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图乘法

1.2.3图乘法

图乘法

图乘法是关于的简化计算方法。在一定的应用条件下,图乘法可给出该积分的数值解,而且是精确解。

(一)图乘法的适用条件

图乘法

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(1)杆件为直杆;(2)EI为常数(等截面);(3)和图中至少应有一个直线图形。

对于等截面直杆所构成的梁和刚架,都能同时满足以上三个条件,因而均可采用弯矩图图乘的方法,简称图乘法。

(二)图乘法计算位移的公式

图乘法

(1-15)

图乘法

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式中为、图中某一图形的面积;为与该截面形心对应的另一

个图形的竖标。这样,就将较为复杂的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距等几何运算问题。

(三)几种常见图形的面积的形心位置

在图1-15中,给出了位移计算中几种常见图形的面积公式和形心

位置。

图乘法

图1-15

【注意】在所示的各次抛物线图形中,抛物线“顶点”处的切线都是与基线平行的。这种图形可称为抛物线标准图形。应用图中有关公式时,应注意这个特点。

(四)图乘法计算位移必须注意的几个问题

图乘法

(1)必须取自直线图形。

图乘法

(2)与若在杆件同侧时,其乘积取正号;反之,取负号。

(3)如果两个图形都是直线图形,则可取自其中任何一个图形。

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(4)如果图是曲线图形,图是折线图形,则应分段互乘,最后叠加。

(5)如果图形比较复杂(由不同类型的多个荷载作用绘出),其

面积和形心位置不便确定时,则可利用“区段叠加法”的逆运算,将其分解为几个简单的标准图形,并将它们分别与另一个图形图乘,最后叠加。

(6)如果杆件EI分段变化时,可分段图乘,最后叠加。

(7)如果EI沿杆长连续变化或是曲杆和拱结构,则必须用积分计算位移。

(五)图乘法的计算步骤

(1)绘实际荷载作用下的图;

图乘法

(2)根据所求位移,加相应单位力,绘图;

(3)代入式(1-15)求位移:

图乘法

【注意】根据计算结果的正负号,判定位移的实际方向,并在计算值之后所加的圆括号中,标明其实际方向。