2 二次函数零点的分布专题训练
二次函数零点的分布专题训练
一、单选题
1．若方程2
(1)230k x x --+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．43k <
B ．43k >
C ．4
3k <，且1k ≠ D ．43
k >，且1k ≠ 2．已知函数()2x
e f x x
=（其中无理数 2.718e =???），关于x 的方程
λ=有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（ ）
A ．0,2e ?? ???
B ．()2,+∞
C ．2,2e e ??
++∞ ??? D ．224,4e e ??++∞ ???
3．已知函数()10,0 lg ,0
x x f x x x -?≤=?>?，函数()()()()2
4g x f x f x t t R =-+∈，若函数
()g x 有四个零点，则实数t 的取值范围是（ ）
A ．[)3,4
B ．[)lg5,4
C ．[){}3,4lg5?
D ．(]3,4-
4．设ln ,0()2020,0
e x
x f x x x x ?>?=??≤?，2
()()(21)()2g x f x m f x =---，若函数()g x 恰有4
个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．0m <
B ．1m <
C ．2m >
D ．1m
5．函数()()
2
3x
f x x e =-，关于x 的方程()()2
10f
x mf x -+=恰有四个不同实数根，
则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2
B ．()2,+∞
C ．3360,6e e
??
+ ???
D ．336,6e e ??
++∞ ???
6．已知()e x
f x x =，又2()()()1()
g x f x tf x t R =-+∈有四个零点，则实数t 的取值范围是（ ）
A ．21,e e ??
++∞ ??? B ．212,e e ??
+ ???
C ．21,2e e ??
+-- ??? D ．21,e e ??
+-∞- ??
?
7．已知函数1
2,0()21,0
x e x f x x x x -?>?=?--+≤??，关于x 的方程2
3())0()
(f f x a x a -+=∈R
有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．13(3,
)4
B ．(2,3)
C ．4(,4)3
D ．92,4?? ???
8．已知函数1222,0,()log ,0,
x x f x x x +?+≤?=?>??若关于x 的方程[]2
()2()30f x af x a -+=有六个
不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．163,
5??
???
B ．163,
5??
???
C ．(3,4)
D ．(]3,4
二、填空题
9
．2
1()4
f x x b =+-+（,a b 是正实数）只有一个零点，则ab 的最大值为_____． 10．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k 的取值范围是____________．
11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，则m 的取值范围为________．
12．已知函数()cos f x x x =+，若方程()()2
30f x af x -+=有四个不等实根，则实数a
的取值范围为__________.
13．函数()f x 满足21,0(),0x x x f x e e x x
?-≤?=?->??，，若方程22
[()]2()20f x mf x m -+-=有
四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为_______________．
三、解答题
14．若函数235y x x a -=+的两个零点分别为12,x x ，且有1220,13x x -<<<<，试求出a 的取值范围．
15．关于x 的方程4(3)20x x
m m +-?+=有两个不等的实数根，求实数m 的取值范围.
16．已知函数2
1
()2
f x x mx m =-+在区间(0,4)上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．
17．试讨论当实数k 取不同值时，关于x 的方程()
2
21
21x x k --+=的解的个数．
参考答案
1．C 【解析】 【分析】
由题意可得()1041210k k -≠?
??=-->?
，从而可求出实数k 的取值范围.
【详解】
解：由方程有两个不相等的实数根可知，此方程为一元二次方程且判别式大于零，即可得
()1041210
k k -≠??
?=-->? ，解得4
3k <，且1k ≠. 故选:C. 【点睛】
本题考查了一元二次方程根的分布问题.本题的关键是由不同两根得判别式大于零.本题的易错点是忽略了1k ≠这一条件. 2．C 【解析】 【分析】
利用导数研究()f x 的单调性和极值，由此画出()f x 的图像.令()t g x ==
λ=有四个不等的实根转化为210t t λ-+=在0,,,22e e ????+∞ ? ?????
上各有一实根来求解，结合二次函数的根的分布列不等式，解不等式求得λ的取值范围. 【详解】
依题意可知函数()2x e f x x =的定义域为()(),00,-∞?+∞.且()()'
3
2x e x f x x
-=.所以()f x 在()(),0,2,-∞+∞上递增，在()0,2上递减，且()2
24
e f =，由此画出()f x 的图像
如下图所示.
令()t g x ==
()t x g =的单调性与()f x 相同，且()22
e g =
.
关于x
λ=有四个不等的实根，所以1t t
λ+=，即210t t λ-+=在
0,,,22e e ????+∞ ? ?????上各有一实根.令()()2
1,010h t t t h λ=-+=>，所以02e h ??< ???
