10角动量
角动量耦合
重点关注两个角动量耦合（轨道与自旋角动量、自旋与自旋角动量等）的一般理论，总角动量的本征值和本征矢，近而对量子系统给出更精确的描述。 1 体系的两种表象 1.1 无耦合表象
两个角动量21,J J
z z J J J J 2122
21
,,,∧
∧
∧∧
相互对易，共同本征矢为
>>=22112211m j m j m j m j 构成正交归一完备系，称为无耦合基矢?无耦合表象。 1.2 耦合表象
总角动量算符定义: 2
1
???J J J
+= 22
212?,?,?,?J J J J z 对易，共同本征矢jm j j 21 构成正交归一完备系?以此为基矢的表象?耦合表象。 2 耦合表象基矢的展开
耦合表象基矢按无耦合表象基矢展开
jm j j m j m j m j m j jm j j m m 212211,2211212
1∑=
m j j j m j m m j m j m m j m j j j m ,,,,,,,,,,,,2122212221211
--=∑ 212121,1,j j j j j j j --++= .
3 光谱的精细结构
光谱的精细结构来自于能级的精细结构(以Na 的D 线为例，精细结构是双线)。现在我们可以用考虑电子自旋后的量子力学简并微扰理论加以解释。 考虑轨道与自旋的相互作用
∧
∧?=?S L dr r dU r c E ls )(121
22μ
体系的哈密顿算符
H H S L r r U H '+=?++?-=????)()(2?022ξμ
S L r H
??)(??='ξ dr
r dU r c r )
(121
)(22μξ=
?H 的本征函数 ??????
???????
>
-+??
??????????
++++>-????????????++-->=->
-+????????????++
-+>-????????????+++>=+21,21,,|122121,21,,|1221,21,,|21,21,,|122121,21,,|1221,21,,|21
2121
21m l n l m l m l n l m l m l l n m l n l m l m l n l m l m l l n 若以坐标表象和z
S ∧
表象基矢|,,,z
S r ?θ<乘上式两边，得
??????
???????
????????????
++++????????????++--=????????????++-+????????????+++=-+---+-+2121,2121
21,21,21,,2121,212121
,21,21,,),(1221),(1221),(1221),(1221χ?θχ?θψχ?θχ?θψm l nl m l nl m l l n m l nl m l nl m l l n Y R l m l Y R l m l Y R l m l Y R l m l
能量的一级修正 ?∞-+-+=='=0
2
22)
1()
1(]43)1()1([2dr r R l l j j E H E
nl nlj
ljm n
ξ 能量的一级近似
???
????+-=+++=-=+=)1()(2)1)(12()(2342)0(213
4
2)0(2
1l l n Z c E E l l n Z c E E nl l nlj nl l nlj αμαμ 式中1371
2==c e s α为精细结构常数。 表明考虑自旋和轨道相互作
用后，对于原来只与l n ,有关的一个能级nl E 分裂成能量为
2
1±
=l nlj E
的两个能级；与此相应，原来由能级nl E 向其他能级
跃迁而发出的每一条谱线，在碱金属的不同谱线中，可分别观测到两条或三条谱线，这就是光谱线的精细结构。当然，0=l 的能级是不会分裂的。 4 反常塞曼效应
若将类氢原子放入弱磁场B
中，同时考虑自旋—轨道相互作用及外磁场对自旋、轨道磁矩的作用。这时哈密顿量
B
H H B S L e S L r r U H '+=?++?++?-=∧∧??)2(2??)()(2?022 μξμ S L r r U H ??)()(2?22
0?++?-=ξμ
B S L e H B ?+='∧∧)2(2?μ
能量的一级近似
?????????? ??+-+=??? ??+++=+-++
L l m l L l m l m l E E m l E E ωω12111211)0(21,2
1)
0(2
1,21 N a 黄光的能级分裂情况
m
3S
3P
2
/33P /
13P 无耦合 S L _耦合 在弱磁场中
※角动量算符z
J ∧
本征值的阶梯算符
y x J i J J ∧
∧+∧+= y x J i J J ∧
∧-∧-=
±∧±∧∧±∧∧±=?
?
??=????J J J J J z ,,0,2
为了避免在z J J
∧
,2
表象中使用y x J J ∧
∧
,带来的麻烦，往往导出
)(21-∧+∧
∧
+=J J J x )(21-∧+∧∧-=J J i J y
对z J J ∧
∧,2
的本征态作用，使计算变的简单方便。
适用于任何性质的角动量算符，如轨道角动量y x L i L L ∧
∧±∧±=、自旋角动量y x S i S S ∧
∧±∧±=等。
例题一 在1=l 的)?,?(2z
L L 表象中，基矢为 ),(),()
,(113102111?θ??θ??θ?-===Y Y Y 求（1）z y x L L L ?,?,?的矩阵表示； （2）z y x L L L ?,?,?的本征值和相应的本征矢。 解：（1）y
x z L L L ?,?,?的矩阵元 mn
n
z
m
mn
z m d L
L δ?? ?=Ω=?)(* Ω+=Ω=??-+d L L d L L n
m
n
x m
mn
x ????)??(2
1?)(** （1） Ω-=
Ω=??-+d L L i
d L L n m n y m mn
y ????)??(21?)
