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必修1 第二章基本初等函数基本题型分类

必修1 第二章基本初等函数（Ⅰ）基本题型分类

题型一：指数与指数幂的运算和对数与对数的运算

（一）化简求值：

1．化简=-++

44332121)()( ． 1．解：22122121214433=-++=-++

)()()()(． 2．化简=??--+326424

22312 ． 2．解：12222

642441222232612122223122232

==??=??--++--+-+-)()()()(．

3．化简=--+-+-21212121

21212b a b a b a b

a b

a ． 3．解：022121

2212121212121

21212121

=----=--+-+-b a b a b a b a b a b a b a b

a )(．

（二）含附加条件的幂的求值

4．已知51=+-a

a ，求下列各式的值． (1)22-+a a ；(2)21

21--a

a ； 4．解：(1)由51=+-a

a 两边平方得：252212=++--a aa a ，即2322=+-a a ． (2)32521221

=-=-+=---a a a a )(，∴321

21±=--a a ．

题型二：指数函数、对数函数、幂函数的定义

5．(1)下列以x 为自变量的函数，其中为指数函数的是（）

A.(5)x y =-

B.( 2.71828)x y e e =≈

C.5x y =-

D.2x y π

+= (2)如果函数2(33)x

a a a -+是指数函数，则有（）

A. 12a a ==或

B.1a =

C. 2a =

D.01a a >≠且

5．解：(1)B ；(2)C ；由指数函数的三大特征：①x a 的系数为1；②底数,0>a 且1≠a 的常数；③指数位置上仅有自变量x ．

【规律总结】

①系数为1；②底数为大于0且不等于1的常数；

③指数函数的指数仅有自变量x ．

6．函数x a a x f a )(log )()(121++-=是对数函数，则实数=a ．

6．解：???>+=+-0

1112a a a 解得：1=a ．

【规律总结】

判断一个函数是否为对数函数的方法：

判断一个函数是对数函数必须是形如,(log 0>=a x y a 且)1≠a 的形式，即必须满足以下条件：

7．函数3221-+--=m m x

m m x f )()(是幂函数，且当),(+∞∈0x 时，)(x f 是增函数，则)(x f 的解析式为． 7．解：因为函数3221-+--=m m x

m m x f )()(是幂函数，所以?????>-+=--031122m m m m 解得：2=m ；3x x f =)(．【规律总结】

由幂函数的特征：①指数α为常数；②底数为自变量；③系数为1．

题型三：指数函数、对数函数、幂函数的图象

8．(1)函数33(0,1)x y a a a -=+>≠且的图象过定点．

8．解：(1)令03=-x ，3=x ，4=y ，所以函数33(0,1)x y a a a -=+>≠且的图象过定点),(43．

【归纳总结】：函数m a y x f +=)(恒过定点问题，令0=)(x f 解出x ，则定点为),(m x +1．

(2)如图是指数函数(1)x y a =，(2)x y b =，(3)x y c =，(4)x y d =的图象，

则,,,a b c d 与1的大小关系为（）

A.1a b c d <<<<

B.1b a d c <<<<

C.1a b c d <<<<

D.1a b d c <<<<

(2)令1=x ，这时各自的函数值就是它们的底数，从而大小显而易见；答案：B ．

9．(1)函数,()(log 021>-+=a x y a 且)1≠a 的图象恒过点．

(2)如图所示的曲线是对数函数x y a log =，x y b log =，x y c log =，

x y d log =图象，则d c b a ,,,与1的大小关系为．

9．解：(1)令11=+x ，0=x ，所以函数

,()(log 021>-+=a x y a 且)1≠a 的图象恒过点),(20- 【规律总结】

对数函数恒过定点问题

(1)求函数,)((log 0>+=a x f m y a 且)1≠a 的图象过的定点时，只需令1=)(x f 求出x ，即得定点为),(m x ．

(2)令1=y ，这时各自的真数就是它们的底数，从而大小显而易见；答案：01>>>>>c d a b ．

10．如图所示，曲线是幂函数n x y =在第一象限内的图象，已知n 分别取22

111,,,-四个值，相应于曲线4321C C C C ,,,1

的n 依次为（）

A,2121

1,,,- B.12112-,,, C.12121-,,, D.2

1112,,,- 10．解：由幂函数的性质得：答案：D ．

题型四：指数函数、对数函数、幂函数的性质

(一)比较大小

(1)已知809070218080....,.,.===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（）

(A)c b a >> (B)c a b >> (C)a b c >> (D)b a c >>

(1)解：D

【规律总结】：

1.底数相同，指数不同，利用指数函数的单调性解决；

2.底数不同，指数相同，利用指数函数的图象解决；在同一个平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a 对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数函数所取值对应的函数值即可．

3.底数不同，指数也不同：采用中间量法．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如要比较c a 与d b 的大小，可取d a 或c b 为中间量，c a 与d

a 利用函数的单调性比较大小，d

b 与d a 利用函数的图象比较大小．

(2)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )

A ．a ＞b ＞c

B ．a ＞c ＞b

C ．b ＞a ＞c

D ．c ＞a ＞b

(2)解：B

【规律总结】：

1.若底数为同一常数，则可根据对数函数的单调性直接进行比较；

2.若底数为同一字母，则可根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；

3.若底数不同，真数相同，则可以根据对数函数的图象进行比较；

4.若底数和真数均不相同，则常借助1,0等中间值进行比较． (3)设5253525

25253)(,)(,)(===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（） A.b c a >> B.c b a >> C.b a c >> D.a c b >>

(3)解：A

【规律总结】：

1. 若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；

2. 若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；

3. 若指数与底数都不相同，则考虑取中间量法；取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或以其中一个指数式

的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如要比较c a 与d b 的大小，可取d a 或c b 为中间量，c a 与d a 利用函数的单调性比较大小，d b 与d a 利用函数的图象比较大小．

(二)求函数值域或最值

11．求函数12141+-=x x y )()(在],[23-上的值域．

11．解：12121121412+-=+-=x x x x y )()

()()( 设x t )(21=，∵84123≤≤∴

-∈t x ],[，

∴432

1122+-=+-==)()(t t t t g y ，所以函数)(t g y =在],[2141∈t 上单调递减，在],[82

1∈t 上单调递增， ∴当2

1=t 时，43=min y ；当8=t 时，57432182=+-=)(max y ；所以函数12141+-=x x y )()(在],[23-上的值域为],[5743．【规律总结】

求形如：函数],[,n m x c bs as y x x ∈++=2的值域．

使用“换元法”设x

s t =，从而原函数c bs as y x x ++=2变为关于t 的一元二次函数c bt at t g y ++==2)(；由],[n m x ∈，求出x s t =的值域],[q p ，即t 的范围为],[q p ，进而转化为求一元二次函数c bt at t g y ++==2)(在],[q p t ∈上的值域．此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想．

12．求函数32221

--=x x y )(的值域．

12．解：函数32221

--=x x y )(的定义域为R ；设4413222-≥--=--=)(x x x t ，所以),[,)(+∞-∈=421

t y t

，所以160≤

(的值域为],(160．【规律总结】

求形如函数)(x f a y =的值域．

使用“换元法”设)(x f t =，求出)(x f t =的值域],[n m ，从而转化为t a t g y ==)(在],[n m t ∈的值域（使用指数函

数的单调性）．

13．已知x 满足不等式37250250-≤+x x ..log )(log ，求函数)(log )(log )(4

222x x x f ?=的最值． 13．解：由37250250-≤+x x ..log )(log 得01235050≤++)log )((log ..x x ，则21350-