新人教A版必修4高中数学第二章平面向量周练(三)

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高中数学《第二章 平面向量》周练3 新人教A 版必修4

(时间：80分钟 满分：100分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．已知|a |＝12，|b |＝4，且a 与b 的夹角为π

3，则a 2b 的

值是( )．

A ．1 B.±1 C ．2 D.±2 解析 a 2b ＝|a |2|b |2cos π3＝123431

2＝1.

答案 A

2．已知|a |＝|b |＝2，a 2b ＝2，则|a －b |＝( )． A ．1 B. 3 C ．2 D.3或2 解析 |a －b |＝|a －b |2＝

a －b

2

＝a 2－2a 2b ＋b 2＝22－232＋22＝4＝2. 答案 C

3．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )． A.π

6 B.π4 C.π3

D.π2

解析 a 2b ＝3＋2＝5，|a |＝10，|b |＝5，设夹角为

2

θ，

则cos θ＝a 2b |a ||b |＝55310＝2

2

.又θ∈[0，π]，∴

θ＝π

4.

答案 B

4．(20122泉州测试)在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →

＝(2,3)，则k 的值是

( )．

A ．5 B.－5 C.32

D.－32

解析 ∵∠C ＝90°，∴CB →2AC →＝0，∴(AB →－AC →)2AC →

＝0，即(k －2，－2)2(2,3)＝0，解得k ＝5.故选A. 答案 A

3

6．已知|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，如果(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为

( )．

A.3223

B.2342

C.2942

D.4223

解析 (3a ＋5b )2(m a －b )＝0，即3m a 2＋(5m －3)a 2b －5b 2＝0?3m 232＋(5m －3)2332cos 60°－5322＝0，解之得m ＝29

42.

答案 C

7．(20122烟台高一检测)若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为

4

( )．

A.

655

B.65

C.135

D.13

解析 设a 与b 的夹角为θ，

则cos θ＝a 2b |a ||b |＝－432＋3374＋9316＋49＝5

5

，

∴a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13355＝65

5.

答案 A

8．两个大小相等的共点力F 1、F 2，当它们间的夹角为90°时合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )． A ．40 N B.10 2 N C ．20 2 N

D.10 3 N

解析 由题意，知|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ，当其夹角为120°时，利用平行四边形法则可构造一个菱形，其合力大小等于10 2 N. 答案 B

二、填空题(每小题5分，共20分)

5

9．设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝________.

解析 ∵m ⊥b ，∴m 2b ＝0. 即2x －y ＝0. 又|m |2＝x 2＋y 2＝1， 解得???

??

x ＝5

5，y ＝255

或???

??

x ＝－5

5，y ＝－25

5.

∴|x ＋2y |＝ 5. 答案

5

10．一个重20 N 的物体从倾斜角30°，斜面长1 m 的光滑斜

面顶端下滑到底端，则重力做的功是________． 解析 由力的正交分解知识可知沿斜面下滑的分力大小 |F |＝1

2320 N＝10 N ，

∴W ＝|F |2|s |＝10 J. 或由斜面高为1

2

m ，

W ＝|G |2h ＝2031

2

J ＝10 J.

数学必修4_第二章_平面向量知识点word版本

数学必修4第二章 平面向量知识点 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量。 2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a uu r r 的模分别记作|AB u u u r |和||a r 。 注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量 (1)零向量：长度为0的向量，记为0r ，其方向是任意的，0r 与任意向量平行， 零向量a ＝0r ｜a ｜＝0。由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） (2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量0||1a u u r 。将一个 向量除以它的模即得到单位向量，如a r 的单位向量为： ||a a e a r r r (3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b 。 规定：0r 与任何向量平等， 任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 （4）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a r 。 关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②)(a =a ； ③ ()0a a v v v ； ④若a 、b 是互为相反向量，则 a = b ,b =a ,a +b =0 。

