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全国初中数学竞赛试题参考答案

答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答

2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）

1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444

y x

+的值为（）．

（A ）7 （B ）（C ）（D ）5 【答】（A ）

解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得

21x ==， 2

y ==，所以

444y x +=22233y x ++- 2

26y x

=-+=7．另解：由已知得：2

222222()()30

()30

x x

y y ?-+--=???+-=?，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 2222

22()1,()3y y x x -

+=--?=- 故444y x +＝22222222

[()]2()(1)2(3)7y y x x

-+-?-?=--?-=　

2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先

后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）．

（A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）1

【答】（C ）

A B

（第3题）

解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知

?＝24m n -＞0，即2m ＞4n .

通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故17

P =

. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点

可以确定的不同直线最少有( )．

（A ）6条（B ） 8条（C ）10条（D ）12条

【答】（B ）

解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．

当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．

4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△

ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）

．（A ）

5a （B ）1 （C ）3

（D ）a 【答】（B ）

解：如图，连接OE ，OA ，OB ．设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=?-=∠．

又因为()11

60180222

ABO ABD α∠=∠=?+?-120α=?-，

所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==．另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 为半径作⊙B ，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，

由11

603022

F EDA CBA ∠=∠=∠=??=?

所以2301AE EF sim F sim =?∠=??=

5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．

（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种

（第4题）

（第8题）

【答】（D ）

解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．

首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．

又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．

所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1

()4

x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是．

【答】0a >，或1a <-．

解：由1()4x a x **=-，得21

(1)(1)04

a x a x ++++=，

依题意有 2

10(1)(1)0a a a +≠???=+-+>?，

，解得，0a >，或1a <-．

7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．

【答】4．

解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．

每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以

4=x

．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．

8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，

（第9题答案）

A AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为．【答】9．

解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，

所以 1

FN MN AB ==

．因此 11

FC FN NC AB AC =+=+=9．

另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF 交 AE 于点N.

则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠

所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形，即11

(711)922

CF EN BE ==

=?+=

9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为．

【答】

163

．解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则

()22a ABC ah S a b c r ==++△，所以 a r a

h a b c

=++．因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此

a a h r DE

h BC

-=，所以 (1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c -=?=-=-++()

a b c a b c

+=++，故 87916

8793

DE ?+=

=++（）．

另解： ()()()ABC S rp p p a p b p c ?==

---Q ＝12435125???=

（这里

a b c

p ++=

）所以125512

=， 22125

35ABC a S h a ?==

=△ （第8题答案）

由△ADE ∽△ABC ，得

3a a h r DE BC h -===，即21633

DE BC ==

= 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为．

【答】481603232.x x y y ==????

==??

，，

，解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．

设2,2x a y b ==，则

22104()a b a b +=-，

同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则

2252()c d c d +=-，

所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则

2226()s t s t +=-，

于是 22(13)(13)s t -++＝2213?，其中s ，t 都是偶数．所以

222(13)213(13)s t -=?-+≤2222131511?-<．

所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能

是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==????

==??

，，

；，因此 481603232.x x y y ==????

==??，，

，

另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=?= 则有2(104)21632,y +≤ 又y 正整数，所以 143y ≤≤

令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++=　则

因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9

由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6；当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9

但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。当22,a b 的个位数是6和6时，则,a b 的个位数字可以为4或6。

由105147b ≤≤，取b ＝106，114，116，124，126，134，136，144，146代入2221632

a b +=得，只有当b ＝136时，a =56，即|104|56|104|136x y -=??+=? 解得48160,3232x x y y ==????

==??

三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）

11．在直角坐标系xOy 中，一次函数b kx y +=0k ≠（）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++．

（1）用b 表示k ；

（2）求△OAB 面积的最小值．

解：（1）令0=x ，得0y b b =>，；令0=y ，得00b

x k k

><，．所以A ，B 两点的坐标分别为0)(0)b

A B b k -（，，，，于是，△OAB 的面积为

)(21k

b S -?=．

由题意，有 3)(21++-=-?b k

k b b ，

解得 )

3(222

+-=b b b k ，2b >．……………… 5分

（2）由（1）知 21(3)(2)7(2)10

()222

b b b b b S b k b b +-+-+=?-==--

1027)72b b =-+

+=++-1027+，

当且仅当10

b b -=

-时，有S =，即当102+=b ，1-=k 时，不等式中的等号成立．所以，△ABC 面积的最小值为1027+． ……………… 15分

12．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？

解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令2224q p n ?=-=，

其中n 是一个非负整数．则2()()4q n q n p -+=． ……………… 5分

由于1≤q n -≤q +n ，且q n -与q n +同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：

22q n q n p -=??+=?，

，

4q n q n p -=??+=?，

， 4q n p q n p -=??

+=?，

， 22q n p q n p -=??

+=?，

， 24.

q n p q n ?-=?

+=?，

消去n ，解得22

51222222

p p p q p q q q p q =+=+===+，，，，．……………… 10分

对于第1，3种情形，2p =，从而q ＝5；对于第2，5种情形，2p =，从而q ＝4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q 是合数（不合题意，舍去）．

又当2p =，q ＝5时，方程为22520x x -+=，它的根为121

x x ==，，它们都是有理数．

综上所述，存在满足题设的质数……………… 15分

★12、已知,a b 为正整数，关于x 的方程2

20x ax b -+=的两个实数根为12x x ，，

关于y 的方程2

20y ay b ++=的两个实数根为12y ，y ，且满足11222008x y x y -=g g .

求b 的最小值.

另解：由韦达定理，得 12122,x x a x x b +==g ；12122,y y a y y b +=-=g

即12121212122()()(),()()y y a x x x x y y b x x +=-=-+=-+-??==--?g g

解得：1112

2221

y x y x y x y x =-=-???

