文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 多项式

多项式

多项式
多项式

本章将系统地讨论多项式的有关理论;和中学内容相比,其深度、广度以及规范化程度都明显加强了,证明部分也增加了,因此学好本章不容易.要正确掌握概念,学会严谨地推导和计算.

§1 数域

◎ 本节重点:数域的概念与性质;本节难点:数域的证明.

一、数域的概念

1.定义 P 称为数域?P 是至少含有两个数的复数子集,四则运算封闭. (数环)

(实际上只要减法和除法封闭即可)

2.特殊的数域:有理数域Q ;实数域R ;复数域C (整数集Z 不是数域)

},|2{Q b a b a F ∈?+=构成一个数域.(特点:有理数+有理数2?.注意:R F Q ??)

【问题】Q 有何作用?如果只要求Z b a ∈,,则F 不是数域(是数环).(为什么?)

二、数域的性质

1.数域必为无限集.

2.数域有无限个. k Q b a k b a F k },,|{∈?+=是素数.

3.有理数域是最小数域(证明:P3);复数域是最大数域.

【问题】P 为数域P Q ???←?→?)(??

三、课后思考题

◎ R Q ,之间存在其他数域?C R ,之间存在其他数域?为什么?

证明:1)数域是素数k Q b a k b a F },,|{∈?+=

2)设12-=i ,0P 是C R ,之间的数域,

如果R P ≠0,则0P 包含所有实数,且有某个{}0,000-∈∈R b P i b ;由除法封闭得0P i ∈

R b a ∈?,,利用加法和乘法的封闭性得0P bi a ∈+,即得C P =0

◎两个数域的交集是不是数域?并集呢?

§2 一元多项式

◎ 本节重点:一元多项式的概念与运算;本节难点:多项式乘积的系数确定.

一、基本概念

1.一元多项式:形式表达式0111a x a x a x a n n n n ++++--

(区别:中学多项式x 是未知数,这里x 则表示任意数学对象,具有更一般的意义不涉及变元的实际意义,故称形式表达式,目的是讨论问题更具普遍性,即已推广.)

【问题】不是多项式的例子:根号、分数幂、除式、三角函数…… 数是不是多项式?(是)

2.几个概念:i 次项;系数;首项;次数))((x f ?

3.相等:同次项的系数全相等

4.零多项式0:系数全为零的多项式(易错点:零多项式没有次数)

【问题】零次多项式=?;等于零多项式?))((x f ?何时有意义?

二、多项式的运算

这里的多项式是原来多项式的推广,因此运算需要重新定义.

1.加(减)法:同次项的系数相加(减)

2.乘法:0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ;0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=--

乘积为001001111)()()()(b a x b a b a x b a b a x b a x g x f m n m n m n m n m n ++++++=-+--+

其中s 次项的系数是 ∑=+--=

++++s j i j i s s s s b a b a b a b a b a 011110 注意:s j i m j n i =+≤≤;,

求乘积中3-+m n x 的系数 (m n m n m n m n b a b a b a b a 312213------+++)

――为什么不是 ++-+-+1403b a b a m n m n ?

3.运算规律:(交换律、结合律、分配律、消去律.和数一样)

4.次数定理

三、一元多项式环

][x P =所有系数在数域P 中的一元多项式的全体.(对加、减、乘运算封闭) (P 的作用?)

四、课后思考题

◎ 高等代数中的多项式与中学多项式有区别吗?乘积的系数有何规律?

§3 整除的概念

◎ 本节重点:带余除法、整除;本节难点:带余除法的应用.

一、带余除法 (联系整数的带余除法)

定理:)()()()(x r x g x q x f += 其中:余式条件是 ))(())((0)(x g x r or x r ?

唯一(不为0)唯一

(商式) (余式)

证明:存在性.长除法(数学归纳法) 唯一性.(反证.考虑次数)

二、整除的概念与性质

1.定义 多项式)(x g 在数域P 上整除)(x f ?存在][)(x P x h ∈使)()()(x h x g x f =.

因式 倍式 ――用“)(|)(x f x g ”表示)(x g 整除)(x f ,用“)(|)(x f x g /

”表示)(x g 不能整除)(x f . 【注意】1)h g f ,,必须都是多项式(否则x x x x x |1

22?=??)

2))(|)(x f x g 不是)(/)(x f x g (后者表示分式,前者表示整除关系)

下面考虑整除性和余式的关系:

2.定理1 设0)(≠x g ,则)(|)(x f x g 的充要条件是)(x g 除)(x f 的余式为零.

证明:主要用到余式的唯一性.

【易错点】)(|)(x f x g /

?)()()()(x r x g x q x f +=,且 ?? ))(())((x g x r ?

?→?≠+=?0)(),()()()(x r x r x g x h x f )(|)(x f x g /

)()()2()()(|)2(2

2b ax x h x x f x f x +++=?/+

证明:设a x xh x f +=)()(1;b x xh x g +=)()(2

有0)]()()()([)()(1

221=??→?+++=ab ab x x bh x ah x h x xh x g x f 条件 (另证:不可约性质;或者根与一次因式的关系)

3.基本性质(略) 三、思考题

1.当0≠c ,)(|)()(|)()(|)(??x f x cg x cf x g x f x g ?→←?→← (√,√)

2.)(|)(1x f x g 且)()(|)()()(|)(21?

?2x f x f x g x f x g +??←?→? (√,×)

3.)(|)(1x f x g 或)()(|)()()(|)(21??2x f x f x g x f x g ???←?→? (√,×)

4.3|2(?)――看成多项式的整除,对;看成整数的整除,错.

例 设n m ,为正整数,0≠a ,证明n m a x a x n n m m ||?--.【特例1=a 】

证法:设m r r mq n <≤+=0,,则 )()(r r m q m q m q r m q r m q r r m q r m q n n a x a a x x a x a x a a x x a x -+-=+--=-

考虑到mq mq m m a x a x --|,于是n m r a x a x a x a x m r r r m m n n m m |0||0?=?--?--<≤.

【本节重点】带余除法、整除性质.

§4 多项式的最大公因式 ◎ 本节重点:最大公因式的求法和性质;本节难点:相关的证明. 一、两个多项式的最大公因式

思考:怎样刻划公因式的“最大”性?

1.定义 )(x d 称为)(x f ,)(x g 的一个最大公因式,如果它满足下面两个条件:

1))(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式; 2))(x f ,)(x g 的公因式全是)(x d 的因式.(“最大”) 即:)(|)(),(|)(x g x d x f x d ;若)(|)(),(|)(x g x m x f x m ,则必有)(|)(x d x m .【)(()((x d x m ?≤?】 注:最大公因式=次数最高的公因式(因此也称最高公因式)

2.基本性质:

1))()(|)(x g x f x g ?是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.

(特例))(x f 是)(x f 与0的一个最大公因式.两个零多项式的最大公因式就是0.

2) )(x d 为),(x f )(x g 的一个最大公因式??

→?≠?0c )(x cd 也是)(x f ,)(x g 的一个最大公因式. 3))(),(21x d x d 都是),(x f )(x g 的最大公因式0),()(21≠=?c x cd x d (因为互相整除) 可见:最大公因式有无数个;但相差不大.

【记号】=),(g f 首项系数为1的最大公因式.(唯一确定) 比如1))1(3,1(,2

3)64,32(2-=--+=--+x x x x x x 下面要解决两个问题:存在性、求法.

3.引理 ))(),(())(),(()()()()(x r x g x g x f x r x g x q x f =?+= (证法典型) 证明:设),()(g f x d =,则它首项系数为1.只要再证是)(),(x r x g 的最大公因式(按定义).

4.定理2 任意两个多项式)(),(x g x f 必存在一个最大公因式)(x d ,且)(x d 可以表成)(),(x g x f 的一个组合,即有多项式)(),(x v x u 使)()()()()(x g x v x f x u x d +=.

(本定理说明存在性.证明过程还给出了最大公因式的求法.)