高一数学必修4第二章测试题

平面向量单元测试题 一、选择题（每小题5分，共50分） 1．化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r 得（ ） A ．A B u u u r B ．DA C ．BC D ．0r 2．如图，四边形ABCD 中，AB →＝DC →，则相等的向量是（ ） A. AD →与CB → B. OB →与OD → C. AC →与BD → D. AO →与OC → 3．某人先位移向量a r ：“向东走5 km ”，接着再位移向量b r ：“向西走3 km ”，则a b +r r 表示( ) A ．向东走2 km B ．向西走2 km C ．向东走8 km D ．向西走8 km 4．如果△ABC 的顶点坐标分别是A (4,6), (2,1)B -,(4,1)C -,则重心的坐标是 ( ) A.(2,1) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,4) 5．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BC →＝( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(3,7) D ．(－3，－7) 6．下列向量组中能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（ ） A.1e r =（0，0），2e u u r =（1，－2） B. 1e r =（－1，2），2e u u r =（5，7） C. 1e r =（3，5），2e u u r =（6，10） D. 1e r =（2，－3），2e u u r =（21，－4 3） 7． O 是ΔABC 所在的平面内的一点，且满足（OB -OC ）·（OB +OC -2OA ）=0，则ΔABC 的形 状一定为（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．斜三角形 8．已知12,5||,3||=?==b a b a 且，则向量a 在向量b 上的投影为（ ） A ． 512 B ．3 C ．4 D ．5

高中数学必修4知识点总结：第二章 平面向量

高中数学必修４知识点总结 第二章平面向量 １６、向量:既有大小，又有方向得量、数量:只有大小,没有方向得量、 有向线段得三要素:起点、方向、长度、零向量：长度为得向量、 单位向量:长度等于个单位得向量、 平行向量（共线向量):方向相同或相反得非零向量、零向量与任一向量平行、 相等向量:长度相等且方向相同得向量、 1７、向量加法运算： ⑴三角形法则得特点:首尾相连、 ⑵平行四边形法则得特点：共起点、 ⑶三角形不等式:、 ⑷运算性质：①交换律:; ②结合律:;③、 ⑸坐标运算:设,，则、 １８、向量减法运算： ⑴三角形法则得特点:共起点,连终点，方向指向被减向量、 ⑵坐标运算:设,,则、 设、两点得坐标分别为,,则、 19、向量数乘运算: ⑴实数与向量得积就就是一个向量得运算叫做向量得数乘,记作、 ①; ②当时,得方向与得方向相同;当时,得方向与得方向相反;当时，、 ⑵运算律：①;②；③、 ⑶坐标运算:设,则、 ２0、向量共线定理:向量与共线，当且仅当有唯一一个实数,使、 设,，其中，则当且仅当时,向量、共线、 21、平面向量基本定理:如果、就就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任意向量,有且只有一对实数、,使、(不共线得向量、作为这一平面内所有向量得一组基底) 22、分点坐标公式:设点就就是线段上得一点,、得坐标分别就就是,,当时,点得坐标就就是、(当 23、平面向量得数量积: ⑴、零向量与任一向量得数量积为、 ⑵性质:设与都就就是非零向量,则①、②当与同向时，;当与反向时,；或、③、 ⑶运算律：①;②;③、 ⑷坐标运算:设两个非零向量,，则、 若，则,或、设,，则、 设、都就就是非零向量,,,就就是与得夹角，则、 第三章三角恒等变换 24、两角与与差得正弦、余弦与正切公式: ⑴;⑵; ⑶;⑷； ⑸（); ⑹()、 25、二倍角得正弦、余弦与正切公式:

高中数学必修4知识点总结：第二章 平面向量

高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ； ②结合律：()() a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1 212 ,x x y y A B=-- ． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠ 共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B

高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案

一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。 A、B、C、D、 3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得 向量为（）。 A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形 5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。 A、B、C、D、 6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。 A、B、 C、D、 7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心 8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题： (1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b|(3)| +b|2=( +b)2 (4)(b) -(a)b与不一定垂直。其中真命题的个数是（）。 A、1 B、2 C、3 D、4