(** （2） 其中 y x L i L L ???±=± 1)1()1(?±±±-+=lm lm
Y m m l l Y L
由（1）式可得x L ?的矩阵元 0)??(2
1)(11
*11
11
=Ω+=?-
+
d Y L L Y L x 2
)??(21)
(10*1112 =Ω+=
?-+d Y L L Y L x 0)??(2
1)(11*1113=Ω+=?--+d Y L L Y L x 2
)(0)(2)()(2322*1221 ====x x x x L L L L
0)(2
)()(0
)(33*233231==
==x x x x L L L L
同理由（2）可得y L ?的矩阵元，z
L ?为对角矩阵 最终得到z
y x L L L ?,?,?的矩阵表示为 ????
? ??=010*******
x L ????? ??--=000002i i i i L y ????? ??-=100000001 z L
例题二 在z
S S ?,?2表象中，设自旋为1的粒子处于状态???
?
?
??=200ψ中，求测量y
S ?的可能值及相应概率。 解：首先将粒子状态波函数归一化
????
? ??=100φ 在z
S S ?,?2表象中，y S ?的矩阵表示为 ????
?
??--=000002i i i i S y
其本征方程λψψ=y S 的解为
????? ??-==12121,11i ψλ ，????? ??==10121,022ψλ，????
?
??--=-=12121,3
3i ψλ 由???
?
?
??=++=100332211ψψψφc c c 得
()
211001212111-=?
???
? ??--==+
i c φψ ()211001012122=?
???
? ??==+
φψc
(
)
21
1001212
133-=?
???
? ??-=
=+i c φψ
最终求得，在状态???
?
? ??=200ψ中，测量y
S ? 可能值 -,0,；相应概率为4
1,21,41。
动量与角动量习题解答
第三章 动量与动量守恒定律习题 一选择题 1. 一辆洒水车正在马路上工作，要使车匀速直线行驶，则车受到的合外力：（ ） A. 必为零； B. 必不为零，合力方向与行进方向相同； C. 必不为零，合力方向与行进方向相反； D. 必不为零，合力方向是任意的。 解：答案是C 。 简要提示：根据动量定理，合力F 的冲量F d t = d p = d (m v )=m d v +v d m =v d m 。因d m <0，所以F 的方向与车行进速度v 的方向相反。 ; 2. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有：（） A. 地面给予两球的冲量相同； B. 地面给予弹性球的冲量较大； C. 地面给予非弹性球的冲量较大； A. 无法确定反冲量谁大谁小。 解：答案是B 。 简要提示：)(12v v -=m I 3. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为?t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（） A ． mg t m +?v B ．mg C ．mg t m -?v D ．t m ?v 解：答案是D 。 ￥ 简要提示：v m t F =?? 4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人从板的两端以相同速率相向行走，则板的运动状况是：（） 选择题4图
A. 静止不动； B. 朝质量大的人行走的方向移动； C. 朝质量小的人行走的方向移动； D. 无法确定。 ; 解：答案是B 。 简要提示：取m 1的运动方向为正方向，由动量守恒： 02211='+-v v v M m m ，得：M m m /)(21v v --=' 如果m 1> m 2，则v ′< 0。 5. 一只猴子用绳子拉着一个和它质量相同的石头，在一水平的无摩擦的地面上运动，开始时猴子和石头都保持静止，然后猴子以相对绳子的速度u 拉绳，则石头的速率为：（） A. u B. u /2 C. u /4 D. 0 解：答案是B 。 简要提示：由动量守恒：0v v =+2211m m ，u =-12v v ；得2/2u =v 。 6. 高空悬停一气球，气球下吊挂一软梯，梯上站一人，当人相对梯子由静止开始匀速上爬时，则气球：（） A.仍静止； B.匀速上升； C.匀速下降； D.匀加速上升。 《 解：答案是C 。 简要提示：由质心运动定理，系统的质心位置不变。 7. 一背书包的小学生位于湖中心光滑的冰面上，为到达岸边，应采取的正确方法是：（） A. 用力蹬冰面 B. 不断划动手臂 C. 躺在冰面上爬行 D. 用力将书包抛出 解：答案是D 。 二填空题 { 1. 两个飞船通过置于它们之间的少量炸药爆炸而分离开来，若两飞船的质量分别为1200kg 和1800kg ，爆炸力产生的冲量为600N s ，则两船分离的相对
5.3角动量例题
5.3角动量例题 例1、在一根长为3l的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l，再在杆 的两端以及距另一端为l处各固定一个质量为M的小球。然后通过此孔将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O上。开始时，轻杆静止，一质量为m 的铅粒以v0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。求杆摆动的最大高度。
例2、质量m＝1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1.0 kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动． 例3、两个质量均为m的质点，用一根长为2L的轻杆相连。两质点 以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。试求以 O为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。