证明:(略)

设)()()()(11x r x g x q x f += )()()()(212x r x r x q x g += 0)()()(231+=x r x q x r 试求)(),(x v x u 使得vg uf g f +=),(

解:最大公因式为)()1()()()()()(21212122x g q q f q g q f q g x r x q x g x r ++-=--=-= 设a 是)(2x r 的首项系数,则a x r g f /)(),(2=.取a q q x v a x q x u /)1()(,/)()(212+=-= ◎ )(),(x v x u 的取法不唯一(为什么?可fg ±).

【问题】定理2的逆定理不成立.),()()()()()(??g f vg uf x g x v x f x u x d =+?→?+= 【易错点】 ――需要加条件:)(x d 是g f ,的公因式.(教材习题8)(反例:x x x x x ?+?=22)

5.求法(因式分解法、辗转相除法)

(P15)注意格式以及首项系数1

二、两个多项式的互素

【问题】考虑2,-x x 的公因式和最大公因式.?)2,(=-x x

1.定义 )(x f ,)(x g 称为互素(也称为互质)?1))(),((=x g x f

显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式(非零常数),反之亦然.

2.定理3(互素判定定理)1))(),((=x g x f ?存在多项式...)(),(x v x u 使1)()()()(=+x g x v x f x u . 证明:? 定理2;? 最大公因式定义

注意:1)已知1),(=g f ,只能得到)(),(x v x u 的存在性,不能具体假设?)(?,)(==x v x u .

2)要证1),(=g f ,可适当选取)(),(x v x u ,满足1)()()()(=+x g x v x f x u

3)1),(1)()

()()()()(??2121=?→?=+g f x g x v x v x f x u x u (因为不是多项式) 4)互相不整除就互素?)(|)(x f x g /且)(|)(x g x f /1),(??=?→?g f (反例:)1(,2+x x x )

5)零次多项式与任何多项式都互素.

3.定理4 )()(|)(x h x g x f ,且1))(),((=x g x f ?)(|)(x h x f . (互素条件不可少;反例)

4.推论 )(|)(),(|)(21x g x f x g x f ,且1))(),((21=x f x f ?)(|)()(21x g x f x f .

1))(),((1=x g x f ,1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f (另证见§5) 推广:1),(1),(=?=r k g f g f

三、多个多项式的最大公因式与互素(结论类似)

考虑:怎么定义?

四、课后思考题

◎ 互素判定定理中的)(),(x v x u 为什么必须是多项式?

【本节重点】最大公因式的求法与证明。互素的证明.

§5 因式分解定理

◎ 本节重点:不可约多项式,因式分解定理;本节难点:不可约多项式. 一、不可约多项式

1.定义 设1)(],[)(≥?∈f x P x p

)(x p 在数域P 上不可约多项式?它不能表成P 上的两个次数比)(x p 的次数低的多项式的乘积. 注:1))(x p 在数域P 上不可约多项式?它不能表成P 上的两个次数1≥多项式的乘积.

2)不可约多项式的次数1≥(前提);一次多项式在任何数域不可约的.

3)不可约性和所考虑的数域有关. (R Q x ,,22-)

4)区别:不可约是多项式本身..的特性;互素则是多项式之间..

的关系.两者不同. 2.性质1 )(x p 不可约?)(x p 只有两种因式:,c )0)((≠c x cp . (相当于素数)

证明:?设有第三种因式)()(1),(x p x g x g ?

则1)(≥?x h ,从而)(x p 可约.

? )(x p 可约,则有)()()(x g x h x p =且1)(≥?x h ,1)(≥?x g ,得到第三种因式.

3.性质2 )(x p 不可约???→?任意)(x f )(|)(x f x p 或者1))(),((=x f x p .

证明:设)())(),((x d x f x p =,首一,利用性质1有)()(1)(x cp x d or x d ==

4.定理5 ???→?不可约)()()(|)(x p x g x f x p )(|)(x f x p 或者)(|)(x g x p . (反证.性质2)

(可推广为有限个)

)(|)(|)()(|x g x or x f x x g x f x ?

二、因式分解定理

因式分解及唯一性定理 数域P 上次数1≥的多项式)(x f 都可以唯一..

地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.(唯一性是说……P19) (证明方法:数学归纳法;利用不可约多项式的性质) 意义:理论价值;缺点:没有具体因式分解的方法(实际上也没有一般性的分解方法.比如Q 上存在任意次数的不可约多项式;四次以上的一元高次多项式没有公式解)

推论:次数1≥的多项式必有不可约因式.

如果1))(),((1=x g x f ,1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f

证明:若1),(21≠g f f ,则必有不可约公因式,设为)(x p ,从而g p |且21||f p or f p 矛盾

三、标准分解式 (区别于一般分解式)

1.定义 )()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =,要求)(x p i ――首一、不可约、互不相同

)3/2)(2/1(6)32)(12(276)(2---=--=-+-=x x x x x x x f

2.性质 若)()()()(2121x p x p x ap x f s r s r r =, ,2,1,0,),()()()(2121==i i k s k k k r x p x p x bp x g s 则 最大公因式),min(),()()())(),((2121i i i t

s t t k r t x p x p x p x g x f s == (注意允许取0次幂)

证明n n n x g x f x g x f ))(),(())(),((= (考虑标准分解式)

四、课后思考题 N

n m g f fg g f g f g f g f f g f n m ∈=?=+?=+-?=+?=,,1),(1),(1),(1),(1),(【本节重点】不可约多项式的特征,因式分解定理的应用.

§6 重因式

◎ 本节重点:重因式的判别;本节难点:相关证明.

一、重因式的定义

1.定义 )(x p 称为)(x f 的k 重因式?1))(x p 不可约;2))(|)(x f x p k ;3))(|)(1x f x p k /+

1>k ――重因式;1=k ――单因式;0=k ――不是因式

2.注意事项:1))(x p 为)(x f 的k 重因式?)(x p 不可约且)()()(x g x p x f k =,)(|)(x g x p /

2)重因式?因式、不可约 3)?)(|)(x f x p k 重数k ≥ (比如)(|)1(32x f x -)

重因式的判别一般利用多项式的导数: 二、多项式的导数及其求导法则(和数学分析相同)

【要点】 1)(-='k k akx ax ;1)()(-='??=?n x f n x f ;0)()()1(=?=?+x f

n x f n 三、重因式的判别与求法

1.定理6 不可约)(x p 是)(x f 的)1(≥k k 重因式?)(x p 是微商)(x f '的1-k 重因式.

【易错点】反之不然(反例). [需要附加条件――)(x p 是)(x f 的因式]

2.推论1如果不可约)(x p 是)(x f 的)1(≥k k 重因式,那么)(x p 是)(x f ,)(x f ',…,)()1(x f k -的因式,但不是)()(x f k 的因式. (证明:反复利用定理6)

3.推论2 不可约式)(x p 是)(x f 的重因式的充要条件是)(x p 是)(x f 与)(x f '的公因式.(?反证)

4.推论3 )(x f 没有重因式的充要条件是1))(),((='x f x f (互素) (推论2逆否命题)

【问题】给定一个多项式,如何判定有没有重因式?怎么求?

2653)(2345+-++-=x x x x x x f 是否有重因式?若有,求出.并求在Q 上的标准分解式.

解 6103125)(234-++-='x x x x x f 由辗转相除法求得

22)1(12),(-=+-='x x x f f ,重因式为1-x (注意:不是2)1(-x )

,重数2≥ 设)()1()(2x h x x f -=,由长除法得)2)(1(22)1/()()(2

232--=+--=-=x x x x x x x f x h 得 )2()1()(23--=x x x f

四、单因式化法

有时,需要考虑没有重因式的多项式.有下面结论:

命题:),/()(f f x f '没有重因式;与)(x f 有完全相同的因式(重数不一样而已)

证明:设标准分解式为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =,)(x p i 是f 的i r 重因式,由定理6 )(x p i 是

f '的1-i r 重因式.于是 )()()(),(1121121x p x p x p f f s r s r r ---=' 得到)()()()

,(21x p x p x cp f f f s ='即证. ――这样,想求f 的不可约因式,只需求次数较低的多项式),/()(f f x f '的不可约因式即可.这种方法称为单因式化法.

五、课后思考题

◎ 定理6的逆命题成立的附加条件是什么?

【本节重点】重因式的判别与求法.

