席位的公平分配

目录

摘要 (1)

ABSTRACT (2)

绪论 (3)

1.席位分配问题 (3)

2.各种分配方法 (3)

2.1 最大分数法 (3)

2.2 最大分数法的优缺点 (5)

2.3 不公平度指标 (5)

2.3.1定义不公平度 (5)

2.3.2 定义不公平程度 (5)

2.3.3 定义相对不公平度 (6)

2.4 Q值法 (6)

2.5 用Q值法解决问题 (8)

2.6 分析Q值法的优缺点 (9)

2.7 D’Hondt法 (9)

3.比较分配方法 (9)

参考文献 (12)

致谢 (13)

附录 (14)

摘要

约两个世纪以来，出于美国和欧洲诸如会议席位分配等社会政治活动的需要，一些人包括数学家们先后提出了许多分配方法，这些方法对同一个问题常常给出了不同的答案，还会违背人们意愿甚至违背常识现象，这更引起数学家们的深入研究的兴趣。本文从最简单的最大剩余法开始研究，一步步的优化方案。我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了不公平指标及相对不公平度的定义，采用了最大剩余法，Q值法和D’Hondt 法对模型进行比较，制定出更合理的方案。开始，我采用了最大剩余法对问题进行研究.然后，我对相关资料进行了查阅，则定义了不公平度指标和相对不公平度用来检查方案的公平性程度。确定了衡量公平的数量指标后，再优化模型采用Q值法进行分配，最后采用了D’Hondt法对模型进行了分析，几种方法的比较得出结论。

关键字：席位分配;Q值法;D’Hondt法

ABSTRACT

About two of a century, the need for American and Europe such as meeting seat allocation of social political activities, including some mathematicians have put forward many distribution methods, these methods to the same problem often give different answers, but also goes against the crowd even contrary to common sense, this caused more in-depth research mathematicians the interest. This paper studies the maximum residual method is the most simple, optimization step by step.

I mainly according to the number of seats available on line, first defines unfair index and relative unfair degree, adopt the maximum residual method, Q method and D 'Hondt method to compare the model, to develop a more reasonable scheme. To start, I adopt the maximum residual method to research the problem. Then, I carried out the inspection of the relevant information, define the unfair degree index and relative unfair degree used to check the program fairness degree. To determine the quantitative index to measure the fair, then optimization model with a Q value method is used, the D 'Hondt method for model analysis, compare several methods of conclusion.

Keywords: seat allocation; Q value method; d’hondt method

绪论

起初，对于出现在社会政治领域中的席位分配，人们认为是一个简单的数学问题，用初等的办法解决，但是在应用中这样的办法得出许多难以接受的结果，人们发现所有的方法都有不合理之处。文章中提到的最大分数法就是A.Hamilton提出的，也曾多次在美国国会1850--1900年众议员席位分配中采用，但是同时也被质疑。从而继续寻找更合理的方法，于20世纪20年代由哈佛大学数学家E.V.Huntington提出和推荐的一系列分配方法中的一种--Q 值法。Q值法克服了最大分数法的缺陷，但是也有不少缺点。最后就是简单的介绍了一下D’Hondt法，通过对这三种方法的比较来寻找更合理的办法。文章主要参考的是姜启源、谢金星、叶俊等编写的数学模型第四版。通过本论文的学习我们可以学习到没有绝对的公平，只有相对的公平。我们只能尽量避免不公平的事件发生，却不能杜绝它的发生。如果发现文章有什么不足之处请指出改正，欢迎来指正错误[1]。

1.席位分配问题

贵州师范学院有3个学院参加会议。有200名学生，其中数计学院100名，物电学院60名，化生学院40名。如果学生代表会议设有20个席位，怎样去分配？但是现在化生学院有3名学生转入数计学院，3名学生转入物电学院，那又将怎么分配呢？如果席位变成21个则怎么样分配？

2.各种分配方法

2.1 最大分数法

公平而简单的方法就是按照学生人数的比例进行分配，这种按照惯例的分配方案是由A.Hamilton提出的。这种方案在美国国会1850—1900年的众议员席位分配（按照人口比例每个州应分得几个席位）中就多次被采用，也同时被质疑，称之为最大剩余法（GR:Greatest Remainders）或最大分数法

很明显数计学院，物电学院，化生学院三个学院分别应占有10,6,4个席位（表2.1）。但是现有化生学院3名学生转入数计学院，3名学生转入物电学院（表2.2第2列所示），继续按比例（表2.2第3列所示）分配席位时出现了小数（表2.2第4列）。于是按照最大分数法分配三个学院分别占10,6,4席（表3.2第5列所示）。但是20席位的代表会议在表决大会时可能出现10:10的局面，因此增加一个席位变成21席，同样按照上述办法重新分配席位，计