例4、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌 面上的小槽中，两滑块的质量均为m，并用长为L、不可 伸长、无弹性的轻绳相连。开始时，A、B之间的距离为 L/2，A、B间的连线与小槽垂直。突然给滑块A一个冲 击，使其获得平行与槽的速度v0，求滑块B开始运动时 的速度 例5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？
例6、一质量为M a，半径为a的圆筒A，被另一质量为M b，半 径为b的圆筒B同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。在圆筒A 的内表面上散布了薄薄的一层质量为M o的沙子，并在壁上开了许多小孔。在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。设单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t时刻两筒旋转的角速度。 *例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有 一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD的 中点B处用一细线悬于天花板A点。突然剪断DF，求剪断 后瞬间，CE、AB上的张力分别是多少？
冲量 动量与角动量
冲量 动量与角动量 3-1-1. 两辆小车A 、B ，可在光滑平直轨道上 运动．第一次实验，B 静止，A 以0.5 m/s 的速率 向右与B 碰撞，其结果A 以 0.1 m/s 的速率弹回， B 以0.3 m/s 的速率向右运动；第二次实验，B 仍静止，A 装上1 kg 的物体后仍以 0.5 m/s 的速率与B 碰撞，结果A 静止，B 以0.5 m/s 的速率向 右运动，如图．则A 和B 的质量分别为 (A) m A =2 kg , m B =1 kg (B) m A =1 kg , m B =2 kg (C) m A =3 kg , m B =4 kg (D) m A =4 kg, m B =3 kg ［ ］ 3-1-2. 质量为20 g 的子弹沿X 轴正向以 500 m/s 的速率射入一木块后，与木块一起仍沿X 轴正向以50 m/s 的速率前进，在此过程中木块所受冲量的大小为 (A) 9 N·s . (B) -9 N·s ． (C)10 N·s ． (D) -10 N·s ． ［ ］ 3-1-3. 质量分别为m A 和m B (m A >m B )、速度分别为A v 和B v (v A > v B )的两质点A 和B ，受到相同的冲量作用，则 (A) A 的动量增量的绝对值比B 的小． (B) A 的动量增量的绝对值比B 的大． (C) A 、B 的动量增量相等． (D) A 、B 的速度增量相等． ［ ］ 3-1-4. 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力） (A) 总动量守恒． (B) 总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向动量不守恒． (C) 总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒． (D) 总动量在任何方向的分量均不守恒． 3-1-5. 质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图示方向射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． ［ ］ 3-1-6. 一质量为M 的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上， 如图．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运
角动量
导读 考纲中刚体的要求中掌握刚体定轴转动。其实对于平面平行运动，换一个参照系，就变成了定轴转动。所以考纲神马的可以参考一下… 例题精讲 虽然转动惯量的计算是不要求的，但是不掌握总还是缺了些什么…. 【例1】利用量纲分析估算一下问题。 a)某天地球能量不够用了，大家决定把地球按比例缩小0.1%（保持质量和角动量守恒），问这 样能放出多少能量？ b)田亮同学可以在10米跳台项目中可以完成动作107C即“向前飞身翻腾三周半抱膝”。现在我们想 完成动作109C即“向前飞身翻腾四周半抱膝”。能做的事情是把田亮同学按比例缩小（密度不变，身体结构不变，肌肉强度正比于横截面，离台过程视为质心的匀加速过程）。问题：需要把他缩 小到多少比例才可以完成这个动作？ 【例2】计算以下物体绕轴的转动惯量。 (1)均质杆，质量为m，长度为l，绕着垂直于杆所在平面并通过质心的轴旋转。 a)直接积分计算 b)把一个根杆视为两个半截杆相加的结果，利用平行轴定理求解。 (2)匀质正三角板，质量为m，边长为l，绕着垂直于板平面并通过质心的轴旋转。 a)直接积分计算 b)把一个正三角板视为4个小正三角板之和，利用平行轴定理求解。 (3)模仿前两问做法，匀质立方体，质量为m，边长为l，绕着通过面心和质心的轴旋转。 第11讲 刚体和角动量
【例3】一根轻杆，长度为l ，其中点固连在一个套筒上，套筒能绕固定的竖直轴以恒定的角速度ω旋转。在两杆的两个端点各镶一个质量为m 的质点。不记重力。求竖直轴给套筒的力矩。 c) 方法一：分别对两个球写牛顿第二定律。 d) 方法二：对整体写方程。体会角动量的方向可以和角速度的方向不一致。 【例4】一个质量为m ，半径为R ，转动惯量为I 的圆筒在地上做纯滚动。圆筒上有一个半径为r 的轴，轴上绕有不可伸长的轻绳。如图用恒力F 向右拉动绳子，求圆筒质心的加速度大小。体会写角动量定理+牛顿第二定律，和写能量再求导两种做法。 【例5】生鸡蛋和熟鸡蛋从斜坡上滚下来，哪个会比较快？ e) 分析能量 f) 分析蛋壳的受力情况以及摩擦力大小 θ /2 l /2 l m m ω F
角动量习题