9．在ΔABC中，A=60°，b=1，，则 等于（）。 A、B、C、D、 10．设、b不共线，则关于x的方程x2+b x+ =0的解的情况是（）。 A、至少有一个实数解 B、至多只有一个实数解 C、至多有两个实数解 D、可能有无数个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）. 2，则 =_________ 11．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=2 12．已知ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，则用a，b表示AB为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。 14．如果向量与b的夹角为θ，那么我们称×b为向量与b的“向 量积”，×b是一个向量，它的长度| ×b|=| ||b|sinθ，如果| |=3, |b|=2, ·b=-2，则| ×b|=______。 三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量= , 求向量b，使|b|=2| |，并且与b的夹角为 。（10分） 16、已知平面上3个向量、b、的模均为1，它们相互之间的夹角均

人教版高中数学必修4课后习题答案详解

第二章平面向量 2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77） 1、略. 2、，. 这两个向量的长度相等，但它们不等. 3、，，，. 4、（1）它们的终点相同；（2）它们的终点不同. 习题2.1 A组（P77） 1、（2）. 3、与相等的向量有：；与相等的向量有：； 与相等的向量有：. 4、与相等的向量有：；与相等的向量有：； 与相等的向量有： 5、. 6、（1）×；（2）√；（3）√；（4）×. 习题2.1 B组（P78） 1、海拔和高度都不是向量. 2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与同向的共有6对，与反向的也有6对；与同向的共有3对，与反向的也有6对；模为的向量共有4对；模为2的向量有

2对 2．2平面向量的线性运算 练习（P84） 1、图略. 2、图略. 3、（1）；（2）. 4、（1）；（2）；（3）；（4）. 练习（P87） 1、图略. 2、，，，，. 3、图略. 练习（P90） 1、图略. 2、，. 说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是与反向. 3、（1）；（2）；（3）；（4）. 4、（1）共线；（2）共线. 5、（1）；（2）；（3）. 6、图略. 习题2.2 A组（P91） 1、（1）向东走20 km；（2）向东走5 km；（3）向东北走km； （4）向西南走km；（5）向西北走km；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km. 3、解：如右图所示：表示船速，表示河水 的流速，以、为邻边作□，则 表示船实际航行的速度. 在Rt△ABC中，，， 所以 因为，由计算器得 所以，实际航行的速度是，船航行的方向与河岸的夹角约为76°. 4、（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）. 5、略 6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形. 7、略. 8、（1）略；（2）当时， 9、（1）；（2）；（3）；（4）. 10、，，. 11、如图所示，，， ，. 12、，，，， ，，. 13、证明：在中，分别是的中点， 所以且， 即； 同理，， 所以. 习题2.2 B组（P92）

人教版必修四第二章平面向量教案

人教版必修四第二章平面向量教案 教学目标： 三维目标 1、知识与技能 （1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； （2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念； 并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系 （3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 2、过程与方法 引导发现法与讨论相结合。这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。 3、情感目标与价值观 通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。 教学重点：理解向量、相等向量等相关的概念，向量的几何表示等是本节课的重点。 教学难点：难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解。 学情和教材分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景及代数意义，因此向量具有数形结合的特征，是深入学习数学及解决各类数学问题的有效工具，在其他学科中也有广泛应用。所以向量是历年高考的必考内容，本节课是向量的第一节课，是新知识的一个起点，所以这是十分关键、重要的一节课。本节教学内容的特点是：概念多，有向量、平行向量、相等向量、单位向量等相关概念及向量的几何表示。学生在学习过程中，诸多概念容易混淆，它们之间关系不易理清，这些是学习中的难点。 教法设计：引导启发式教学 学法设计：指导学生自主学习 课时计划：一课时 教具学具：多媒体、彩笔、三角板 教学过程 一、创设情景、导入新课 1.我们知道物理中的力、速度，位移等都是矢量，不同与路程、质量等量，他们具有什么样的共同特征？………（学生讨论作答） 2.你能举出几个具有以上特征的量吗？年龄、身高、体重、长度等具有这些特征吗？（学生思考作答） 3.在数学上，我们把具有这种特征的量称为向量，（教师在黑板上书写课题，然后大屏幕展示课题，学生阅读课本P74） 二、推进新课 1.定义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度等。 注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，可以比较大小；向量既有方向又 有大小，不能比较大小（强调）。 2.向量的表示方法： 1?几何表示法：有向线段——具有一定方向的线段

