梅涅劳斯(Menelaus)定理
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 证明一：
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1
证明二：
过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF
所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1
它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/E A)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
梅涅劳斯(Menelaus)定理
证明三：
过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，
所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'
所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
证明四：
连接BF。
（AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA)
=（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF）
=（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF）
=1
此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。
第一角元形式的梅涅劳斯定理
如图：若E，F，D三点共线，则
(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1
即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积
该形式的梅涅劳斯定理也很实用
第二角元形式的梅涅劳斯定理
在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合)
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记忆
ABC为三个顶点，DEF为三个分点
(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）=1
空间感好的人可以这么记：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1
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实际应用
为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。
我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。
例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点A。
另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。
从A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明：
方案①——从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。
按照这个方案，可以写出关系式：
（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。
现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。
从A点出发的旅游方案还有：
方案②——可以简记为：A→B→F→D→E→C→A，由此可写出以下公式：
（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。从A出发还可以向“C”方向走，于是有：
方案③——A→C→E→D→F→B→A，由此可写出公式：
（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。从A出发还有最后一个方案：
方案④——A→E→C→D→B→F→A，由此写出公式：
（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。
我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。
值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。当直升机降落在B点时，就会有四项因式。而在C点和F点，既会有三项的公式，也会有四项的公式。公式为四项时，有的景点会游览了两次。
不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看看。
还可以从逆时针来看，从第一个顶点到逆时针的第一个交点比上到下一个顶点的距离，以此类推，可得到三个比例，它们的乘积为1.
现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的相除相乘的关系式，不会再写错或是记不住吧。
第二章 基本原理和定理
第2章基本原理和定理 2.1亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理：任一个矢量场由其散度、旋度以及边界条件所确定，都可以表示为一个标量函数的梯度与一个矢量函数的旋度之和。 定理指出，由于闭合面S 保卫的体积V 中任一点R 处的矢量场Fr 可分为用一标量函数的梯度小时的无旋场和用另一个适量函数的旋度表示的无散场两部分，即为 F A Φ=-?+?? 而式中的变量函数和适量函数分别于体积V 中矢量场的散度源和旋度源，以及闭合面S 上矢量场的法向分量和切向分量。 1()1()d d 44V S V Φπ π''''???''= -''--??F r n F r S r r r r 1()1()d d 44V S V π π''''???''= -''--??F r n F r A S r r r r 2.2唯一性定理 惟一性定理：给定区域V 内的源（ρ、J ）分布的和场的初始条件以及区域V 的边界 S 上场的边界条件，则区域V 内的场分布是惟一的。 场、源；范围 —— 时间间隔、空间区域； 条件 —— 初始条件、边界条件。 有惟一解的条件： （1）区域内源分布是确定的（有源或无源），与区域外的 源分布无关； （2）初始时刻区域内的场分布是确定的； （3）边界面上或是确定的。
