高三数学求三角函数最小正周期的五种方法
求三角函数最小正周期的五种方法
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关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手。本文将介绍求三角函数最小正周期常用的五种方法，仅供参考。
一、定义法
直接利用周期函数的定义求出周期。
例1.求函数y m x =-cos(
)56π（m ≠0）的最小正周期。 解：因为y m x =-cos()56
π =-+=+-cos(
)cos[()]m x m x m 5625106ππππ 所以函数y m x =-cos()56
π（m ≠0）的最小正周期 T m =
10π||
例2.求函数y x a =cot
的最小正周期。 解：因为y x a x a a x a ==+=+cot
cot()cot[()]ππ1 所以函数y x a
=cot
的最小正周期为T a =||π。 二、公式法
利用下列公式求解三角函数的最小正周期。
1.y A x h =++sin()ωφ或y A x h =++cos()ωφ的最小正周期T =2πω||
。 2.y A x h y A x h =++=++tan()cot()ωφωφ或的最小正周期T =πω||
。 3.y x y x ==|sin ||cos |ωω或的最小正周期T =πω||
。 4.y x y x ==|tan ||cot |ωω或的最小正周期T =
πω||
例3.求函数y x =|tan |3的最小正周期。 解：因为T ==πωω||
而3 所以函数y x =|tan |3的最小正周期为T =
π
3。
例4.求函数y n m
x =-cot()3π的最小正周期。 解：因为T n m
==-πωωπ||||而， 所以函数y n m x =-cot()3π的最小正周期为T n m
m n =-=ππ||||。
三、转化法
对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为y A x h =++sin()ωφ等类型，再用公式法求解。
例5.求函数y x x =+sin cos 66
的最小正周期。
解：因为y x x =+sin cos 66
=+-+(sin cos )(sin sin cos cos )224224x x x x x x
=+-=-=--=+(sin cos )sin cos sin cos cos 2222223134
2134142
38458
x x x x
x x x · 所以函数y x x =+sin cos 66的最小正周期为T ==22
πωπ||。
例6.求函数f x x x x ()sin cos cos =+422·的最小正周期。
解：因为f x x x x ()sin cos cos =+422·
=++=++2221
521
sin cos sin()x x x φ 其中sin cos φφ==1525
，， 所以函数f x x x x ()sin cos cos =+422·的最小正周期为T ==2πωπ||
。
四、最小公倍数法
由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数即得。
注：
1.分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约数）。
2.对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。
例7.求函数y x x =+csc tan 432
的最小正周期。 解：因为csc4x 的最小正周期T 12=
π，tan 32x 的最小正周期T 223=π，由于π2和23π的最小公倍数是2π。 所以函数y x x =+csc tan
432的最小正周期为2π。
例8.求函数y x x =+sin cot 2745
的最小正周期。 解：因为sin
27x 的最小正周期T 17=π，cot =45x 最小正周期T 254=π，由于7π和54
π的最小公倍数是35π， 所以函数y x x =+sin
cot 2745
的最小正周期为T ＝35π。
例9.求函数y x x x =-+sin cos sin 2244的最小正周期。 解：因为sinx 的最小正周期T 12=π，cos2x 的最小正周期T 2=π， sin4x 的最小正周期T 32=π，由于2ππ，，π2
的最小公倍数是2π。 所以函数y x x x =-+sin cos sin 2244的最小正周期为T ＝2π。
五、图像法
利用函数图像直接求出函数的周期。
例10.求函数y x x =+|sin ||cos |的最小正周期。
解：函数y x x =+|sin ||cos |的图像为图1。
图1
由图1可知：函数的最小正周期为T=π
2
。
特别解析三角函数周期的几种求法
特别解析：三角函数周期的几种求法 1．定义法： 定义：一般地对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（x ＋T ）＝ｆ（x ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。 例1．求函数y=3sin （3 32π+x ）的周期 解：∵y=f （x ）=3sin （3 32π+x ）=3sin （332π+x +2π） =3sin （3232ππ++x ）=3sin[3 )3(32ππ++x ] = f （x+3π） 这就是说，当自变量由x 增加到x +3π，且必增加到x +3π时，函数值重复出现。 ∴函数y=3sin （ 332π+x ）的周期是T=3π。 例2：求f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期 解∵f （x+ 2π）= sin 6（x+2π）+ cos 6（x+2 π）= cos 6x +sin 6x= f （x ） ∴f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期为T=2 π 例3：求f （x ）=x x x x 3cos cos 3sin sin ++的周期 解：∵f （x+π）=)cos()cos()(3sin )sin(ππππ++++++x x x x =x cox x x 3cos 3sin sin ---- = x x x x 3cos cos 3sin sin ++= f （x ） ∴求f （x ）=x x x x 3cos cos 3sin sin ++的周期：T=π
