中位线定理
(中位线定理)
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教材单元分析
教材人教版单元内容三角形中位线定理课本页码第页至第页年级初二教师
1.本单元教材的作用与地位：
三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，对进一步学习非常有用，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用，它对拓展学生的思维有着积极的意义。
2.教学指导思想：
本课以探究活动层层深入，环环紧扣，让同学们自己猜想归纳定理，并用自己的方法证明自己的猜想，这体现了“学生为主体”的课堂要求，让同学们充分的参与课堂教学中来，与以往的“满堂灌”教学方法有着本质的不同，不仅凝炼了教学环节，更让学生亲历了知识的生成过程，有效突破了教学的重点和难点。
3.教学目标：
1）知识目标：理解三角形中位线的定义；掌握三角形中位线定理及其应用。
2）能力目标：通过小组活动，提高了同学们的动手能力与合作交流能力；通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题的能力。
3）情感目标：让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。
4.教材的重点、难点与关键：
重点：理解并应用三角形中位线定理。
难点：三角形中位线定理的运用。
5.教学方法和手段的设计：
采用了“引导探究”式的教学模式，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程。
6.关于思想教育、行为习惯的培养及学习方法指导的设计：
本节课在实验操作的基础上，以问题为核心，创设情景，通过教师的适时引导，学生间、师生间的交流互动，启迪学生的思维，让学生掌握实验与观察、分析与比较、讨论与释疑、概括与归纳、巩固与提高等科学的学习方法；学会举一反三，灵活转换的学习方法，学会运用化归思想去解决问题。
7.课时安排：
2课时
8.组成部分及辅助材料：
人教版的初中数学教材、练习册
9.其他：
导师评议：符合大纲，紧扣教材，体现基础知识教学、基本技能训练、能力培养等方面目标，切合学生实际，要求适度，针对性强。注重启发和引导，教学过程设计面向全体学生，因材施教，基础性训练与拓展性训练有机结合。
精品教案设计表
在导师指导下编写一节课的教案，并在备课组或教研组活动中说课。
执教教师授课班初二课型课题三角形中
级位线定理教材人教版时间第周第次课时人数
学情分析学习材料分析：（学习材料的特点、先前教学经验反思等）
在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用。另外，课本在三角形中位线定理的推理过程中应用了同一法思想，这是中学教材第一次出现同一法，要求学生了解这种思想，它对拓展学生的思维有着积极的意义。
学生情况分析：（学生认知基础、学习能力、习惯、学习兴趣及差异状况等）
学生普遍学习基础较好，学习能力较高，较好的学习习惯，较强的学习兴趣，相当一部分学生已经在教师讲解新课前进行了预习，对一次函数有了初步的了解，因此教师在讲课时一要多注意学习的细节和新旧知识的联系；二要进行知识的延伸和扩充，向中考题型进行有意识的靠近。
教学目标2）知识目标：理解三角形中位线的定义；掌握三角形中位线定理及其应用。
2）能力目标：通过小组活动，提高了同学们的动手能力与合作交流能力；通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题
的能力。
3）情感目标：让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。
教学重难点重点：理解并应用三角形中位线定理。难点：三角形中位线定理的运用。
教学过程教学内容教师活动学生活动过程目标
导入（准备部分）（一）设置情景，导入新课
大家能将这个三角形分为四
个全等的三角形吗？
提出问题思考
新授
（基本部分）
（二）引导探究，获得新知 （1）根据同学们对这个问题的解
决，我们提出了三角形中位线定义：连接三角形两边的中点的线段就叫做三角形的中位线。
（2）三角形中位线定理
① 如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 与AC 的中点，那么DE 与BC 之间存在什么样的数量关系呢
② 学生提出猜想
猜想：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
③ 证明：△ABC 中，点D 、E 分别是AB 与AC 的中点，
∴
2
1
==AC AE AB AD ． ∵ ∠A ＝∠A ， ∴ △ADE ∽△ABC （如
果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），
∴ ∠ADE ＝∠ABC ，
2
1
=BC DE （相似三角形的对应角相等，对应边成比例），
提出
中位线定理
证明
理解记忆
大胆猜想
理解三角形中位线的定义。
通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题的能力。
图24.4.1
∴
DE ∥BC 且
BC DE 2
1
④思考：本题还有其它的解法吗？
证明：可延长DE 到F ，使
EF ＝DE ，连接CF
△ABC 中， E 是AC 的中点，
CE=AE
∵∠CEF ＝∠AED EF ＝DE
∴△CEF ∽△AED ∴CF=AD ∠ECF ＝∠A
∴ AD ∥CF ∵点D 是AB 的中点
∴AD=BD ∴CF=BD ∵AD ∥CF 即BD ∥CF
∴四边形BCFD 为平行四边形 ∴DF ＝BC DF ∥BC
∴DE ∥BC ，DE ＝2
1
BC (3)师生总结定理
三角形的中位线平行于第三
边并且等于第三边的一半。
（三）指导应用，鼓励创新
（1）例题讲解
提出问题
证明
积极思考
掌握三角形中位线定理及其应用。
例
1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
已知： 如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，BE ＝EC ，AF ＝FC 。
求证： AE 、DF 互相平分。 分析：由图形知道AE 、DF 是两条相交的线段，要证AE 、DF 互相平分，我们只需证明四边形ADEF 为平行四边形即可。要证四边形ADEF 为平行四边形，则要证明DE ∥AC ，EF ∥AB 。在由三角形中位线定理可以证明DE ∥AC ，EF ∥AB 。所以结论成立。
证明 连结DE 、EF ．因为AD ＝DB ，BE ＝EC
∴ DE ∥AC 同理EF ∥AB
∴四边形ADEF 是平行四
边形
因此AE 、DF 互相平分。 例2 已知：在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.
