自主招生竞赛三角函数【讲师版】

三角函数

知识定位

三角函数的知识无论是在高考，自招还是竞赛中都是必考知识。有时三角函数会以单独题目出现，如解三角形，证明三角恒等式、不等式等，也有时是解决其他问题的必经之路或是辅助工具，如数列问题，平面几何问题，复数问题等等。

本节将介绍三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 （注：本章中A ，B ，C 同时出现即默认为三角形ABC 的三个内角）

知识梳理

三倍角公式

)3tan()3tan(tan tan 31tan tan 33tan )3

cos()3cos(cos 4cos 3cos 43cos )

3

sin(

)3

sin(

sin 4sin 4sin 33sin 2

333απ

απαα

ααααπ

απαααααπ

απ

αααα-+=--=-+=-=-+=-=

教学提示：在这里可以向学生指出，对αn sin 和αn cos 而言，它们分别是αsin 和αcos 的

n 次多项式，这一点可以通过数学归纳法结合两角和公式来证明。三个公式的后半部分有时可以处理一些三角函数的连乘问题。

三角形的一些简单的恒等式

1cos cos cos 22cos 2cos 2cos 2

sin

2sin 2sin 41cos cos cos 2

cos

2cos 2cos 4sin sin sin 1

2

tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan sin sin sin 42sin 2sin 2sin 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot

1

cot cot cot cot cot cot tan tan tan tan tan tan =++++=++=++=++=++=++=++=++C B A C B A C

B A

C B A C

B A

C B A A

C C B B A C

B A

C B A C B A C B A A C C B B A C B A C B A

教学提示：在这里可以向学生指出，如第一，二，三，五，八个恒等式常可以用来做三角代换，即在一些给定条件如xyz z y x =++的代数问题中可以作代换A x tan =，

B y tan =，

C z tan =进而使用三角函数知识以及条件π=++C B A 解决问题。

2

3

3sin sin sin 23

cos cos cos 1cot cot cot tan tan tan sin sin sin cos cos cos 18

12cos 2cos 2cos 812sin 2sin 2sin

≤

++≤

++<++>++++<+++≤

≤C B A C B A C

B A

C B A C B A C B A C B A C B A

例题精讲

一．三倍角公式 【例1】

【题目来源】

【题目】设x 为锐角，并且满足3

1cos 3cos =x x ，求

x x

sin 3sin 的值。 【难度系数】1

【证明】由三倍角公式

3cos 4cos cos 3cos 4cos 3cos 23-=-=x x x

x x x 以及

x x

x x x x 23sin 43sin sin 4sin 3sin 3sin -=-= 故

2cos 3cos sin 3sin =-x x x x 得3

7sin 3sin =x x

【例2】

【题目来源】

【题目】证明：)3

sin(

)3

sin(sin 43sin θπ

θπ

θθ-+=

【难度系数】2

【题目来源】

【题目】证明：)3

tan()3tan(tan 3tan απ

απ

αα-+= 【难度系数】2 【证明】

)

3

tan()3tan(tan 3tan tan 31tan tan 3tan 1tan 2tan 1tan 1tan 2tan 2tan tan 12tan tan 3tan tan 31tan tan 3tan 31tan 3tan 31tan 3tan )3tan()3tan(tan 2

32223απ

απαααααα

αααα

αααααααα

αα

α

ααααπαπα-+=--=---+=-+=--=

+--+=-+

【例4】

【题目来源】

【题目】求????85cot 35cot 25cot 15cot 的值。 【难度系数】3

【解析】????=????5tan 55tan 65tan 15cot 85cot 35cot 25cot 15cot 利用三倍角公式)3

tan()3tan(

tan 3tan απ

απ

αα-+= 得?=???15tan 5tan 55tan 65tan

故115tan 15cot 85cot 35cot 25cot 15cot =??=????

二．三角形的一些简单的恒等式 【例5】

【题目来源】

【题目】证明：C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++ 【难度系数】1

（PS ：由本题结论即推得1cot cot cot cot cot cot =++A C C B B A ）

【证明】C

B C

B C B C B A tan tan 1tan tan )tan()tan(tan -+-=+-=--=π

化简即得 C B A C B A t a n t a n t a n t a n t a n t a n =++

【例6】

【题目来源】 【题目】证明：12

tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A 【难度系数】1

（PS ：由本题结论即推得2

cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot

C

B A

C B A =++)

【证明】2

tan

2tan 2tan

2tan

12tan 12

tan 2tan C B C B C B C B A +-=

+=--=π 化简移项即得12

tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A

C C B B A

【例7】

【题目来源】

【题目】证明：C B A C B A sin sin sin 42sin 2sin 2sin =++ 【难度系数】2

【证明】

（PS ：三角恒等式的证明就是不断使用和差化积，积化和差以及三角形内角关系来化简式子，向待证的另一端靠拢的过程）

【例8】

【题目来源】

【题目】证明：2

sin 2sin 2sin 41cos cos cos C B A C B A +=++ 【难度系数】2 【证明】

【例9】

【题目来源】

【题目】已知正实数a ，b ，c 满足abc c b a =++，求证：

2

3

1111112

2

2

≤

++

++

+c b a 【难度系数】3

【证明】令A a tan =，B b tan =，C c tan =，其中A,B,C 为三角形的内角 则原不等式等价于

2

3tan 11tan 11tan 11222≤

++

++

+C

B

A

C

B A B A B A

C C B A C C C B A B A C B A sin sin sin 4)

cos()(cos(sin 2)cos )(cos(sin 2cos sin 2)cos()sin(22sin 2sin 2sin =+--=+-=+-+=++2sin

