【人教A版】必修4高中数学同步辅导与检测题：第三章3.1-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式(含答案)

第三章 三角恒等变换

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

A 级 基础巩固

一、选择题

1．sin 15°sin 75° 的值为( )

A.12

B.32

C.14

D.34

解析：原式＝sin 15°cos 15°＝12(2sin 15°cos 15°)＝12sin 30°＝14 .

答案：C

2．已知sin α＝2

3，则cos (π－2α)＝( )

A ．－53

B ．－19 C.19 D.5

3

解析：因为sin α＝2

3

，

所以cos (π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2

α)＝－1＋2×? ??

??232

＝－

19

. 答案：B

3.1－sin 24°等于( ) A.2cos 12°

B ．2cos 12°

C ．cos 12°－sin 12°

D ．sin 12°－cos 12° 解析：

1－sin 24°＝

sin 2 12°－2sin 12°cos12°＋cos 212°＝

（sin 12°－cos 12°）2＝

|sin 12°－cos 12°|＝cos 12°－sin 12°. 答案：C

4．已知cos ? ????α＋π4＝1

4

，则sin 2α的值为( )

A.78 B ．－78 C.34 D ．－3

4

解析：因为cos ? ????α＋π4＝1

4

， 所以sin 2α＝－cos ? ????2α＋π2＝－cos ??????

2? ????α＋π4＝

1－2cos

2?

?

???α＋

π4＝1－116×2＝78

. 答案：A

5．若α∈? ??

??0，π2，且sin 2 α＋cos 2α＝1

4，则tan α的值等于( )

A.22

B.3

3 C. 2 D. 3 解析：因为sin 2 α＋cos 2α＝14，

所以sin 2 α＋cos 2 α－sin 2 α＝cos 2 α＝1

4

所以cos α＝±1

2

.

又α∈?

????0，π2， 所以cos α＝12，sin α＝3

2.所以tan α＝

3.

答案：D

二、填空题

6．(2016·四川卷)cos2π8－sin2π

8＝________．

解析：cos2π8－sin2π8＝cos π4＝2

2.

答案：

22

7．已知sin θ2＋cos θ2＝23

3，那么sin θ＝________，cos 2θ＝

________．

解析：因为sin θ2＋cos θ2＝23

3，

所以? ?

?

??sin θ2＋cos θ22＝43，

即1＋2sin θ2cos θ2＝4

3，所以sin θ＝13

，

所以cos 2θ＝1－2sin 2

θ＝1－2×? ??

??132＝7

9.

答案：13 7

9

8．已知sin ? ????π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于________． 解析：法一：因为sin ? ????π4－x ＝35，所以cos ? ????

π2－2x ＝ 1－2sin 2?

????π4－x ＝1－2×? ??

??352＝7

25，

所以 sin 2x ＝cos ? ????π2－2x ＝7

25

. 法二：由sin ? ????π4－x ＝35

，得22(sin x －cos x )＝－3

5，

所以sin x －cos x ＝－32

5，两边平方得

1－sin 2x ＝18

25，

所以sin 2x ＝7

25.

答案：

725

三、解答题 9．求证：

cos2α

1

tan

α

2

－tan

α2＝1

4sin 2α. 证明：法一：左边＝

cos2αcos α

2sin

α

2－

sin

α

2

cos

α

2

＝

cos2α

cos2α2－sin2

α

2sin α2cos α

2

＝cos2αsin α2cos

α2

cos2α2－sin2

α2

＝cos2αsin α2cos

α

2

cos α

＝sin α2cos α

2cos α＝12sin αcos α＝1

4sin 2α＝右边．

所以原式成立．

法二：左边＝cos2αtan α21－tan2α2＝12cos2α·2tan

α

2

1－tan2

α

2

＝

12cos2α·tan α＝12cos αsin α＝1

4sin 2α＝右边． 所以原式成立．

10．已知tan α＝17，tan β＝1

3，并且α、 β均为锐角，求α＋2

β的值．

解：因为tan β＝13，所以tan 2 β＝2tan β1－tan 2 β

＝2×

1

31－? ??

?

?132＝3

4，所以tan(α＋2 β )＝

tan α＋tan 2 β1－tan αtan 2 β＝17＋341－17×34＝1.

0＜tan α＝17＜1，0＜tan β＝1

3＜1，

又已知α， β均为锐角，

所以0＜α＜π4，0＜ β ＜π4，0＜2 β ＜π

2，

所以0＜α＋2 β ＜3π

4

.

又tan(α＋2 β )＝1，所以α＋2 β＝π

4

.

B 级 能力提升

1．函数y ＝1

2

sin 2x ＋sin 2 x ，x ∈R 的值域是( )

A.????

??－12，32 B.????

??

－32，12

C.??????－22＋12，22＋12

D.?

?????

－22－12，22－12

解析：y ＝1

2sin 2x ＋1－cos 2x 2

＝

22? ????22sin 2x －2

2cos 2x ＋12

＝ 22sin ? ?

???2x －π4＋12

. 因为x ∈R ，所以2x －π

4∈R ，sin ? ????2x －π4∈[－1，1]，

所以函数y 的值域是?

?????－22＋12，22＋12.

答案：C

2．已知等腰三角形底角的余弦值等于4

5，则这个三角形顶角的正

弦值为________．

解析：设此三角形的底角为α，顶角为 β，则cos α＝4

5，sin α＝

35

， 所以sin β＝sin (π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝ 2×35×45＝2425. 答案：

2425

3．已知sin x 2－2cos x

2＝0.

(1)求tan x 的值；

(2)求cos 2x

cos ?

??

??

5π4＋x sin （π＋x ）

的值．

解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x

2≠0，

所以tan x

2

＝2，

所以tan x ＝2tan

x 2

1－tan2

x 2＝2×21－22＝－4

3

.

(2)由(1)知，tan x ＝－4

3，

所以cos 2x

cos ?

??

??

5π4＋x sin （π＋x ）

＝

cos 2x

－cos ? ??

??π4＋x （－sin x ）

＝

cos2x －sin2x

? ??

??22cos x －2

2sin x sin x

＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）

2

2（cos x －sin x ）sin x

＝2×cos x ＋sin x

sin x

＝2×1＋tan x tan x ＝2

4.