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桂电概率论与数理统计试卷4

桂林电子科技大学试卷

桂电概率论与数理统计试卷4

学年第 学期 课号 课程名称 概率论与数理统计 适用班级(或年级、专业) 考试时间 120 分钟 班级 学号 姓名

桂电概率论与数理统计试卷4

1. 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度与边缘概率密度分别为)(),(),,(y f x f y x f Y X ,则

X 与Y 相互独立的充要条件是 ;

2. 设总体X 服从二项分布,即()p b X ,1~,,,21X X …n X ,是X 的样本,X 为样本均值。

则()X E = ,()

X D = ;

3. 设总体),(~2σμN X ,,,21X X …n X ,是X 的样本,且2

σ已知。 0H :0μμ=

(已知)

,1H :0μμ≠。则用于检验假设0H 的统计量为: 。 二 选择题(每小题4分,共12分)

1. 一个小组有6个学生,则这6个学生的生日都不相同的概率为(设一年为365天)( )。

(A )6365C 1; (B) 6365A 1

; (C) 66365)365(C ; (D) 6

6

365)

365(P 。

2. 设ηξ,是相互独立的随机变量,其分布函数分别为)(),(y F x F ηξ,则),min(

ηξ=Z 的分布函数为 ( )

(A) )()(z F z F Z ξ= ; (B) )](1)][(1[1)(z F z F z F Z ηξ---= ;

(C) )}(),(min{)(z F z F z F Z ηξ=; (D) )()(z F z F Z η=。

3. 设321,,X X X 是总体X 的样本,()X E =μ存在,()()23132123,,X X b aX X X X -+=? 是μ的无偏估计。则( )。

(A) b a ,1=可以是任意实数;(B) b a =; (C) 1=+b a ; (D) 2=+b a 。

三(12分)已知二维随机变量),(Y X 的联合分布律为:

桂电概率论与数理统计试卷4

(1) 求关于Y ,X 的边缘分布律; (2) 求条件分布律; (3) 问Y ,X 是否相互独立?

四(12分)

设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为:

k(1)(,)0

x y f x y -?=?

? 其它x

y x ≤≤≤≤0,10 试求:(1) k ; (2) }2

1

{X Y P ≤

;(3) 判断X 与Y 是否相互独立。 五(每小题10分,共20分)

1.设随机变量X 与Y 相互独立,且服从同一分布。试证明:

22}]{[}]{[}),min({b X P a X P b Y X a P >->=≤< 。

2. 设X 与Y 独立同分布,且()3

1

=

=k X P ,k=1,2,3。 试求:(1) ),(Y X 的联合分布律; (2) D(Y)。

六(每小题11分,共22分)

1. 设总体X 服从正态分布,即),(~2

σμN X ),(~2

σμN X ,,,21X X …n X ,是X 的样

本。试求a 使∑∑==-=n i n

j j i

X X

a 11

为σ的无偏估计。

2.设总体),(~2

σμN X ,,,21X X …n X ,是X 的样本。s X ,为样本均值与样本标准差,

2,σμ未知。试求:

(1)μ的置信度为α-1的双侧置信区间; (2)当05.0,29.0,9.49,9==

==αs x n 时,检验假设50:0=μH 的合理性 。

(参考数据:()306.28025.0=t )

七(10分) 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为:

????

?≥+<++-=2

2222222,0),(),(R

y x R

y x y x R c y x f 试求:(1)系数c ; (2)),(Y X 落在圆域)(2

22R r r y x <<+内的概率。

桂电概率论与数理统计试卷4

桂林电子科技大学试卷评分标准与参考答案

学年第 学期 课号

课程名称 概率论与数理统计 适用班级(或年级、专业) 一 填空题(每小题4分,共12分)

1. 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度与边缘概率密度分别为:

)(),(),,(y f x f y x f Y X 。则X 与Y 相互独立的充要条件是:

对R y x ∈?,,)y (f )x (f )y ,x (f Y X =;

2. 设总体X 服从二项分布,即()p b X ,1~,,,21X X …n X ,是X 的样本,X 为样本均值。

则()

X E = p ,()X D =

()1p p n

- ;

3. 设总体),(~2σμN X ,,,21X X …n X ,是X 的样本,且2

σ已知。 0H :0μμ=

(已知)

,1H :0μμ≠。则用于检验假设0H 的统计量为:n

X U σ

μ0

-=。

二 选择题(每小题4分,共12分)

1. 一个小组有6个学生,则这6个学生的生日都不相同的概率为(设一年为365天):(D )。

(A )6365C 1; (B) 6365P 1

; (C) 66365)365(C ; (D) 6

6

365)

365(P 。 2. 设ηξ,是相互独立的随机变量,其分布函数分别为:)(),(y F x F ηξ,则),min(

ηξ=Z 的分布函数为 ( B )