人教版高中数学必修4课后习题答案

第二章 平面向量 2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77） 1、略. 2、AB u u u r ，BA u u u r . 这两个向量的长度相等，但它们不等. 3、2AB =u u u r ， 2.5CD =u u u r ，3EF =u u u r ，GH =u u u r 4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题 A 组（P77） 1、 （2）. 3、与DE u u u r 相等的向量有：,AF FC u u u r u u u r ；与EF u u u r 相等的向量有：,BD DA u u u r u u u r ； 与FD u u u r 相等的向量有：,CE EB u u u r u u u r . 4、与a r 相等的向量有：,,CO QP SR u u u r u u u r u u r ；与b r 相等的向量有：,PM DO u u u u r u u u r ； 与c r 相等的向量有：,,DC RQ ST u u u r u u u r u u u r 5、AD =u u u r . 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×.

习题 B 组（P78） 1、海拔和高度都不是向量. 2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM u u u u r 同向的共有6 对，与AM u u u u r 反向的也有6对；与AD u u u r 同向的共有3对，与AD u u u r 反向的也有6对；模 的向量共有4对；模为2的向量有2对 2．2平面向量的线性运算 练习（P84） 1、图略. 2、图略. 3、（1）DA u u u r ； （2）CB u u u r . 4、（1）c r ； （2）f u r ； （3）f u r ； （4）g u r . 练习（P87） 1、图略. 2、DB u u u r ，CA u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BA u u u r . 3、图略. 练习（P90） 1、图略. 2、57AC AB =u u u r u u u r ，27 BC AB =-u u u r u u u r . 说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC uuu r 与AB u u u r 反向. 3、（1）2b a =r r ； （2）74b a =-r r ； （3）12b a =-r r ； （4）89 b a =r r . 4、（1）共线； （2）共线. 5、（1）32a b -r r ； （2）111123 a b -+r r ； （3）2ya r . 6、图略. 习题 A 组（P91） 1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km ； （3）向东北走km ； （4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km. 3、解：如右图所示：AB u u u r 表示船速，AD u u u r 表示河水 的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则 AC u u u r 表示船实际航行的速度. 在Rt △ABC 中，8AB =u u u r ，2AD =u u u r ，

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

§ 平面向量的实际背景及基本概念 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．． 的起点无关．．．．． . 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．． . 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a

高中数学必修4第二章 平面向量公式及定义

平面向量公式 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. AB+BC=AC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣. 当λ＞0时,λa与a同方向； 当λ＜0时,λa与a反方向； 当λ=0时,λa=0,方向任意. 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0. 注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍. 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb). 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λ b. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a?b.若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉；若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'. 向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）；

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版93323

高中数学必修4第二章平面向量教案（12课时) 本章内容介绍 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题. 本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.） 第1课时 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学目标： 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、 单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、情景设置： 如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否 追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、 A B C D

人教版高中数学必修四练习第二章《平面向量》质量评估

章末质量评估(二) 平面向量 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2012·江油市测试)若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中不正确的是 ( )． A.AB →与CD → 共线 B.AC →与BD → 相等 C.AD →与CB → 模相等，方向相反 D.AB →与CD → 模相等 解析 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB →＝DC →，故A ，D 正确；AC ＝BD 但AC → 与BD →的方向不同，故B 不正确；AD ＝CB 且AD ∥CB ，AD →与CB → 的方向相反，故C 正确． 答案 B 2．已知两点A (2，－1)，B (3,1)，与AB → 平行且方向相反的向量a 可能是( )． A ．a ＝(1，－2) B.a ＝(9,3) C ．a ＝(－1,2) D.a ＝(－4，－8) 解析 ∵AB →＝(1,2)，∴a ＝(－4，－8)＝－4(1,2)＝－4AB → ，∴D 正确． 答案 D 3．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )·b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )． A ．3 B.－3