三角函数的周期性
1.4.1三角函数的周期性 一、导学目标 1.引导学生从单位圆中，得出正弦、余弦函数值呈现周期性变化 2.函数周期性定义 3．能求三角函数的周期 二、知识回归 1.任意角的三角函数 sin y α= cos x α= 2.终边与α角相同 2απ+ 2απ- L L 2()k k Z απ+∈ 三角函数值相同 三、新知导学 由观察可知 1.三角函数值出现周期性变化的特点 sin(2)sin cos(2)cos x k x x k x ππ+=+= （k Z ∈） 2.函数定义 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使定义域内每一个x ,都有()()f x T f x +=,则函数()f x 叫周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 3.正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的周期 2,4,6,2,4,6,ππππππ---L L 2(,0)k k Z k π∈≠ 都是它们的周期 2π是所有周期中最小的正数，是sin ,cos x x 的最小的 正周期 周期函数()f x ，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就是()f x 的最小正周期，一般，函数周期都是指最小正周期 sin ,cos y x y x ==的周期是T=2π 四、例题分析与巩固训练
(1)()sin 3f x x = 1(2)()2cos()23 g x x π=- 分析：由sin ,cos x x 周期都是2π，设周期T 即可 （1） 设()f x 周期为T ，()()f x T f x += ∴sin3()sin3x T x += sin(33)sin 3x T x += 32T π∴= 23 T π= （2） 设()g x 周期为T ()()g x T g x += 2cos()2cos()2323 x T x ππ+-=- 即2cos ()2cos()23223x T x ππ??- +=-???? 22 T π∴= 巩固训练 A 1. 求下列函数的周期 （1）2sin 2y x =- （2）cos 3 x y = 2.判断下列说法是否正确，并说明理由 （1）76x π=时，2sin()sin 3x x π+=，则23 π一定是函数sin y x =的周期 B 思考 sin()cos() y A x y A x ω?ω?=+=+ （其中,,A ω?为常数，0,0A ω≠>） 的周期为2T π ω= 例2 若钟摆高度()h mm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示 （1） 求该函数的周期
三角函数·函数的周期性
三角函数·函数的周期性 教学目标 1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性． 2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法． 3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论证能力． 教学重点与难点 函数周期性的概念． 教学过程设计 师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x ∈R的图象： （老师把图画在黑板左上方．） 师：通过观察，同学们有什么发现？ 生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是［-1，1］．图象有规律地不断重复出现． 师：规律是什么？ 生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．
师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．（老师在黑板左上方写出课题） 师：我们先看函数周期性的定义．（老师板书） 定义对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期． 师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点． 生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f （x+T）=f（x）． 师：找得准！那么为什么要这样规定呢？ 师：如果T=0，那么f（x+T）=f（x）恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外． 师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？ 生：如果x属于y=f（x）的定义域，则T+x也应属于此定义域． 师：对．否则f（x+T）就没有意义． 师：函数周期性的定义有什么用途？ 生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据． 师：下面我们看例题． （老师板书） 例1 证明y=sinx是周期函数． 生：因为由诱导公式有sin（x+2π）=sinx．所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数． 例2
三角函数经典解题方法与考点题型