，即21042
e e
λ-?+<，所以22e e λ>+.所以实数λ的取值范围是2,2e e ??++∞ ???.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查根据方程零点的个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 3．A 【解析】 【分析】
做出()f x 的图象，判断()f x m =的根的情况，根据()0g x =的根的个数判断
240m m t -+=的根的分布，利用二次函数的性质列出不等式组解出t 的范围.
【详解】
解：作出函数()10,0
lg ,0x x f x x x -?≤=?>?
的图象如图，
令()f x m =，则()0g x =化为240m m t -+=， 由图象可知当m 1≥时，()f x m =有两解，
∵()g x 有四个零点，∴240m m t -+=在[1，＋∞）有两个不等实数根，
∴2164021140t m t ?=->??
>??-+≥?
，解得34t ≤<， ∴实数t 的取值范围是[)3,4. 故选：A. 【点睛】
本题考查了函数零点的个数判断，基本初等函数的性质，属于中档题. 4．A 【解析】 【分析】
求函数()f x '，研究函数的单调性和极值，作出函数()f x 的图象，设()t f x =，若函数()g x 恰有4个零点，则等价为函数2()(21)2h t t m t =---恰有两个零点，且满足1t <，利用一元二次方程根的分布进行求解即可． 【详解】
解：当0x >时，2
(1)
()e lnx f x x -'=
， 由()0f x '>得：10lnx ->，解得0x e <<， 由()0f x '<得：10lnx -<，解得x e >，
即当x e =时，函数()f x 取得极大值，同时也是最大值，()1f e =， 当x →+∞，()0f x +
→， 当0x +→，()f x →-∞， 作出函数()f x 的图像如图，
设()t f x =，则2
()()(21)()2g x f x m f x =---，等价为2()(21)2h t t m t =---，
函数()g x 恰有4个不同的零点等价于2()(21)2h t t m t =---有两个零点，且1t <， 因为2()(21)2h t t m t =---过定点()0,2-，开口朝上， 所以只需2(1)1(21)1220h m m =--?-=->，即0m < 故选：A 【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及求函数的导数，研究函数的()f x 的单调性和极值是解决本题的关键，属于难题． 5．D 【解析】 【分析】
利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解. 【详解】
()()()()22331x x x x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，
当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()3
6
3f e -=
，极小值()12f e =-，作出大致图象：
令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根， 且一个根在360,
e ?? ???内，另一个根在36,e ??
+∞ ???
内，
或者两个根都在()2,0e -内.
因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内. 令()2
1g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ??
<
?
??
，即6336610m e e -+<，得3
366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ??++∞ ???
.
故选：D 【点睛】
此题考查复合函数零点问题，根据零点个数求参数范围，关键在于准确讨论函数
()()23x f x x e =-图象特征，结合二次方程根的分布知识求解.
6．A 【解析】 【分析】
由题意首先将函数写成分段函数的形式研究函数()f x 的性质，然后结合二次函数的性质研究复合函数()g x 的性质即可确定实数t 的取值范围. 【详解】
,0
()e ,0x x
x
xe x f x x xe x ?≥==?-
， 当x ?0时,()0x x
f x e xe
'=+恒成立,所以f (x )在[0,+∞)上为增函数；
当x <0时,()(1)x
x
x
f x e xe e x '
=--=-+，
由f ′(x )=0,得x =?1,当x ∈(?∞,?1)时,f ′(x )=?e x (x +1)>0,f (x )为增函数， 当x ∈(?1,0)时,f ′(x )=?e x (x +1)<0,f (x )为减函数， 所以函数f (x )=|xe x |在(?∞,0)上有一个最大值为1
(1)f e
-=， 则函数()f x 的大致图象如图所示：
令f (x )=m ,要使方程f 2(x )?tf (x )+1=0(t ∈R )有四个实数根， 则方程m 2-tm +1=0应有两个不等根,且一个根在10,
e ?? ???
内,一个根在1,e ??
+∞ ???内. 再令h (m )=m 2
?m +1,因为h (0)=1>0,则只需10h e ??< ???,即2
1110t e e
??-?+< ???，解得21e t e +>
. 故选A. 【点睛】
本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的零点等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．D 【解析】 【分析】
根据题意，作出函数()f x 的图象，令()f x t =，()2
3g t t t a =-+，结合函数()f x 的图
象可知，只需函数()g t 在区间()1,2上与t 轴有两个不同的交点，利用二次函数的性质求出
实数a 的取值范围即可. 【详解】
根据题意，作出函数()f x 的图象如图所示：
令()f x t =，由图可知，关于t 的方程230-+=t t a 在区间()1,2上有两个不等的实数根， 令()2
3g t t t a =-+，则函数()g t 在区间()1,2上与t 轴有两个不同的交点，
所以()()113024603
990242
g a g a g a ?
?=-+>??
=-+>?????=-+< ?????，解得924< 所以实数a 的取值范围为9 24