第五章 角动量 习题 5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d 439km =近，远地点d 2384km =远，地球半径R 6370km =地，求卫星在近地点和远地点的速度之比. [解 答] 卫星所受的引力对O 点力矩为零，卫星对O 点角动量守恒。 r m =r m νν远远近近 2384+6370 1.29439+6370d +R r r d +R νν====远近远地远近近地 5.1.2 一个质量为m 的质点沿着一条由??r =acos ti bsin tj ωω+定义的空间 曲线运动，其中a,b 及ω皆为常数，求此质点所受的对原点的力矩. [解 答] 2222????????()r =acos ti bsin tj a sin ti b cos tj a =-a cos ti b sin tj acos ti bsin tj r ωωνωωωωωωωωωωωω+=-+-=-+=- 2F m r ω=-，通过原点0τ=。 5.1.3 一个具有单位质量的质点在力场??2F =(3t -4t)i +(12t -6)j 中运动，其中t 是时间.设该质点在t=0时位于原点，且速度为零，求t=2时该质点所受的对原点的力矩. [解 答]
已知，m=1kg 有牛顿第二定律 F ma = 1??a F m 2(3t -4t)i +(12t -6)j = = 0d a ,t 0,0 dt νν=== t t 322??d adt dt ??=(t 2t )(6t 6t)2(3t -4t)i +(12t -6)j i j ν νν∴==-+-??? 同理由 ,t 0,0dr r dt ν= == t 3220 ??d [(t 2t )(6t 6t)]dt r r i j =-+-? ? ??423212r =(t -t )i +(2t -3t )j 43 ????4t =2:r =i 4j,F =4i 18j 3-++ 0????M r F ()()4i 4j 4i 18j 3=?=-+?+ x y y y x x x y y x x y ??? i j k ???A B A A A (A B A B )i (A B A B )j (A B A B )k B B B z z z z z z ?==-+-+- 0??? i j k 4?M 4 040k 3 4 18 0 =-=- 5.1.4 地球质量为24 6.010kg ?，地球与太阳相距6 14910km ?，视地球为 质点，它绕太阳作圆周运动.求地球对医圆轨道中心的角动量. [解 答] 2L rm mr , 2(rar/s) 365243600νωπ ω===?? 将 624r 14910km,m 6.010kg =?=?代入上式得 402L 2.6510kg m /s =??
大学物理动量与角动量练习题与答案
大学物理动量与角动量练习题与答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第三章 动量与角动量 一、选择题 [ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 提示：2T mg I G ?= ， v R T π2= [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸 缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． m m 0 图3-11 ? 30v 2 图3-15 θ m v R
动量与角动量
动量、角动量 一．选择题： 1．动能为E k 的Ａ物体与静止的Ｂ物体碰撞，设Ａ物体的质量为Ｂ物体的二倍，m B A m 2=。若碰撞为完全非弹性的，则碰撞后两物体总动能为 （Ａ）E k （Ｂ）k E 21 （Ｃ）k E 31 （Ｄ）k E 32 [ ] ２．质量为m 的小球在向心力作用下，在水平面内作半径为Ｒ、速率为v 的 匀速圆周运动，如图所示。小球自Ａ点逆时针运动到Ｂ点的半周内，动量的增量应为： （Ａ）2m v (B)-2m v (C)i mv 2 (D) i mv 2- [ ] ３．Ａ、Ｂ两木块质量分别为m A 和m B ，且A B m m 2=，两者用一轻弹簧连 接后静止于光滑水平面上，如图所示。若用外力将两木块压近使弹簧被压缩，然后将外力撤去，则此后两木块动能之比E kA /E kB 为 (Ａ)21 （Ｂ）２ （Ｃ）2 （Ｄ）22 [ ] ４．质量分别为m 和m 4的两个质点分别以动能E 和4E 沿一直线相向运动， 它们的总动量大小为 （Ａ）2mE 2 (B) 3mE 2 (C) 5mE 2 (D) (2mE 2)12- [ ] 5.力i t F 12=（ＳＩ）作用在质量kg m 2=的物体上，使物体由原点从静止开始运动，则它在３秒末的动量应为： （A ）s m kg i /54?- (B) s m kg i /54? (C) s m kg i /27?- (D) s m kg i /27? [ ] B v
6.粒子Ｂ的质量是粒子Ａ的质量的４倍。开始时粒子Ａ的速度为（34+）， B 粒子的速度为（2j i 7-），由于两者的相互作用，粒子A 的速度变为（7j i 4-），此时粒子B 的速度等于 （A ）j i 5- （B ） j i 72- （C ）0 （D ）j i 35- [ ] 7．一质点作匀速率圆周运动时， （A ） 它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 （B ） 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 （C ） 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。 （D ） 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。 [ ] 8．人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B 。用L 和E k 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有 (A)L B A L >,E kB kA E > （B ）L kB kA B A E E L <=, （C ）L kA B A E L ,=>E kB （D ）L kB kA B A E E L <<, [ ] 9．已知地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常 数为G ，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为 （A ）m GMR （B ） R GMm （C ）Mm R G （D ）R GMm 2 [ ] 10．体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子两端。 当他们向上爬时，在某同一高度，相对于绳子，甲的速率是乙的两倍，则到达顶点的情况是 （A ）甲先到达。 （B ）乙先到达。 （C ）同时到达。 （D ）谁先到达不能确定。 [ ] 11．一力学系统由两个质点组成，它们之间只有引力作用。若两质点所受外 力的矢量和为零，则此系统 (A)动量、机械能以及对一轴的角动量都守恒。 (B)动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能断定。 (C)动量守恒，但机械能和角动量守恒与否不能断定。