求证：四边形EFGH 是平行四边形。
分析：要证四边形EFGH 是平行四边形，则要证明
思路一：连结AC ，证：EF ＝HG , EF ∥HG
思路二：连结BD ，证：EH ＝F G , EH ∥FG
思路三::连结AC 、BD 证: EF ∥HG , EH ∥FG
思路四：连结AC 、BD 证：EF ＝HG ,EH ＝F G
例题讲解
归纳总结
掌握三角形中位线定理及其应用。
通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题的能力。
证明：连结AC 、BD
在△ABC 中，,E 、F 分别是AB 、BC 的中点.
所以 EF 为△ABC 的中位线由中位线定理有：
EF ∥AC EF ＝
2
1A C 同理可证：
HG ∥AC HG ＝
2
1AC 所以 EF ＝HG , EF ∥HG
故四边形EFGH 是平行四边形
（2）变式训练
若上例中的四边形换成等腰梯形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊的四边形，那么所得到的四边形也会特殊吗？ 从中可以总结出什么结论吗？
（3）学生练习 1.已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对
角线AC,BD 相交于点O ，AE=EB,
求证：OE ∥BC 。
2.已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点．
求证：四边形DEFG 是平行四边形．
巩固练习
通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题的能力。
总结
（1）本节课基本内容
为：
（2）从实验操作中发现添加
归纳总结
剪拼
三角
三角
辅助线的方法．
（3）转化思想的应用——将
三角形问题转化为平行四边形问
题。
导师评议：符合大纲，紧扣教材，体现基础知识教学、基本技能训练、能力培养等方面目标，切合学生实际，要求适度，针对性强。注重启发和引导，教学过程设计面向全体学生，因材施教，基础性训练与拓展性训练有机结合。
教学设计
学校年级班级执教时间
课题三角形中位线定理执教教师学科数学
目标与要求3）知识目标：理解三角形中位线的定义；掌握
三角形中位线定理及其应用。
2）能力目标：通过小组活动，提高了同学们的
动手能力与合作交流能力；通过对三角形中位
线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，
分析问题及解决问题的能力。
3）情感目标：让学生充分经历“探索—发现—猜
想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理
在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归
纳、类比、转化等数学思想方法。
设计要点
在课堂教学，我始终贯彻
“教师为主导，学生为主体，
探究为主线”的教学思想，通
过引导学生实验、观察、比较、
分析和总结，使学生充分地动
手、动口、动脑，参与教学全
过程。
教学
过程的组织与实施
让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。
自我评价
本节课的第一个亮点就是本课的探究活动层层深入，环环紧扣，不仅凝炼了教学环节，更让学生亲历了知识的生成过程，有效突破了教学的重点和难点。比如：探究活动中，让学生用桌上三角形，剪刀，直尺剪拼三角形让同学们发现四个小三角形全等。不仅让同学知道了三角形中位线的作用，同时又让课堂气氛十分活跃，有利于同学们的学习。第二个亮点是老师让同学们自己猜想归纳定理，并用自己的方法证明自己的猜想，这体现了“学生为主体”的课堂要求，让同学们充分的参与课堂教学中来，与以往的“满堂灌”教学方法有着本质的不同。更有利于同学们学习。
导师评价符合大纲，紧扣教材，体现基础知识教学、基本技能训练、能力培养等方面目标，切合学生实际，要求适度，针对性强。注重启发和引导，教学过程设计面向全体学生，因材施教，基础性训练与拓展性训练有机结合。
说课提纲
姓名
说课题目
三角形中位线定理
本课指导思想 本课以探究活动层层深入，环环紧扣，让同学们自己猜想归纳定理，并用自己的方法证明自己的猜想，这体现了“学生为主体”
的课堂要求，让同学们充分的参与课堂教学中来，与以往的“满堂
灌”教学方法有着本质的不同，不仅凝炼了教学环节，更让学生亲历了知识的生成过程，有效突破了教学的重点和难点。
教材分析
三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，对进一步学习非常有用，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用，它对拓展学生的思维有着积极的意义。
学情分析
学生普遍学习基础较好，学习能力较高，较好的学习习惯，较强
的学习兴趣，相当一部分学生已经在教师讲解新课前进行了预习，对一次函数有了初步的了解，因此教师在讲课时一要多注意学习的细节和新旧知识的联系；二要进行知识的延伸和扩充，向中考题型 进行有意识的靠近。
教法教学的运