=-=-??或把12,y y 的值分别代入11222008x y x y -=g g 得1122()()2008x x x x ---=g g 或1221()()2008x x x x ---=g

g （不成立）即22

212008x x -=，2121()()2008x x x x +-=

因为121220,0x x a x x b +=>=>g 所以120,0x x >>　

于是有

22008a =

即50215022251a ==?=?

因为a,b 都是正整数，所以22222

15052251

50212514

a a a a a

b a b a b a b ====????????-=-=-=-=????或或或

分别解得：2222

15022251

1502502122512514a a a a b b b b ====????????=-=-=-=-????或或或经检验只有：22

502251

50212514

a a

b b ==????=-=-??，　符合题意. 所以b 的最小值为：2

251462997b =-最小值＝

13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC ？证明你的结论．

解：存在满足条件的三角形．

当△ABC 的三边长分别为6=a ，4=b ，5=c 时，B A ∠=∠2．……………… 5分如图，当B A ∠=∠2时，延长BA 至点D ，使b AC AD ==．连接CD ，则△ACD 为等腰三角形．因为BAC ∠为△ACD 的一个外角，所以2BAC D ∠=∠．由已知，2BAC B ∠=∠，所以

D B ∠=∠．所以△CBD 为等腰三角形．

又D ∠为△ACD 与△CBD 的一个公共角，有△ACD ∽△CBD ，于是

BD CD CD AD =

，即 c

b a

a b +=，所以 ()c b b a +=2．

而2

64(45)=?+，所以此三角形满足题设条件，

故存在满足条件的三角形． ……………… 15分

说明：满足条件的三角形是唯一的．

若B A ∠=∠2，可得()c b b a +=2．有如下三种情形：

（i ）当b c a >>时，设1+=n a ，n c =，1-=n b （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2，得()()()2

1121n n n +=--，解得5=n ，有6=a ，4=b ，5=c ；

（ⅱ）当b a c >>时，设1+=n c ，n a =，1-=n b （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2，得()n n n 212?-=，解得 2=n ，有2=a ，1=b ，3=c ，此时不能构成三角形；

（ⅲ）当c b a >>时，设1+=n a ，n b =，1-=n c （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2，得()()1212

-=+n n n ，即 0132=--n n ，此方程无整数解．

所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件．

★13、如图，△ABC 的三边长,,,,,BC a AC b AB c a b c === 都是整数，且,a b 的最大公约数是2。点G 和点I 分别为△ABC 的重心和内心，且90GIC ∠=?，求△ABC 的周长.

另解：如图，连结GA ，GB ，过G ，I 作直线交BC 、AC 于点E 、F ，作△ABC 的内切圆I ，

（第13（A ）题答案）

切BC 边于点D 。记△ABC 的半周长为P ，内切圆半径为r ，BC ，AC 边上的高线长为,a b h h

ABC S rp ?==Q r ∴=

易知：CD p c =-,在Rt CIE ?中，2

r DE p c

即()()

p a p b DE p

--=

∴()()()p a p b ab

CE CD DE p c p p

--=+=-+=

又∵,CI EF CI ACB ⊥∠平分，所以CE ＝CF 由G EG FG FE ABC AB B A C S S S S S ?????=+++　

得：ABC S 111))2323232a b ABC h h ab ab ab

S r p p p

??+?-?+?-?+???＝（a （b

即ABC 2S 11()()32323ABC a b p b p a ab S h h rp p p p

??--+???+???+?＝

a b 整理得 2

23p cp ab -=，即2

32(2)()ab p cp p p c P a b =-=-=+ 设△ABC 的周长为m ，则62ab

m p a b

+为整数。由已知(,)2a b =，设2,2,(,)1,,a s b t s t s t ===且都是正整数，代入上式，得12st

m s t

+ ∵(,)1,(,)1s s t t s t +=+=，∴s t +是12的约数，即s t +＝1，2，3，4，6，12

不妨设s t ≥，则

1s t （，）＝，得12351171,1,1,1,1,5689101135s s s s s s t t t t t t m m m m m m ======????????????

======????????????======??????

经检验，只有7

535s t m =??

=??=?

符合题意，

所以：14,10,11a b c ===或10,14,11a b c ===，即所求△ABC 的周长为35。 14．从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n 的最小值．

解：当n ＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．…………… 5分

当n ＝5时，设125a a a L ，，

，是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则125a a a L ，，，中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是125a a a L ，，

，中必定有一个数是5．若125a a a L ，，，中含1，则不含9．于是不含4（4＋1＋5＝10），故含6；于是不含3（3

＋6＋1＝10），故含7；于是不含2（2＋1＋7＝10），故含8．但是5＋7＋8＝20是10的倍数，矛盾．

若125a a a L ，，，中含9，则不含1．于是不含6（6＋9＋5＝20），故含4；于是不含7（7

＋4＋9＝20），故含3；于是不含8（8＋9＋3＝10），故含2．但是5＋3＋2＝10是10的倍数，矛盾．

综上所述，n 的最小值为5．……………… 15分

★★ 14、已知有6个互不相同的正整数126,,a a a K ，，且126a a a <<

(,,)i j k

f i j k a a a =

++ 证明：一定存在3个不同的数组(,,)i j k ，其中16i j k ≤<<≤，使得对应着的3个(,,)f i j k 两两之差的绝对值都小于0.5.（征求答案）

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一一试（考试时间：80分钟满分100分）一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数是。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最小值为。

二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。（1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值；（2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二试（考试时间：150分钟总分：200分）一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的延长线交于P 点。求证：直线PA 与BC 垂直。二、（本题50分）正实数z y x ,,，满足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。。 O 2

2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. .