2016年中考数学考点总动员系列+专题11+二次函数(数理化网)

十一：二次函数

聚焦考点☆温习理解 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念

一般地，如果)0,,(2

≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于a

b

x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 3、二次函数图像的画法 五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线c bx ax y ++=2

与坐标轴的交点：

当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：)0,,(2

≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2

≠+-=a k h a k h x a y 是常数，

（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02

=++c bx ax 有实

根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212

x x x x a c bx ax --=++，二次函数

c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。

三、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当

a

b

x 2-=时，a b ac y 442-=

最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a

b

2-

是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a

b

2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则

需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当

2x x =时，c bx ax y ++=22

2最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。

四、二次函数的性质 1、二次函数的性质

2、二次函数)0,,(2

≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：

a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上, a <0时，抛物线开口向下

b 与对称轴有关：对称轴为x=a

b

2-

c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ）

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2

-=?，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。 当?>0时，图像与x 轴有两个交点；当?=0时，图像与x 轴有一个交点；当?<0时，图像与x 轴没有交点。

名师点睛☆典例分类

考点典例一、二次函数的图象

【例1】（2016.大同一中期中）若抛物线y=（m ﹣1）2m m

x -开口向下，则m=__________．

【答案】-1 【解析】

试题分析：根据二次函数的定义条件可得m 2

﹣m=2，m ﹣1≠0解得m=2或m=﹣1，且m ≠1，

因此当m=2或﹣1时，这个函数都是二次函数；由m ﹣1＜0，m ＜1可知m=﹣1． 考点：二次函数的性质；二次函数的定义

【点睛】根据二次函数的定义条件可得二次项系数不为0，且最高次项的系数为2，由此即可求解． 【举一反三】

）1．（2016·阜新期中请写出一个开口向下，并且与y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式 ．

【答案】12

+-=x y 等（答案不唯一） 【解析】

试题分析：答案不唯一，如12

+-=x y 等等． 考点：二次函数．

2.把二次函数y=x 2

+6x+4配方成y=a （x ﹣h ）2

+k 的形式，得y=__________，它的顶点坐标是__________．

【答案】（x+3）2﹣5，（﹣3，﹣5）

考点：二次函数的三种形式 考点典例二、二次函数的解析式

【例2】如图，二次函数y=x 2

+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）

A．y=x 2

﹣x﹣2

B．y=x 2

﹣x+2

C．y=x 2

+x﹣2

D．y=x 2

+x+2

【答案】A ． 【解析】

试题分析：将A （m ，4）代入反比例解析式得：4=﹣8

m

，即m=﹣2， ∴A（﹣2，4），

将A （﹣2，4），B （0，﹣2）代入二次函数解析式得：424

2

b c c -+=??=-?，

解得：b=﹣1，c=﹣2，

则二次函数解析式为y=x 2

﹣x ﹣2． 故选A ．

【点晴】先根据A 在反比例函数图象上，求出m 的值，再把A 、B 点坐标代入二次函数y=x 2

+bx+c 中，求出b 、c 的值即可. 【举一反三】

1.（2015.山东泰安，第19题）（3分）某同学在用描点法画二次函数2

y ax bx c =++的图象时，列出了下面的表格：

由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的数值是（ ） A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5 【答案】D ．

考点：二次函数的图象．

2.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=－1，当x=－2与

2

1

时，y=0,则这个二次函数

的解析式是____________． 【答案】y=x 2

+3

2

x-1 【解析】

试题分析：本题利用待定系数法求出二次函数的解析式． 考点：待定系数法求函数解析式． 考点典例三、二次函数的最值 【例3】已知0≤x ≤

12

，那么函数y =﹣2x 2

+8x ﹣6的最大值是（ ） A ． ﹣10.5 B ． 2 C ． ﹣2.5 D ． ﹣6 【答案】C ．

【点睛】根据顶点式得到它的顶点坐标是（2，2），再根据其a ＜0且0≤x ≤1

2

，即可求出函数的最大值． 【举一反三】

1.（2015甘孜州）二次函数2

45y x x =+-的图象的对称轴为（ ） A．4x = B．4x =- C．2x = D．2x =- 【答案】D ． 【解析】

试题分析：二次函数2

45y x x =+-的图象的对称轴为：42221

b x a =-=-=-?．故选D ．

考点：二次函数的性质．

2.当－2≤x≤l 时，二次函数()2

2y x m m 1=--++有最大值4，则实数m 的值为【 】

(A) 74-或或7

4

-

【答案】C ． 【解析】

试题分析：∵当－2≤x≤l 时，二次函数()2

2y x m m 1=--++有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m.