重要意义： （1）指出了获得惟一解所需给定的条件； （2）为各种求解场分布的方法提供了理论依据。 2.3镜像原理 镜像原理：等效源（镜像源）替代边界面的影响边值问题转换为无界空间问题；理论基础：惟一性定理 2.4等效原理 等效原理是基于唯一性定理建立的电磁场理论的另一个重要原理。考察某一有界区域，如果该去云内的源分布不变，而在该区域之外有不同分布的源，只要在该区域的边界上同时满足同样的边界条件，根据唯一性定理，就可以在该规定区域内产生同样的场分布。也就是说，在该区域外的这两种源的另一种源是另一种源的等效源。 基本思想：等效源替代真实源； 理论基础：惟一性定理。 1. 拉芙（Love）等效原理 将区域V1内的源和用分界面S上的等效源和来替代，且将区域V1内的场设为零，则区域V2内的场不会改变。 2Schelknoff 等效原理 （1）电壁＋磁流源 在紧贴分界面S的内侧设置电壁，则 J不产生辐射场，区域内V2 的场由 S J产生。 2m S （2）磁壁＋电流源 在紧贴分界面S的内侧设置电壁，则m J不产生辐射场，区域内V2 的场由 S J产生。 2 S
一些著名的原理、定理、法则
1蓝斯登原则：在你往上爬的时候，一定要保持梯子的整洁，否则你下来时可能会滑倒。 提出者：美国管理学家蓝斯登。 点评：进退有度，才不至进退维谷；宠辱皆忘，方能够宠辱不惊。2点评：如果把自己想得太好，就很容易将别人想得很糟。 3同时容纳两种相反的思想，而无碍于其处世行事。 提出者：法国社会心理学家托利得 点评：思可相反，得须相成。 4互相刺伤。 点评：保持亲密的重要方法，乃是保持适当的距离。 5将一只稍强的鲦鱼脑后控制行为的部分割除后，此鱼便失去自制力，行动也发生紊乱，但其他鲦鱼却仍像从前一样盲目追随。 提出者：德国动物学家霍斯特 点评：1、下属的悲剧总是领导一手造成的。2、下属觉得最没劲的事，是他们跟着一位最差劲的领导。 62、最重要的七个字是：你干了一件好事 3、最重要的六个字是：你的看法如何 4、最重要的五个字是：咱们一起干 5、最重要的四个字是：不妨试试 6、最重要的三个字是：谢谢您 7、最重要的两个字是：咱们 8、最重要的一个字是：您
提出者：美国管理学家雷鲍夫 点评：1、最重要的四个字是：不妨试试；2、最重要的一个字是：您 7而是你不在场时发生了什么。 提出者：美国管理学家洛伯 点评：如果只想让下属听你的，那么当你不在身边时他们就不知道应该听谁的了。 8提出者：美国心理学家斯坦纳 点评：只有很好听取别人的，才能更好说出自己的。 9少讲。 提出者：英国联合航空公司总裁兼总经理费斯诺 点评：说得过多了，说的就会成为做的障碍。 10牢骚效应：凡是公司中有对工作发牢骚的人，那家公司或老板一定比没有这种人或有这种人而把牢骚埋在肚子里公司要成功得多。提出者：美国密歇根大学社会研究院 点评：1、牢骚是改变不合理现状的催化剂。2、牢骚虽不总是准确的，但认真对待牢骚却总是准确的。 11避雷针效应：在高大建筑物顶端安装一个金属棒，用金属线与埋在地下的一块金属板连接起来，利用金属棒的尖端放电，使云层所带的电和地上的电逐渐中和，从而保护建筑物等避免雷击。 点评：善疏则通，能导必安 12氨基酸组合效应：组成人体蛋白的八种氨基酸，只要有一种含量
梅涅劳斯定理和塞瓦定理(教师版)
梅涅劳斯定理和塞瓦定理 一、梅涅劳斯定理 定理1若直线l不经过?ABC的顶点，并且与?ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别 交于P 、Q、R，则BP PC ?CQ QA ?AR RB =1 证明：设?A、?B、?C分别是A、B、C到直线l的垂线的 长度，则：BP PC ?CQ QA ?AR RB =?B ?C ??C ?A ??A ?B =1。 例1若直角?ABC中，CK是斜边上的高，CE是∠ACK的 平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF∥CE。 【解析】因为在?EBC中，作∠B的平分线BH，则：∠EBC=∠ACK，∠HBC=∠ACE，∠HBC+∠HCB=∠ACK+∠HCB=90°，即BH⊥CE，所以?EBC为等腰三角形，作BC上的高EP，则：CK=EP，对于?ACK和三点D、E、 F根据梅涅劳斯定理有：CD DA ?AE EK ?KF FC =1，于是KF FC =EK AE =CK AC =EP AC =BP BC =BK BE ， 即KF FC =BK BE ，根据分比定理有：KF KC =BK KE ，所以?FKB??CKE，所以BF∥CE。 例2从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与A、B、C、D和A1， B1，C1，D1，试证：AC BC :AD BD =A1C1 B1C1 :A1D1 B1D1 。 【解析】若AD∥A1D1，结论显然成立；若AD与A1D1相交于点L，则把梅涅劳斯定理分别 用于?A1AL和?B1BL可得：AD LD ?LD1 A1D1 ?A1K AK =1，LC AC ?AK A1K ?A1C1 LC1 =1，BC LC ?LC1 B1C1 ?B1K BK =1，LD BD ?BK B1K ? B1D1 LD1=1，将上面四个式子相乘，可得：AD AC ?BC BD ?A1C1 A1D1 ?B1D1 B1C1 =1，即：AC BC :AD BD =A1C1 B1C1 :B1D1 B1C1 定理2设P、Q、R 分别是?ABC的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点，并且P、 Q、R三点中，位于?ABC边上的点的个数为0或2，这时若BP PC ?CQ QA ?AR RB =1，求证P、Q、R 三点共线。 证明：设直线PQ与直线AB交于R’，于是由定理1 得：BP PC ?CQ QA ?AR‘ R’B =1，又因为BP PC ?CQ QA ?AR RB =1，则AR‘ R’B = AR RB ，由于在同一直线上P、Q、R三点中，位于?ABC 边上的点的个数也为0或2，因此R与R‘或者同在 AB线段上，或者同在AB的延长线上；若R与R‘同 在AB线段上，则R与R‘必定重合，不然的话，设AR>AR‘，这时AB?AR