三角函数经典解题方法与考点题型(教师) 1．最小正周期的确定。 例1 求函数y =s in (2co s|x |)的最小正周期。 【解】 首先，T =2π是函数的周期（事实上，因为co s(-x )=co s x ，所以cos |x |=co s x ）；其次，当且仅当x =k π+ 2 π 时，y =0（因为|2co s x |≤2<π）, 所以若最小正周期为T 0，则T 0=mπ, m∈N +，又s in (2co s0)=s in 2≠s in (2co sπ)，所以T 0=2π。 过手练习 1.下列函数中，周期为 2π 的是 （ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4 x y = D ．cos 4y x = 2.()cos 6f x x πω?? =- ?? ? 的最小正周期为 5 π ，其中0ω>，则ω= 3.（04全国）函数|2 sin |x y =的最小正周期是（ ）. 4.（1）（04北京）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 . （2）（04江苏）函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为（ ）. 5.(09年广东文)函数1)4 (cos 22 -- =π x y 是 ( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为 2 π的奇函数 D. 最小正周期为2π 的偶函数 6.（浙江卷2）函数的最小正周期是 . 2．三角最值问题。 例2 已知函数y =s inx +x 2cos 1+，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令s inx =??? ??≤≤=+ππ θθ4304 sin 2cos 1,cos 22 x , 则有y =).4 sin(2sin 2cos 2π θθθ+ =+ 因为 ππ 4304≤≤，所以ππ θπ≤+≤4 2， 所以)4 sin(0π θ+≤≤1， 所以当πθ43=，即x =2k π-2 π (k ∈Z )时，y m in =0， 当4 π θ= ，即x =2k π+ 2 π (k ∈Z )时，y m ax =2. 2 (sin cos )1y x x =++
三角函数的周期
三角函数的周期性 一、课题：三角函数的周期性 二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；会判断一些简单的、常见的函数的周 期性，并会求一些简单三角函数的周期。 2.会求正、余弦函数的最小正周期。 三教学重点：函数周期性的概念． 教学难点：周期函数与最小正周期的意义 四、教学过程： （一）引入： 1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？…… （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 2问题三角函数是刻画圆周运动的数学模型，那么“周而复始”的基本特征在函数性质中怎么体现？ （二）新授 1周期定义：一般的，对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x的值，都满足f(x+T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零的常数T叫做这个函数的周期上述（1）的周期是多少？正弦函数的，周期是多少？ 2 最小正周期：对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期 说明：1 “每一个”怎么理解 2f(x+T)=f(x) 周期为T f(2x+T)=f(x) 周期为 3并不是所有的周期函数都有最小正周期，以后未特殊说明周期即指最小正周期 4f(x)=sinx, f(x)=cosx f(x)=tanx的周期是多少 例题讲解 例1 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图 （1）求该函数的周期 （2）求t=10s时钟摆的高度 例2 改1 求函数f（x）=sin4x的周期 2 求函数f（x）=sin3x的周期 3求函数f（x）=2 sin3x+1的周期 4求函数f（x）=2 cos3x+1的周期
如何求三角函数的最小正周期
如何用初等方法求三角函数的最小正周期 在三角函数中，求最小正周期是一个重要内容，有关求三角函数最小正周期的问题，供大家参考。 一 公式法 函数f(x)＝Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）的最小正周期都是ω π2；函数f(x)＝Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）的最小正周期都是ω y=Af(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）一类三角函数的最小正周期（这里“f ”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。 例1 求下列函数的最小正周期： （1） f(x)＝2sin （53πx ＋1）。 （2） f(x)＝1-31cos(4x 3π-）。 （3） f(x)＝51tan(31x 3 π-). f(x)＝)6 2cot(21π--x 解：用T 表示各函数的最小正周期，则： （1）T=5 32ππ =310 T=42π=2 π T=3 1 π=3π f(x ）的最小正周期和y 1=1－2cot(2x －6π)的最小正周期相同，为T=2 π 二 定义法 根据周期函数和最小正周期的定义，确定所给函数的最小正周期。 例2 求函数f(x)＝2sin （21x －6 π）的最小正周期。 解：把2 1x －6 π看成是一个新的变量z,那么2sinz 的最小正周期是2π。由于z ＋2π＝21x-6π=(21x ＋4π)-6π。所以当自变量x 增加到x ＋4π且必须增加到x ＋4π时，函数值重复出现。 ∴函数y=2sin(21x-6 π)的最小正周期是4π。 例3 求函数f(x)＝|sinx|－|cosx|的最小正周期。