综上所述：数计学院，物电学院，化生学院三个学院分别获得席位为11,6,4席。

2.6 分析Q 值法的优缺点

Q 值法不仅有明确的不公平指标，而且由于它是每增加1个席位来计算Q

值的，所以不会出现席位悖论（也可证明不会出现人口悖论）[3]。它的优点就是在每个席位所代表的人数不同的情况下将不公平度减到最小。不过Q 值法也存在很大的缺点，我们稍微注意一下就会发现开始分配时我们设了各方已占有席位为1位，即各方必须分得1席或者大于1席位，Q 值才有意义。Q 值法要求参加分配席位的几个学院至少可以获得一个席位，因而当分配的总席位比较少或者参与分配的各个学院的人数相差很大时可能出现较大的不公平[4]。

2.7 D ’Hondt 法

把m A A A ,...,2,1个学院的人数用,......3,2,1正整数相除,把所得的商从大到小进

行排列。若席位总数为N ,则取前面N 个商,并将各学院被选取的最小商的除数作为这个学院被分配的席位数。其原理就是某学院人数较多,则应该分配到较多的席位数

用D’hondt 法的商的结果见附录表2.3，我们发现用D’Hondt 法计算的结果是如果分配20个席位，那么数计学院，物电学院，化生学院三个学院各分得11,6,3席，如果分配21个席位，则数计学院，物电学院，化生学院各分得11,7,3席。 3.比较分配方法

从表3.1看出，无论是用哪一种分配方法，单单从最终的分配结果来看，

数计学院都是分到了11个席位，而最终就是一个席位的差别，到底是分配给物电学院，还是分配给化生学院。即最终的席位利益是在物电学院还是在化

生学院。但是从上面的不同的方法的证明过程中我们可以看出，其分配的结果不仅仅是如此。

表3.1 21个席位的分配结果

从表2.2可以看出，按“最大分数法”分配显然存在着较大缺陷，出现了人口悖论和席位悖论。

而D’Hondt法，从分配完的结果来看，数计学院，物电学院，化生学院分别得到的席位是11,7,3，虽然与“最大分数法”分配的最终结果一样，不过D’Hondt 法克服了最大分数法分配中人数席位变动而引起的名额不规则变动，但是在各学院每个席位代表的人数不等的情况下，席位代表的平均人数值较大的一方来说，就存在着不公平，而且D’Hondt法不能衡量“不公平”的大小[5]。

而Q值法不仅有明确的不公平指标，而且由于它是每增加1个席位来计算Q值的，所以不会出现席位悖论（也可证明不会出现人口悖论）[3]。它的优点就是在每个席位所代表的人数不同的情况下将不公平度减到最小。不过Q值法也存在很大的缺点，我们细心点就会发现开始分配时我们设了各方已占有席位为1位，即各方必须分得1席或者大于1席位，Q值才有意义。Q值法要求参

加分配席位的几个学院至少可以获得一个席位，因而当分配的总席位比较少或者参与分配的各个学院的人数相差很大时可能出现较大的“不公平”。

结论

从上述的几种分配方法来看，在席位分配中很难找到一种绝对公平的分配方法，因为席位的分配不仅仅要涉及到分配席位的总数的多少，而且还涉及到一个席位所代表的人数，上述的几种分配方法都是在不同的角度提出的不同观点，不同的分配方法，所以说，在公平席位分配中，如果单纯的靠一种分配方法，基本上就不存在公平的席位分配方法。实际上，如果掌握了上述分配方法的特性，我们可以根据具体情况决定采取哪一种分配方案。并且可以的话，结合掌握的分配方案，各取所需，或者继续寻找更合理的分配方法。

参考文献

[1]姜启源、谢金星、叶俊.数学模型[M].第四版.北京：高等教育出版社，2011.01.278--285.

[2]易刚.数学建模范式实践与研究.[J].商洛学院学报，2010.

[3]韩文斌.公平席位的分配.doc-豆丁网.[DB].互联网数据.2012.09.05.

[4]孙玉秋.“D’Hondt+Q”席位分配模型.[J].汉江石油学院学报，2001.

[5]赵洋.席位分配及课堂点名模型的研究 .[D],西北工业大学博硕论文，2006.

四年的大学光阴即将结束，在这期间，各科老师认真负责、兢兢业业，真挚的感谢各位老师的关怀；然后就是要感谢我的指导老师廖玉梅老师，她严肃的态度，严谨的精神，精益求精的工作作风，深深地激励着我，从课题的选择到课题的顺利完成，廖老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。还要感谢我们的辅导员伍玲婧老师，大学期间她给与我很多帮助和关怀。还有10级数学与应用数学本科三班的全体同学，大学四年中，你们给我不少的帮助和支持，和你们一起生活很愉快，谢谢你们，也感谢我的室友们，在我不清楚的时候，我们一起讨论，攻坚克难。在此谨向你们致以诚挚的谢意和崇高的敬意。

最后感谢含辛茹苦把我养大的家人，是你们无私的付出，才有我今天的成就，感谢你们，祝愿你们健康、幸福！

表2.3D’Hondt商的结果