2sin 2sin 41)2cos 2(cos 2sin 21)

2sin 2(cos 2sin 212sin 212cos 2sin 2)2sin 21(2cos 2cos

2cos cos cos 2

2C

B A B A B A

C C

B A

C C B A C C B A B A C

B A +=+--+=--+=-+-=-+-+=++

即2

3cos cos cos ≤

++C B A 由本章节后面的例13可知上式的正确性 教学提示：把本题作为恒等式部分的例题是为了告诉学生三角代换是如何使用的，这里还应该提及利用其它三角恒等式做三角代换解代数题的情形

【例10】 【题目来源】

【题目】证明：2

sin

21sin )2sin()sin()sin(sin β

ββαβαβαα++

=

+++++n n n

【难度系数】4 【证明】)],2

cos()2[cos(212sin

sin β

αβαβ

α--+-=

)]sin()2sin()sin([sin 2

sin

,,

)]2

1

2cos()212[cos(212sin )sin(,

)]2

3

cos()25[cos(212sin )2sin()],2cos()23[cos(212sin

)sin(βαβαβααβ

βαβαββαβαβαββαβ

αβαβ

βαn n n n +++++++-+-++-=++-+-=++-+-=+

各项相加得类似地

.2

1

sin )2sin()]2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--++-=n n n .

2

1sin )2sin()]

2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--+

+-=n n n

所以，.

2sin

21

sin )2sin()sin()sin(sin βββαβαβαα++=+++++n n n

【例11】

【题目来源】

【题目】证明：对任一自然数n 及任意实数πk m

x 2

≠

（k=0,1,2,…，n ，m 为任一实数）有 .2cot cot 2sin 14sin 12sin 1x x x

x x n

n -=+++ 【难度系数】3

【证明】,2cot cot 2sin 2cos cos sin 2cos 22sin 2cos cos 22sin 122x x x

x x x x x x x x -=-=-=

同理x x x

4cot 2cot 4sin 1-= …… x x x n

n n

2cot 2cot 2sin 11-=-

（PS ：就算不知道本题的裂项技巧，也可以通过尝试使用数学归纳法证明本题来得到这个裂项公式）

【例12】 【题目来源】 【题目】证明：)sin 3sin 3(4133sin 13233sin 333sin ααααα-=-+++n

n n n 【难度系数】3

【证明】由三倍角公式ααα3

sin 4sin 33sin -=变形可得

)3sin 313sin 13(411

33

sin 3)

3sin 32

3sin 23(41233sin 3)sin 3sin 3(4133

sin n

n n n n n αααααααα

α

-++=

+-=-=

通加即得 )sin 3

sin 3(4133

sin 132

33

sin 33

3sin ααα

α

α

-=

-+++n n n

n

三．三角不等式 【例13】 【题目来源】

【题目】证明：2

3cos cos cos 1≤++

【证明】不妨设C 为锐角

23

23)212(sin 22

sin

222sin 212cos 2cos 2cos 2cos

2cos cos cos cos 2≤

+--=+-=++≤-++=++A A

A C

B A C

B C B A C B A

当且仅当A=B=C 时取等号

1

cos sin 21cos sin cos )sin(cos cos sin cos sin cos cos cos ≥+=+=++=++>++C C C C C

B A C

B A A B

C B A

【例14】 【题目来源】

【题目】证明：8

1cos cos cos ≤C B A 【难度系数】2

【证明】由例14结论 8

1

)21()3cos cos cos (cos cos cos 33=≤++≤C B A C B A

【例15】 【题目来源】 【题目】证明：8

1

2sin 2sin 2sin

≤C B A 【难度系数】2

【证明】由例8和例14结论得

8

1

41

23

4

1cos cos cos 2sin 2sin 2sin

=

-≤-++=C B A C B A

【例16】 【题目来源】

【题目】证明：2

3

3sin sin sin ≤

++C B A 【难度系数】2

分析一 本题中有三个变量A 、B 、C ，且满足A +B +C =180°，先固定其中一个如角C ，由于A +B =180°- C ,故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A －B 有关的三角函数进行研究．

证法一 我们先假定C 是常量，于是A +B =π-C 也是常量.

sin sin sin 2sin

cos sin 22

A B A B A B C C +-++=+2cos cos

sin 22c A B

C -=+， 显然，对于同一个C 值，当A =B 时，上式达到最大值．

同样，对同一个A 或B ，有类似结论；因此,只要A 、B 、C 中任意两个不等，表达式

sin sin sin A B C ++就没有达到最大值，因而，当A =B =C =3

π

时，sin sin sin A B C ++有最大值3

32

，∴原不等式得证． 说明 不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法

分析二 即证

sin sin sin 3

32

A B C ++≤

，观察左边的形式，从而考虑用琴生不等式进行证明．

证法二 函数sin y x =是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量123,,(0,)x x x π∈，总有123123

sin sin sin sin(

)33

x x x x x x ++++≥

，等号当123x x x ==时成立．因此有sin sin sin sin(

)33

A B C A B C

++++≥

，从而有sin sin sin 1803sin 332A B C ++?≤=，因此原不等式成立．

说明 本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸函数，因此很多三角不等如均可利用凸函数的性质证明．