§7 多项式函数

◎ 本节重点:多项式的根与重根;本节难点:重根问题. 一、两种观点

看待多项式,有两个观点:1)形式表达式.此时x 是文字(可以是数、矩阵等数学对象),目的:便于研究性质.两个多项式相等是指它们的所有同次项相等;2)函数观点. 此时x 是自变量,两个多项式函数相等[恒等]是指所有对应的函数值相等;目的:研究根问题.本节用函数角度研究多项式,并论证两个观点是统一不矛盾的.(中学不加区别)

二、余数定理与综合除法

1.余数定理 用a x -去除多项式)(x f ,所得的余式是一个常数)(a f (利用带余除法易证)

【比较】用a x +去除多项式)(x f ,所得的余式是一个常数)(a f -

◎ 余数和根联系密切.如何确定余数?长除法.此外,更常用的是综合除法(补充):

2. 综合除法(作用:验根及其重数)

【问题】求b x -除n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 的商式和余数.

利用比较系数法推导可得以下结论:

格式: b 12

101210

)(---+n n n

n bk bk bk bk a a a a a 1210......-n k k k k r

结论:商式=12110---+++n n n k x k x k 余数=r

要点:b b x -→+;缺项补0 、上下相加(不是减法)

32973)(234+-+=x x x x f ,求2+x 除)(x f 的商式和余数;并把)(x f 表成2+x 的方幂和.

解 反复利用综合除法(2-=b ):

-【按方幂展开的其他方法】

)待定系数法

)二项式公式法:k k b b x x ))((+-=

)泰勒展开式:

n n b x n b f b x b f b f x f )(!)())(()()()(-+-'+= )0()1(=→=?+n f n f

12)2(24)2(21)2(17)2(3)(234-+++++-+=x x x x x f

三、多项式的根 (把多项式看出函数,目的就是要研究根的问题.)

1.定义 a 称为)(x f 的根(或零点)0)(=?a f (抽象代数里,根可推广,未必是数.)

由此引入重根的概念:

3.重根:a 称为)(x f 的k 重根a x -?是)(x f 的k 重因式.

【问题】a 为)(x f 的k 重根)(????←?→?a 为)(x f '的1-k 重根

问1是2653)(2345+-++-=x x x x x x f 的几重根? (综合除法;3重)

――如果未知是1,怎样求重根?(先求重因式:2)1(),(-=='x f f ,再检查重数) ――)2()1()(23--=x x x f

1|)1(342++-bx ax x ,求b a , (3,-4)

解1:带余除法,得余式(一次),令余式为0. 解2:利用重根:0)1(,0)1(='=f f

?=a 时,a x x x f +-=3)(3有重根?

解 设重根为b ,有0)()(='=b f b f ,求得1,2±=±=b a

4.根与次数的关系:

定理8 根的个数≤次数.(重根按重数计算)

证明:n 次多项式最多有n 个一次因式(表达式观点),从而最多有n 个根.

【问题】三角函数是不是多项式?(不是.因为有无限个根,而多项式的次数是有限的)

四、两个观点的统一性

多项式函数是由多项式表达式定义的,不同的多项式定义出来的多项式函数是否一定也不同?

1.定理9 如果多项式)(x f ,)(x g 的次数都不超过n ,而它们对1+n 个不同的数有相同的值

那么)()(x g x f = (指表达式相等)

证明:反证法.如果0≠-g f ,则n g f ≤-?)(,但却有1+n 个根,矛盾.

证明:2222)

)(())(())(())(())(())((x b c a c b x a x c a b c b a x c x b c a b a c x b x a =----+----+---- (证:有3个不同根) 2.统一性:两个多项式相等当且仅当对应的多项式函数恒等.即g f x g x f =?=)()(

证明:必要性.多项式?=)()(x g x f 有完全相同的项)()(,a g a f P a =∈??即多项式函数恒等. 充分性. 多项式函数恒等,即)()(,a g a f P a =∈?,说明有无穷多个不同的数使它们等值,

利用定理9知)()(x g x f =

【数域中有无穷多个数是充分性证明的关键…反例:抽象代数中的模3剩余类环{}]2[],1[],0[3=Z 是个三元域(有限),考虑多项式][)(33x Z x x x f ∈-=,有3,0)(Z a a f ∈?=.所以从函数角度看有0=f ,但f 不是零多项式.可见理论上g f x g x f ==),()(并不总是等价的.】

上面结论表明,数域上的多项式函数的恒等与多项式表达式的相等实际上是一致的.

五、课后思考题

◎ 有重根?有重因式?(对) 有重因式?有重根?(错)

【本节重点】综合除法、根与因式的关系.

§8 复系数和实系数多项式的因式分解

◎ 本节重点:R C ,上的因式分解定理;本节难点:实系数多项式的因式分解.

本节在特殊数域R C ,上讨论因式分解问题的特殊性. 一、复系数多项式的因式分解

1.代数基本定理: 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中至少有一个根. (证明不要求)

◎早在1629年,就有人断言成立,但没有证明.1799年,高斯(Gauss ;1777-1855)在他的博士论文中给出了第一个严格证明;之后又陆续给出了多种证法.其中,用复变函数的结论证明较简单. ◎该定理只肯定了根的存在性,并没给出具体求法.

该定理等价于“每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一个一次因式”.因此,

2.C 上的不可约式:只有一次多项式;2≥次必可约.

3.因式分解定理:每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.

4.标准分解式:s l

s l l n x x x a x f )()()()(2121ααα---= 其中i α是不同的复数,i l 是正整数. ◎ 标准分解式说明了每个n 次复系数多项式恰有n 个复根(重根按重数计算)

5.根与系数的关系(补充.§11有)[Viete 定理(韦达.法国,16世纪)]

推导:设n 次多项式n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 的n 个复根为n x x x ,,,21 ,则 )()(101110n n n n n x x x x a a x a x a x a --=++++-- ,展开右边,比较系数,可得

???????????-=+++=+++-=-n n n n n n x x x a a x x x x x x a a x x x a a 210

131********)1()

( 二、实系数多项式的因式分解

1.常用引理:实系数多项式的虚根共轭成对(且重数相同). 【补充:共轭数的性质】

2.因式分解定理:每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式(何时不可约?判别式小于0)的乘积. (注:一次因式与二次不可约因式不一定同时出现) 证明:数学归纳法.必有一个复根,讨论分别是实数根、复数根的情况.

3.R 上不可约式:一次多项式外,含非共轭虚根的二次多项式.

4.标准分解式:r s k

r r k l s l l n q x p x q x p x c x c x c x a x f )()()()()()(211221121++++---=

其中r r s q q p p c c ,,,,,,,,111 全是实数,s l l l ,,,21 ,r k k ,,1 是正整数,并且 ),,2,1(2r i q x p x i i =++是不可约的,也就是适合条件r i q p i i ,,2,1,042 =<-

写出R 三次多项式的所有标准分解式类型.

解 1)三个一次因式; 2)一个一次因式和一个一次因式的平方;

求a x n -与a x n +在R 上的标准分解式(+∈R a ) (取5=n ) (1,...,2,1,0-=n k )

解 )2sin 2(cos )(ππk i k a x a x n n n n +-=-的n 次单位根为)2sin 2(cos n

k i n k a n k ππε+= ))2sin()2(cos()(ππππ+++-=+k i k a x a x n n n n 的)2sin 2(cos n k i n k a n k ππππε+++= 注意到虚根共轭成对(1,2,1,-==-n k k n k εε),以及εεεεεε++-=--x x x x )())((2 是实系数,n k a n k k k n k πεεεε2cos

2=+=+-.讨论n 的奇偶性,即可得分解式. ――-分解a x n - n 奇:只有一个实根n a =0ε,此时

))1(cos 2()2cos 2)(()

)(())()()()((222222

121222222112n n n n n n n n n n n n n n a n n a x x a n a x x a x a x x a x x a x x a x a x +--+--=++-++-++--=-+---ππεεεεεε n 偶:有两个实根 n a =0ε,n n n a n n i n n a -=?+?=)22sin 22(cos 2

π

πε ))2(cos 2()2cos 2)()(()

)(())()()((2222

2222222112n n n n n n n n n n n n n n a n n a x x a n a x x a x a x a x x a x x a x a x a x +--+-+-=++-++-+-=-+--ππεεεε 三、课后思考题

◎ 实数域上,①次数3≥的多项式必可约?②次数满足什么条件的多项式必有实根?