第五章 角动量角动量守恒定理
第五章角动量角动量守恒定理 本章结构框图 学习指导 本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。 基本要求 1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。 2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。 3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。 4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。 5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理， 熟练进行有关计算。
6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。 内容提要 1.基本概念 刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。即： I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。 质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。 表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量
力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）： 即： 大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向 由右手定则确定。 对于力矩的概念应该注意明确以下问题： ?区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点 的力矩在三个坐标轴上的投影： 由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。 ?明确质点系内力矩的矢量和恒为零：由于内力总是成对出现，作用力和反作用力等大、反向、在同一直线上，所以对任何参考点内力矩的矢量和恒为零。当然，对任意轴，内力矩的代数和也恒为零。 ?明确质点系的合外力矩不等于其外力矢量和的力矩：合外力矩为各外力对同一参考点的力矩的矢量和，即：。由于一般情况下，各外力的作 用点的位矢各不相同，所以不能先求合力，再求合力的力矩。但是存在特例：在求重力矩时，可以把系内各质点所受重力平移到质心C，先求出其合 力，再由得到重力的合力矩。
专题讲座6-角动量理论
专题讲座6-角动量与自旋 在量子力学中角动量算苻(包括轨道角动量,自旋角动量)满足对易关系 L L i L ?= 即 及 2 [, ]=0.L L 即 222 [, ]0, [, ]0, [, ]0,x y z L L L L L L === 另外有 2 2 2 2 ,x y z L L L L =++ 下面由这些对易关系来求本征值和本征态 2L 同L 的各分量是对易的的，我们可以期望找到2 L 和（比如说）z L 的共同本征态： 2 L f f λ= 和 .z L f f μ= 引入算苻 我们有 ()11, ()2 2x y L L L L L L i +-+-= += - ?? , L L L L +--+== (L ±不是厄密算苻) L ±与z L 的对易关系为 [, ][, ][, ]()(),z z x z y y x x y L L L L i L L i L i i L L iL ±=±=±-=±± 所以 [, ].z L L L ±±=± 当然，也有
2 [, ]0.L L ±= 定理: 如果f 是2L 和z L 的本征函数，那么L f ±也是： 证: 2 2 ()()()(),L L f L L f L f L f λλ±±±±=== 所以L f ±是2L 具有相同的本征值λ的一个本征函数。 ()()() =()(), z z z z L L f L L L L f L L f L f L f L f μμ±±±±±±±=-+=±+± 所以L f ±是z L 的一个本征函数，但是本征值为μ± 。 我们称L +为“升阶”算符，因为它使z L 的本征值增加一个 ，L -为“降阶”算符，它使z L 的本征值减少一个 。 对于一个给定的λ值，我们可以得到一个态的“梯子”，每一个“阶梯”与相邻梯级间隔为z L 的本征值相差一个 ，升高要用升阶算符，降低要用降阶算符。但是这个过程不能永远持续下去：因为这样会达到一个z 分量超过总量的态，而这是不可能的。一定存在一个最高的阶梯t f ，使得： 0.t L f += 设l 是z L 在这个最高阶梯的本征值（用字母“l ”的适当性马上明白）： 2 ; .z t t t t L f lf L f f λ== 因为 22 2 2 ()()() =(), x y x y x y x y y x z z L L L iL L iL L L i L L L L L L i i L ±=±=+-- 或者写作另一种形式， 2 2.z z L L L L L ± =+ 因此有 2 2 2222 ()(0)(1), t z z t t t L f L L L L f l l f l l f -+=++=++=+ 所以 2 (1).l l λ=+ 这告诉我们以z L 的最大量子数l 表示的2L 的本征值。 同时也存在一个最低的阶梯，b f ，使得 0.b L f -=