用
为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，我采用了“引导探究”式的教学模式，在课堂教学，我始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程。
教学过程
导入 （开始部分）
（一）设置情景，导入新课
大家能将这个三角形分为四个全等的三角形吗？
新授 （基本部分）
（二）引导探究，获得新知 （1）根据同学们对这个问题的解决，我们
图24.4.1
提出了三角形中位线定义：连接三角形两边的中点的线段就叫做三角形的中位线。
（2）三角形中位线定理
① 如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 与AC 的中点，那么DE 与BC 之间存在什么样的数量关系呢
② 学生提出猜想
猜想：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
③ 证明：△ABC 中，点D 、E 分别是AB 与AC 的中点，
∴
2
1
==AC AE AB AD ． ∵ ∠A ＝∠A ，
∴ △ADE ∽△ABC （如果一个三角
形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），
∴ ∠ADE ＝∠ABC ，
2
1
=BC DE （相似三角形的对应角相等，对应边成比例），
∴ DE ∥BC 且BC DE 2
1
=
④思考：本题还有其它的解法吗？ 证明：可延长DE 到F ，使EF ＝DE ，连接CF
△ABC 中， E 是AC 的中点，CE=AE ∵∠CEF ＝∠AED EF ＝DE
∴△CEF ∽△AED ∴CF=AD ∠ECF ＝∠A ∴ AD ∥CF ∵点D 是AB 的中点 ∴AD=BD ∴CF=BD ∵AD ∥CF 即BD ∥CF ∴四边形BCFD 为平行四边形 ∴DF ＝BC DF ∥BC ∴DE ∥BC ，DE ＝
2
1BC (3)师生总结定理
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。
（四）指导应用，鼓励创新
（1）例题讲解
例1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
已知： 如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，BE ＝EC ，AF ＝FC 。
求证： AE 、DF 互相平分。
分析：由图形知道AE 、DF 是两条相交的线段，要证AE 、DF 互相平分，我们只需证明四边形ADEF 为平行四边形即可。要证四边形ADEF 为平行四边形，则要证明DE ∥AC ，EF ∥AB 。在由三角形中位线定理可以证明DE ∥AC ，EF ∥AB 。所以结论成立。
证明 连结DE 、EF ．因为AD ＝DB ，BE ＝EC
∴ DE ∥AC 同理EF ∥AB
∴四边形ADEF 是平行四边形 因此AE 、DF 互相平分。
例2 已知：在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.
求证：四边形EFGH 是平行四边形。
分析：要证四边形EFGH 是平行四边形，则要证明
思路一：连结AC ，证：EF ＝HG , EF ∥HG 思路二：连结BD ，证：EH ＝F G , EH ∥FG 思路三::连结AC 、BD 证: EF ∥HG , EH ∥
FG
思路四：连结AC 、BD 证：EF ＝HG ,EH ＝F G
证明：连结AC 、BD
在△ABC 中，,E 、F 分别是AB 、BC 的中点.
所以 EF 为△ABC 的中位线由中位线定理有：
EF ∥AC EF ＝
2
1A C 同理可证：
HG ∥AC HG ＝
2
1AC 所以 EF ＝HG , EF ∥HG
故四边形EFGH 是平行四边形
（2）变式训练
若上例中的四边形换成等腰梯形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊的四边形，那么所得到的四边形也会特殊吗？ 从中可以总结出什么结论吗？
（4）学生练习 1.已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O ，AE=EB,
求证：OE ∥BC 。
2.已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，
F、G分别是OB、OC的
中点．
求证：四边形
DEFG是平行四
边形．
总结
（1）本节课基本内容为：
（2）从实验操作中发现添加辅助线的方法．
（3）转化思想的应用——将三角形问题转化为平行四边形问题。
预计效果让同学们自己猜想归纳定理，并用自己的方法证明自己的猜想，这体现了“学生为主体”的课堂要求，让同学们充分的参与课堂教学中来，与以往的“满堂灌”教学方法有着本质的不同。
导师评议符合大纲，紧扣教材，体现基础知识教学、基本技能训练、能力培养等方面目标，切合学生实际，要求适度，针对性强。注重启发和引导，教学过程设计面向全体学生，因材施教，基础性训练与拓展性训练有机结合。
剪拼三角三角