高中数学-微积分基本定理
高中数学-微积分基本定理 A 级 基础巩固 一、选择题 1．(2018·四平模拟)定积分??0 1x 2－x d x 的值为( A ) A ．π4 B ．π2 C ．π D ．2π [解析] ∵y ＝x 2－x ， ∴(x －1)2 ＋y 2 ＝1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆， ∴定积分??01x 2－x d x 所围成的面积就是该圆的面积的四分之一， ∴定积分??0 1x 2－x d x ＝π 4 ， 故选A ． 2．(2018·铁东区校级二模)由曲线xy ＝1与直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭图形面积为( D ) A ．2－ln3 B ．ln3 C ．2 D ．4－ln3 [解析] 方法一：由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(1 3，3)，由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐 标为(1,1)， 由y ＝x ，y ＝3可得交点坐标为(3,3)， ∴由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为
???1 3 1 (3－1x )d x ＋? ?1 3(3－x )d x ＝(3x －ln x )|1 13＋(3x －12x 2)|3 1， ＝(3－1－ln3)＋(9－92－3＋1 2)＝4－ln3 故选D ． 方法二：由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(1 3，3)， 由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)， 由y ＝x ，y ＝3可得交点坐标为(3,3)， 对y 积分，则S ＝? ?0 3(y －1y )dy ＝(12y 2－lny )|3 1＝92－ln3－(12－0)＝4－ln3， 故选D ． 3．(2018·安庆高二检测)已知函数f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则??1 3f (－ x )d x ＝( D ) A ．0 B ．3 C ．－2 3 D ．23 [解析] ∵f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2， ∴nx n －1 ＋m ＝2x ＋2， 解得n ＝2，m ＝2， ∴f (x )＝x 2 ＋2x ， ∴f (－x )＝x 2－2x ， ∴??1 3f (－x )d x ＝? ?1 3(x 2－2x )d x ＝(13x 3－x 2)|3 1＝9－9－13＋1＝23，故选D ． 4．函数F (x )＝??0 x cos t d t 的导数是( A ) A ．f ′(x )＝cos x B ．f ′(x )＝sin x C ．f ′(x )＝－cos x D ．f ′(x )＝－sin x [解析] F (x )＝??0 x cos t d t ＝sin t | x 0＝sin x －sin0＝sin x ． 所以f ′(x )＝cos x ，故应选A ． 5．(2018·昆明高二检测)若直线l 1：x ＋ay －1＝0与l 2：4x －2y ＋3＝0垂直，则积分??－a a (x 3 ＋sin x －5)d x 的值为( D ) A ．6＋2sin 2 B ．－6－2cos 2
应用动能定理解题的基本步骤
应用动能定理解题的基本步骤 （1）确定研究对象，研究对象可以是一个单体也可以是一个系统. （2）分析研究对象的受力情况和运动情况，是否是求解“力、位移与速率关系”问题. （3）若是，根据W合=E k2-E k1列式求解. 动能定理和功能原理 动能定理 把几个有相互作用的质点所组成的系统作为研究对象，探讨功与能之间所遵循的规律。首先，把动能定理的关系式推广到由几个质点组成的系统。这时，用E k和E k0分别表示系统内所有质点在终态和初态的总动能，W表示作用在各质点上所有的力所做的功的总和，则有
W=E k-E k0 值得注意的是，所有的力所做的功的代数和，不是合力的功。因为由几个质点组成的系统，不同于一个质点，各力作用点的位移不一定相同。作用力又可区分为外力和内力，外力是指系统外其它物体对系统内各质点的作用力，内力是指系统内各质点之间的相互作用力。虽然内力的合力为零，但内力的功一般不为零，因为各力作用点的位移不一定相同。因此，对于系统来说，上式中的W 应等于外力所做的功与内力所做的功之和，所以，上式可改写为 W外+W内=E k-E k0(1) 这就是质点系的动能定理，它在惯性参考系中成立。
功能原理 系统的内力可分为保守内力和非保守内力。因此，内力的功W内应等于保守内力的功与非保守内力的功之和。所以(1)式可写为 W外力+W保守内力+W非保守内力=E k-E k0 （从系统的动能定理出发阐述系统的功能定理，根据系统的动能定理表达式，把内力功分为保守性内力功和非保守性内力功） 由于保守内力所做的功可用系统势能的减少来表示，即W保守内力=Ep0-E p，所以，上式可改写为 W外力+W非保守内力=(E k+E p)-(Ek0+Ep0)
定义定理公理定律的区别
定义、定理、定律和定则 表面上看定义、定理和定律都是由一些文字性的叙述加上数学表达式所组成，形式上确实差别不大，而老师上课往往会注重了它们在应用方面的讲授，忽略了其内在的区别和联系， 造成很多学生从初中到高中甚至大学，尽管会用其去解决问题，但对三者之间的区别依然一 知半解；甚至有部分教师在课堂教学中对此也存在着模糊的认识，滥用定义；误把定律当定 理或者定理当定律的事情都常有发生。下面笔者结合自己的体会，谈谈在高中物理教学中应 如何讲清它们的一些特点和联系。 对于每一个概念，我们不妨先从词典里对它的解释入手来看问题，然后再辨析一下与它相近的概念，便于对比和理解。 1定义：定义是对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明。如果用通俗的说法，对某个概念的“定义”告诉我们的是：“什么是”这个量，而我们常见的“物理意义”告诉我们的是：这个量“是什么”。举个最常见的例子，如速度，定义：速度表示单位时间内通过的位移，物理意义：速度表示物体运动的快慢。 