【例17】 【题目来源】

【题目】证明：C B A C B A cot cot cot tan tan tan ++>++ 【难度系数】3

【证明】设A x tan =，B y tan =，C z tan = 则有xyz z y x =++ 由yz xz xy z y x z y x ++≥++>++2

2

2

2

)( 得z

y x xyz zx yz xy z y x zx yz xy z y x 1

11++=++=++++>

++

即C B A C B A cot cot cot tan tan tan ++>++

【例18】

【题目来源】嵌入不等式

【题目】证明：C xy B xz A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++ 【难度系数】3 【证明】

)cos sin ()cos cos (cos 2cos 2cos 222

222≥-+--=---++B x A y B x A y z C xy B xz A yz z y x 所以有C xy B xz A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++ 等号成立当且仅当

C

z

b y A x sin sin sin ==时取 （PS ：这就是著名的嵌入不等式，取一些特殊的A,B,C 可以用来证明许多不等式竞赛题）

【例19】

【题目来源】1990年国家集训队测试题 【题目】证明：已知实数x,y,z 满足0

2

π

，证明： z y x x y y x 2s i n 2s i n 2s i n c o s s i n 2c o s s i n 22

++>++π

【难度系数】4

分析 将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积．

证明 即证sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 4

x y y z x x y y z z π

++>++

即证明

sin (cos cos )sin (cos cos )sin cos 4

x x y y y z z z π

>-+-+

注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而4

π

为此单位圆在第一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立．

习题演练

【练1】

【题目来源】

【题目】证明：10645

)

4

1(89sin 3sin 2sin 1sin ?=???? 【难度系数】3

（提示：用三倍角公式）

【证明】

=4

387sin 6sin 3sin )

4

1(29

?

60sin 30sin )87sin 33sin 27(sin )66sin 54sin 6)(sin 63sin 57sin 3(sin 3)4

1

(30= 45sin )54sin 36)(sin 63sin 27)(sin 72sin 18)(sin 18sin 9(sin 3)41(81sin 18sin 9sin 3)41(4040???=??= 45sin )54sin 36)(sin 63sin 27)(sin 72sin 18)(sin 18sin 9(sin 3)4

1(81sin 18sin 9sin 3)41(4040???=??=

?

??????????=?

???60sin 30sin )89sin 31sin 29(sin )62sin 58sin 2)(sin 61sin 59sin 1(sin 89sin 3sin 2sin 1sin

又)72cos 1)(36cos 1(41)36sin 18(cos 2 -+= 165)72cos 36cos 1(41)72cos 36cos 72cos 36cos 1(4

1=+=--+= 16

5)72cos 36cos 1(41)72cos 36cos 72cos 36cos 1(41=+=--+=

16

5)72cos 36cos 1(413cos 72cos 36cos 1(41=+=--+= 即 .4536sin 18cos = 所以 .106)4

1

(89sin 2sin 1sin 45?=

【练2】

【题目来源】

【题目】证明：2

cos 2cos 2cos

4sin sin sin C B A C B A =++ 【难度系数】2

【证明】

【练3】

【题目来源】

【题目】证明：1cos cos cos 22cos 2cos 2cos =+++C B A C B A 【难度系数】2 【证明】

36sin 18cos 22

3)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242?=?=?=?=?=?= 36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242?=?=?=?=?=?= 36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=2

cos 2cos 2cos 4)2

cos 2(cos 2cos 2)2sin 2(cos 2cos 22

cos 2sin 22cos 2sin 2sin sin sin C

B A B

A B A C C B A C C

C B A B A C B A =++-=+-=+-+=++

2c o s 2c o s 2

2c o s 2c o s 2c o s 2c o s )c o s ()c o s (2

c o s 2c o s )c o s c o s 2)c o s (()c o s (2c o s 2c o s )c o s c o s 2(c o s c o s c o s c o s c o s 22c o s 2c o s 2c o s =+++-

=++-+-=++++-?+-=+++=+++C B C

B C B C B C B C B C B C B C B

C

B C B A A C B A C B A

【练4】

【题目来源】

【题目】证明：n n n n -=-+++α

α

ααααααtan tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan 【难度系数】3

【证明】由正切差公式 α

αα

αα)1tan(tan 1tan )1tan(tan ++-+=

n n n n

得1tan tan )1tan()1tan(tan --+=

+α

α

αααn n n n

当n 取1,2，……n 时，将n 个等式通加，即得

n n n n -=

-+++α

α

ααααααtan tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan

【练5】

【题目来源】

【题目】证明：在锐角三角形ABC 中，C B A C B A sin sin sin cos cos cos 1++<+++ 【难度系数】3 【证明】

4s i n

4s i n )2s i n 2(c o s 4)

2c o s 2)(c o s 2s i n 2(c o s 2)]

2cos 2(sin 2cos )2sin 2(cos 2[cos 2)]

2

sin 2(cos 2cos )2sin 2(cos 2[cos 2)

2cos 2sin 2cos 2(sin 22cos 2cos 22cos 2)

sin sin (sin cos cos cos 12B

C A C B A A A C

B A A A A

A C

B A A A C

B C B C B A A A C

B C B A A C B C B A C B A C B A -+-+--=---=--+-=+-+-+-=-++--++=++-+++ 因为A ，B ，C 为锐角，故02sin 2cos

