2020高考数学专题10 概率与统计(解析版)

专题10 概率与统计

1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7

D ．0.8

【答案】C

【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．

【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．

2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差

D ．极差 【答案】A

【解析】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<

则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<

<<<<

()7

x x x x x '=<<

222111[()()()]9q S x x x x x x =

-+-++-L ，22222381

[()()()]7

s x x x x x x '=-'+-'++-'L ，由②易知，C 不正确；

④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是

X

a 1

P

13

13

13

则当a 在（0,1）内增大时， A ．()D X 增大

B ．()D X 减小

C ．()

D X 先增大后减小

D ．()D X 先减小后增大

【答案】D

【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查． 【解析】方法1：由分布列得1()3

a

E X +=， 则2222111111211

()(

0)()(1)()333333926

a a a D X a a +++=-?+-?+-?=-+， 则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．

方法2：则2222

21(1)222213

()()()0[()]3399924

a a a a D X E X E X a +-+=-=++-==-+，

则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．

【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式．

4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 【答案】

5

3

【解析】由题意，该组数据的平均数为

6788910

86

+++++=，

所以该组数据的方差是2

2

2

2

2

2

15[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]6

3

-+-+-+-+-+-=

． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】0.98

【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．

【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2?+?+?=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为

39.2

0.9840

=． 【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．

6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________． 【答案】0.18

【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．

【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是3

0.60.50.520.108,???=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是2

20.40.60.520.072,???=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=

【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 7．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：

记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【答案】（1）a =0.35，b =0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00． 【解析】（1）由已知得0.70=a +0.20+0.15，故a =0.35． b =1–0.05–0.15–0.70=0.10．

（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．

8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束． （1）求P （X =2）；

（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率． 【答案】（1）0.5；（2）0.1．

【解析】（1）X =2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束， 则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分． 因此P （X =2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．

（2）X =4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束， 且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．

9．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为2

3

．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．

（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率． 【答案】（1）分布列见解析，()2E X ；（2）

20243

．

【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．

【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为2

3

，故2~(3,)3

X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,33

3

k

k

k

P X k k -===．

所以，随机变量X 的分布列为

X

0 1 2 3

P

127 29 49 827

随机变量X 的数学期望()323

E X =?=．

（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ， 则2~(3,)3

Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====U ． 由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，

且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立， 从而由（1）知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y =====U

(3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+== (3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==

824120279927243

=

?+?=． 10．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为

主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额（元）

支付方式

（0，1000]

（1000，2000]

大于2000

仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B

10人

14人

1人

（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；

（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于

1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；

（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．

【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．

【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．

故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100?30?25?5=40人．

所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为40

0.4100

=． （2）X 的所有可能值为0，1，2．

记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”． 由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141

()0.4,()0.63025

P C P D ++=

===． 所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，

(1)()P X P CD CD ==U ()()()()P C P D P C P D =+ 0.4(10.6)(10.4)0.6=?-+-?

0.52=，

(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====．

所以X 的分布列为

X 0 1 2 P

0.24

0.52

0.24

故X 的数学期望()00.2410.5220.241E X =?+?+?=．

（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”． 假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化， 则由上个月的样本数据得330

11()C 4060P E =

=．

答案示例1：可以认为有变化． 理由如下：

P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．

一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下： 事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生， 但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．

11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为

此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =L ，其中

(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．

(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =L 为等比数列； (ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性． 【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii) 45 1

27

p =，解释见解析． 【解析】X 的所有可能取值为1,0,1-．

(1)(1)P X αβ=-=-，

(0)(1)(1)P X αβαβ==+--， (1)(1)P X αβ==-，

所以X 的分布列为

X

1- 0 1

P

(1)αβ-

(1)(1)αβαβ+-- (1)αβ-

（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===．

因此110.40.5 0.1i i i i p p p p -+=++，故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-， 即114()i i i i p p p p +--=-． 又因为1010p p p -=≠，

所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=L 为公比为4，首项为1p 的等比数列． （ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+L

877610()()()p p p p p p =-+-++-L

81413

p -=．

由于8=1p ，故183

41

p =

-， 所以44433221101( 411

()327)(5())p p p p p p p p p p -=-+-+-+=

-=． 4p 表示最终认为甲药更有效的概率，

由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时， 认为甲药更有效的概率为41

0.0039257

p =

≈， 此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．

12．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考】在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布