【本节重点】R C ,上的不可约类型.

§9 有理系数多项式

◎ 本节重点:有理根的求法,Q 上不可约判别法;本节难点:Eisenstein 定理证明.

Q 上的因式分解问题比R C ,的情况复杂得多.主要内容:有理根的求法;

Q 上不可约式的判别法. 一、有理系数多项式的因式分解问题

1.本原多项式:整系数,系数之间整体互素(没有异于〒1的公因子)

◎ 任何非零有理系数多项式一定可以表示成一个本原多项式的有理数倍数.

(提取各系数的公分母,化为整系数;再提取公因子,化为本原)

2.高斯引理:本原〓本原=本原

证明:(体会证明技巧.反证法,假设出第一个不被素数整除的系数,再考虑对应乘积的系数)

3.定理11 如果整系数式能分解成两个次数较低的有理系数式的乘积,那么它一定可以分解两个

次数较低的整系数式的乘积. (说明了有理系数式的因式分解问题可转化为整系数式的因式分解)

二、有理系数多项式的有理根

1.必要性:(定理12)

【注】证明过程还可得出:)1(|),1(|-+-f r s f r s (作用:缩小有理根的范围)

2.有理根的求法

1)有理系数先化为整系数; 2)确定可能的有理根范围:±常数项因子/首项系数因子;

3)验证:直接代入或综合除法[根及其重数]

3.计算题型:求有理根??→?重数求重因式?????→?长除法、因式分解求标准分解式与所有的复根

)2()1(2653232345--=+-++-x x x x x x x

证明2是无理数.――22-x 的有理根只能是2,1±±,2也是根,所以不可能是有理数. .....还有其他方法,留作课后思考.

三、Q 上不可约判别法

【问题】不可约和数域有关.R C ,上不可约情况?Q 上呢?(任意次数)

1.判别法:定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设整系数011)(a x a x a x f n n n n +++=-- 若存在一个素数..p ,使得1)n a p |/

(首项系数);2)021,,,|a a a p n n --(其余系数,注意包含0a );3)02|a p /(常数项)?)(x f 在Q 上不可约.

证明:反证法.考虑乘积的首项系数和常数项.技巧与高斯引理证明类似.

【问题】如果找不到符合条件的素数p ,怎么办?一定可约吗?

【易错点】1)p 必须素数;2)|p 常数项;3)找不到素数p ,不能说明可约.

【参考文献】艾森斯坦判别法的推广.德州学院学报.2005.04

―――将判别法中素数p 所满足的条件放宽后,使艾森斯坦判别法成为其中的一个特例.

2.不可约情况:有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如2)(+=n

x x f .,其中n 是任意正整数. 3.不可约与有理根的关系:在Q 上不可约??→

?>?1f 无有理根(反之不然.反例?――32)2(+x )

判断下列多项式在Q 上是否不可约?

1)6181223++-x x x (取?6?3?2=p ) 2)442

+-x x (取?4=p )

3)133+-x x 4)133-+x x (作1+=y x )

――3)解1.反证法.如果可约,则至少有一个一次因式(为什么?次数为3;次数大于3则不成立),即有一个有理根;另一方面,有理根只能是1±,验证,都不是,矛盾.

解2.一时找不到合适的素数.可作代换1-=y x (有时作1+=y x ),代入得 331331331)1(3)1()(23233+-=++--+-=+---=y y y y y y y y x f 不可约(取3=p )

【问题】1)作代换1-=y x 目的是什么?(把常数项1变成可以找到素数的新常数项)

2)作1+=y x 可以吗? (本题不行.否则常数项变成1-,还是找不到素数的)

◎ 设自然数1>n ,t p p p ,,,21 是t 个不同的素数,证明

n t p p p 21?是一个无理数. (提示:反证法.构造一个恰当的多项式,考虑有理根问题)

四、课后思考题

◎ 证明2是无理数.至少有三种方法.①有理根法(已证) ②反证法(初等方法) ③不可约法

【本节重点】有理根的求法,Q 上不可约的判别.

多项式校正

一.遥感图象的几何纠正 步骤: 1.打开View # 1、View # 2; 2.点主菜单Session / Tile Viewers; 3.点主菜单的最小化; 4.在View # 1 中装未纠正影像Wt87_sub2.img: File / Open /Raster layer...(柵格层)/选路径D:\Wt87_sub2.img /Raster Options / Red:1,Green:2,Blue:3 /OK 或者:点快捷键 / Wt87_sub2.img / Raster Options / Red:1,Green:2,Blue:3/OK; 5.在View # 2 中装已纠正的影像Ws87_rs.img: 点快捷键 / Ws87_rs.img /Raster Options / Red:1,Green:2,Blue:3 /OK; 6.在未纠正影像Wt87_sub2.img 窗口点Raster / Geometric Correction (地面控制点编辑器); 7.点Polynomial (多项式) /OK; 8.用缺省值一次项系数计算,点Close; 9.用缺省项:O E xisting Viewer / OK; 10.在已经纠正好的影像Ws87_rs.img 的窗口里任意一个地方点一下左键; 11.出现已纠正的影像Ws87_rs.img 的信息: Projection (地图投影为) UTM Spheroid (椭球体参数) Krasovsky UTM (武汉幅带号) 50 点OK; 12.对照未纠正影像和已纠正影像找同名控制点; 用一次项系数计算,至少找四个控制点,为了便于剔除粗差较大的点及检查,可选 7-8 个控制点,要求控制点均匀分布,最好布在图廓四周,中间内插几个点,总的中误差控制在1个像元内,满足精度要求后做下一步重采样; 13.点最上方GeoCorrection Tools对话框中的 14. a.选路径D:\给输出文件名 b.重采样方法: 邻元法 双线性内插任选一种 双三次卷积 15.在Output Cell Sizes处修改重采样像元大小,TM影像每个像素为30米; 16.点OK.; 17.在主菜单中打开Viewer窗口Viewer # 3; 18.在Viewer # 3 中装入你已纠正好的影像与原始影像(未纠正和已纠正的)进行比较,看沙湖的 铁路线是否已纠正为正北向了。方法如下: a、在加入矫正后影像与参考影像时,在raster operation窗口中要取消clear display复 选框的勾选状态,如下图

课本_多项式函数及其图形

3-2 多项式函数及其图形 137 生活周遭事物的关系,经常是函数关系。例如:人们在 等速运行电扶梯上所移动的距离 (y 米) 与站立时间 (x 秒), 就是函数 y =kx ,k 为电扶梯每秒移动的速度。本节中, 将介绍数学上基本的函数-多项式函数及其图形的 重要性质。 1 函 数 我们会探究生活中的许多事物所 隐藏的对应关系,便于进行判断和预 测。例如,据报载,台北捷运最长的电 扶梯在忠孝复兴站,已知运行速度为 每秒 0.5 米,每分钟平均运送约 90 位旅客。为疏运旅客,拟加快运行速 度,当速度提升到每秒 0.65 米,北 捷预估调整后运输量可增加 30%, 试问:这个预估是否合理? 设时间 x 秒可运送旅客 y 人,依题意可知,电扶梯宽度固定,只需考虑 电扶梯每米可站立的人数为90 0.560 ?=3 (人),故加速后可运送人数 y =3×0.65×x =1.95x , 因此,每分钟可运送旅客 1.95×60=117,则运量增加11790 90 -×100%=30%, 故北捷的预估是合理的。 由上可知,时间 x 秒与人数 y 的数学式可表为 y =1.95x 。当 x 值给定时,恰有一个 y 值与之对应,我们称这种对应关系为 y 是 x 的函数。 -2 多项式函数及其图形 此电扶梯长度有39.44米,高度有 19.72 米,约六层楼高。 137