解：根据周期函数的定义，易知2π、π都是这个的周期，下面证明π是这个函数的最小正周期。 设0＜T ＜π是这个函数的周期，则|sin(x ＋T )|－|cos(x ＋T )|=|sinx|－|cosx| ① 对于任意x ∈R 都成立，特别的，当x=0时也应成立。 ∴ |sinT|－|cosT|＝|sin0|－|cos0|＝－1。 但当0＜T ＜π时，0＜|sinT|≤1，0＜|cosT|＜1，故有－1＜|sinT|－|cosT|≤1， 矛盾，所以满足①且小于π的正数T 不存在。故函数f(x)＝|sinx|－|cosx|的最小正周期是π。 三、最小公倍数法 求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期，可以先求出各个三角函数的最小正周期，然后再求期最小公倍数T,即为和函数的最小正周期。 例4 求下列函数的最小正周期： （1）f(x)＝sin3x+cos5x （2）f(x)＝cos 34 x －sin 2 1x. （3）f(x)＝sin 53x ＋tan 7 3x. 解：（1）∵sin3x 的最小正周期为T 1=π32,cos5x 的最小正周期为T 2=π52。而π32和π5 2的最小公倍数是2π. ∴f(x)的最小正周期为T=2π. （2) ∵cos 34x 的最小正周期为T 1=π23，-sin 2 1x 的最小正周期为T 2=4π。而π2 3和4π的最小公倍数是12π。 ∴f(x)＝cos 34 x －sin 2 1x 的最小正周期为T=12π. （3）∵sin 53x 的最小正周期为T 1=π310，tan 73x 的最小正周期为T 2=π37。而π310和π3 7的最小公倍数是70π。 ∴f(x)＝sin 53x ＋tan 7 3x 的最小正周期为T=70π. 说明：几个分数的最小公倍数，我们约定为各分数的分子的最小公倍数为分子，各分母的最大公约数为分母的分数。 四 图象法 作出函数的图象，从图象上直观地得出所求的最小正周期。 例5 求下函数的最小正周期。 （1）y=|sin(3x ＋3 π)|
如何求三角函数的周期
如何求三角函数的周期 三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法． 1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期 例1 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 3 2tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2． 解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π． ∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π． (2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 3 2tan )(32tan x T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tan ππ+=+=x x x , 即3 2tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π2 3． 注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值， 如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立． 2、根据公式求周期 对于函数B x A y ++=)sin(?ω或B x A y ++=)cos(?ω的周期公式是| |2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan( ?ω或B x y ++=)cot(?ω的周期公式是||ωπ=T ． 例3 求函数)623sin( 3π-=x y 的周期 解： 3 42 32ππ==T ． 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期 例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y
求三角函数最小正周期的五种方法
求三角函数最小正周期的五种方法 一、定义法 直接利用周期函数的定义求出周期。 例1. 求函数（m≠0）的最小正周期。 解：因为 所以函数（m≠0）的最小正周期 例2. 求函数的最小正周期。 解：因为 所以函数的最小正周期为。 二、公式法 利用下列公式求解三角函数的最小正周期。 1. 或的最小正周期。 2. 的最小正周期。
3. 的最小正周期。 4. 的最小正周期 例3. 求函数的最小正周期。 解：因为 所以函数的最小正周期为。 例4. 求函数的最小正周期。 解：因为， 所以函数的最小正周期为。 三、转化法 对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为等类型，再用公式法求解。 例5. 求函数的最小正周期。 解：因为
所以函数的最小正周期为。 例6. 求函数的最小正周期。 解：因为 其中， 所以函数的最小正周期为。 四、最小公倍数法 由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数即得。 注： 1. 分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约数）。 2. 对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。 例7. 求函数的最小正周期。 解：因为csc4x的最小正周期，的最小正周期，由于和 的最小公倍数是。 所以函数的最小正周期为。 例8. 求函数的最小正周期。
解：因为的最小正周期，最小正周期，由于和的最小公倍数是， 所以函数的最小正周期为T＝。 例9. 求函数的最小正周期。 解：因为sinx的最小正周期，的最小正周期， sin4x的最小正周期，由于，的最小公倍数是2。 所以函数的最小正周期为T＝。 五、图像法 利用函数图像直接求出函数的周期。 例10. 求函数的最小正周期。 解：函数的图像为图1。 图1 由图1可知：函数的最小正周期为。