在物理学中，定义是有实际用处的，定义一个量，表面上似乎有一些任意性，但如果是为了解决生产实际的问题，那就要求定义出来的量有意义，有实际用处。所以没有人随便找 几个物理量来乘乘除除，起个名字，创造个新的物理量出来。假设我们定义一个质点的动能和动量分别为E k = mv和P= ,如果撇开动能定理和动量定理来说它是否正确，就没有什么意义了，因为离开了用到它的场合，就等于失去了检验它的标准，而成为没有实际意义的游戏。而动能和动量为什么是我们熟知的E k =mV和P = mv呢？原因在于我们可以通过这样的定义，寻找到某种等量关系，即动能定理和动量定理，并可以运用它来帮助我们解决实际问题。 其次定义的另一个特点在于简化公式或定理，使定理的文字叙述和公式表达更易于理解 和便于记忆，也使定理的物理意义更加明确。例如：定义冲量等于力乘以力所作用时间的乘 积，即I = f ? t，又定义动量是物体的质量与物体速度的乘积，即P = mv,而动量定理正 是I = P2 - R,这样动量定理的表述就更加简洁明了。 定义某个物理量时，都有对应的表达式，或称其为定义式，在定义式中，被定义的量是不能独立地确定的，而要靠其他物理量来确定。如：真空中点电荷Q的电场强度，我们可以 定义为的形式。因为F和q可以独立地确定，但E却不能，它就是由来确定的。 并不是什么物理量都有定义的，例如最常见的力，“力是物体之间的相互作用”，显然不是对力的定义，充其量只是一种说明。还有我们熟悉的“能”的概念，具有做功本领的物体就具有能，这也不是对“能”的定义。 2 ?定理：定理是建立在公理和假设基础上，经过严格的推理和证明得到的，它能描述事物之间内在关系，定理具有内在的严密性，不能存在逻辑矛盾。比如：勾股定理，隐含公理是平直的欧几里得空间，假设是直角三角形。 要明白定理的来源，首先我们必须了解公理，公理是不证自明的真理，是建立科学的基 础，欧几里得《几何原本》就是建立在五条公理基础上严密的逻辑体系。公理和定理的区别 主要在于：公理的正确性不需要用逻辑推理来证明，而定理的正确性需要逻辑推理来证明。 在物理学中而定理是通过数学工具（如微积分）推理得来的，如动能定理；定律是由实验得出或
塞瓦定理试题
《塞瓦定理及其逆定理的应用》（1） 一，《塞瓦定理》 设O 是ABC ?内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ， 则1=??FB AF EA CE DC BD . 二．《塞瓦定理的逆定理》 在ABC ?三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上各取一点D 、E 、F ，若有 1=??FB AF EA CE DC BD ，则AD 、BE 、CF 平行或共点.证明：AD 与BE 或是平行或是相交 证明：（1）若//AD BE ，则 EA EC BD BC =，代入已知式，可推出CB DC FB AF =. 有//AD CF 从而////AD BE CF . （2）若AD 与BE 相交于O ，则连结CO 交AB 于/ F ， 由塞瓦定理，有//1BD CE AF DC EA F B ??=，与已知式相比较，得//AF AF F B AB =， 合比 / AF AF AB AB =，∵/AF AF =，得/ F 与F 重合，即AD 、BE 、CF 共点. 交于一点；：证明：三角形的中线例1 分线交于一点；】证明：三角形的角平【练习1 高交于一点；】证明：锐角三角形的【练习2 A B C D E F O A B C D E F A B C D E F O / F
2ABC C AB L L AC BC M N AN BM P CP AB ?∠⊥例：在锐角中,角的平分线交于于，从作边和的垂线，垂足分别是和，设和的交点是，证明： 3.AD ABC D BC P AD BP CP AC AB E F EDA FDA ?∠∠例设是的高，且在边上，若是上任一点，、分别与、交于和，则＝ 3,,ABC M N R BAR CAN CBM ABR ACN BCM AM BN CR αβγ?∠=∠=∠=∠=∠=∠=【练习】已知外有三点、、，且，证明：、、三线共点；
动能定理和功能原理
动能定理和功能原理 抛砖引玉指点迷津思维基础学法指要思维体操心中有数动脑动手创新园地 一.教法建议 【】抛砖引玉在经典力学中，“动能定理”是“牛顿运动定律”的推论和发展，“功能原理”也是“牛顿运动定律”的进一步推导的结果。因此我们建议：教师不要把本单元的内容当作新知识灌输给学生，而是引导学生运用“牛顿运动定律”对下述的这个匀加速运动问题进行分析和推导，使学生自己获得新知识──“动能定理”和“功能原理”。 具体的教学过程请参考下列四个步骤： 第三步：运用牛顿第二定律和①、②两式导出“动能定理”。． m、所受之合外力为产生之加速度若已知物体的质量为、a为。则根据牛顿第二定律可以写出：③ 将①、②两式代入③式： 导出：④ 若以W表示外力对物体所做的总功⑤ EEBA处时的动能若以表示物体通过处时的动能，以表示物体通过ktko则：⑥ ⑦ 将⑤、⑥、⑦三式代入④式，就导出了课本中的“动能定理”的数学表达形式：WEE =－kokt EEE－若以△表示动能的变化kokkt则可写出“动能定理”的一种简单表达形式： E W=△k它的文字表述是：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。这个结论叫做“动能定理”。 第四步：在“动能定理”的基础上推导出“功能原理”。 在推导“动能定理”的过程中，我们曾经写出过④式，现抄列如下： ④ FS为了导出“功能原理”我们需要对其中的下滑分力做功项进行分析推导。1．θFmg的关系如下：时，下滑分力和重力我们知道，当斜面的底角为1 将⑩式代入④式后进行推导： 若以代入⑾式，就导出了一种“功能原理”的数学表达形式： FsfsEE－=△+△PK Fsfs之差(不包括重力做的功它的物理意义是：动力对物体做功与物体克服阻力做功)，等于物体动能的变化量与势能的变化量之和。 若在⑾式基础上进行移项变化可导出下式：
高中物理定理和定律及公式表