138 第3章 多项式函数 上述例子时间与人数的函数,可记作 f (x )=1.95x ,当 x =20 时,对应的函数值为 f (20)=1.95×20=39 (人)。 进一步,在坐标平面上,满足 y =f (x ) 之所有点 (x , y ) 聚集而成的图形,就称为函数 f (x ) 的图形。函数图形让我们对函数的变化趋势有具象的掌握,有助于我们了解该函数的对应关系。例如:观察图5可知,不论变量 x 如何变化,函数值 f (x ) 恒为 1,正是国中时所学过的常数函数。 函数图形也需满足函数的对应关系:每一个 x 只对应到一个 f (x ) 的值。例如,圆的图形就不是函数图形,如图 6 所示。 =1 x 图 5 图 6

多项式乘多项式试卷试题附标准答案.doc

多项式乘多项式试题精选(二) 一.填空题(共13 小题) 1.如图,正方形卡片 A 类、 B 类和长方形卡片 则需要 C 类卡片_________张. C 类各若干张,如果要拼一个长为(2a+b),宽为(a+b)的长方形,2.( x+3)与(2x﹣ m)的积中不含x 的一次项,则m=_________ . 3.若(x+p)( x+q)=x2+mx+24, p,q 为整数,则m的值等 于 _________ . 4.如图,已知正方形卡片长方形,则需要 A 类卡片A 类、 B 类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼成一个长为(a+2b)、宽为( _________ 张, B 类卡片_________张,C类卡片_________张. a+b)的大 5.计算: 2 3 (﹣ p)? (﹣ p)= _________ ;= _________ ;2xy?(_________ 2 )=﹣ 6x yz ;( 5﹣ a)( 6+a)= _________ . 6.计算( x2﹣ 3x+1)( mx+8)的结果中不含x2项,则常数m的值为_________. 7.如图是三种不同类型的地砖,若现有A 类4 块,B 类 2 块,C类 1 块,若要拼成一个正方形到还 需 B类地 砖 _________ 块. 8.若( x+5)( x﹣ 7) =x2 +mx+n,则 m= _________ ,n= _________ . 9.( x+a)(x+)的计算结果不含 x 项,则 a 的值是_________ . 10.一块长 m米,宽 n 米的地毯,长、宽各裁掉 2 米后,恰好能铺盖一间房间地面,问房间地面的面积是_________ 平方米. 11.若( x+m)( x+n) =x2﹣ 7x+mn,则﹣ m﹣ n 的值为_________ . 2 2 3 2 _________ . 12.若( x +mx+8)( x ﹣ 3x+n)的展开式中不含x 和 x 项,则 mn的值是 2 2 3 的值为 _________ . 13.已知 x、 y、 a 都是实数,且 |x|=1 ﹣ a, y =( 1﹣ a)(a﹣ 1﹣ a ),则 x+y+a +1 二.解答题(共17 小题) 14.若( x2+2nx+3)( x2﹣ 5x+m)中不含奇次项,求m、 n 的值. 15.化简下列各式: (1)( 3x+2y )( 9x 2﹣ 6xy+4y 2); 2 (2)( 2x﹣3)( 4x +6xy+9); (3)( m﹣)( m2+m+);

多项式×多项式教案

教学过程设计

(-x+3) 中的每一项,计算可得:-2x2+6x+x-3 . 例 1 计算: (1)(x+2y)(5a+3b); (2)(2x-3)(x+4); (3)(x+y)2; (4)(x+y)(x2-xy+y2) 解:(1)(x+2y)(5a+3b) =x·5a+x·3b+2y·5a+2y·3b =5ax+3bx+10ay+6by; (2)(2x-3)(x+4) =2x2+8x-3x-12 =2x2+5x-12 (3)(x+y)2 =(x+y)(x+y) =x2+xy+xy+y2 =x2+2xy+y2; (4)(x+y)(x2-xy+y2) =x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3 =x3+y3 结合例题讲解,提醒学生在解题时要注意:(1)解题书写和格式的规范性;(2)注意总结不同类型题目的解题方法、步骤和结果;(3)注意各项的符号,并要注意做到不重复、不遗漏 三、课堂训练 1.计算: (1)(m+n)(x+y);

教学程序及教学内容 (2)(x-2z)2; (3)(2x+y)(x-y) 2.选择题: (2a+3)(2a-3)的计算结果是( ) (A)4a2+12a-9 (B)4a2+6a-9 (C)4a2-9 (D)2a2-9 3.判断题: (1)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc; ( ) (2)(a+b)(c+d)=ac+ad+ac+bd; ( ) (3)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd; ( ) (4)(a-b)(c-d)=ac+ad+bc-ad( ) 4.长方形的长是(2a+1),宽是(a+b),求长方形的面积。 5.计算: (1)(xy-z)(2xy+z); (2)(10x3-5y2)(10x3+5y2) 6.计算: (1)(3a-2)(a-1)+(a+1)(a+2); (2)(3x+2)(3x-2)(9x2+4) 四、小结归纳 启发引导学生归纳本节所学的内容: 1.多项式的乘法法则: (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 2.解题(计算)步骤(略)。 3.解题(计算)应注意:(1)不重复、不遗漏;(2)符号问题。五、作业设计注意根据信息反馈,及时提醒学生正确运用多项式的乘法法则,注意例题讲解时总结的三条。 学生应用:多项式与多项式相乘,就是先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 学生认真计算,教师订正。 学生回答,教师点评。

标准CRC生成多项式如下表:

标准CRC生成多项式如下表: 名称生成多项式简记式* 标准引用 CRC-4 x4+x+1 3 ITU G.704 CRC-8 x8+x5+x4+1 0x31 CRC-8 x8+x2+x1+1 0x07 CRC-8 x8+x6+x4+x3+x2+x1 0x5E CRC-12 x12+x11+x3+x+1 80F CRC-16 x16+x15+x2+1 8005 IBM SDLC CRC16-CCITT x16+x12+x5+1 1021 ISO HDLC, ITU X.25, V.34/V.41/V.42, PPP-FCS CRC-32 x32+x26+x23+...+x2+x+1 04C11DB7 ZIP, RAR, IEEE 802 LAN/FDDI, IEEE 1394, PPP-FCS CRC-32c x32+x28+x27+...+x8+x6+1 1EDC6F41 SCTP 生成多项式的最高位固定的1,故在简记式中忽略最高位1了,如0x1021实际是0x11021。 I、基本算法(人工笔算): 以CRC16-CCITT为例进行说明,CRC校验码为16位,生成多项式17位。假如数据流为4字节:BYTE[3]、BYTE[2]、BYTE[1]、BYTE[0]; 数据流左移16位,相当于扩大256×256倍,再除以生成多项式0x11021,做不借位的除法运算(相当于按位异或),所得的余数就是CRC校验码。 发送时的数据流为6字节:BYTE[3]、BYTE[2]、BYTE[1]、BYTE[0]、CRC[1]、CRC[0]; II、计算机算法1(比特型算法): 1)将扩大后的数据流(6字节)高16位(BYTE[3]、BYTE[2])放入一个长度为16的寄存器; 2)如果寄存器的首位为1,将寄存器左移1位(寄存器的最低位从下一个字节获得),再与生成多项式的简记式异或; 否则仅将寄存器左移1位(寄存器的最低位从下一个字节获得); 3)重复第2步,直到数据流(6字节)全部移入寄存器; 4)寄存器中的值则为CRC校验码CRC[1]、CRC[0]。

三次正多项式p_不可约的充要条件(精)

第 19卷第 2期宁波大学学报(理工版 V ol.19 No.2 2006年 6月 JOURNAL OF NINGBO UNIVERSITY ( NSEE June 2006 文章编号 :1001-5132(2006 02-0193-03 三次正多项式 p -不可约的充要条件 解烈军 (宁波大学理学院 , 浙江宁波 315211 摘要:通过对所有可能正分解的详细讨论,给出了三次正多项式 p -不可约的显式充要条件, 该条件为由三次正多项式的系数构成的一个简单不等式 . 本文使用的主要工具是笛卡尔符号法则的推论和多项式完全判别系统相关结论等 . 关键字:正多项式; p -不可约;充要条件 中图分类号:O151.1 文献标识码:A 在许多生理过程中都包含所谓的“蛋白质-配位体的键合(protein-ligand binding ”过程 . 在众多的用于描述和解释这个过程的数学模型中, Wyman J [1]引入了键合多项式(binding polyno- mial这个基本工具 . 在生物化学领域,这样的一个事实是熟知的:如果某个大分子的键合多项式是 p -不可约的, 则其所有键合位点组成“联动结构” (linkage , 即配位体在一个位点的键合会加速或抑制其他位点的键合过程 . 反之,如果对应的键合多项式有正分解,则其位点可以分解成若干独立的组,不同组的位点互不影响 . 这样,一个大分子的诸键合位点是否联动的问题就归结为其键合多项式是否有正分解,即是否为 p -不可约的问题, 而键合多项式都是正多项式 . 所以,由一个正多项式的系数直接给出其 p -不可约的充要条件,就显得非常重要 . 关于这个问题,已有不少学者进行了讨论 [1-3]. 但是研究的多项式都是四次正多项式 . 显然,不能将这些结论简单地移植到三次正多项式,相对于四次,讨论三次正多