当x=－2时，由()2

242m m 1=---++解得7m 4=-，此时2

765y x 416?

?=-++ ??

?，它在－

2≤x≤l 的最大值是

65

>416

，与题意不符. 当x=1时，由()2

241m m 1=--++解得m 2=，此时()2

y x 25=--+，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符.

当x= m 时，由()

2

2

4m m 1

m =--++解得m =，此时(2

y x 4=-+. 对

(2

y x 4=-++，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符；对(2

y x 4=-+，它

在－2≤x≤l 在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.

综上所述，实数m 的值为2或故选C ．

考点典例四、二次函数的图象与性质

【例4】（2015遂宁）二次函数2

y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，下列结论：①

20a b +>；②0abc <；③240b ac ->；④0a b c ++<；⑤420a b c -+<，其中正

确的个数是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B ．

故选B．

考点：二次函数图象与系数的关系．

【点睛】根据二次函数的图象与性质进行逐项分析即可求出答案. 【举一反三】

1.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）抛物线2

y ax bx c =++（0a ≠）

的对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①2

40ac b -<；②2a ﹣b =0；③a +b +c ＜0；④点M （1x ，1y ）、N （2x ，2y ）在抛物线上，若12x x <，则12y y ≤，其中正确结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C．

考点：二次函数图象与系数的关系．

2.已知二次函数2

y ax bx c =++的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y 轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；②248b ac a ->-；③4a+c ＜0；④2a －b+l ﹤0．其中正确的结论是（填写序号） ． 【答案】①②③． 【解析】

试题解析：①根据题意画大致图象如图所示，

①由图象开口向下知a ＜0，

由y=ax 2

+bx+c 与X 轴的另一个交点坐标为（x 1，0 ），且1＜x 1＜2， 则该抛物线的对称轴为x=-2b a =1(2)2

x -+＞-12，即b a ＜1， 由a ＜0，两边都乘以a 得：b ＞a ， ∵a ＜0，对称轴x=-

2b

a

＜0，∴b ＜0，∴a ＜b ＜0．故正确； ②由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：

244ac a

b -＞2，由于a ＜0，所以4ac-b 2＜8a ，即b 2

-4ac ＞-8a ，故②正确；

③由4a-2b+c=0得4a+c=2b, ∵b ＜0，

∴4a+c ＜0，故此结论正确． ④由4a-2b+c=0得2a-b=-2c ，而0＜c ＜2，∴-1＜-2

c

＜0∴-1＜2a-b ＜0∴2a-b+1＞0，所以结论错误．

考点：抛物线与x 轴的交点．

考点典例五、二次函数图象与平移变换

【例5】(2015.上海市，第12题，4分)如果将抛物线2

21y x x =+-向上平移，使它经过点(0,3)A ，那么所得新抛物线的表达式是_______________． 【答案】2

23y x x =++ 【解析】

试题分析：可知抛物线过(0,1)-，上下平移时只改变常数项，由条件知平移后经过(0,3)，故平移后解析式为2

23y x x =++.

考点：1.抛物线平移的含义；2.求抛物线的函数解析式.

【点睛】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【举一反三】

1.（2015成都）将抛物线2

y x =向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）

A ．2

(2)3y x =+- B ．2

(2)3y x =++ C ．2

(2)3y x =-+ D ．2

(2)3y x =-- 【答案】A ．

考点：二次函数图象与几何变换．

2.（2015.河南省，第12题，3分）已知点A （4，y 1），B （2，y 2），C （-2，y 3）都在

二次函数y=(x-2)2

-1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 . 【答案】y 3>y 1>y 2. 【解析】

试题分析：将A,B,C 三点坐标分别代入解析式，得：y 1=3,y 2=5-42,y 3=15,∴y 3>y 1>y 2. 考点：二次函数的函数值比较大小.