高中物理定理和定律及公式表 一、质点的运动（1）------直线运动 1）匀变速直线运动 1.平均速度：t s v = （定义式） 2.有用推论：as v v t 2202=- 3.中间时刻速度：2 02t t v v v v += = 4.末速度：at v v t +=0 5.中间位置速度：2 2202t s v v v += 6.位移：2021at t v t v s + == 7.加速度：t v v a t 0-=｛以Vo 为正方向，a 与Vo 同向(加速)a>0；反向则a<0｝ 8.实验用推论：2aT s =?｛Δs 为连续相邻相等时间(T)内位移之差｝ 9.主要物理量及单位:初速度(Vo):m/s ；加速度(a):m/s2；末速度(Vt):m/s ；时间(t)秒(s)；位移(s):米（m ）；路程:米；速度单位换算：1m/s=3.6km/h 。 注： (1)平均速度是矢量; (2)物体速度大,加速度不一定大; (3) t v v a t 0-=只是量度式，不是决定式; (4)其它相关内容：质点、位移和路程、参考系、时间与时刻〔见第一册P19〕/s--t 图、v--t 图/速度与速率、瞬时速度〔见第一册P24〕。 2)自由落体运动 1.初速度V 0＝0 2.末速度V t ＝gt 3.下落高度:22 1gt h =（从Vo 位置向下计算） 4.推论：gh v t 22= 注: (1)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，遵循匀变速直线运动规律； (2)a ＝g ＝9.8m/s 2≈10m/s 2（重力加速度在赤道附近较小,在高山处比平地小，方向竖直向下）。 （3)竖直上抛运动
梅涅劳斯定理和塞瓦定理.讲义学生版
知识点 A 要求 B 要求 Ｃ要求 比例及定理 熟知定理内容 掌握平行线分线段成比例定理的内容以及其推论，同时会运用定理解决问题 会运用定理及其推论的内容来解 决相似的问题 一、比例的基本性质 1),a c ad bc b d =?=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2)a c b d b d a c =?=(反比定理); 3)a c a b b d c d =?=(或d c b a =)(更比定理); 4)a c a b c d b d b d ++=?= (合比定理); 5)a c a b c d b d b d --=?= (分比定理); 6)a c a b c d b d a b c d ++=?= --(合分比定理); 7) (0)a c m a c m a b d n b d n b d n b ++???+==???=++???+≠?=++???+(等比定理). 二、平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则 AB DE AC DF =，BC EF AC DF =， AB AC DE DF = . l 3 l 2l 1F E D C B A 2. 平行线分线段成比例定理的推论： 如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则 A D A E D E A B A C B C ==，反之如果有 AD AE DE AB AC BC == ，那么DE ∥BC 知识点睛 中考要求 梅涅劳斯定理和塞瓦定理
A B C D E E D C B A 三、梅涅劳斯定理 梅内劳斯（Menelaus ，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家．梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理． 梅涅劳斯定理：X 、Y 、Z 分别是△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上的点．则X 、Y 、Z 共线 的充分必要条件是： 1CX BZ AY XB ZA YC ??=． 根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或X 、Y 、Z 三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或X 、Y 、Z 三点分别都在三角形三边的延长线上． Z Y c a b X C B A c a b Y Z X A C B 证明：（1）必要性，即若X 、Y 、Z 三点共线，则 1CX BZ AY XB ZA YC ??=． 设A 、B 、C 到直线XYZ 的距离分别为a 、b 、c ．则 CX c XB b =，BZ b ZA a =、AY a YC c =，三式相乘即得1CX BZ AY c b a XB ZA YC b a c ??=??= （2）充分性，即若 1CX BZ AY XB ZA YC ??=，则X 、Y 、Z 三点共线． 设直线XZ 交AC 于Y '，由已证必要性得：1CX BZ AY XB ZA Y C ' ??=' 又因为1CX BZ AY XB ZA YC ??=，所以AY AY Y C YC '= '． 因为Y '和Y 或同在AC 线段上，或同在AC 边的延长线上，并且能分得比值相等，所以Y '和Y 比重合为一点，也就是X 、Y 、Z 三点共线． 梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在CX XB 、BZ ZA 、AY YC 三个比中，已知其中两个可以求得第三个．二是证明三点共线． 四、塞瓦定理 连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线．塞瓦（G ·Gevo1647-1734） 是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理． 塞瓦定理：从ABC △的每个顶点出发作一条塞瓦线AX BY CZ ，， ．则A X B Y CZ ，，共点的充分必要
高中数学课本中的定理公式结论的证明
数学课本中的定理、公式、结论的证明 数学必修一 第一章 集合（无） 第二章 函数（无） 第三章 指数函数和对数函数 1．对数的运算性质： 如果 a > 0 ， a 1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log -log a a a M M N N =； （3）log log ()n a a M n M n R =∈． 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质 证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴p q p q MN a a a +=?=， ∴log ()a MN =p q +， 即证得log log log a a a MN M N =+． 证明：（性质2）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴ q p q p a a a N M -==， ∴q p N M a -=log ， 即证得log log -log a a a M M N N =． 证明（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 p M a =， ∴n np M a =， ∴log n a M np =， 即证得log log n a a M n M =．