>-A A ，04sin >-+C B A ，04

sin >-+B

C A 故有C B A C B A sin sin sin cos cos cos 1++<+++

【练6】

【题目来源】2004年福建省竞赛题

【题目】证明：|sin cos tan cot sec csc |221x x x x x x +++++≥-

【难度系数】3

【证明】设()|sin cos tan cot sec csc |f x x x x x x x =+++++，sin cos t x x =+，

则有21sin cos 2t x x -=，2222()||11t f x t t t =++--22

|||11|11

t t t t =+=-++--

当1t >时，2

()112211f x t t =-++≥+-；

当1t <时，2

()(1)12211

f x t t =--+

-≥-- 因此|sin cos tan cot sec csc |221x x x x x x +++++≥-．

【练7】

【题目来源】第三届澳门数学竞赛题

【题目】证明：在锐角三角形ABC 中，有12

tan tan tan 3n n n n

A B C +++≥，n 为自然数。

【难度系数】3

【证明】设tan ,tan ,tan x A y B z C ===，则,,0x y z >，x y z xyz ++=，而33x y z xyz ++≥， 代入得32

3xyz ≥，故13

2

333

n n n n n n n

x y z x y z +++≥≥

(人教版初中数学)锐角三角函数

锐角三角函数 一．〖基础训练〗 1、在△ABC 中,∠C ＝90°,则sinA= ,cosA= tanA= cotA= . 2、根据直角三角形的 元素（至少有一个边）,求出 其它所有元素的过程,即解直角三角形 3．Rt △ABC 中,若sinA ＝45 ,AB ＝10,那么BC ＝ ,tanB ＝ 4．写出适合条件的锐角α Sin600= , tan300= ,cos α＝32 ,α= , 5、在△ABC 中,∠C ＝90°,AC=6,BC=8,那么sinA= 6、sin300+tan450= . 7、若sin α=cos70°,则角α等于 A ．70°； B ．60°； C ．45°； D ．20°． 8、（讲解）若∠A 为锐角,且cosA ≤ 12 ,那么（ ） A 、00≤A ≤600 B 、600≤A ≤900 C 、00≤A ≤300 D 、300≤A ≤90 0 二．〖中考在线〗（讲解） 1、（2004年中考题）．在△ABC 中,∠C ＝90°,sinA ＝35 ,则cosA 的值是（ ） （A ） 35 （B ）45 （C ）925 （D ）1625 2、如图,(2003年第21题)在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,tanB=cos ∠DAC. (1)求证：AC=BD （2）若sinC=1213 ,BC=12,求AD 的长. 三．〖考点训练〗 1．Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝6,AC ＝2,则sinA ＝（ ） （A ） 13 （B ）23 （C ）23 2 （D ）23 2．已知∠A ＋∠B ＝90°,则下列各式中正确的是（ ） A B C D

中考自主招生数学试卷(含解析)

2018年山东省枣庄实验高中自主招生数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的选项填到二卷答题纸的指定位置处） 1．如图，数轴上点A表示数a，则|a﹣1|是（） A．1B．2C．3D．﹣2 2．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜﹣1D．k＜﹣1或k＝0 3．在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为（） A．84株B．88株C．92株D．121株 4．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（） A．﹣＝4B．﹣＝4 C．﹣＝4D．﹣＝4 5．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（）

A．B． C．D． 6．如图在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树稍的仰角分别是45°与60°，∠DCA＝90°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°，若房屋的高BC＝5米，则高DE的长度是（） A．6米B．6米C．5米D．12米 7．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（） A．参加本次植树活动共有30人 B．每人植树量的众数是4棵 C．每人植树量的中位数是5棵 D．每人植树量的平均数是5棵

求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)

求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)

求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．

4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3

三角函数题型总结-教师版

三角函数题型总结-教师版

111111 cos sin sin 2224 S x y = =?=ααα， …… …………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343 S x y πππ = =-+?+=-+ααα． … …………9分 依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα， 整 理得 cos20 =α． ………………11分 因为 62 ππ<<α， 所以 23π <<πα， 所 以 22 π= α， 即 4 π = α． …… …………13分 2、三角形中求值 〖例〗（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b 6,∠B =2∠A . (I)求cosA 的值; (II)求c 的值. 【答案】 解:(I)因为a =3,b =2 ,∠B =2∠A . 所以在△ABC

中,由正弦定理得3sin sin 2A A =.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos 3 A =. (II)由(I)知 cos A = ,所以 sin A == .又因为 ∠B=2∠A,所以2 1cos 2cos 13 B A =-= .所以2sin 1cos B B = -= . 在△ABC 中,53sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=所以sin 5sin a C c A ==. 【举一反三】 （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）） 设ABC ?的内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B (II)若31 sin sin 4 A C = ,求C . 【答案】 ③三角不等式

苏教版数学中考总复习[中考总复习：锐角三角函数综合复习--重点题型巩固练习](提高)