课时作业☆能力提升 一．选择题

1．．（2015广安）如图，抛物线2

y ax bx c =++（0a ≠）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P =a b c ++，则P 的取值范围是（ ）

A．﹣3＜P ＜﹣1 B．﹣6＜P ＜0 C．﹣3＜P ＜0 D．﹣6＜P ＜﹣3 【答案】B ． 【解析】

试题分析：∵抛物线2

y ax bx c =++（0a ≠）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），∴0=a ﹣

b +

c ，﹣3=c ，∴b =a ﹣3，∵当x =1时，2y ax bx c =++=a +b +c ，∴P =a b c ++=a +a ﹣3﹣3=

2a ﹣6，∵顶点在第四象限，a ＞0，∴b =a ﹣3＜0，∴a ＜3，∴0＜a ＜3，∴﹣6＜2a ﹣6＜0，即﹣6＜P ＜0．故选B．

考点：二次函数图象与系数的关系． 2.抛物线222

1y 2x y 2x y x 2

==-=

，，共有的性质是（ ） A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴 C ．都有最低点 D ．y 随x 的增大而减小 【答案】B ．

考点：二次函数的性质

3.（2015攀枝花）将抛物线2

21y x =-+向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A．

2

2(1)y x =-+ B．

22(1)2

y x =-++ C．

22(1)2y x =--+

D．2

2(1)1y x =--+ 【答案】C ．

考点：二次函数图象与几何变换．

4.已知抛物线y=ax 2

+bx+c （a≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论：

①a ﹣b+c=0；②b 2＞4ac ；③当a ＜0时，抛物线与x 轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴为x=14a

-

． 其中结论正确的个数有（ ）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

【答案】B ． 【解析】

试题分析：①∵抛物线y=ax 2

+bx+c （a≠0）经过点（﹣1，0），∴a ﹣b+c=0，故①正确. ②∵抛物线y=ax 2

+bx+c （a ≠0）经过点（1，1），∴a+b+c=1.

又a﹣b+c=0，两式相加，得2（a+c）=1，a+c=1

2

，

两式相减，得2b=1，b=1

2

．

∵

2

22

1111

b4ac4a a2a4a2a

4242

????

-=--=-+=-

? ?

????

，

当

1

2a0

2

-=，即a=

1

4

时，b2﹣4ac=0，故②错误.

③当a＜0时，

∵

2

2

1

b4ac2a

2

??

-=-

?

??

＞0，∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点.

设另一个交点的横坐标为x，

则

1

a

c11

2

1x1x1

a a2a2a

-

-?===-?=-.

∵a＜0，∴

1

x1

2a

=-＞1.

即抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧，故③正确.

④抛物线的对称轴为

1

b1

2

x

2a2a4a

=-=-=-，故④正确．

综上所述，结论正确的有①③④3个.

故选B．

考点：1.二次函数图象上点的坐标特征；2.二次函数图象与系数的关系；3.二次函数与一元二次方程的关系；4.一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；5.二次函数的性质；6.不等式的性质.

5.（2015.山东济南，第15题,3分）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）

A．

1

8

-2＜m＜B．

7

4

-

-3＜m＜ C．2

-

-3＜m＜D．

15

8

-

-3＜m＜

【解析】

试题分析：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，

即x2﹣4x+3=0，

解得x=1或3，

则点A（1，0），B（3，0），

由于将C1向右平移2个长度单位得C2，

则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），当y=x+m1与C2相切时，

令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，

即2x2﹣15x+30+m1=0，

△=﹣8m1﹣15=0，

解得m1=

15

8 -，

当y=x+m2过点B时，即0=3+m2，

m2=﹣3，

当

15

8

-

-3＜m＜时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，

故选：D．

考点：二次函数的图象.

6.(2014·甘肃省白银市)二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（）

A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，1）

【解析】

试题分析：对二次函数y=x 2

+bx+c ，将b+c=0代入可得：y=x 2

+b （x ﹣1）， 则它的图象一定过点（1，1）． 故选D ．

考点：二次函数图象与系数的关系．

7.（2015·黑龙江绥化）把二次函数y=2x 2

的图象向左平移1个单位长度 ，再向下平移2个单位长度 ，平移后抛物线的解析式为_____________.

【答案】2

24y x x =+或2

2(1)2y x =+-（答出这两种形式中任意一种均得分）

考点：抛物线的平移.

8.（2015·辽宁沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数2

()y a x h =-（0a ≠）的图象可能是（ ）

A． B． C．

D．

【答案】D． 【解析】

试题分析：二次函数2

()y a x h =-（0a ≠）的顶点坐标为（h ，0），它的顶点坐标在x 轴上，故选D．

考点：二次函数的图象． 二．填空题

9.如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为 .

【答案】直线x 2=. 【解析】

试题分析：∵对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点， ∴它的对称轴为13

x 22

+=

=. 考点：二次函数的性质.