最新多项式

多项式2005

2005年研究生入学考试题—多项式 2005—001—1-<1>:复数域上的多项式33x x a -+没有重根的充要条件是: 2005—002—2: 证明:如果()|('')f x f x ,则()f x 的根只能是零或单位根。 2005—004—3 : 设()f x 是一个整系数多项式。证明:如果存在一个偶数m 和一个奇数n 使得()f m 和()f n 都是奇数,则()f x 没有整数根。 2005—006—2: 如果α是'''()f x 的2重根,则α一定是多项式()f x 的5重根。 2005—006—6: 若三次实系数多项式()f x 恰有一个实根,?为()f x 的判别式,则 A .0?> B. 0?= C. 0?< D. R ??。 2005—006—18: 试在有理数域、实数域以及复数域上将987()1f x x x x x =+++ ++分解 为不可约因式的乘积(结果用根式表示),并简述理由。 2005—007—3 设p(x),q(x)是数域F 上的不可约多项式,且p(x)≠q(x),证明:对F 上任一个 多项式f(x),则有(f(x),p(x))=1,或存在u(x),v(x),使得f(x)=u(x)p(x)+v(x)q(x). 2005---009—6 设'()((),())()f x f x f x g x =,且g(x)在复数域内只有二个根2,-3,又g(1)=-20, 试求g(x);若f(0)=1620,则f(x)能否被确定? 2005---009—8 设f(x),g(x)为数域F 上多项式,证明(f(x),g(x))=1的充分必要条件是 (f(x)+g(x),f(x)g(x))=1. 2005---011—1(1) 设f(x)是有理数域上的不可约多项式,α为在复数域内的一个根,则α的重数为_____. 2005---011---2 设f(x),g(x)是数域P 上的多项式,证明,在数域P 中,若33()|(),f x g x 则()|()f x g x .

系统稳定性意义以及稳定性的几种定义

系统稳定性意义以及稳定性的几种定义 一、引言: 研究系统的稳定性之前,我们首先要对系统的概念有初步的认识。 在数字信号处理的理论中,人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算,所以这种系统被看作是离散时间的,也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说,系统和信号都可以看作是序列。但是,系统是加工信号的机构,这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统,利用系统加工信号、服务人类,系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。 电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题,稳定是控制系统提出的基本要求,也保证电路工作的基本条件;不稳定系统不具备调节能力,也不能正常工作,稳定性是系统自身性之一,系统是否稳定与激励信号的情况无关。对于线性系统来说可以用几点分布来判断,也可以用劳斯稳定性判据分析。对于非线性系统的分析则比较复杂,劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据受到一定的局限性。 二、稳定性定义: 1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后,当扰动消失,系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。若当扰动消失后,系统能逐渐恢复到原来的平衡状态,则称系统是稳定的,否则称系统为不稳定。 稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性。 绝对稳定性。如果控制系统没有受到任何扰动,同时也没有输入信号的作用,系统的输出量保持在某一状态上,则控制系统处于平衡状态。 (1)如果线性系统在初始条件的作用下,其输出量最终返回它的平衡状态,那么这种系统是稳定的。 (2)如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程,则称其为临界稳定。(临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态,但由于系统参数变化等原因,实际上等幅振荡不能维持,系统总会由于某些因素导致不稳定。因此从工程应用的角度来看,临界稳定属于不稳定系统,或称工程意义上的不稳定。) (3)如果系统在初始条件作用下,其输出量无限制地偏离其平衡状态,这称系统是不稳定的。 实际上,物理系统的输出量只能增大到一定范围,此后或者受到机械制动装置的限制,或者系统遭到破坏,也可以当输出量超过一定数值后,系统变成非线性的,从而使线性微分方程不再适用。因此,绝对稳定性是系统能够正常工作的前提。

三角多项式逼近与多项式逼近

闭区间上连续函数的Weierstrass 三角多项式逼近与多项式逼近 一、按下面的步骤探索闭区间上连续函数的Weierstrass 三角多项式逼近 1、三角多项式函数 形如 ()01 ()cos sin 2n n k k k A T x A kx B kx ==++∑, 的函数称为以2π为周期的三角多项式函数; 形如 01()cos ()sin ()2n n k k k A k k T x a A x a B x a b a b a b a πππ=???? -=+-+- ? ?---???? ∑, 的函数称为以2()b a -为周期的三角多项式函数。 2、傅里叶级数的一致收敛性 设()f x 是以2π为周期的连续函数(或()f x 是[,]ππ-上的连续函数,且()()f f ππ-=),且在[,]ππ-上按段光滑,则()f x 的傅里叶级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑, 在(,)-∞+∞(或[,]ππ-)上一致收敛于()f x ,其中, 01 ()d a f x x π π π- = ?,1 ()cos d n a f x nx x π π π- = ?,1 ()sin d n b f x nx x π π π- = ?, (1,2,n =L )。 提示:首先,导出()f x 与()f x '的傅里叶系数的如下关系:记0A ,n A ,n B (1,2,n =L )为()f x '的傅里叶系数,则注意到()()f f ππ-=可得,

[]01 1 1 ()d () ()()0A f x x f x f f π ππ π πππ π π -- '== = --=?, ()1 1()cos d ()cos ()sin d n n A f x nx x f x nx n f x nx x nb π ππ ππ ππ π-- -??'== +=? ?????, ()1 1()sin d ()sin ()cos d n n B f x nx x f x nx n f x nx x na π ππππ ππ π-- -??'= =-=-? ?????。 其次,注意到, 2 2111()2n n n b A A n n = ≤+,22111()2n n n a B B n n =-≤+, 以及贝塞尔不等式 ()2222011()d 2n n n A A B f x x πππ ∞ -=??'++≤????∑?, 推出 ()1 n n n a b ∞ =+∑收敛。 最后,利用傅里叶级数的收敛定理和优级数判别法可得,()f x 的傅里叶级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑, 在(,)-∞+∞上一致收敛于()f x 。 3、以2π为周期的连续函数的三角多项式逼近 设()f x 是以2π为周期的连续函数,则对任意0ε>,存在以2π为周期的三角多项式函数 ()n T x ,使得,对任意(,)x ∈-∞+∞,有 ()()n f x T x ε-<。 提示:由周期函数的特点,只须在[,]ππ-探索上述结论; 首先,注意到()f x 在[,]ππ-上连续,可得()f x 在[,]ππ-上一致连续,且 ()()f f ππ-=, 从而导出:对任意0ε>,存在[,]ππ-上连续的折线函数L()x ,使得,

2017-2018学年度9.3多项式乘多项式练习及答案(较难)

2017-2018学年度9.3多项式乘多项式练习(较难) 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题 1.计算()322323a a a a a -+?-÷的结果为( ) A. 52a a - B. C. 5a D. 6a 2.如果(x 2+ax +8)(x ﹣3x +b )展开式中不含x 3项,则a 的值为【 】 A. a = 3 B. a =﹣3 C. a = 0 D. a = 1 3.如图,有长方形面积的四种表示法: ①()()++m n a b ②()()+++m a b n a b ③()()++a m n b m n + ④ma mb na nb +++其中( ) A. 只有①正确 B. 只有④正确 C. 有①④正确 D. 四个都正确 4.若把多项2x 6x m +-因式后含有因式2x -,则m 为( ) A. -1 B. 1 C. 1± D. 3 5.如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形密铺而成的正方形图案,已知该图案的面积为49,小正方形的面积为4,若用x ,y x >y 表示小矩形的两边长,请观察图案,指出以下关系式中不正确的是( ) A.x +y =7 B.x ?y =2 C.x 2+y 2=25 D.4xy +4=49 二、解答题