第四章函数应用（无） 数学必修二 第一章立体几何初步 直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明． 1、直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行． 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
高中物理公式定理定律
高中物理公式定理定律 一、质点的运动（1）------直线运动 1）匀变速直线运动 1.平均速度V平＝s/t（定义式） 2.有用推论Vt2-Vo2＝2as 3.中间时刻速度Vt/2＝V平＝(Vt+Vo)/2 4.末速度Vt＝Vo+at 5.中间位置速度Vs/2＝[(Vo2+Vt2)/2]1/2 6.位移s＝V平t＝Vot+at2/2＝Vt/2t 7.加速度a＝(Vt-Vo)/t ｛以Vo为正方向，a与Vo同向(加速)a>0；反向则a<0｝ 8.实验用推论Δs＝aT2 ｛Δs为连续相邻相等时间(T)内位移之差｝ 9.主要物理量及单位:初速度(Vo):m/s；加速度(a):m/s2；末速度(Vt):m/s；时间(t)秒(s)；位移(s):米（m）；路程:米；速度单位换算：1m/s=3.6km/h。 注： (1)平均速度是矢量; (2)物体速度大,加速度不一定大; (3)a=(Vt-Vo)/t只是量度式，不是决定式; (4)其它相关内容：质点、位移和路程、参考系、时间与时刻〔见第一册P19〕/s--t图、v--t 图/速度与速率、瞬时速度〔见第一册P24〕。 2)自由落体运动 1.初速度Vo＝0 2.末速度Vt＝gt 3.下落高度h＝gt2/2（从Vo位置向下计算） 4.推论Vt2＝2gh 注: (1)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，遵循匀变速直线运动规律； (2)a＝g＝9.8m/s2≈10m/s2（重力加速度在赤道附近较小,在高山处比平地小，方向竖直向下）。 （3)竖直上抛运动 1.位移s＝Vot-gt2/2 2.末速度Vt＝Vo-gt （g=9.8m/s2≈10m/s2） 3.有用推论Vt2-Vo2＝-2gs 4.上升最大高度Hm＝Vo2/2g(抛出点算起） 5.往返时间t＝2Vo/g （从抛出落回原位置的时间） 注: (1)全过程处理:是匀减速直线运动，以向上为正方向，加速度取负值； (2)分段处理：向上为匀减速直线运动，向下为自由落体运动，具有对称性； (3)上升与下落过程具有对称性,如在同点速度等值反向等。 二、质点的运动（2）----曲线运动、万有引力 1)平抛运动 1.水平方向速度：Vx＝Vo 2.竖直方向速度：Vy＝gt 3.水平方向位移：x＝Vot 4.竖直方向位移：y＝gt2/2 5.运动时间t＝(2y/g）1/2(通常又表示为(2h/g)1/2) 6.合速度Vt＝(Vx2+Vy2)1/2＝[Vo2+(gt)2]1/2 合速度方向与水平夹角β:tgβ＝Vy/Vx＝gt/V0
电磁感应解题技巧及练习
基础回顾 （一）法拉弟电磁感应定律 1、内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比 E ＝n ΔΦ/Δt （普适公式） 当导体切割磁感线运动时，其感应电动势计算公式为E ＝BLVsin α 2、E ＝n ΔΦ/Δt 与E ＝BLVsin α的选用 ①E ＝n ΔΦ/Δt 计算的是Δt 时间内的平均电动势，一般有两种特殊求法 ΔΦ/Δt=B ΔS/Δt 即B 不变 ΔΦ/Δt=S ΔB/Δt 即S 不变 ② E ＝BLVsin α可计算平均动势，也可计算瞬时电动势。 ③直导线在磁场中转动时，导体上各点速度不一样，可用 V 平=ω（R 1+R 2）/2代入也可用E ＝n ΔΦ/Δt 间接求得出 E ＝BL 2 ω/2（L 为导体长度， ω为角速度。） （二）电磁感应的综合问题 一般思路：先电后力即：先作“源”的分析--------找出电路中由电磁感应所产生的电源，求出电源参数E 和r 。再进行“路”的分析-------分析电路结构，弄清串、并联关系，求出相应部分的电流大小，以便安培力的求解。然后进行“力”的分析--------要分析力学研究对象（ 如金属杆、导体线圈等）的受力情况尤其注意其所受的安培力。按着进行“运动”状态的分析---------根据力和运动的关系，判断出正确的运动模型。最后是“能量”的分析-------寻找电磁感应过程和力学研究对象的运动过程中能量转化和守恒的关系。 【常见题型分析】 题型一 楞次定律、右手定则的简单应用 例题（2006、广东）如图所示，用一根长为L 、质量不计的细杆与一个上弧长为L 0 、下弧长为d 0 的金属线框的中点连接并悬挂于o 点，悬点正下方存在一个弧长为2 L 0、下弧长为2 d 0、方向垂直纸面向里的匀强磁场，且d 0 远小于L 先将线框拉开到图示位置，松手后让线框进入磁场，忽略空气阻力和摩擦，下列说法中正确的是 A 、金属线框进入磁场时感应电流的方向为a →b →c →d → B 、金属线框离开磁场时感应电流的方向a →d →c →b → C 、金属线框d c 边进入磁场与ab 边离开磁场的速度大小总是相等 D 、金属线框最终将在磁场内做简谐运动。 题型二 法拉第电磁感应定律的简单应用 例题（2000、上海卷）如图所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef ，处在坚直向下的匀强磁场中，金属棒ab 搁在框架上，可无摩擦滑动，此时abcd 构成一个边长为Ｌ的正方形，棒的电阻力为r ，其余部分电阻不计，开始时磁感强度为B 。 （1）若从t=0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为K ，同时保持棒静止，求棒中的感应电流，在图上标出感应电流的方向。 （2）在（1）情况中，始终保持棒静止，当t=t 1 秒未时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？ （3）若从t=0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以速度v 向右做匀速运动时，若使棒中不产生感应电流，则磁感强度怎样随时间变化（写出B 与t 的关系式）？ d a c B 0 e b f