10.已知抛物线y=ax 2

+bx+c(a≠0)与x 轴交于A 、B 两点．若点A 的坐标为（-2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2．则线段AB 的长为 . 【答案】8．

考点：1.抛物线与x 轴的交点问题；2.二次函数的性质．

11.（2015.山东枣庄，第12题，3分）如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）图象的一部分，对称轴为x=

2

1

，且经过点（2,0），有下列说法：①abc ＜0；②a+b=0；③4a+2b+c=0；④若（0，y 1），（1，y 2）是抛物线上的两点，则y 1= y 2．上述说法正确的是

A. ①②④

B.③④

C. ①③④

D. ①② 【答案】A 【解析】

试题分析： ①由图象可得a<0,c>0,又因为1

022

b a -

=>，所以b>0,即abc<0,①正确；②当x=1时，a+b=0；②正确；③当x=2时，4a+2b+c=0,③错误；当x=1时，所得2y 与抛物线与y 轴的交点关于抛物线的对称轴对称，所以12y y =，④正确.故选A. 考点：二次函数的图象和性质

12.（2015资阳）已知抛物线p ：2

y ax bx c =++的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x 轴的对称点为C ′，我们称以A 为顶点且过点C ′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC ′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是2

21y x x =++和22y x =+，则这条抛物线的解析式为

． 【答案】2

23y x x =--．

考点：1．抛物线与x轴的交点；2．二次函数的性质；3．新定义． 三．解答题

13.如图，已知二次函数y=a （x ﹣h ）2

O （0，0），A （2，0）．

（1）写出该函数图象的对称轴；

（2）若将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？

【答案】(1)x=1；（2）是. 【解析】

试题分析：（1）由于抛物线过点O （0，0），A （2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；

（2）作A′B⊥x 轴与B ，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=2，再根据含30度的直

角三角形三边的关系得OB=

1

2

，则A′点的坐标为（1

根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y =（x ﹣1）2

试题解析：（1）∵二次函数y=a （x ﹣h ）2

的图象经过原点O （0，0），A （2，0）．

∴抛物线的对称轴为直线x=1；

（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下： 如图，作A′B⊥x 轴于点B ，

∵线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA′， ∴OA′=OA=2，∠A′OA=2， 在Rt△A′OB 中，∠OA′B=30°， ∴OB=

1

2

OA′=1，

∴A′点的坐标为（1

∴点A′为抛物线y=x ﹣1）2

的顶点．

考点：1.二次函数的性质；2.坐标与图形变化-旋转.

14.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）【6分】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线

21

2

y x bx c =-++经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．

【答案】（1）2

1242

y x x =-

++；（2）D （2，6），12．

考点：1．待定系数法求二次函数解析式；2．二次函数图象上点的坐标特征．

15.(2015·湖北衡阳，27题，分)（本小题满分10分）

如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线1

y x

=+相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）判断△ABM的形状，并说明理由；

（3）把抛物线与直线y x

=的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？

【答案】（1）抛物线的解析式为21

y x

=-．

（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由见试题解析；

（3）平移后的抛物线总有不动点，

1

4

m≤．

【解析】

试题解析：解：（1）∵点A是直线1

y x

=+与x轴的交点，∴A点为（-1，0）∵点B在直线1

y x

=+上，且横坐标为2，∴B点为（2，3）

∵过点A、B的抛物线的顶点M在y轴上，故设其解析式为：2

y ax c

=+

∴0

43a c a c +=??

+=?

，解得：11a c =??=-?

∴抛物线的解析式为21y x =-．

（2）△ABM 是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：

作BC⊥x 轴于点C ，∵A（-1，0）、B （2，3）∴AC＝BC ＝3，∴∠BAC＝45°； 点M 是抛物线21y x =-的顶点，∴M 点为（0，-1）∴OA＝OM ＝1， ∵∠AOM＝90°∴∠MAC＝45°；

∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°∴△ABM 是直角三角形．

（3）将抛物线的顶点平移至点（m ，2m ），则其解析式为()2

2y x m m =-+． ∵抛物线的不动点是抛物线与直线y x =的交点，∴()2

2x m m x -+= 化简得：()222120x m x m m -+++=

∴?＝()()2

2

21412m m m -+-??+????＝41m -+

当410m -+≥时，方程()222120x m x m m -+++=总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点 ∴1

4

m ≤

． 考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别式）