2(1,)(0)N σσ>，若(01)0.4P ξ<<=，则(02)P ξ<<=

A ．0.4

B ．0.8

C ．0.6

D ．0.2

【答案】B

【解析】由正态分布的图象和性质得(02)2(01)20.40.8P P ξξ<<=<<=?=．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查正态分布的图象和性质，考查正态分布指定区间的概率的求法，意在考查

学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．

13．【河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙

所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为

A ．100，10

B ．100，20

C ．200，10

D ．200，20

【答案】D

【解析】由题得样本容量为(350020004500)2%100002%200++?=?=， 抽取的高中生人数为20002%40?=人，则近视人数为400.520?=人，故选D ．

14．【陕西省2019届高三年级第三次联考】同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的

次数为X ，则X 的数学期望是 A ．1

B ．2

C ．

3

2

D ．

52

【答案】A

【分析】先计算依次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率，进而利用二项分布求数学期望即可．

【解析】∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为111224

?=， ∴1~(4,)4X B ，∴1

()414

E X =?

=．故选A ． 【名师点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望．如果离散型随机变量服从二项分布~(,)B n p ，也可以直接利用公式()E np ξ=求数学期望．

15．【江西省新八校2019届高三第二次联考】某学校高一年级1802人，高二年级1600人，高三年级1499

人，先采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为 A ．35,33,30

B ．36,32,30

C ．36,33,29

D ．35,32,31

【答案】B

【分析】先将各年级人数凑整，从而可确定抽样比；再根据抽样比计算得到各年级抽取人数． 【解析】先将每个年级的人数凑整，得高一：1800人，高二：1600人，高三：1500人，

则三个年级的总人数所占比例分别为

1849，1649，1549， 因此，各年级抽取人数分别为18983649?=，16983249?=，15983049

?=，故选B ． 16．【浙江省三校2019年5月第二次联考】已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3

个白球，现从甲、乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则

()E ξ=

A ．14

5 B ．

135 C ．73

D ．83

【答案】A

【分析】先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122()i i E p p p ξξξξ=++++L L 可求得数学期望．

【解析】ξ的可能取值为2,3,4，2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故

339

(2)5525

P ξ==?=；3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白

球，故322312

(3)555525P ξ==?+?=；4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红

球，故224(4)5525P ξ==?=，所以912414

()2342525255

E ξ=?

+?+?=．故选A ． 17．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检】已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现

发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =< B ．270,75x s => C ．270,75x s ><

D ．270,75x s ><

【答案】A

【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2

,x s 的值，即可得到答案．

【解析】由题意，可得705080607090

7050

x ?+-+-=

=，

设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x L ， 则2222212481

75[(70)(70)(70)(6070)(9070)]50

x x x =

-+-++-+-+-L 22212481

[(70)(70)(70)500]50x x x =

-+-++-+L ， 22222212481

[(70)(70)(70)(8070)(7070)]50s x x x =-+-++-+-+-L

22212481

[(70)(70)(70)100]7550

x x x =-+-++-+

【名师点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题．

18．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷)】在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩

统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是

A ．成绩在[70,80]分的考生人数最多

B ．不及格的考生人数为1000人

C ．考生竞赛成绩的平均分约70.5分

D ．考生竞赛成绩的中位数为75分

【答案】D

【解析】由频率分布直方图可得，成绩在[70,80]的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为40000.251000?=，故B 正确；由频率分布直方图可得：平均分等于450.1550.15650.2750.3850.15?+?+?+?+?+

950.170.5?=，故C 正确；因为成绩在[40,70)的频率为0.45，由[70,80]的频率为0.3，所以中位

数为0.05

701071.670.3

+?

≈，故D 错误．故选D ． 19．【天津市南开中学2019届高三模拟试题】《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化

基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：

分组（年龄） [7,20) [20,40) [40,80)

频数（人）

18 54 36

（1）用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；

（2）在（1）中抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率． 【答案】（1）1，3，2；（2）

4

15

． 【分析】（1）先求出样本容量与总体个数的比，由此利用分层抽样的方法能求出从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；（2）从分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，这三个不同年龄组[7，20），[20，40），[40，80）中分别抽取的挑战者的人数分别为1，3，2．从抽出的6人中，任选

2人参加一对一的对抗比赛，基本事件总数2

6C 15n ==，这2人来自同一年龄组包含的基本事件个数为22

32C C 4m =+=，由此能求出这2人来自同一年龄组的概率．

【解析】（1）∵样本容量与总体个数的比是

61

10818

=， ∴样本中包含3个年龄段落的个体数分别是：

年龄在[7，20）的人数为

6

108?18＝1， 年龄在[20，40）的人数为6

108?54＝3， 年龄在[40，80）的人数为6

108

?36＝2， ∴从这三个不同年龄组[7，20），[20，40），[40，80）中分别抽取的挑战者的人数分别为1，3，2． （2）从分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，