C ．0 D.2 解析 由原式可得????? 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得????? x ＝6， y ＝3.∴x －y ＝3. 答案 A 4．向量BA →＝(4，－3)，向量BC → ＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( )． A ．等腰非直角三角形 B.等边三角形 C ．直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析 ∵AC →＝BC →－BA → ＝(－2，－1)， ∴AC →·BC →＝－2×2＋(－1)×(－4)＝0，∴AC →⊥BC →. 又|AC →|≠|B C →|， ∴△ABC 是直角非等腰三角形． 答案 C 5．(2012·丰台测试)如图，在四边形ABCD 中，下列各式中成立的是( )． A.BC →－BD →＝CD → B.CD →＋DA →＝AC → C.CB →＋AD →＋BA →＝CD → D.AB →＋AC →＝BD →＋DC → 解析 BC →－BD →＝BC →＋DB →＝DC →，故A 错误；CD →＋DA →＝CA →，故B 错误；CB → ＋AD →＋BA →＝CB →＋BA →＋AD →＝CA →＋AD →＝CD →，故C 正确；BD →＋DC →＝BC →≠AB →＋AC → ，故D 错误． 答案 C

必修4第二章平面向量教学质量检测

必修4第二章平面向量教学质量检测 姓名: 班级: 学号: 得分: 1.在四边形ABCD 中，2AB =+a b ，4BC =--a b ，53CD =--a b ，则四边形ABCD 是（ ）. A.长方形 B.平行四边形 Ｃ.菱形 Ｄ.梯形 2、若向量(1,1)a =,(1,1)b =-,(1,2)c =-,则c 等于 （ B ） A 、1322a b -+ B 、1322a b - C 、3122a b - D 、31 22 a b -+ 3.若向量a 与b 不共线，0?≠a b ，且()() ??=- ?a a b c a a b ，则向量a 与c 的夹角为（ ）. A. π 2 B. π6 C. π3 D.0 4.设i ，j 是互相垂直的单位向量，向量(1)3m =+-a i j ，(1)m =+-b i j ， ()()+⊥-a b a b ，则实数m 为（ ）. A.2- B.2 Ｃ.2 1 - Ｄ.不存在 5．已知向量与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||-=- B ．||||-=+ C ．||||||-=+ D ．||||||+=+ 6.点P 为△ABC 所在平面内任一点，且PA +PB +PC =AB ，则点P 与△ABC 的位置关系是（ ） A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部 C.P 在AB 边上或其延长线上 D.P 在AC 边上 7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③ )3,2(1-=e )4 3 ,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 8．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 cos cos AB AC OP OA AB C AC B λ?? ?=++ ??? ，[)0,λ∈+∞， 则点P 的轨迹一定通过ABC ?的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心

(完整word版)高中数学必修四第二章习题

习题课(2) 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为3 2，则a ·b 等于( ) A ．3 B.9 2 C ．2 D.12 解析：设a 与b 的夹角为θ.∵|a |cos θ＝3 2， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝3×32＝9 2. 答案：B 2．已知|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－3，则|a ＋b |＝( ) A ．23 B ．35 C.23 D.35 解析：|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝23. 答案：C 3．若将向量a ＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π 4得到向量b ，则向量b 的坐标为( ) A ．(－22，－32 2) B ．(22，322) C ．(－322，22) D ．(322，－22) 解析：设b ＝(x ，y )，由已知条件，知

