三角形内一点对应的向量性质及其空间推广
杨 尧 伟
(河南省渑池高级中学,472400)
本文将给出三角形内一点的一个向量性质并对其进行空间拓广。 1 三角形内一点的一个向量性质
=?+?+????OC S OB S OA S ABC O OAB OAC OBC 内一点,则
是三角形设
证一
OB OA OB OA OC '
'
'',
,1-
=-
=+=其中,设如图
=+
+
?OC
0=++?
=?∠+?∠+
?∠?OB AOB OA
AOB OC AOB
0''=++????OB S OA S OC S OAB B OA AOB
()
OAC
OAB OBC B
OA S S S S
????==''
;
B
A
图 1
=?+?+?????OC S OB S OA S OAB OAC OBC
()
OC
OB y OA OB OB OC y OB x OA ?+=??+=0,得”向量等式两边“证二,设
y -
=∴,等式两边“×”向量OC
x OB OC x OA OC -
=?+?=?0得
,
2,
2OBC OAB S S ??=?=?由两向量外积的定义得
OAC
S ?=?2
OC
S S OB S S OA OBC
OAB OBC
OAC ????-
-
=∴
=?+?+????OC S OB S OA S OAB OAC OBC 即证得
2 性质的推论(O 在三角形内部) ① 若O 是三角形的外心
C
R S B R AOC OC OA S R A R BOC OC OB S OAB OAC OBC 2sin 2
1,2sin 2
1sin 2
1,2sin 21sin 212
2
2
=
=
∠=
=∠=???为外接圆半径
2sin 2sin sin2A =?+?+?OC C OB B OA 得
② 若O 是三角形的内心
根据正弦定理)
或是内切圆半径
(0sin sin sin 0
2
1,2
1.,2
1=?+?+?=++∴=
=
=
???OC C OB B OA A AB AC BC r
BC S r AC S r r AB S OBC OAC OAB
③ 若O 是三角形重心
3
1=++∴=
==????OC OB OA ABC S S S S OBC OAC OAB
④ 若O 是三角形垂心
如图2,O 是垂心,连接AO 交BC 于D,连接 CO 交AB 于F.
A
C
B
O
F
D 图 2
ABC
OBC S C
B A A
DO BC S C
B A C
FC
FO C B A A
DA
DO B C A B C B B A BC CD FC
AF FC FB
BC
CD AF FB OA
DO ABD B
C C BC
BD C
B B BC
DC C B BD
DC DC AD C BD
AD B ??++=
?=
++=++=
∴
+=+?=?=
?=+=
+=
?
=
∴==tan tan tan tan 2
1tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan ,
tan ,tan 同理
中由梅涅劳斯定理得:在△同理
tan tan tan tan tan tan tan ,tan tan tan tan =?+?+?∴++=
++=
???OC C OB B OA A C
B A C
S S C
B A B
S OAB ABC OAC
3 性质的空间拓广
:=?+?+?+?-----OD V OC V OB V OA V BCD A O ABC O ABD O ACD O BCD O 则内一点,
是四面体若
A
D
图 3
)
;;(00
sin 21sin 2
1sin 21sin 2
1(00
,
3111111111111=?+?+?+??====+++?=∠+
∠+∠+
∠?=+++?=+++?-
=-=-
=++=--------------OD V OC V OB V OA V V V V V V V OB V OD V OC V OA V OB BOC OD BOC OC BOC OA BOC BOC OD OB OA OB OD OC OC OB OD OC OA BAC O BAD O ACD O BCD O ACD O CD B O BCA O BCD O BAD O D BC O CD B O BCD O D BC O BCD O ααααα所成角)与平面为记其中,设证一:如图
()()()()()
()
,66)()
=?+?+?+?∴-
=-
=-
=-
=
??=
???+??+
??=????++=------------OD V OC V OB V OA V V V z V V y V V V V OD
OC OB x OC
OC
OB z OB
OC OB y OA
OC OB x OD OC OB OC OB OC
z OB y OA x OD ACB O BDA O CAD O BCD O BCA
O ABD O BCA
O ACD O BCA
O BCD O BCA
O BCD O 同理意义根据向量混合积的几何
两边同乘(
证二:设
4 空间性质的推论
① 若O 为四面体内切球球心,则
=?+?+?+?????OD S OC S OB S OA S ABC ABD ACD BCD
② 若O 是四面体的重心,则
=+++OD OC OB OA
参考文献:
1 张俊.三角形重心的一个向量性质及其空间拓广.数学通讯,2008(5)
2 张俊.三角形内心的向量性质及其空间拓广,数学通讯,2009(1)
3 李显权.三角形五心的一个统一向量性质,数学通讯,2010(7)
4 陈和平. 三角形五心的一个向量统一表示,数学通讯,2009(1)
个人资料:性别:男 学位:学士
职称:中学数学一级教师 电话:138********
邮箱:yyw_1975@https://www.wendangku.net/doc/622602375.html,