苏教版中考数学总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：锐角三角函数综合复习—巩固练习（提高） 【巩固练习】 一、选择题 1. 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝3 5,则tan A 等于 ( ) A ．3 5 B ．45 C ．34 D ．43 2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA= a b ．则下列关系式中不成立的是（ ） A ．tanA?cotA=1 B ．sinA=tanA?cosA C ．cosA=cot A?sinA D ．tan 2A+cot 2 A=1 第2题 第3题 3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（ ） A ． 34 B ．43 C ．35 D ．45 4．如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是( ) A ． 247 B ．3 C ．724 D ．1 3 5．如图所示，已知∠α的终边OP ⊥AB ，直线AB 的方程为y x ，则cos α等于 ( ) A ． 1 2 B C D

6．（2015?南充）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（） A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里 二、填空题 7．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0．则θ＝． 8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为 . 9．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB= . 第8题第9题第11题 10．当0°＜α＜90的值为． 11．如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE=．12．（2015?牡丹江）在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为 . 三、解答题 13．（2015?泰州）如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上． （1）求斜坡AB的水平宽度BC； （2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m 时，求点D离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m）

湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷

2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷 一、填空题 1．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的整数部分为_________． 2．下列两个方程组与有相同的解，则m+n=_________． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠A的平分线AD交BC于D，则=_________． 4．已知a是方程x2﹣2002x+1=0的根，则=_________． 5．A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C，使△ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有_________个． 6．某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘_________时可使得每月所付工资最少，最小值是_________． 7．已知，则分式=_________． 8．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O，若S△COD=3，S△BDE=4，S△OBC=5，那么S四边形ADOE=_________． 9．三边长为整数且最长边是11的三角形共有_________个． 10．已知方程：x3+4x2﹣11x﹣30=0的两个根的和等于1，则这个方程的三个根分别是_________．

11．若函数当a≤x≤b时的最小值为2a，最大值为2b，求a、b的值． 12．函数，其中a为任意实数，则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为 _________． 二、解答题（共8小题，满分0分） 13．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣3）x+m﹣4=O的二根为a1、a2，且满足﹣3＜a1＜﹣2，a2＞0．求m的取值范围．14．在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，DC=2，求△ABC的面积． 15．一个三角形的三边长分别为a、a、b，另一个三角形的三边长分别为a、b、b，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，则=_________． 16．求方程组的实数解． 17．如图，在半径为r的⊙O中，AB为直径，C为的中点，D为的三分之一分点，且的长等于两倍的的长，连接AD并延长交⊙O的切线CE于点E（C为切点），求AE的长．

锐角三角函数的图文解析

锐角三角函数的图文解析 一、选择题 1．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE ⊥BC 于点E ，连接OE ，∠DOE ＝120°，DE ＝1，则BD ＝（ ） A ．3 B ．23 C ．63 D ．33 【答案】B 【解析】 【分析】 证明△OBE 是等边三角形，然后解直角三角形即可． 【详解】 ∵四边形ABCD 是菱形，∴OD =OB ，CD =BC ． ∵DE ⊥BC ，∴∠DEB =90°，∴OE =OD =OB ． ∵∠DOE =120°，∴∠BOE =60°，∴△OBE 是等边三角形，∴∠DBC =60°． ∵∠DEB =90°，∴BD = 23sin603 DE =?． 故选B ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】

在Rt△BDE中，cosD=DE BD ， ∴DE=BD?cosD=500cos55°． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=3 5 ,则下列结论正确的个数有（） ①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为15cm2; ④BD=210cm． A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C 【解析】 【分析】 根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案 【详解】 ∵菱形ABCD的周长为20cm ∴AD=5cm ∵sinA=3 5 ∴DE=3cm（①正确） ∴AE=4cm ∵AB=5cm ∴BE=5﹣4=1cm（②正确） ∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确） ∵DE=3cm,BE=1cm ∴10（④不正确） 所以正确的有三个． 故选C． 【点睛】 本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键 4．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版

导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数,为的导数．证明： （1）在区间 存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ???时,单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ??? , 可得在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,. 所以在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当时, ,故()f x 在单调递减,又,从而是()f x 在的唯 一零点. ()sin ln(1)f x x x =-+()f x '()f x ()f x '(1,)2 π-()f x ()g'x ()g'x α()0g'x <()g x ()g x (1,)-+∞(1,0)x ∈-()0f 'x <(1,0)-(0)=0f 0x =(1,0]-

（ii ）当0,2x π?? ∈ ??? 时,由（1）知,在单调递增,在单调递减,而 ,02f π??'< ???,所以存在,2πβα?? ∈ ???,使得,且当时, ；当,2x πβ??∈ ???时,.故在单调递增,在,2πβ?? ???单调递 减.又,1ln 1022f ππ???? =-+> ? ???? ?,所以当时,. 从而()f x 在0,2π?? ??? 没有零点. （iii ）当,2x ππ??∈ ???时,()0f x '<,所以()f x 在,2ππ?? ???单调递减.而 ()0,02f f ππ??>< ??? ,所以()f x 在,2ππ?? ??? 有唯一零点. （iv ）当时,()l n 11x +>,所以<0,从而()f x 在没有零点. 综上, ()f x 有且仅有2个零点. 【变式训练1】【2020·天津南开中学月考】已知函数3()sin (),2 f x ax x a R =-∈且 在,0,2π?? ????上的最大值为32π-， （1）求函数f (x )的解析式； (2)判断函数f (x )在（0，π）内的零点个数，并加以证明 【解析】(1)由已知得()(sin cos )f x a x x x =+对于任意的x∈(0, 2 π)， 有sin cos 0x x x +>,当a=0时,f(x)=? 3 2 ，不合题意； 当a<0时,x∈(0, 2π),f′(x)<0,从而f(x)在(0, 2 π )单调递减， 又函数3 ()sin 2f x ax x =- (a∈R)在[0, 2 π]上图象是连续不断的， 故函数在[0, 2 π ]上的最大值为f(0)，不合题意； ()f 'x (0,)α,2απ?? ???(0)=0f '()0f 'β=(0,)x β∈()0f 'x >()0f 'x <()f x (0,)β(0)=0f 0,2x ?π?∈ ???()0f x >(,)x ∈π+∞()f x (,)π+∞