|a |＝|b |，a ·b ＝|a ||b |cos45°. ∴????? x 2＋y 2＝5，2x ＋y ＝5× 5×2 2， 解得??? x ＝22， y ＝32 2， 或??? x ＝322， y ＝－22. ∵向量a 按逆时针旋转π 4后，向量对应的点在第一象限，∴x >0，y >0， ∴b ＝(22，32 2)，故选B. 答案：B 4．已知OA →＝(－3,1)，OB →＝(0,5)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB → ，则点C 的坐标是( ) A ．(－3，－29 4) B ．(－3，29 4) C ．(3，29 4) D ．(3，－29 4) 解析：设点C 的坐标为(x ，y )，则 AC →＝(x ＋3，y －1)，AB → ＝(3,4)， BC → ＝(x ，y －5)． ∵AC →∥OB →，BC →⊥AB →，

数学必修四第二章教案

数学必修四第二章教案 【篇一：北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》 全部教案姚连省编制】 北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案 扶风县法门高中姚连省 第一课时 2.1从位移、速度、力到向量 一、教学目标 1.知识与技能：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间 的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。 2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实 际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何 表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善 于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题. 3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习 态度和勇于创新的精神. 二.教学重、难点：重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法. 三.学法与教法 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检 验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教法:探究交流法. 四.教学过程（一）、创设情境 实例：老鼠由a向西北逃窜，猫在b处向东追去。 问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为 方向错了. （二）、探究新知 1．学生阅读教材思考如下问题 [展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充） （1）. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有 方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等。 注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以 进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较 大小。

人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算习题

高中数学必修4同步练习(2.1-2.2平面向量的概念及线性运算)(A 卷) 姓名______班级______学号______ 一.选择题(每题5分) 1.设b → 是a → 的相反向量,则下列说法错误的是( ) A .a → 与b →的长度必相等 B .a b C .a → 与b → 一定不相等 D .a → 是b → 的相反向量 2.已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a → 、b → 、c → ,则向量等于( ) A .a b c ++ B .a b c -+ C .a b c +- D .a b c -- 3.(如图)在平行四边形ABCD 中,下列正确的是( ). A .AB CD = B .AB AD BD -= C .AD AB AC += D .AD BC 0+= 4.CO BO OC OA +++等于( ) A . B . C . D . 5.化简++-的结果等于( ) A 、QP B 、OQ C 、SP D 、SQ 6.(如图)在正六边形ABCDEF 中,点O 为其中心,则下列判断错误的是( ) A A B O C = B AB ∥DE C A D B E = D AD FC = 7.下列等式中,正确的个数是( ) ①a b b a +=+②a b b a =--③0a a -=- ④(a )a --=⑤a (a )0+-= A .5 B .4 C .3 D .2 8.在△ABC 中,AB a =,AC b =,如果a||b|=|, 那么△ABC 一定是( ). A .等腰三角形B .等边三角形 C .直角三角形D .钝角三角形 9.在ABC ?中,BC a =,CA b =,则等于( ) A .a b + B .(a b )-+ C .a b - D .b a - 10.已知a 、b 是不共线的向量,AB a b λ=+,AC a b μ=+(λ、R μ∈),当且仅当( )时, A 、B 、C 三点共线. ()1A λμ+=()1B λμ-=()1C λμ=-()1D λμ= 二.填空题(每题5分) 11.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是______ 12.ABCD 的两条对角线相交于点M ,且 AB a,AD b ==,则MA =______, MB =______,MC =______,MD =______. 13.已知向量a 和b 不共线,实数x ,y 满足 b y x a b a y x )2(54)2(-+=+-,则=+y x ______ 14.化简:①AB BC CD ++=______; ②AB AD DC --=______;③()()AB CD AC BD ---=______ 15.化简下列各式: (1)=++++______; (2)()()AB MB BO BC OM ++++=______. 16.在ABCD 中,AB a,AD b ==,则 AC =______,DB =______. 17.在四边形ABCD 中有AC AB AD =+,则它的形状一定是______ 18.已知四边形ABCD 中,1 AB DC 2 =,且AD BC =则四边形ABCD 的形状是______. 19.化简:=-++-)()(______. 20.在△ABC 中,设BC a → =,CA b → =,则AB =______ 三.解答题(每题10分) 21.某人从A 点出发向西走了10m ,到达B 点,然后改变方向按西偏北?60走了15m 到达C 点,最后又向东走了10米到达D 点. (1)作出向量,,(用1cm 长线段代表10m 长);(2)求DA