6.我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释,例如:图A 可以用来解释()2 222a ab b a b ++=+,实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解. (1)图B 可以解释的代数恒等式是 ; (2)现有足够多的正方形和矩形卡片(如图C ),试画出.. 一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形(每两块纸片之间既不重叠,也无空隙,拼出的图中必须保 留拼图的痕迹),使该矩形的面积为2223a ab b ++,并利用你所画的图形面积对 2223a ab b ++进行因式分解. 7.先化简,再求值: ()()()22a b a b b a b -+++,其中 2a =, 1b =- 8.先化简,再求值:(2x+1)(2x ﹣1)﹣(x+1)(3x ﹣2),其中 9.将4个数a b c d 排成两行,两列,,ad ﹣bc .上述记号叫做2.求x 的值. 10.已知(x 2+px+8)与(x 2﹣3x+q )的乘积中不含x 3和x 2项,求p 、q 的值. 11.学习整式的乘法时可以发现:用两种不同的方法表示同一个图形的面积,可以得到一个等式,进而可以利用得到的等式解决问题. 图1 图2 (1)如图1是由边长分别为a ,b 的正方形和长为a 、宽为b 的长方形拼成的大长方形,由图1,可得等式:(a +2b)(a +b)= ; (2)①如图2是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a +b +c 的大正方形,用不同的方法表示这个大正方形的面积,得到的等式为 ; ②已知a +b +c =11,ab +bc +ac =38,利用①中所得到的等式,求代数式a 2+b 2+c 2的值. 12.(1)填空: (a -b )(a +b )=________; (a -b )(a 2+ab +b 2)=________; (a -b )(a 3+a 2b +ab 2+b 3)=________; (2)猜想:

多项式的整除性

4.3 多项式的整除性 教学内容:4.3多项式的整除性 教学目标:正确理解多项式的整除概念及性质。理解和掌握带余除法。 授课时数:2学时 教学重点:多项式整除的概念及基本性质 教学难点:带余除法定理及证明(定理4.3.1及证明) 教学过程: 在][x F 中除法不是永远可以实施的,因此多项式整除性的研究在多项式理论中占有重要的地位。 一、多项式整除的概念及性质 1. 定义 定义 1 设][)(),(x F x g x f ∈.如果存在][)(x F x h ∈,使得)()()(x h x f x g =,则称)(x f 整除(能除尽))(x g ,记作)(|)(x g x f 。此时说)(x f 是)(x g 的因式,)(x g 是) (x f 的倍式。如果满足条件的)(x h 不存在,即对任意)()()(],[)(x h x f x g x F x h ≠∈,则称)(x f 不能整除)(x g , 记作()|()f x g x . 由定义1知:1?0|)(],[)(x f x F x f ∈?;特别地,0|0. 2?)(|,x f c F c ∈?. 3?,c d F ?∈,0≠c ,有d c |.如2|0。 4?高次多项式不能整除低次多项式。 课堂思考题:1)能整除任何多项式的多项式是什么? 2)能被任何多项式整除的多项式是什么? 2. 整除的基本性质

我们可以将整数的整除性质平移过来 1) 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ,则)(|)(x h x f ; 2) 若)(|)(),(|)(x g x h x f x h ,则))()((|)(x g x f x h ±; 3) 若)(|)(x f x h ,则对任意)(x g ,有)()(|)(x g x f x h ; 4) 若)(x h |i f )(x ,()(),1,2,3,,,i c x F x i n ?∈= 则 | )(x h ∑=n i i i x f x c 1 )()(; (整除倍式和) 5) 对任一多项式(),()|(),|()(0,)f x cf x f x c f x c c F ≠∈; 6) 若),(|)(),(|)(x f x g x g x f ,则存在0,≠∈c F c ,使)()(x cg x f =. 二.带余除法 ⒈ 实例(中学中的多项式除多项式) 例2 3 2 2 ()26,()1f x x x x g x x x =+++=++,求()g x 除()f x 所得商式()q x 及余式()r x 。 由中学的知识,得121()()(),()()()()1f x f x g x x r x f x f x g x =-?==-?, ()()()()1()(1)()f x g x x r x g x g x x r x =++=++。故()1,()5q x x r x x =+=-+, (())(())r x g x ??

-多项式的因式分解定理

§1-5多项式的因式分解定理 多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-(不能再分)(不能再分) 在不同的系数域上,具有不同形式的分解式 什么叫不能再分? 平凡因式: 零次多项式(不等于零的常数)、多项式自身、前两个的乘积 Definition8:(不可约多项式)令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式,如果][)(x P x f 在中只有平凡因式,就称f(x )为数域P 上(或在P[x]中)的不可约多项式.(p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积) 若)(x f 除平凡因式外,在P[x]中还有其它因式,f(x )就说是在数域P 上(或在P[x]中)是可约的. 如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =, 的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数. 反之,若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积,那么)(x f 有

非平凡因式;如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约. 由不可约多项式的定义可知: 任何一次多项式都是不可约多项式的. 不可约多项式的重要性质: 一个多项式是否不可约是依赖于系数域; 1.如果多项式)(x f 不可约,那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约. 2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式,那么或者)(x f 与P(x)互素,或者)(x f 整除P(x). 3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除,那么至少有一个因式被P(x)整除. Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个. 证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法 当s=1时,显然成立;

用多项式逼近连续函数

教案 用多项式逼近连续函数 教学内容 介绍前苏联数学家Korovkin关于用多项式逼近连续函数的定理(Weierstrass第一逼近定理)的一种证明。 指导思想 用多项式逼近连续函数,是经典分析学中重要的结果,以往教材中介绍的证明都比较艰深,学生难以理解。我们发现了前苏联数学家Korovkin的一种证明,思想新颖,方法简单,且通过对多项式逼近连续函数的学习,可以使学生进一步理解一致收敛的概念。 教学安排 先给出多项式一致逼近连续函数的定义: 定义10.5.1设函数f (x)在闭区间[a, b] 上有定义,如果存在多项式序列{P n (x)}在[a, b] 上一致收敛于f (x),则称f (x)在这闭区间上可以用多项式一致逼近。 应用分析语言,“f (x)在[a, b] 上可以用多项式一致逼近”可等价表述为:对任意给定的ε>0,存在多项式P(x),使得 |P(x) - f (x)|<ε 对一切x∈[a, b] 成立。 这一定理的证法很多,我们则介绍前苏联数学家Korovkin在1953年给出的证明。 定理10.5.1(Weierstrass第一逼近定理) 设f (x)是闭区间[a, b] 上的连续函数,则对任意给定的ε>0,存在多项式P(x),使 |P(x) - f (x)|<ε 对一切x∈[a, b] 成立。 证不失一般性,我们设[a, b] 为[0, 1] 。 设X是[0, 1] 上连续函数全体构成的集合,Y是多项式全体构成的集合,现定义映射 B n : X →Y f (t) B n (f , x) = ∑ = -- n k k n k k n x x n k f ) 1( C ) (, 这里B n (f , x) 表示f ∈X在映射B n 作用下的像,它是以x为变量的n次多项式,称为Bernstein多项式。 关于映射B n,直接从定义出发,可证明它具有下述基本性质与基本关系式: (1) B n是线性映射,即对于任意f , g ∈X及α,β∈R,成立 B n (αf +βg, x) = αB n (f , x) +βB n (g, x); (2) B n 具有单调性,即对于任意f , g ∈X,若f (t)≥g(t) (t∈[a, b])成立,