人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析

人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析 一、选择题 1．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 与灯塔P 之间的距离为( ) A ．60海里 B ．45海里 C ．3 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP 的长，求出答案． 【详解】 解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°， 故AB=2AP=60（海里）， 则此时轮船所在位置B 处与灯塔P 之间的距离为：22303AB AP -= 故选：D ． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键． 2．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 32，则BAC ∠为（ ）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解． 【详解】 利用垂径定理可知：32 2 AE = ．

sin∠AOD= 3 2 ，∴∠AOD=60°； sin∠AOE= 2 2 ，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°． 当两弦共弧的时候就是15°． 故选：C． 【点睛】 此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形. 3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（） A．23B．3C．33D．3 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，3， 所以BD=BA=2x，即可得33）x， 在Rt△ACD中，tan∠DAC= (32) 32 CD x AC + ==， 故选A. 4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC V如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE ∠的值是（）

苏教版：锐角三角函数 经典基础题型归类复习

同学个性化教学设计 年 级： 教 师: 科 目： 班 主 任： 日 期: 时 段: 教学内容 锐角三角函数 经典基础题型归类复习 教学目标 重难点透视 薄弱点分析 考点分析 教学过程 反馈、反思 知识考点： 本节知识的考查一般以填空题和选择题的形式出现，主要考查锐角三角函数的意义，即运用sin a 、cos a 、tan a 、cot a 准确表示出直角三角形中两边的比（a 为锐角），考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值以及互为余角、同角三角函数间的关系。 精典例题： 【例1】在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。 （1）求AB 的长； （2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 22cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。 变式：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ，则sinA ＝ 。 （2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。 【例2】计算：020045sin 30cot 60sin +? 注意：熟记00、300、450、600、900角的三角函数值，并能熟练进行运算。 【例3】已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，2 5tan =B ，那么cosA （ ） A 、 25 B 、35 C 、5 52 D 、32 变式：已知α为锐角，且5 4cos = α，则ααcot sin +＝ 。

【例4】已知3cot tan =+αα，α为锐角，则αα22cot tan +＝ 。 变式：【问题】已知009030<<<βα，则αβαβcos 12 3cos )cos (cos 2-+---＝ 。 变式：若太阳光线与地面成α角，300＜α＜450，一棵树的影子长为10米，则树高h 的范围是（ ）（取7.13=） A 、3＜h ＜5 B 、5＜h ＜10 C 、10＜h ＜15 D 、h ＞15 【例5】某市正在进行商业街改造, 商业街起点在古民居P 的南偏西６０度方向上的A 处, 现已改造至古民居P 的南偏西３０度方向上的B 处，A 与B 相距１５０米, 且B 在A 的正东方向 ．为了不破坏古民居的风貌，按有关规定，在古民居的周围１００ 米内不得修建现代化商业街，若工程队继续向正东方向修建２００米商业街到C 处, 则 对于从B 到 C 的商业街改造是否违反有关规定? 专项训练： 一、选择题： 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若4 3tan = A ，则sinA ＝（ ） A 、34 B 、43 C 、35 D 、53 2、已知cos α＜0.5，那么锐角α的取值范围是（ ） A 、600＜α＜900 B 、00＜α＜600 C 、300＜α＜900 D 、00＜α＜300 3、若1)10tan(30=+α，则锐角α的度数是（ ） A 、200 B 、300 C 、400 D 、500 4、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，下列式子不一定成立的是（ ） A 、cosA ＝cos B B 、cosA ＝sinB C 、cotA ＝tanB D 、2cos 2sin B A C += 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，3 1tan =A ，AC ＝6，则BC 的长为（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、2 6、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100米，则他上升的最大高度为（ ） A 、βsin 100米 B 、βsin 100米 C 、β cos 100米 D 、βcos 100米 7、计算0030cot 3 360cos +的值是（ ）