高中数学人教新课标A版必修4第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念同步练习A卷

高中数学人教新课标A版必修4 第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本 概念同步练习A卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共8题；共16分) 1. （2分）下列说法正确的有（） ①方向相同的向量叫相等向量； ②零向量的长度为0； ③共线向量是在同一条直线上的向量； ④零向量是没有方向的向量； ⑤共线向量不一定相等； ⑥平行向量方向相同． A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个 2. （2分）设O是正△ABC的中心，则向量是（） A . 相等向量 B . 模相等的向量 C . 共线向量 D . 共起点的向量 3. （2分） (2018高二下·定远期末) 在中，，，，为边

上的高，为的中点，若，则（） A . B . C . D . 1 4. （2分）已知向量,且A(-2,1),B(-1,3),C(3,4)，则点D的坐标为（） A . (2,1) B . (2,2) C . (1,2) D . (2,3) 5. （2分）在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′的棱所在向量中，与向量模相等的向量有（） A . 0个 B . 3个 C . 7个 D . 9个 6. （2分）已知向量=（x，2），=（﹣2，﹣x），若两向量方向相反，则x=（） A . -5 B . 5 C . -2 D . 2

7. （2分）已知两点A（1，2），B（4，﹣2），则与向量共线的单位向量e是（） A . （3，﹣4） B . （3，﹣4），（﹣3，4） C . （，一） D . （，一），（一，） 8. （2分）已知=（5，﹣3），C（﹣1，3），=2，则点D的坐标为（） A . （11，9） B . （4，0） C . （9，3） D . （9，﹣3） 二、填空题 (共3题；共3分) 9. （1分）已知向量，且∥ ，则与方向相反的单位向量的坐标为________． 10. （1分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量方向相反的单位向量的坐标为________ 11. （1分）设x，y，向量，且，，则 =________． 三、解答题 (共3题；共34分) 12. （4分）如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中： （1）与相等的向量有________；

人教版必修4高中数学必修4第二章测试题

必修4第二章测试题（二） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．在平行四边形ABCD 中，+-等于 （ ） A ． B ． C ． D ． 2．若向量a =（3，2），b =（0，－1），则向量2b －a 的坐标是 （ ） （A ）（3，-4） （B ）（-3，4） （C ）（3，4） （D ）（-3，- 4） 3．已知与均为单位向量，它们的夹角为60°，|3|-= （ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 4．若|a |=2，|b |=5，|a +b |=4，则|a －b |的值为 （ ） A ．13 B ．3 C ．42 D ．7 5．已知平面向量)2,1(= ，),2(m -= ，且b a //，则b a 32+等于 （ ） A ．)4,2(-- B ．)6,3(-- C ．)10,5(-- D ．)8,4(-- 6．若向量 a 与b 的夹角为60 ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,则向量a 的模为 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 7．已知12,5||,3||=?==且，则向量在向量上的投影为（ ） A ． 5 12 B ．3 C ．4 D ．5 8．已知=a +5b ，=－2a +8b ，=3（a －b ），则（ ） A. A 、B 、D 三点共线 B .A 、B 、C 三点共线 C. B 、C 、D 三点共线 D. A 、C 、D 三点共线 9．已知向量)2,3(-=, )0,1(-=，向量+λ与2-垂直，则实数λ的值为( ) A.71- B. 71 C. 61 D. 6 1 - 10．若0||2=+?，则ABC ?为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

必修4第二章 平面向量 (2)

第二章平面向量 本章内容介绍 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题. 本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.） 第1课时 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念 实用文档

教学目标： 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的 模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本 质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 实用文档