相似原理与相似三定理
第一章相似理论
问题： 如何进行实验？测量那些参数？ 现代的空气动力学实验，通常都是在各式各样的风洞中进行模型实验，以取得原型流场(如飞机在大气中飞行)的空气动力数据。要做到这一点须解决两个重要的问题： 1.在模型实验前和实验中，如何使绕流模型的流场模拟 原型流场？ 2.在模型实验后，如何将模型实验的数据正确地转换为 原型流场的数据？ 解决这两个问题的理论基础是相似理论。在本章中，阐述相似理论的基本内容，并介绍导出相似准则的量纲分析法，不能完全模拟应该模拟的相似准则又该怎么办？
空气动力学实验的理论基础——相似理论 1-1相似和相似定理 (一)相似的基本概念 1.几何相似以三角形为例，彼此相似的三角形。 L1 L2L3 L1ˊ L2ˊ L3ˊ L C L L L L L L = ' = ' = ' 3 3 2 2 1 1
——通过不同的相似常数来变换相似图像的大小，称为相似变换。 2.物理现象的相似 物理现象(过程)的相似是以几何相似为前提的，并且是几何相似概念的扩展。 A）两个属于同一类的物理现象，如果在空间、时间对应点上所有表征现象的对应的物理量都保持各自的固定的比例关系(如果是矢量还包括方向相同)，则两个物理现象相似。B）两个流场的空间、时间对应点上所有表征流场的对应的物理量都保持各自的固定的比例关系(如果是矢量还包括方向相同)，则两个流场相似。
(1) 几何相似 (2) 运动相似 (3) 动力相似 (4)热相似 (5)质量相似 L C L L = ' V C V V = ' F C F F = ' T C T T = ' ρρ ρ C = '
第二章 塞瓦定理及应用
第二章 塞瓦定理及应用 【基础知识】 塞瓦定理 设A '，B '，C '分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若AA '，BB '，CC ' 三线平行或共点，则1BA CB AC A C B A C B ''' ??='''． ① 证明 如图2-1（b ）、（c ），若AA '，BB '，CC '交于一点P ，则过A 作BC 的平行线，分别交BB '， CC '的延长线于D ，E ，得,CB BC AC EA B A AD C B BC ''== ''． A′ B' C ' A B C P P C B A A′ B' C ' D E C B A A′ B' C ' D E (c) (b)(a) 图2-1 又由 BA A P A C AD PA EA '''==，有BA AD A C EA '= '． 从而1BA CB AC AD BC EA A C B A C B EA AD BC '''??=??='''． 若AA '，BB '，CC '三线平行，可类似证明（略）． 注 （1）对于图2-1（b ）、（c ）也有如下面积证法： 由：1PAB PBC PCA PCA PAB PBC S S S BA CB AC A C B A C B S S S '''??=??='''△△△△△△，即证． （2）点P 常称为塞瓦点． （3）共点情形的塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证． 首先，由梅涅劳斯定理推证共点情形的塞瓦定理． 如图2-1（b ）、（c ），分别对△ABA '及截线C PC '，对△AA C '及截线B PB '应用梅涅劳斯定理有 1BC A P AC CA PA C B ''??=''，1A B CB AP BC B A PA ''??=''． 上述两式相乘，得1BA CB AC A C B A C B ''' ??='''． 其次，由共点情形的塞瓦定理推证梅涅劳斯定理． 如图2-2，设A '，B '，C '分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，且A '，B '，C '三点共线．令直线BB '与CC '交于点X ，直线C C '与AA '交于点Y ，直线AA '与BB '交于点Z ．
传感器原理及应用复习(简答题)
一．简答题（40分） 1.传感器的基本概念及基本功能？ 传感器就是借助于检测元件（敏感元件）接受一定形式的信息，并按一定的规律将它转换成另一种信息的装置。它获取的信息，可以是各种物理量、化学量和生物量，而转化后的信息也有各种形式。目前，将传感器接收到的信息转化为电信号是最常用的一种形式（电信号包括电压，电流及频率信号） 基本功能：信息收集，信号数据的转换 2.传感器的基本组成并说出每部分的功能？ 传感器通常是由敏感元件，转换元件和调节转换电路三部分组成 其中敏感元件是指传感器中能够直接感受或响应被测量的部分；转换元件是指传感器中能够将敏感元件感受或响应的被测量转换成电信号的部分；调节转换电路是指将非适合电量进一步转换成适合电量的部分。 3.传感器的发展趋势？ 1新特性（努力实现传感器的新特性） 2可靠性（确保传感器的可靠性，延长其使用寿命） 3集成智能（体感传感器的集成化和智能化程度） 4微型（传感器微型化） 5仿生（发展仿生物传感器）
6新材料（新型功能材料开发） 7多融合（多传感器信息融合） 4.按被测量的不同传感器可以分为哪几类？ 1按感知外界信息基本效应不同分为物理传感器，化学传感器，和生物传感器等 2按被测量不同分为力学量/热量/液体成分/气体成分/真空/光/磁/离子/放射线传感器等 2按敏感材料不同分为金属/半导体/光纤/陶瓷/高分子材料/复合材料传感器等 3按工作原理不同分为应变式/电感式/电容式/压电式/磁电式/光电式/热电式/气敏/湿敏传感器等 5.传感器的特性及其概念？ 6.传感器的静态特性包括那几个重要指标？ 传感器的特性是指传感器的输入量和输出量之间的对应关系。通常分为 静态特性：输入不随时间变化而变化的特性（重要指标包括线性度、灵敏度、重复性、迟滞、零点漂移、温度漂移等） 动态特性：输入随时间变化而变化的特性（可从时域和频率方面即对应阶跃响应法和频率响应法方面分析） 7..电感式传感器的概念及每类传感器的基本概念？ 1应变式传感器：基于电阻应变片的应变效应（对半导体应变片而言为压阻效应）。 2电感式传感器：基于电磁感应原理，利用磁路磁阻变化引起传感器线圈的电感（自感系数或互感系数）变化来检测非电量的一种机电转换装置。常见有自感式，互感式，涡流式等。 3电容式传感器：可以把某些非电量的变化通过一个可变电容器转换成电容量变化的装置。常见有变极距型，变面积型，变介质型。 4压电式传感器：基于压电材料受力作用而变形时，其表面会有电荷产生，从而实现非电量测量原理。压电式传感器是典型的有源传感器，常见有单向力，双向力，三向力。 5磁电式传感器：利用电磁感应原理将运动速度转换成感应电动势输出的传感器。又称感应式或电动式