角动量
质点角动量定理及角动量守恒定律 3.1.1 质点的角动量 设一质量为m的质点相对于参考系中某参考点O的位置矢量为r，其瞬时速度为v，如图3-1a所示．则定义质点相对于O点的角动量L为 L=r×mv （3.1） 上式表明：质点相对于O位置矢量r与其动量mv的矢量积称为质点相对于O点的角动量．由矢量积的定义可知，质点相对于某参考点的角动量是一个矢量，L的方向与r和mv所在的平面垂直，且r、mv和L构成一右手螺旋系统．L的大小等于以r和mv作邻边的平行四边形面积，即 L=|rmvsinφ| （3.2） 式中φ是r与mv两矢量之间的夹角．
按以上定义，角动量L含有动量mv因子，因此L与参考系有关；L还含有r 因子，r又依赖于参考点的位置，所以质点对某一点的角动量也依赖于参考点的位置．例如，在图3-1b中，参考点为O点时的角动量L与参考点为O′点时的角动量L′是不同的． 应当指出的是，虽然质点相对于任一直线（例如z轴）上的不同参考点的角动量是不相等的，但这些角动量在该直线上的投影却是相等的．如图3-1b所示，取S平面与z轴垂直，则质点对于O点及O′点的角动量分别为L与L′，L和L′分别等于以r及mv为邻边及以r′及mv为邻边的平行四边形的面积，L与L′在z轴上的投影分别是L z=Lcosα和L′z=L′cosα′（α与α′分别是L与L′和z轴间的夹角），由图3-1b可见，L z和L′z分别是相应的两个平行四边形在S面上的投影面积，两者是相同的，故L z=L′z． 我们把质点对z轴上任意一点的角动量L在z轴上的投影，叫做质点对于z 轴的角动量，用L x表示．上面已证明，L z的数值是与参考点无关的． 在国际单位制中，角动量的单位为千克·米2／秒（kg·m2·s-1）． 例1如图3-2所示，质量为m的质点以速率v绕半径为r的圆轨道作匀速率运动．求此质点相对于圆心O点的角动量． 解质点作圆周运动时，其速度v处处与位置矢量r垂直，r和mv L的方向由右手螺旋法则确定，即将右手的四指由r的正向以小于π的角度转向mv的正向，则拇指所指即为L的方向．这里角动量L的方向垂直于圆平面向外． 设质点的角速度大小为ω，因v=rω，所以上式也可写作
大学物理动量与角动量练习题与答案
第三章 动量与角动量 一、选择题 [ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2mv ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 提示：2T mg I G ?=? ， v R T π2= [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开 始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． 提示：下面的细线能承受的拉力大于所施加的最大力，所以下面的细线不断。 对重物用动量定理： 0' ' ' =--? ?? ++dt T mgdt dt T t t t t t 下上 ' t 为下拉力作用时间，由于' t t >>，因此，上面的细线也不断。 二、填空题 5．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船．第一只船在左边，其上站一质量为m 的人，该人以水平向右速度v ? 从第一只船上跳到其右边的第二只船上，然后又以同 样的速率v 水平向左地跳回到第一只船上．此后 (1) 第一只船运动的速度为v ? 1＝ 02m v m m - +v 。 (2) 第二只船运动的速度为v ? 2＝0 2m v m v 。（水的阻力不计，所有速度都 m m 0 图3-11 ?30v ?2 图3-15 θ m v ? R
动量和角动量
０一叶一世界 第四章 动量和角动量 §4.1 动量守恒定律 一、冲量和动量 1.冲量 定义：力的时间积累。 dt F I d =或? =21 t t dt F I 2.动量 定义：v m P = 单位：kg.m/s 千克.米/秒 二、动量定律 1.质点动量定理 内容：质点所受的合外力的冲量等于质点动量的改变量。 冲量的方向与动量改变量的方向相同。 在直角坐标系下的表示 平均冲力：1 22 1 t t dt F F t t -= ? 1 212 t t P P --= 2.质点系动量定理 系统所受合外力的冲量等于系统总动量的改变量。 三、动量守恒定律 条件：若系统所受的合外力0=合F ，则： 结论：= ∑i i i v m 恒量
１一叶一世界 四、碰撞 1、恢复系数 10 201 2v v v v e --= 2、碰撞的分类 完全弹性碰撞 0=e 机械能不损失 完全非弹性碰撞 1=e 机械能损失 完全弹性碰撞 10< 角动量守恒 现在我们来讨论物体的转动。有关转动的运动学我们在第一章已经了解得很 清楚了，有趣的是，你发现在转动和线性运动之间几乎每一个量都是相互对应的。 譬如，就象我们讨论位置和速度那样，在转动中可以讨论角位置和角速度。速度 说明物体运动得多快，而角速度则反映了物体转动的快慢，角速度越大，物体转动得越快，角度变化也越快。再继续下去，我们可以把角速度对时间微分，并称2 d dt d dt αω==ΦK K K 2为角加速度，它与通常的加速度相对应。 当然，转动只是一种形式稍微特殊一点的运动，其动力学方程也就无外乎 Newton 定律了。当然，由于这种运动只涉及转动，因此，我们也许可以找到一 些更加适合描述转动的物理量以及相应的作为Newton 第二定律推论的动力学 方。为了将该转动动力学和构成物体的质点动力学规律联系起来，我们首先就应 当求出，当角速度为某一值时，某一特定质点是如何运动的。这一点我们也是已 经知道了的：假如粒子是以一个给定的角速度ωK 转动，我们发现它的速度为 v r ω=×K K K (1) 接下来，为了继续研究转动动力学，就必须引进一个类似于力的新的概念。 我们要考察一下是否能够找到某个量，它对转动的关系就象力对线性运动的关系 那样，我们称它为转矩(转矩的英文名称torque 这个字起源于拉丁文torquere ，即 扭转的意思)。力是线性运动变化所必须的，而要使某一物体的转动发生变化就 需要有一个“旋转力”或“扭转力”，即转矩。