【新教材】新人教A版必修一 三角函数的周期性 学案
2019—2020学年新人教A版必修一三角函数的周期性学案 一、周期函数的定义 1．周期函数的定义： 一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值,都满足f(x＋T）＝f（x)，那么函数f（x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2．最小正周期： 对于一个周期函数f（x）,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x）的最小正周期． 3．正弦函数、余弦函数的周期: 正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π。 思考1：单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等,都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由． ［提示］由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加（或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同,故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin（2π＋x）＝sin x．故正弦函数、余弦函数也具有周期性．思考2：所有的周期函数都有最小正周期吗？ [提示］并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x）＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期． 二、正、余弦函数的周期 函数y＝A sin（ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期: 一般地，函数y＝A sin（ωx＋φ）及y＝A cos（ωx＋φ)（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝错误!。 思考3:6π是函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？ ［提示]是． 1．思考辨析 (1)周期函数都一定有最小正周期．（） (2)周期函数的周期只有唯一一个．( ） （3）周期函数的周期可以有无数多个．（) ［答案］(1)×(2)×(3)√ 2．函数y＝错误!sin错误!的周期是________． 2[T＝错误!＝2。］ 3．函数f(x）＝－2cos（4x＋30°)的周期是________．
三角函数周期性公式
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ+α）= sinα cos（2kπ+α）= cosα tan（2kπ+α）= tanα cot（2kπ+α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）= -sinα cos（π+α）= -cosα tan（π+α）= tanα cot（π+α）= cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα
关于《三角函数的周期性》的教案
关于《三角函数的周期性》的教案 一、目标与自我评估 1掌握利用单位圆的几何作函数的图象 2结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3会用代数方法求等函数的周期 4理解周期性的几何意义 二、学习重点与难点 “周期函数的概念”，周期的求解。 三、学法指导 1、是周期函数是指对定义域中所有都有 ，即应是恒等式。 2、周期函数一定会有周期，但不一定存在最小正周期。 四、学习活动与意义建构 五、重点与难点探究 例1、若钟摆的高度与时间之间的函数关系如图所示 （1）求该函数的周期； （2）求时钟摆的高度。 例2、求下列函数的周期。 （1）（2） 总结：（1）函数（其中均为常数，且 的周期T=。
（2）函数（其中均为常数，且 的周期T=。 例3、求证：的周期为。 例4、（1）研究和函数的图象，分析其周期性。 （2）求证：的周期为（其中均为常数， 且 总结：函数（其中均为常数，且 的周期T=。 例5、（1）求的周期。 （2）已知满足，求证：是周期函数 课后思考：能否利用单位圆作函数的图象。 六、作业： 七、自主体验与运用 1、函数的周期为（） A、B、C、D、 2、函数的最小正周期是（） A、B、C、D、 3、函数的最小正周期是（） A、B、C、D、 4、函数的周期是（） A、B、C、D、 5、设是定义域为R,最小正周期为的函数，
若，则的值等于（） A、1 B、 C、0 D、 6、函数的最小正周期是，则 7、已知函数的最小正周期不大于2，则正整数 的最小值是 8、求函数的最小正周期为T，且，则正整数 的最大值是 9、已知函数是周期为6的奇函数，且则 10、若函数，则 11、用周期的定义分析的周期。 12、已知函数，如果使的周期在内，求 正整数的值 13、一机械振动中，某质子离开平衡位置的位移与时间之间的 函数关系如图所示： （1）求该函数的周期； （2）求时，该质点离开平衡位置的位移。 14、已知是定义在R上的函数，且对任意有 成立， （1）证明：是周期函数； （2）若求的值。 分类计数原理与分步计数原理、排列 一.教学内容：分类计数原理与分步计数原理、排列
三角函数周期的常用求法