这三个不同年龄组[7，20），[20，40），[40，80）中分别抽取的挑战者的人数分别为1，3，2．

从抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，基本事件总数为2

6C 15n ==，

这2人来自同一年龄组包含的基本事件个数为22

32C C 4m =+=，

∴这2人来自同一年龄组的概率415

m P n =

=． 20．【2019北京市通州区三模】为调查某公司五类机器的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数

据，公司规定同一类机器销售价格相同，经分类整理得到下表：

机器类型 第一类

第二类

第三类

第四类

第五类

销售总额（万元） 100 50 200 200 120 销售量（台） 5

2

10

5

8

利润率

0.4 0.2 0.15 0.25

0.2

利润率是指：一台机器销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值． （1）从该公司本月卖出的机器中随机选一台，求这台机器利润率高于0.2的概率；

（2）从该公司本月卖出的销售单价为20万元的机器中随机选取2台，求这两台机器的利润率不同的概率；

（3）假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利1x 万元，销售一台第二类机器获利2x 万元，…，销售一台第五类机器获利5x ，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为()E x ，设

12345

5x x x x x x ++++=

，试判断()E x 与x 的大小．（结论不要求证明）

【答案】（1）13；（2）10

21；（3）()E x x <．

【分析】（1）先由题意确定，本月卖出机器的总数，再确定利润率高于0.2的机器总数，即可得出结果；（2）先由题意确定，销售单价为20万元的机器分别：是第一类有5台，第三类有10台，共有15台，

记两台机器的利润率不同为事件B ，由11

510

2

15

C C ()C P B =即可结果；（3）先由题意确定，x 可能取的值，求出对应概率，进而可得出()E x ，再由12345

5

x x x x x x ++++=

求出均值，比较大小，即可得出结果．

【解析】（1）由题意知，本月共卖出30台机器， 利润率高于0.2的是第一类和第四类，共有10台． 设“这台机器利润率高于0.2”为事件A ，则101

()303

P A =

=． （2）用销售总额除以销售量得到机器的销售单价，可知第一类与第三类的机器销售单价为20万，

第一类有5台，第三类有10台，共有15台，随机选取2台有2

15C 种不同方法， 两台机器的利润率不同则每类各取一台有1

1

510C C 种不同方法，

设两台机器的利润率不同为事件B ，则11510

2

15C C 10()C 21

P B ==． （3）由题意可得，x 可能取的值为8,5,3,10

51(8)306P x ==

=，21

(5)3015P x ===， 1083(3)305P x +===，51

(10)306P x ===，

因此113177

853*******(55)E x =?+?+?+?=；

又85310329

55x ++++==，所以()E x x <．

21．【江西省新八校2019届高三第二次联考】某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品

果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：

等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数

10

30

40

20

（1）若将频率是为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）

（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考， 方案1：不分类卖出，单价为20元/kg ． 方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：

等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 售价(元/kg ）

16

18

22

24

从采购单的角度考虑，应该采用哪种方案？

（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X 表示抽取的是精品果的数量，求X 的分布列及数学期望()E X ． 【答案】（1）

96625；（2）第一种方案；（3）分布列见解析，6

()5

E X =．

【分析】（1）计算出从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案2单价的数学期望，与方案1的单价进行比较，选择单价较低的方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的10个水果中，精品果4个，非精品果6个；则X 服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个X 取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果．

【解析】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A ，则201

()1005

P A ==， 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X ，则1~(4,)5

X B ， 所以恰好抽到2个礼品果的概率为2

2

2

44196(2)C ()()5

5

625

P X ===， （2）设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为

134216548848()1618222420.61010101010

E ξ+++=?

+?+?+?==， 因为()20E ξ>，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案．

（3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个， 现从中抽取3个，则精品果的数量X 服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3，

则36

310C 1(0)C 6P X ===；21

643

10C C 1(1)C 2P X ===； 1264

310C C 3(2)C 10P X ===；34310C 1(3)C 30

P X ===，

所以X 的分布列如下：

X

1

2

3

P

16

1

2

310

130

所以()01236210305

E X =?

+?+?+?= 【名师点睛】本题考查二项分布求解概率、数学期望的实际应用、超几何分布的分布列与数学期望的求解问题，关键是能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求解出概率．