定性地说，转矩就是“扭转’；但 定量地说，转矩又应该是什么呢？因为定义力的一个最好的办法是看在力作用下 通过某一给定的位移时，它做了多少功，所以通过研究转动一个物体时做了多少 功就能定量地得出转矩的理论。为了保持线性运动和转动的各个量之间的对应关 系，我们让在力作用下物体转过一个微小距离时所做的功等于转矩与物体转过的 角度的乘积。换句话说，我们是这样来定义转矩，使得功的定理对两者完全相同： 力乘位移是功，转矩乘角位移也是功。这就告诉了我们转矩是什么。如果粒子的 位矢转过一个很小的角度，它做了多少功呢？这很容易。所做的功是 第五节-角动量角动量 守恒定理 第五章角动量角动量守恒定理 本章结构框图 学习指导 本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。 基本要求 1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。 2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。 3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。 4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。 5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定 理，熟练进行有关计算。 6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。 内容提要 1.基本概念 刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。即： I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。 质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。 表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量 力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）： 即： 大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。 角动量守恒定理及其应用 角动量守恒定理及其应用 摘要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分，角动量的研究主要是对于物体的转动方面，并且可以延伸到量子力学以、原子物理及天体物理等方面。角动量这一概念范畴系统的介绍的力矩、角速度、角加速度的概念，并且统筹的联系到质点系、质心系、对称性等概念。 关键词:角动量；力矩；角动量守恒；矢量；转动；应用 Angular momentum conservation theorems and their application Abstract:Angular momentum to the concept of classical physics there is an important component of angular momentum of research mainly for the rotation, and may extend to the quantum mechanics and physical and in the astrophysical. angular momentum in the categorical system of the present moment, the angular velocity, the concepts of angular acceleration and co-ordination of the particle, the quality of heart, symmetry, and concepts. Key words:Angular momentum;Torque; Conservation of angular momentum; Vector; Turn; application. 引言 在研究物体运动时,人们经常可以遇到质点或质点系绕某一定点或轴线运动的 情况。例如太阳系中行星绕太阳的公转、月球绕地球的运转、物体绕某一定轴的转动等,在这类运动中,运动物体速度的大小和方向都在不断变化,因而其动量也在不 断变化。在行星绕日运动中,行星受指向太阳的向心力作用,其运动满足角动量守恒。我们很难用动量和动量守恒定律揭示这类运动的规律,但是引入角动量和角动量守 恒定律后,则可较为简单地描述这类运动。 角动量可从另一侧面反映物体运动的规律。事实上,角动量不但能描述宏观物体的运动,而且在近代物理理论中,角动量对于表征状态也必不可少。角动量守恒定律在经典物理学、运动生物学、航空航天技术等领域中的应用非常广泛。角动量在20 角动量定理及角动量守恒定律 一、力对点的力矩： 如图所示，定义力F 对O 点的力矩为： F r M ?= 大小为： θsin Fr M ＝ 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时，拇指指向的方向就是力矩的方向。 二、力对转轴的力矩： 力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。 1）力与轴平行，则0=M ； 2）刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之 间的距离d 称为力对转轴的力臂。力的大小与力臂的乘积，称为力F 对 转轴的力矩，用M 表示。力矩的大小为： Fd M ＝ 或： θsin Fr M ＝ 其中θ是F 与r 的夹角。 3）若力F 不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一 个与转轴平行的分力1F ，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响。 对于定轴转动，力矩M 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。 