高中物理定理定律公式
高中物理定理、定律、公式表 一、质点的运动(1)------直线运动 1）匀变速直线运动 1.平均速度V平＝s/t（定义式） 2.有用推论V t2-V o2＝2as 3.中间时刻速度V t/2＝V平＝(V t+V o)/2 4.末速度V t＝V o+at 5.中间位置速度V s/2＝[(V o2+V t2)/2]1/2 6.位移s＝V平t＝V o t+at2/2＝V t/2t 7.加速度a＝(V t-V o)/t ｛以V o为正方向，a与V o同向(加速)a>0；反向则a<0｝ 8.实验用推论Δs＝aT2｛Δs为连续相邻相等时间(T)内位移之差｝ 9.主要物理量及单位:初速度(V o):m/s；加速度(a):m/s2；末速度(V t):m/s；时间(t)秒(s)；位移(s):米（m）；路程:米；速度单位换算：1m/s=3.6km/h。 注:①平均速度是矢量, ②物体速度大,加速度不一定大, ③a=(V t-V o)/t只是量度式,不是决定式, ④其它相关内容:质点、位移和路程、参考系、时间与时刻、s-t图、v--t图、速度与速率、瞬时速度。 2)自由落体运动 1.初速度V o＝0 a=g; 2.末速度V t＝gt 3.下落高度h＝gt2/2（从V o位置向下计算） 4.推论V t2＝2gh 注:①自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，遵循匀变速直线运动规律； ②a＝g＝9.8m/s2≈10m/s2（重力加速度在赤道附近较小,高山处比平地小,方向竖直向下）。 3)竖直上抛运动 1.位移s＝V o t-gt2/2 2.末速度V t＝V o-gt （g=9.8m/s2≈10m/s2） 3.有用推论V t2-V o2＝-2gs 4.上升最大高度H m＝V o2/2g(抛出点算起) 5.往返时间t＝2V o/g （从抛出落回原位置的时间） 注:①全过程处理:是匀减速直线运动，以向上为正方向，加速度取负值； ②分段处理：向上为匀减速直线运动，向下为自由落体运动，具有对称性； ③上升与下落过程具有对称性,如在同点速度等值反向等。 二、质点的运动（2）----曲线运动、万有引力 1)平抛运动 1.水平方向速度：V x＝V o 2.竖直方向速度：V y＝gt 3.水平方向位移：x＝V o t 4.竖直方向位移：y＝gt2/2 5.运动时间t＝(2y/g)1/2(通常又表示为(2h/g)1/2) 6.合速度V t＝(V x2+V y2)1/2＝[V o2+(gt)2]1/2 合速度方向与水平夹角β:tgβ＝V y/V x＝gt/V0＝2tgα； 7.合位移：s＝(x2+y2)1/2, 位移方向与水平夹角α:tgα＝y/x＝gt/2V o=tgβ/2 8.水平方向加速度：a x=0；竖直方向加速度：a y＝g 注①平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为g，通常可看作是水平方向的匀速直线运与竖直方向的自由落体运动的合成； ②运动时间由下落高度h(y)决定与水平抛出速度无关； ③θ与β的关系为tgβ＝2tgα； ④在平抛运动中时间t是解题关键； ⑤做曲线运动物体必有加速度，当速度方向与所受合力(加速度)方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。2）匀速圆周运动 1.线速度V＝s/t＝2πr/T 2.角速度ω＝Φ/t＝2π/T＝2πf 3.向心加速度a＝V2/r＝ω2r＝(2π/T)2r 4.向心力F心＝mV2/r＝mω2r＝m (2π/T)2r
各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆)
托勒密定理 定理图 定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组 对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式， 托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质. 定理的提出 一般几何教科书中的托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的 书中摘出。 证明 一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。) 在任意四边形ABCD 中，作△ ABE使/ BAE= / CAD / ABE= / ACD 因为△ ABE ACD 所以BE/CD=AB/AC, 即BE-AC=AB CD (1) 而/ BAC= / DAE ,，/ ACB= / ADE 所以△ ABC AED 相似. BC/ED=AC/AD 即ED- AC=BC AD (2) ⑴+⑵，得 AC(BE+ED)=AB CD+AD BC 又因为BE+EI> BD (仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即托勒密定理”) 所以命题得证 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、 BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式：(a -b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d)，两边取模，运用三角不等式得。等 号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、设ABCD是圆内接四边形。在弦BC上，圆周角/ BAC = / BDC，而在AB上， / ADB = / ACB。在AC 上取一点K，使得/ ABK = / CBD ; 因为/ ABK + / CBK = / ABC = / CBD + / ABD，