2018年天津卷(理科数学)含答案
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（天津卷）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件A，B互斥，那么
()()() P A B P A P B
=+.
·如果事件A，B相互独立，那么
()()() P AB P A P B
=.
·棱柱的体积公式V Sh
=，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.
·棱锥的体积公式
1
3
V Sh
=
，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)设全集为R，集合
{02}
A x x
=<<
，
{1}
B x x
=≥
，则
()=
R
A B
【B】
(A) {01}
x x
<≤
(B)
{01}
x x
<<
(C) {12}
x x
≤<
(D)
{02}
x x
<<
(2)设变量x，y满足约束条件
5,
24,
1,
0,
x y
x y
x y
y
+≤
?
?-≤
?
?
-+≤
?
?≥
?则目标函数35
z x y
=+
的最大值为【C】
(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45
(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为【B】
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
(4)设x∈R，则“
11
||
22
x-<
”是“
31
x<”的【A】
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(5)已知
2log e
=a ，ln 2b =，
1
2
1
log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 【D 】
(A) a b c >> (B) b a c >>
(C) c b a >>
(D) c a b >>
(6)将函数
sin(2)
5y x π=+的图象向右平移10π
个单位长度，所得图象对应的函数 【A 】 (A)在区间
35[
,]44ππ上单调递增
(B)在区间3[
,]4ππ上单调递减
(C)在区间53[
,]
42ππ上单调递增
(D)在区间3[
,2]
2ππ上单调递减
(7)已知双曲线22
2
21(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线
交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1
d 和
2
d ，且
126
d d +=，
则双曲线的方程为【C 】
(A) 22
1
412x y -=
(B) 22
1
124x y -= (C) 22
139x y -=
(D) 22
193x y -=
(8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则?AE BE 的最小值为 【A 】
(A) 21
16
(B) 32
(C) 25
16
(D) 3
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共12小题，共110分。
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
(9) i 是虚数单位，复数67i
12i +=+ 4–i .
(10)
在
5
(x 的展开式中，2
x 的系数为 5
2 .
(11) 已知正方体
1111
ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分
别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M
EFGH -的体积为 1
12 .
(12)已知圆2220x y x +-=的圆心为C
，直线1,232?
=-+???
?=-
?
?
x t y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两
点，则ABC △的面积为 1
2 .
(13)已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则
128a b +
的最小值为 1
4 .
(14)已知0a >，函数
22
2,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ?++≤=?-+->?若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 (48)，
. 三.解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知
sin cos()
6b A a B π
=-. （I ）求角B 的大小；
（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.
（Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b
A B =
，可得sin sin b A a B =，又由
πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即π
sin cos()
6B B =-
，可得tan B ．又因为(0π)B ∈，，可得B =π
3．
（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π
3，有222
2cos 7b a c ac B =+-=，
故b
由
πsin cos()
6b A a B =-，可
得sin A ．因为a 故cos A =．因此 sin 22sin cos A A A == ，21 cos22cos 17A A =-=． 所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=- =1127-= (16)(本小题满分13分) 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； （ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率. （Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i ）解：随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3． P （X =k ）=343 37 C C C k k -?（k =0，1，2，3）． 所以，随机变量X 的分布列为 随机变量X 的数学期望11218412()0123353535357 E X =? +?+?+?=． （ii ）解：设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，由（i ）知，P (B )=P (X =2)，P (C )=P (X =1)，故P (A )=P (B ∪C )=P (X =2)+P (X =1)= 67 ． 所以，事件A 发生的概率为6 7 ． (17)(本小题满分13分) 如图，AD BC ∥且AD =2BC ，AD CD ⊥,EG AD ∥且EG =AD ，CD FG ∥且CD =2FG ， DG ABCD ⊥平面，DA =DC =DG =2. （I ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN CDE ∥平面； （II ）求二面角E BC F --的正弦值； （III ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长. 依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA ，DC ，DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D （0，0，0），A （2，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），E （2，0，2），F （0，1，2），G （0，0，2），M （0，3 2 ，1），N （1，0，2）． （Ⅰ）证明：依题意DC =（0，2，0），DE =（2，0，2）．设n 0=(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则0000DC DE ??=???=??，，n n 即20220y x z =??+=?， ，不妨令z=–1，可得n 0=（1，0，–1）．又MN = （1，3 2 -，1），可得00MN ?=n ，又因为直线MN ?平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ． （Ⅱ）解：依题意，可得BC =（–1，0，0），(122)BE =-， ，，CF =（0，–1，2）． 设n =（x ，y ，z ）为平面BCE 的法向量，则00BC BE ??