三、合力矩对于每个分力的力矩之和。 合力 ∑=i F F 合外力矩 ∑∑∑=?=?=?i i i M F r F r F r M ＝ 即 ∑i M M ＝ 四、质点的角动量定理及角动量守恒定律 在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线)动量所起的作用相类似。 在研究力对质点作用时，考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时，引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容。本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守恒定律。 下面将从力矩对时间的累积作用，引入的角动量的概念，讨论质点和刚体的角动量和角动量守恒定律。 1．质点的角动量（Angular Momentum ）——描述转动特征的物理量 1）概念 一质量为m 的质点，以速度v 运动，相对于坐标原点O 的位置矢量 一、力矩的一般意义 = r f1+ r f2+ … + r f n= m1+ m2 + … + m n 这表示, 合力对某参考点o的力矩等于各分力对同一点力矩的矢量之和。 二、力对轴的力矩 §4-2质点角动量守恒定律 一、角动量 l = r *m v (4-5) 这表示, 一个质点相对于参考点o的角动量等于质点的位置矢量与其动量的矢积。如果位置矢量r与动量m v之间的夹角为 , 那么角动量的大小由下式给出 (4-6) 2、物理含义质点对通过参考点o的任意轴线oz的角动量l z, 就是质点相对于同一参考点的角动量l沿该轴线的分量。由图4-3可以看出, l z可表示为 (4-7) 二、角动量定理 1、定义质点在合力f的作用下, 某瞬间的动量为m v, 质点相对于参考点o的位置矢量为r, 显然此时质点相对于参考点o的角动量为 l = r m v . (4-10) 2、角动量定理作用于质点的合力对某参考点的力矩，等于质点对同一参考点的角动量随时间的变化率。这个结论称为质点角动量定理。 3、对坐标轴的投影若把矢量方程式(4-10)投影到oz轴上, 则可得到 (4-11) 三、质点角动量守恒定律 1、守恒条件根据式(4-10), 如果作用于质点的合力对参考点的力矩等于零, 即m = 0, 那么 即 l= 恒矢量 (4-13) 这表示, 若作用于质点的合力对参考点的力矩始终为零, 则质点对同一参考点的角动量将保持恒定。这就是质点角动量守恒定律。 例题： 4/不可伸长的轻绳跨过一个质量可以忽略的定滑轮，轻绳的一端吊着托盘(见图4-8)，托盘上竖直放着一个用细线缠缚而压缩的小弹簧，轻绳的另一端系一重物与托盘和小弹簧相平衡，因而整个系统是静止的。设托盘和小弹簧的质量分别为M和m，被细线缠缚的小弹簧在细线断开时在桌面上竖直上升的最大高度为h。现处于托盘上的小弹簧由于缠缚的细线突然被烧断，能够上升的最大高度是多大？ 解根据题意，重物的质量为M+ m，以托盘、弹簧、重物和滑轮为质点系。以滑轮中心为参考点，系统所受合外力矩为零，故角动量守恒，即 定义1 向量的向量积 设a 和b 为两个向量，a 与b 之间的夹角为θ（0 ≤ θ ≤ π），则存在向量c ，满足 （1）向量c 的模|c | = |a ||b |sin θ； （2）向量c 与向量a 和b 分别垂直，c 的方向与a 和b 的方向按照由a 转向b 的右手螺旋法则确定（图1.1）。 这样规定的向量c 定义为向量a 和b 的向量积（也称叉积或外积），记为 c = a × b 注意，对于两个向量a 和b ，与a 和b 的数量积a ? b 不同， a 和 b 的向量积a × b 也是一个向量，如果向量a 和b 不平行，则 a × b 与向量a 和b 构成的平面垂直，即a × b 与a 和b 都垂直。 向量a 和b 的向量积a × b 满足以下运算性质： （1）反交换律：a × b = ? b × a ； 图1.1 向量的向量积 （2）分配律：(a + b ) × c = a × c + b × c ； （3）数乘结合律：(λa ) × b = a ×(λb ) = λ(a × b )（λ为任意实数）。 根据向量积的定义和运算性质，容易得到（这里0表示零向量）： （1）a × a = 0； （2）设a 和b 为两个非零向量，则有a × b = 0 ? a ∥b 。 设i ，j ，k 为空间直角坐标系中的基向量（单位向量），则有 （1）i ? i = j ? j = k ? k = 1，i ? j = j ? k = k ? i = 0； （2）i × i = j × j = k × k = 0； （3）i × j = k ，j × k = i ，k × i = j ， 图1.2 基向量之间的关系 j × i = ? k ，k × j = ? i ，i × k = ? j 。 向量积可以根据运算性质计算，设向量a 和b 在空间直角坐标系中的形式分别为a = a x i + a y j + a z k = (a x ，a y ，a z )，b = b x i + b y j + b z k = (b x ，b y ，b z )，则（运算过程略） a × b = (a x i + a y j + a z k ) × (b x i + b y j + b z k ) = (a y b z ? a z b y )i + (a z b x ? a x b z )j + (a x b y ? a y b x )k = (a y b z ? a z b y ，a z b x ? a x b z ，a x b y ? a y b x ) 向量积也可以用三阶行列式展开成二阶行列式进行形式上的计算： a × b =???? ??i j k a x a y a z b x b y b z =????a y a z b y b z i ?????a x b z a x b z j +????a x a y b x b y k = (a y b z ? a z b y )i ? (a x b z ? a z b x )j + (a x b y ? a y b x )k角动量定理
第五节-角动量角动量守恒定理讲解学习
角动量守恒定理及其应用
角动量定理及角动量守恒定律
角动量
力矩和角动量定理