多项式的基本概念

多項式的基本概念 建國中學?林信安 老師

2-2-1 多項式的基本概念 多項式的定義與性質 我們學過的一次函數y =3x +2,二次函數y =2x 2-4x +1,三次函數y =4x 3-x ,所對應的式子: 3x +2,2x 2-4x +1,4x 3-x 都是x 的多項式(含單項式)。 像下列的式子: x +1 x ,x +1 x -1 -x -1 x +1 ,分母含有「變數x 」,它們都是分式。 x - x ,3 x + x ,根號內含有「變數x 」,它們都是根式。 分式與根式都不是多項式。什麼是多項式? 何謂多項式 設n 是正整數或0,而a 0,a 1,…,a n 是 ( n +1 ) 個給定的常數, 凡是可以寫成:a n x n +a n -1x n -1+…+a 1x +a 0 形式的式子,稱為x 的多項式(polynomial )。 多項式是由「變數x 與常數a k 」透過「加、乘」兩種運算而形成的代數式子(如x 2-3x 看成x 2+(-3)x )。為方便計,常用f (x ),g (x ),P (x ),Q (x ) 等符號來代表不同的多項式。 f (x )=3 (常數多項式)。 g (x )= 4x + 1 3 (一次多項式)。 P (x )=1+3x +x 2 (二次多項式)。 Q (x )=2x 3-3x +1 (三次多項式)。

相關的名詞說明 有關多項式f (x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的一些基本概念,介紹如下: 設f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0,a n,a n-1,…a1,a0均為實數 (a)係數 在多項式f (x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0中,a n,a n-1,…,a1分別稱為x n,x n-1,…,x項的係數。 當a n≠0,a n稱為f (x) 的首項係數(領導係數),a0稱為f (x) 的常數項。 (b)次數 一個單項式的次數是指x的乘冪。例如: 2x3是三次多項式。 5 是零次多項式 ( 5=5x 0 )。 0 是零多項式,規定為「沒有次數」。 「零次多項式」與「零多項式」合稱為常數多項式。 一個多項式中,次數相同的項稱為同次項,利用交換律與結合律可以將同次項的係數合併。 一個多項式,先合併同次項,再依各項次數由大而小、由左而右順序排列,此形式的多項式稱為降冪排列。例如: 相對的,有升冪排列(次數由小而大、由左而右排列)。例如: 一個多項式的次數,是指各單項式次數中的最大次數。 因此,一個降冪排列或升冪排列的多項式 f (x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0( 降冪 ) =a0+a1x+…+a n-1x n-1+a n x n( 升冪 ) 當a n≠0時,f (x) 的次數就是a n x n項中x的乘冪n。 f (x) 的次數簡記作de g f (x)。

(完整版)多项式乘多项式练习题

整式乘法:多项式乘多项式习题(4) 一、选择题 1.计算(2a-3b)(2a+3b)的正确结果是() A.4a2+9b2B.4a2-9b2C.4a2+12ab+9b2D.4a2-12ab+9b2 2.若(x+a)(x+b)=x2-kx+ab,则k的值为() A.a+b B.-a-b C.a-b D.b-a 3.计算(2x-3y)(4x2+6xy+9y2)的正确结果是() A.(2x-3y)2B.(2x+3y)2C.8x3-27y3D.8x3+27y3 4.(x2-px+3)(x-q)的乘积中不含x2项,则() A.p=q B.p=±q C.p=-q D.无法确定 5.若0<x<1,那么代数式(1-x)(2+x)的值是() A.一定为正B.一定为负C.一定为非负数D.不能确定6.计算(a2+2)(a4-2a2+4)+(a2-2)(a4+2a2+4)的正确结果是() A.2(a2+2)B.2(a2-2)C.2a3D.2a6 7.方程(x+4)(x-5)=x2-20的解是() 8.A.x=0 B.x=-4 C.x=5 D.x=40 9.若2x2+5x+1=a(x+1)2+b(x+1)+c,那么a,b,c应为() A.a=2,b=-2,c=-1 B.a=2,b=2,c=-1 C.a=2,b=1,c=-2 D.a=2,b=-1,c=2 10.若6x2-19x+15=(ax+b)(cx+b),则ac+bd等于() A.36 B.15 C.19 D.21 11.(x+1)(x-1)与(x4+x2+1)的积是() A.x6+1 B.x6+2x3+1 C.x6-1 D.x6-2x3+1 二、填空题 1.(3x-1)(4x+5)=__________. 2.(-4x-y)(-5x+2y)=__________. 3.(x+3)(x+4)-(x-1)(x-2)=__________. 4.(y-1)(y-2)(y-3)=__________. 5.(x3+3x2+4x-1)(x2-2x+3)的展开式中,x4的系数是__________.

单项式与多项式知识结构图

单项式与多项式知识结构图

一元一次方程知识结构图

绝对值方程 3= 6 - + x x0 1 + + 2 x5 1= 1 2= x5 1 2+ = +x x +x 3 1+ 5 = +x = 2+ 1 x5 13 +x 1 x7 x - +x - - 2= x5 - 1= 3 2 - +x 2= 1 3 -

一元一次方程与一元二次方程 方程0=+b ax ,当0,0≠=b a 时,该方程无解;当0,0==b a 时,该方程有无穷多个解;当0≠a 时,该方程为一元一次方程有唯一解。 对一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax ,假设两根为21,x x ,不妨设21x x ≤,则有a ac b b x a ac b b x 24,242221-+-=---=;且有韦达定理a b x x -=+21,a c x x =21。当042<-=?ac b 时,方程不存在实根;当042=-=?ac b 时,方程存在两个相等的实数根;当042>-=?ac b 时,方程存在两个不等的实数根。 常见的一元二次方程十字相乘法的形式: )2)(1(022+-==-+x x x x )2)(1(022-+==--x x x x )3)(1(0322-+==--x x x x )3)(1(0322+-==-+x x x x )4)(1(0432+-==-+x x x x )4)(1(0432-+==--x x x x )5)(1(0542+-==-+x x x x )5)(1(0542-+==--x x x x )3)(2(0652++==++x x x x )3)(2(0652--==+-x x x x 原理))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++

系统的稳定性以及稳定性的几种定义

系统的稳定性以及稳定性的几种定义 一、系统 研究系统的稳定性之前,我们首先要对系统的概念有初步的认识。在数字信号处理的理论中,人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算,所以这种系统被看作是离散时间的,也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说,系统和信号都可以看作是序列。但是,系统是加工信号的机构,这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统,利用系统加工信号、服务人类,系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。 中国学者钱学森认为:系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的,具有特定功能的有机整体,而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。 二、系统的稳定性 一个系统,若对任意的有界输入,其零状态响应也是有界的,则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统,简称为稳定系统。即,若系统对所有的激励|f(·)|≤Mf ,其零状态响应|yzs(·)|≤My(M为有限常数),则称该系统稳定。 三、连续(时间)系统与离散(时间)系统 连续系统:时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。系统的激励和响应均为连续信号。 离散系统:当系统各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时,而只在离散的瞬间给出数值,这种系统称为离散系统。系统的激励和响应均为离散信号。 四、因果系统 因果系统 (causal system) 是指当且仅当输入信号激励系统时,才会出现输出(响应)的系统。也就是说,因果系统的(响应)不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统;也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关,而与将来的输入无关的系统。 判定方法 对于连续时间系统: t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时,则此系统为因果系统。 特殊的:当该系统为线性移不变系统时,系统的冲激响应函数h(t),在t≤t1的条件下,h(t)=0,则此系统为因果系统; 对于离散时间系统: n=n1的输出y(n1)只取决于n≤n1的输入x(n≤n1)时,则此系统为因果系统,特殊的:当该系统为线性移不变系统时,系统的冲激响应函数h(n),在n≤n1的条件下,h(n)=0,则此系统为因果系统。 举例说明 函数:1.y(t)=x(sin(t)) 不是因果系统,因为y(-π)=x(0), 表明y(t)在一段时间内可能取决于未来的x(t)。 2.y(t)=x(t)cos(t+1)是因果系统,cos(t+1)是时变函数,相当于一个已知的函数波形,所以x(t)的当前值影响了y(t)的当前值。 五、连续系统稳定性与离散系统稳定性的充分必要条件(证明见教材) (1)连续系统稳定的充分必要条件

数学专业 多项式二次型例题

多 项 式 例1 设)(x f 和)()()(1x g x p x g m =都是数域P 上的多项式,其中1≥m 且)(x p 不整除)(x f ,1))(),((1=x g x p ,则有数域P 上多项式)(1x f 和)(x r ,使)()()()()(11x r x g x p x f x f +=,其中))(())((x p x r ?

相关文档