2019高中自主招生必做试卷(数学)含答案

2019高中自主招生必做试卷（数学） （满分150分 时间120分钟） 一、选择题（每题4分，共40分） 1、在－|－3|3，－(－3)3，(－3)3，－33中，最大的是 ( ) A 、－|－3|3 B 、－(－3)3 C 、(－3)3 D 、－33 2、已知 114a b -=，则 2227a ab b a b ab ---+的值等于 （ ） A 、215 B 、2 7 - C 、6- D 、6 3、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是 （ ） A 、b a c =+ B 、b ac = C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 4、a 、b 是有理数，如果,b a b a +=-那么对于结论：(1)a 一定不是负数；(2)b 可能是负数，其中 ( ) A 、只有(1)正确 B 、只有(2)正确 C 、(1)，(2)都正确 D 、(1)，(2)都不正确 5、已知关于x 的不等式组?? ? ??<≥-203b x a x 的整数解有且仅有4个：-1，0，1，2，那么适合这个不等式组的所 有可能的整数对(a,b)的个数有 ( ) A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 6、如图，表示阴影区域的不等式组为 ( ) 2x +.y ≥5， 2x + y ≤5， 2x +.y ≥5， 2x + y ≤5， A 、 3x + 4y ≥9， B 、 3x + 4y ≥9， C 、 3x + 4y ≥9， D 、 3x + 4y ≤9， y ≥0 x ≥0 x ≥0 y ≥0 7、如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则 ABCD AGCD S S 矩形四边形等于 ( ) A 、 43 B 、54 C 、32 D 、6 5 8、若b x ax x x +++-732234能被22-+x x 整除则a ：b 的值是 （ ） A 、-2 B 、-12 C 、6 D 、4 9、在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝9，点E 、F 分别在BC 、AD 上，且BE ＝6，DF ＝4，AE 、FC 相交于点G ，GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则GH 的长为 （ ） A B C D E F G 第3题图 第9题图 第7题图 第6题图 学校 姓名 考号 装 订 线 外 请 不 要 答 题

三角函数概念x教师版

角的概念、定义 一、知识清单 1. 终边相同的角 ①与α（0°≤α<360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）: {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ; ②终边在x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈?=,180|οββ; ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180|οοββ; ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90|οββ. 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制. 3.弧度制下的公式 扇形弧长公式r =l α，扇形面积公式211 ||22 S R R α==l ，其中α为弧所对圆心 角的弧度数。 4.三角函数定义: 利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边上任取一点(,)P x y （与原点不重合），记22||r OP x y ==+， 则sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α=。 注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数. ⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式: ①诱导公式：即 2 k π αα±→或902k αα±→o 之间函数值关系()k Z ∈，其规律是“奇变偶不变，符号看象限” ；如sin(270)α-=o cos α- ②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系. ⑶重视用定义解题.

人教版初中数学锐角三角函数的知识点复习

人教版初中数学锐角三角函数的知识点复习 一、选择题 1．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( ) A ．asinα+asinβ B ．acosα+acosβ C ．atanα+atanβ D ．tan tan a a αβ + 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，由三角函数得出BC ＝atanα，BD ＝atanβ，得出CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ即可． 【详解】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，AB ＝a ，tanα＝ BC AB ，tanβ＝BD AB ， ∴BC ＝atanα，BD ＝atanβ， ∴CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ， 故选C ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC 和BD 是解题的关键． 2．如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3，则∠A 的正切值等于（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．43 【答案】C 【解析】

试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4. ∵∠A=1 2 ∠BOC，∴∠A=∠BOD. ∴tanA=tan∠BOD= 4 3 BD OD . 故选D． 考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义． 3．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图： （1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C； （2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D； （3）连接BD，BC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（） A．∠ABD＝90°B．CA＝CB＝CD C．sinA＝ 3 2 D．cosD＝ 1 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论． 【详解】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确； ∴点B在以AD为直径的圆上， ∴∠ABD＝90°，故A正确； ∴点C是△ABD的外心，

三角函数(自主招生辅导)

三角函数 【公式】 同角公式：平方关系 2 2 2 2 2 2 s i n c o s 1,s e c t a n 1,c s c c o t 1 αααααα+=-=-=； 商数关系 s i n c o s t a n ,c o t c o s s i n αααααα= =； 倒数关系 t a n c o t 1,s i n c s c 1,c o s αααααα===. 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限. 加法公式：和、差、倍、半、万能公式；积化和差、和差化积公式. 还应熟悉：（1）三倍角公式 3 2 sin 33sin 4sin ,cos 34cos 3sin αααααα =-=-， 1sin (60)sin sin (60)sin 3,co s(60)co s co s(60) 4 1co s 3. 4αααααααα-+=-+= （2）0 211sin ()sin ()co s()sin 2 2 2 2 co s()2sin sin 2 2 n k n d n n x d x x d d x kd d d =+++ --+ ?+= = ∑ ， 211co s()co s()sin ()sin 2 2 2 2 sin ()2sin sin 2 2 n k n d n n x d x x d d x kd d d =+++ --+ ?+= = ∑. （3）2222 sin sin cos cos sin()sin() αββααβαβ-=-=+-， 2 2 22 c o s s i n c o s s i n c o s ( )c o s ( ) αββααβαβ-= - =+-. （4）tan tan tan tan tan tan tan ()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγαβγαββγγα ++-++= ---. （5）若0 2 πθ<< ，则sin tan θ θθ <<. （6）函数sin x y x = 在(0,)π上为减函数； 函数tan x y x = 在(0, ) 2π上为增函数. （7）A B C ?中，①sin sin sin 4co s co s co s 222A B C A B C ++=； ②co s co s co s 14sin sin sin 222 A B C A B C ++=+； ③tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=； ④tan tan tan tan tan tan 1222222 A B B C C A ++=； ⑤cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A ++=； ⑥sin 2sin 2sin 24sin sin sin A B C A B C ++=.

