满足方程即可，代入方程两端，并利用)(x y ?=满足此方程，得 左=)())((42222t dx dt t t ??-'， )()1)((42222t t t ??--'= )()(4222t t t ??-'=)(3t t ?==右 故)(t y ?-=也满足方程32224xy y y x =-'。 评注：为了验证)(x y --=?也满足方程，利用积分曲线的性质，进行变量代换x t -=，将)(x y --=?变换成)(t y ?-=后，问题就很容易解决了。 1-4 物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成正比，如果物体在20分钟内由100℃冷却至60℃，那么，在多长时间内，这个物体由100℃冷却至30℃？假设空气的温度为20℃ 解 设物体在空气中时刻t 的温度为)(t T T =，则依牛顿冷却定理得 )20(--=T k dt dT ， 其中k 是比例常数。 两边积分，得通解为kt Ce T -+=20。 由于初始条件为：,100)0(=T 故得80=C ，所以kt e T -+=8020。 将60,20==T t 代入上式后即得：202ln = k ， 即 20202ln )2 1(80208020t t e T ?+=+=-。 故当30=T 时，有20)2 1(802030t ?+=，从中解出60=t （分钟），因此，在一小时内，可使物体由100℃冷却至30℃。