=???=?? ，，n n 即0220x x y z -=??-+=?， ，不妨令z =1，可 得n =（0，1，1）． 设m =（x ，y ，z ）为平面BCF 的法向量，则00BC CF ??=???=?? ，，m m 即020x y z -=??-+=?， ，不妨令z =1，可得 m =（0，2，1）． 因此有cos >= ||||?=m n m n sin ． 所以，二面角E –BC –F ． （Ⅲ）解：设线段DP 的长为h （h ∈［0，2］），则点P 的坐标为（0，0，h ），可得(12)BP h =--，，． 易知，DC =（0，2，0）为平面ADGE 的一个法向量，故 cos BP DC BP DC BP DC h ?= = ，解得h ∈［0，2］． 所以线段DP 的长为3 . (18)(本小题满分13分) 设 {} n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为 ()n S n *∈N ， {} n b 是等差数列. 已知 11 a =， 322 a a =+， 435a b b =+， 546 2a b b =+. （I ）求 {} n a 和{} n b 的通项公式； （II ）设数列{} n S 的前n 项和为 () n T n *∈N ， （i ）求 n T ； （ii ）证明2 21()22()(1)(2)2n n k k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑ N . （I ）解：设等比数列 {} n a 的公比为q.由 1321,2, a a a ==+可得2 20q q --=. 因为0q >，可得2q =，故12n n a -=. 设等差数列{} n b 的公差为d ，由 435 a b b =+，可得 13 4. b d +=由 546 2a b b =+， 可得 131316,b d += 从而 11,1,b d == 故 . n b n = 所以，数列 {} n a 的通项公式为 1 2n n a -=，数列 {} n b 的通项公式为 . n b n = （II ）（i ）解：由（I ），有1221 12n n n S -==--，故 1112(12) (21)222 12n n n k k n n k k T n n n +==?-=-=-=-=---∑∑. （ii ）证明：因为 1121 2()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++?===- ++++++++， 所以，3243 212 21 ()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n n k k k k T b b k k n n n +++ +=+=-+-++-=-+++++∑ . (19)(本小题满分14分) 设椭圆22 2 21x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的离心率为3，点A 的 坐标为(,0)b ，且 FB AB ?= （I ）求椭圆的方程； （II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若 4 AQ AOQ PQ = ∠(O 为原点) ，求k 的值. （Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知有225 9 c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可 得，FB a = ，AB = ，由FB AB ?=，可得ab =6，从而a =3，b =2． 所以，椭圆的方程为22 194 x y +=． （Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π 4 ， 故2AQ =． 由 AQ AOQ PQ = ∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =?? ?+=? ?， ，消去x ，可得1y =．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =??+-=? ，，消去x ，可得221k y k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1） =平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128 k =． 所以，k 的值为111 228 或． (20)(本小题满分14分) 已知函数()x f x a =，()lo g a g x x =，其中a >1. （I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间； （II ）若曲线 ()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明 122ln ln ()ln a x g x a +=- ； （III ）证明当1e e a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的 切线. （I ）解：由已知，()ln x h x a x a =-，有 ()ln ln x h x a a a '=-. 令()0h x ' =，解得x =0. 由a >1，可知当x 变化时，()h x ' ，()h x 的变化情况如下表： 所以函数()h x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞. （II ）证明：由()ln x f x a a '=，可得曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线斜率为1ln x a a . 由 1 ()ln g x x a '= ，可得曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线斜率为21ln x a . 因为这两条切线平行，故有 121 ln ln x a a x a = ，即122(ln )1x x a a =. 两边取以a 为底的对数，得 21log 2log ln 0 a a x x a ++=，所以 122ln ln ()ln a x g x a +=- . （III ）证明：曲线()y f x =在点11(,)x x a 处的切线l 1：111ln ()x x y a a a x x -=?-. 曲线()y g x =在点22(,log ) a x x 处的切线l 2： 2221 log ()ln a y x x x x a -= -. 要证明当1 e e a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线，只需证明当1 e e a ≥时，存在 1(,) x ∈-∞+∞， 2(0,) x ∈+∞，使得l 1与l 2重合. 即只需证明当1 e e a ≥时，方程组1 112121ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ?=??? ?-=-??，①②有解． 由①得 122 1(ln )x x a a = ，代入②，得111112ln ln ln 0ln ln x x a a x a a x a a -+++=. ③ 因此，只需证明当1e e a ≥时，关于x 1的方程③存在实数解. 设函数12ln ln ()ln ln ln x x a u x a xa a x a a =-++ +，即要证明当1 e e a ≥时，函数()y u x =存 在零点. 2()1(ln )x u x a xa '=-，可知(,0)x ∈-∞时，()0u x '>；(0,)x ∈+∞时，()u x '单调递减， 又(0)10u '=>，2 1 (ln )2110(ln )a u a a ??'=-0，使得0()0u x '=， 即 0201(ln )0 x a x a -=.由此可得()u x 在 0(,) x -∞上单调递增，在 0(,) x +∞上单调递减. ()u x 在0x x =处取得极大值0()u x . 因为1 e e a ≥，故ln(ln )1a ≥-， 所 以 0000002012ln ln 12ln ln 22ln ln ()ln 0ln ln (ln )ln ln x x a a a u x a x a a x x a a x a a a +=-++ +=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <. 由（I ）可得1ln x a x a ≥+， 当1 ln x a > 时， 有 2212ln ln 12ln ln ()(1ln )(1ln )(ln )1ln ln ln ln a a u x x a x a x a x x a a a a ≤+-++ +=-++++， 所以存在实数t ，使得()0u t <． 因此，当1e e a ≥时，存在 1(,) x ∈-∞+∞，使得 1()0 u x =. 所以，当1e e a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线.