ｙ ｘ Ｏ π ２π － π －２π ｙ ｘ Ｏ π ２π －π －２π 三角函数周期的常用求法 河南 陈长松 三角函数的周期是三角函数的一个重要性质，也是高考的热点．本文通过实例介绍求三角函数周期的几种常用方法，供参考． 一、公式法 例1 函数)2 3sin( x y -=π的最小正周期是 （ ） Ａ．π Ｂ．２π Ｃ．－４π Ｄ．４π 解：由公式，得ππ42 12=-=T ，故选Ｄ． 评注：对于函数)sin(?ω+=x A y 或)cos(?ω+=x A y 可直接利用公式ωπ 2=T 求得；对于)tan(?ω+=x A y 或)cot(?ω+=x A y 可直接利用公式ωπ= T 求得。 二、图像法 例２ 求下列函数的最小正周期 ① x y sin = ②x y sin 解：分别作出两个函数的图像知 ①x y sin =的周期π=T ②x y sin =不是周期函数 评注：对于一 些含有绝对值的三角函数周期问题，常可借助于三角函数的图 像来解决． 三、定义法 x x y cos sin +=的最小正周期 例３ 求函数 解：∵ 2 cos()2sin(ππk x k x +++＝x x cos sin + （Z k ∈） ∴ 2πk 是函数x x y cos sin +=的周期．显然2πk 中最小者是2 π 下面证明2 π是最小正周期 假设2π不是x x y cos sin +=的最小正周期，则存在<
三角函数周期最值
正弦函数、余弦函数的性质（一） 周期 【基础知识梳理】 1.正弦函数x y sin =与余弦函数x y cos =都是周期函数 都是它们的周期，且它们的最小正周期都是 ； 2.正弦型函数)sin(?ω+=x A y 和余弦型函数)cos(?ω+=x A y (0,0≠>ωA )的周期T= . 【典型例题】 【例1】1.函数x y sin =的周期为（ ） A. π2 B.π C. 2π D.4π 2.设函数f (x )=3si ∈(-∞,+∞),且以 为最小正周期 若 则 的值为 【巩固练习】 1.求下列函数的周期： （1）y=3cosx ,x ∈R ； （2）y=sin2x, x ∈R ； （3）y=2sin(21x-6π),x ∈R ； （4）)4 31cos(2π-=x y ； （5）)3 21sin(π+-=x y 。 2.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数,又是周期函数,若f (x )的最小正周期为π,且当x ∈ 时 则 等于 A. 21- B. 21 C.23- D.23 3.若函数f (x )=sin ωx 的周期为π,则ω= . 4.函数y =|cos x|的最小正周期是( ) A.π2 B.π C.2π D.4 π 5.函数y=5si 的最小正周期为 A.π2 B.π5 C.25π D.5 2π
最值 【基础知识梳理】 1.正弦函数x y sin =在x = 时， 1max =y ； 在x = 时， 1min -=y 。 2.余弦函数x y cos =在x = 时， 1max =y ； 在x = 时， 1min -=y 。 【典型例题】 【例1】求下列函数的最值及取得最大值、最小值时的自变量x 的集合： （1）)42sin(3π+ =x y ； （2）)6 21cos(23- π-=x y ； （3）2)1(sin 2+-=x y 。 【例2】求函数2sin 5sin 22-+-=x x y 的最大值和最小值。
三角函数的周期性问题
三角函数的周期问题求法 一．选择题（共7小题） 1．（2014?天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π 2．（2014?新课标I）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan （2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（） A．①②③ B．①③④ C．②④D．①③ 3．（2014?南阳三模）若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）的图象在（0，2π）上恰有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是（） A．B．C．D． 4．（2005?黑龙江）函数f（x）=|sinx+cosx|的最小正周期是（） A．B．C．πD．2π 5．（2009?江西）函数的最小正周期为（） A．2πB．C．πD． 6．（2014?宝坻区校级模拟）已知函数y=sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是（） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（2015?广西校级学业考试）函数y=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图，则（）
A．ω=，φ= B．ω=，φ= C．ω=，φ= D．ω=，φ= 二．填空题（共1小题） 8．（2013?江西）函数y=最小正周期T为． 三．解答题（共3小题） 9．（2004?山东）求函数的最小正周期、最大值和最小值． 10．（2012?四川）函数f（x）=6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所 示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形． （Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域； （Ⅱ）若f（x0）=，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值． 11．（2015?秦安县一模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点．且|OQ|=2，|OP|=， |PQ|=． （Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式； （Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，2]时，求函数h（x）=f（x）?g（x）的最大值．
三角函数的周期性数学教案