(A) )()(z F z F Z ξ= ; (B) )](1)][(1[1)(z F z F z F Z ηξ---= ;

(C) )}(),(min{)(z F z F z F Z ηξ=; (D) )()(z F z F Z η=。 3. 设321,,X X X 是总体X 的样本,()X E =μ存在,且

()()23132123,,X X b aX X X X -+=?是μ的无偏估计。则( C )

。 (A) b a ,1=可以是任意实数;(B) b a =; (C) 1=+b a ; (D) 2=+b a 。

三(12分)

解:(1)Y X ,的边缘分布律为:

桂电概率论与数理统计试卷4

(2) 条件分布律: 4,2j ;3,2,1i )

j Y {P }j Y ,i X {P }j Y i X {P ======

==

P {X i ,Y

j}

P {Y

j X i }

i 1,2,3;j 2,4

P {X i )

======== 按上述公式计算,列成下表:

桂电概率论与数理统计试卷4

(4) 从联合分布律与边缘分布律来看:对任何的j ,i 经计算都有

}j Y {P }i X {P }j Y ,i X {P =====成立,所以Y ,X 相互独立。

四(12分)

解:(1)∵()1,=??+∞∞-+∞

-dxdy y x f ,

又∵

()()????

=

-=+∞∞-+∞

-100

24

1,x

k

ydxdy

x k dxdy y x f ∴24=k 。

(2)∵()()4

1

124,}2

1

{2

1

020??

??≤=-==

≤x

y x

ydy dx x dxdy y x f X Y P 。

(3)∵()()()()??

???<<-=-==??+∞∞-其他010112124,240

2

x x x ydy x dy y x f x f x

X

()()()()12

24,241121010y

Y f x y dy x ydx y y y f y +∞-∞

?=-=-<

??其他

∴4

9

2121621,21=

??

? ?????? ??≠=??? ??Y X f f f , ∴X 与Y 不相互独立。 五(共10分)

1.设随机变量X 与Y 相互独立,且服从同一分布。试证明:

22}]{[}]{[}),min({b X P a X P b Y X a P >->=≤< 。

2. 设X 与Y 独立同分布,且()3

1

=

=k X P ,k=1,2,3 试求:(1) (X,Y)的联合分布律; (2) D(Y)。

1. 解:(1)令)Y ,X (min Z = 则有2X Z )]z (F 1[1)z (F --=

故 22Z Z X X P{a b}F (b)F (a)1[1F (b)]1[1F (a)]Z <≤=-=---+- 2222}]b X {P [}]a X {P [}]b X {P 1[}]a X {P 1[>->=≤--≤-= 2.解: (1) ()()9

1

},{======j T P i X P j Y i X P )3,2,1,(=j i (2) 231

3312311)(=?+?+?

=Y E 3

14319314311)(2

=?+?+?=Y E

3

24314)]([)()(2

2=-=-=∴Y E Y E Y D 。 六(每小题12分,共24分)

解:1.∵当n j i j i ,,2,1,, =≠时,()

22,0~σN X X j i -

∴(

)()(

σσσπ24exp 2212

2

2

=-?==-??

+∞

-+∞

-dx x

x

dx x f x X X E j i

当n j i j i ,,2,1,,

==时,()

0=-j i X X E

∴()()πσσ21?1111

-??=-=???

? ??-=∑∑∑∑====n n a X X E a X X a E E n i n j j i n i n

j j

i ∴当()

12-?=

n n a π

时,σ

?为σ的无偏估计。

2. (1)μ的置信度为0.95的双侧置信区间为:

()()?

??

? ??-?+-?-1,122n t n S

X n t n S X αα (2)检验假设的统计量为:()1~50

--=

n t n

s X t 对给定的置信水平α,又拒绝域为:(){

}

12

->=n t t t C αα

查表可得:()306.28025.0=t

又∵()306.2856.050

025.0=<=-=

t n

S x t ∴应接受0H ,可以认为0H 是合理的。

七(10分)

解:(1)由

1dxdy y)f(x,=??

+∞∞-+∞

-得:1dxdy )y x R (c

2

22R y x 2

2=+-??

<+ 令 ]2,0[],R ,0[r ,rsin y ,rcos x πθθθ∈∈== 故上式为: ?

?==-π

πθ20

R 031R 31c r d r )r R (d c

所以3R

3

c π= (2))Y ,X (落在圆域R)(r r y x 2

2<<+内的概率为:

()

=

<+222r Y X P =??<+dxdy )y ,x (f 2

桂电概率论与数理统计试卷4

22r y x

222

3x y r 3(R R π+

πθθθ∈∈==x 时,有 (

)

=<+2

22r Y X P ?

?-=-π

θπ20

r

033

23

R

2r 3Rr tdt )t R (d R 3