人教版 高中数学必修4 三角函数知识点

高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+=

苏教版初三数学《锐角三角函数》7.2 正弦余弦

7.2正弦余弦（1） 1．在Rt△ABC中,∠C＝90°, AC＝7．AB＝25．则sinA＝_____ cosB＝_______tanB＝_______．2．在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝3,sinA＝0．6,则AC＝______AB＝________ tanB＝__________． 3．在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝2,cosA＝0．8,则BC＝______ cos B＝______ tanA＝_____．4．在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，sinA的值（）A．扩大100倍B．缩小100倍C．不变D．不能确定 5．已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A＝∠B，则sinA sinB； (2)若∠A<∠B，则sinA sinB；cosA cosB；tanA tanB 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，cos A＝12 13 ，求：AB、sinB 7．如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝20，sinA＝4 5 , 求△ABC的周长． 8.在Rt△ABC中,∠C＝90°, cosA＝3 5 ，BC＝12,求斜边AB上的中线CD长. A B A B C

答案 1.24247 ,, 252525 2. 4,5,4 3 3. 1.5,3 5 , 3 4 4.C 5.＝,<,>,< 6.AB＝26,sinB＝12 13 7.60 8.15 2 7.2正弦余弦（2）

1．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝m ，40B ∠=，则BC 的长是（ ） A ．sin 40m B ．cos 40m C ．tan 40m D ． tan 40 m 2．如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向点C 处测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么 AB 等于（ ） A ．a ·sin α B ．a ·tan α C ．a ·cos α D ．αtan a 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝900，∠A 、∠B 的对边分别是a 、b ，且满足022 =--b ab a ，则tanA 等于 （ ） 151515 1222 A B C D -+±?? ?? 4．以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆.若点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为 ( ) A ．(cos α,1) B ．(1,sin α) C ．(si n α,cos α) D ．(cos α,sin α) 5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC ＝ 5 3 ，则BC 的长是 ( ) A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 二、填空题（每题5分，共25分） 6．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，SinB ＝ 27 则cosB ． 7．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危 险，那么梯子的长至少为_________米． 8．在Rt △ABC 中， ∠C ＝90?，AB ＝4，AC ＝1，则cos A 的值是_______． 9．已知α是锐角，s in α＝ a+2，则a 的取值范围是 10．一等腰三角形的两边长分别为4cm 和6cm ，则其底角的余弦值为________． A B C a α B N A C D M

【6套合集】山东省日照实验高级中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析

中学自主招生数学试卷 一、选择题 1. 某车间2019年4月上旬生产零件的次品数如下(单位:个):0，2，0，2，3，0，2，3，1，2，则在这10天中该车间生产零件的次品数的 【 】 A.众数是4 B.中位数是1.5 C.平均数是2 D.方差是1.25 2. 如图所示，A ,B ,C 均在⊙O 上，若∠OAB =40O ，ACB 是优弧，则∠C 的度数为 【 】 A. 40O B.45O C. 50O D. 55O 3. 若二次函数y=ax 2+bx +c ，当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则x 取x 1+x 2 时，函数值为 【 】 A. a +c B. a - c C. - c D. c 4. 已知在锐角△ABC 中，∠A =550 ，AB ﹥BC 。则∠B 的取值范围是 【 】 A.35o ﹤∠B ﹤55o B. 40o ﹤∠B ﹤55o C. 35o ﹤∠B ﹤70o D. 70o ﹤∠B ﹤90o 5. 正比例函数y 1=k 1x （k 1＞0）与反比例函数2 2k y x （k 2＞0 ）部分图象如图所

示， 则不等式k 1x ＞2 k x 的解集在数轴上表示正确的是 【 】 A. B. C. D. 6. 定义运算符号“*”的意义为 （a 、b 均不为0）.下面有两个结论： ①运算“*”满足交换律； ②运算“*”满足结合律 其中 【 】 A.只有①正确 B. 只有②正确 C. ①和②都正确 D. ①和②都不正确 7. 已知00x y >>，且2 2231x xy y xy ?-=?? ?+=? ，那么()2 x y +的值为 【 】 A. 2 B. 3 C. 4 D.5 8. 如图，点A 的坐标为（0,1），点 B 是 x 轴正半轴上的一动点，以 AB 为边作等腰直角 △ABC ，使∠BAC=90O ，设点 B 的横坐标为 x ，点 C 的纵坐标为 y ，能表示 y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）

人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题附答案

人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题附答案 一、选择题 1．如图，在矩形ABCD 中，4,AB DE AC =⊥，垂足为E ，设ADE α∠=，且 3 cos 5 α= ，则AC 的长为（ ） A ．3 B ． 163 C ． 203 D ． 165 【答案】C 【解析】 【分析】 根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD ，然后求出AC ． 【详解】 解：∵DE ⊥AC ， ∴∠ADE+∠CAD=90°， ∵∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠ACD=∠ADE=α， ∵矩形ABCD 的对边AB ∥CD ， ∴∠BAC=∠ACD ， ∵cos α=3 5，35 AB AC ∴ =， ∴AC= 520433?=． 故选：C ． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC 是解题的关键． 2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A 、B 、C 都是格点，则tan ABC ∠=（ ）

A ． 39 B ． 36 C ． 33 D ． 32 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用 EC tan ABC BE ∠= 得出答案． 【详解】 解:连接DC ，交AB 于点E ． 由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF, 设EC=x,则EF= x =3x tan 30? , ∴BF AF 2EF 23x === EC 3 tan ABC BE 23x 3x 33= === +∠, 故选:A 【点睛】 此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键． 3．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点 B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ， C ，E 成一直线，那么开挖 点E 离点D 的距离是（ ）