三角函数的周期性数学教案 一、学习目标与自我评估 1掌握利用单位圆的几何方法作函数的图象 2结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3会用代数方法求等函数的周期 4理解周期性的几何意义 二、学习重点与难点 “周期函数的概念”，周期的求解。 三、学法指导 1、是周期函数是指对定义域中所有都有 ，即应是恒等式。 2、周期函数一定会有周期，但不一定存在最小正周期。 四、学习活动与意义建构 五、重点与难点探究 例1、若钟摆的高度与时间之间的函数关系如图所示 （1）求该函数的周期； （2）求时钟摆的高度。 例2、求下列函数的周期。 （1）（2） 总结：（1）函数（其中均为常数，且 的周期T=。
（2）函数（其中均为常数，且 的周期T=。 例3、求证：的周期为。 例4、（1）研究和函数的图象，分析其周期性。 （2）求证：的周期为（其中均为常数， 且 总结：函数（其中均为常数，且 的周期T=。 例5、（1）求的周期。 （2）已知满足，求证：是周期函数 课后思考：能否利用单位圆作函数的图象。 六、作业： 七、自主体验与运用 1、函数的周期为（） A、B、C、D、 2、函数的最小正周期是（） A、B、C、D、 3、函数的最小正周期是（） A、B、C、D、 4、函数的周期是（） A、B、C、D、 5、设是定义域为R,最小正周期为的函数，
若，则的值等于（） A、1 B、 C、0 D、 6、函数的最小正周期是，则 7、已知函数的最小正周期不大于2，则正整数 的最小值是 8、求函数的最小正周期为T，且，则正整数 的最大值是 9、已知函数是周期为6的奇函数，且则 10、若函数，则 11、用周期的定义分析的周期。 12、已知函数，如果使的周期在内，求 正整数的值 13、一机械振动中，某质子离开平衡位置的位移与时间之间的 函数关系如图所示： （1）求该函数的周期； （2）求时，该质点离开平衡位置的位移。 14、已知是定义在R上的函数，且对任意有 成立， （1）证明：是周期函数； （2）若求的值。
三角函数周期的几种求法.doc
三角函数周期的几种求法 深圳市福田区皇岗中学蔡舒敏 高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。 1.定义法： 定义：一般地y=c,对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值吋， f (x+T) = f ( X ) 都成立，那么就把函数y = f (x)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数來说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小止周期。 例1.求函数y=3sin (-% + -)的周期 3 3 解:Vy=f (x) =3sin (-x+—) =3sin (-% + —+2^-) 3 3 3 3 =3sin (拿+ 2兀 +彳)=3sin[|(x + 3^) + |] 二f (x+3兀) 这就是说，当自变量由x增加到x+3龙,且必增加至!J x+3龙时,函数值重复出现。 二函数y=3sin (-x + —)的周期是T二3龙。 3 3 例2：求f (x) =sin6x+cos6x 的周期 解Tf (x+—) = sin b (x+—) + cos6 (x+—) 2 2 2 二cos h x +sir?x二f (x)
.?.f （x） =sin6x+cos6x 的周期为T= — 2 例3：求f （x）二血兀+血3兀的周期 cosx + cos3x 解：Vf （x+兀）二曲（只+兀）+血如+兀） COS（X + 7l） + COS（X + 71） _ -sinx-sin3x -cox - cos3x _ sinx + sin 3x cos x +cos 3^ 二f （x） ■求f（X）二Siz + sin3兀的周期:T F cos x +cos 3x 2.公式法： （1）如果所求周期函数可化为y二Asin （亦+ ?）、y二Acos （亦+炉）、y = tg （亦 + 0 ）形成（其中X、co、cp为常数，且A H O、?>O、0W R）,则可知道它们的周期分别是：—> —> -O co co co 例4：求函数y=l-sinx+V3 cosx的周期 解：Vy=l-2 （- sinx- —cosx） - 2 2 = 1-2 （cos —sinx-sin— cosx） 3 3 = l-2sin （x-—） 3 这里0二1 ???周期T二2龙 例5：求：y=2 （— sinx--cos3x） -1 2 2 解：Vy=2 （— sinx-—cos3x） -1 2 2
精解三角函数的周期性
精解三角函数的周期性 一、正弦函数的周期 三角函数，以正弦函数y = sin x为代表，是典型的周期函数. 幂函数y = xα 无周期性，指数函数y = a x无周期性，对数函数y =log a x 无周期， 一次函数y = kx+b、二次函数y = ax2+bx+c、三次函数y = ax3+bx2 + cx+d 无周期性. 周期性是三角函数独有的特性. 1、正弦函数y=sin x的最小正周期 在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线 段MP. 正弦函数的周期性 动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置 和变化方向重现一次. 同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正 弦线的即时位置包括变化方向不会重现. 因此，正弦函数y=sin x的最小正周期2π. 2、y=sin（ωx）的最小正周期 设ω>0，y =sin（ωx）的最小正周期设为L . 按定义y= sin ω（x+L）= sin（ωx+ ωL）= sinωx . 令ωx = x则有sin （x+ ωL）= sin x 因为sin x最小正周期是2π，所以有 例如sin2x的最小正周期为 sin的最小正周期为 3、正弦函数y=sin（ωx+φ）的周期性 对正弦函数sin x的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx+φ）. 它的最小正周期与y = sinωx的最小正周期相同，都是.
如的最小周期与y = sin（3x）相同，都是. 于是，余弦函数的最小正周期与sin x的 最小正周期相同，都是2π. 二、复合函数的周期性 将正弦函数y = sin x进行周期变换x→ωx，sin x→sinωx 后者周期变为 而在以下的各种变换中，如 （1）初相变换sinωx→si n（ωx+φ）； （2）振幅变换sin（ωx+φ）→A sin（ωx+φ）； （3）纵移变换A si n（ωx+φ）→A si n（ωx+φ）+m； 后者周期都不变，亦即A si n（ωx+φ）+m与si n（ωx）的周期相同，都是 . 而对复合函数f（sin x）的周期性，由具体问题确定. 1、复合函数f（sin x）的周期性 【例题】研究以下函数的周期性： （1）2 sin x；（2） （2）的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可知，它是最小正周期为 2π的周期函数. 【解答】（1）2sin x的定义域为R，值域为，作图可知，它是最小正 周期为2π的周期函数. 【说明】从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x，sin x，， sin（sin x）都是最小正周期2π的周期函数. 2、y= sin3x的周期性
高中数学 1.3.1 三角函数的周期性教案 苏教版必修4
1.3.1 三角函数的周期性 一、课题：三角函数的周期性 二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义； 2.会求正、余弦函数的最小正周期。 三、教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。 四、教学过程： （一）引入： 1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？…… （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 2自变量x 2π- 32π- π- 2 π- 0 2π π 32 π 2π 函数值sin x 0 1 0 1- 0 1 1- 0 正弦函数()sin f x x =性质如下： 文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得； 符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 （二）新课讲解： 1．周期函数的定义 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 说明：（1）T 必须是常数，且不为零； （2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。 【思考】 （1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin( )sin 636π ππ+ =，能否说23 π是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且 0k ≠） （3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，* k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+L ） 2．最小正周期的定义 对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小 的正数就叫做()f x 的最小正周期。 – – π 2 π 2π- 2π 5 π- 2π- π- O x y 1 1-
求三角函数最小正周期的五种方法96233
求三角函数最小正周期的五种方法 spacetzs 关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手。本文将介绍求三角函数最小正周期常用的五种方法，仅供参考。 一、定义法 直接利用周期函数的定义求出周期。 例1.求函数y m x =-cos() 56 π （m ≠0）的最小正周期。 解：因为y m x =-cos()56 π =-+=+-cos( )cos[()] m x m x m 5625106π πππ
所以函数y m x =-cos()56 π （m ≠0）的最小正周期 T m = 10π || 例2.求函数y x a =cot 的最小正周期。 解：因为y x a x a a x a ==+=+cot cot()cot[()]ππ1 所以函数y x a =cot 的最小正周期为T a =||π。 二、公式法 利用下列公式求解三角函数的最小正周期。 1.y A x h =++sin()ωφ或y A x h =++cos()ωφ的最小正周 期T =2π ω|| 。 2.y A x h y A x h =++=++tan()cot()ωφωφ或的最小正周期 T = π ω|| 。 3.y x y x ==|sin ||cos |ωω或的最小正周期T =π ω|| 。
4.y x y x ==|tan ||cot |ωω或的最小正周期T =π ω|| 例3.求函数y x =|tan |3的最小正周期。 解：因为T ==π ωω|| 而3 所以函数y x =|tan |3的最小正周期为T =π3。 例4.求函数y n m x =-cot()3π的最小正周期。 解：因为T n m ==-πωωπ ||||而， 所以函数 y n m x =- cot()3π的最小正周期为 T n m m n = -=π π||||。 三、转化法 对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为y A x h =++sin()ωφ等类型，再用公式法求解。
三角函数的化简、求最小正周期和最值
三角函数的化简、求最小正周期和最值 1、已知()sin f x x x =∈x (R ). （1）求函数)(x f 的最小正周期; （2）求函数)(x f 的最大值，并指出此时x 的值． 2、已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R). （1）求函数()x f 的最小正周期； （2）当x 取什么值时,函数()f x 取得最大值,并求其最大值; （3）若θ为锐角，且83 f πθ?? += ? ? ?，求tan θ的值.
（理）3、设函数?? ? ??π- +=2sin sin )(x x x f ωω，R ∈x ． （1）若21 ＝ ω，求)(x f 的最大值及相应的x 的集合； （2）若8 π =x 是)(x f 的一个零点，且100<<ω，求ω的值和)(x f 的最小正周期． 4、已知函数()4sin()cos f x x x π=- （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若(0,)θπ∈,2 ()4 3 f π θ+= , 求sin θ的值
5、已知函数21()cos cos 1,2f x x x x x R = +∈． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在[,]124 ππ 上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时的自变量x 的值． 6、已知向量(cos sin ,sin )a x x x =+，(cos sin ,2cos )b x x x =-，设()f x a b =?. 求（1）求函数()f x 的最小正周期. （2）当,44x ππ?? ∈-??? ?时，求函数()f x 的最大值及最小值. 7、已知函数22 ()cos sin sin 2f x x x x =-+