湖南省衡阳市高三数学三模试卷(理科)

2017年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．

1．i是虚数单位，复数，则a+b=（）

A．0 B．2 C．1 D．﹣2

2．设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1

3．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）

A．﹣ B．﹣ C．D．

4．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．280

5．执行如图所示的程序框图，若输出的S值为﹣4，则条件框内应填写（）

A．i＞3？B．i＜5？C．i＞4？D．i＜4？

6．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，三棱柱的高为，若P是△A1B1C1中心，且三

棱柱的体积为，则PA与平面ABC所成的角大小是（）

A．B．C．D．

7．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈的所有零点之和为（）

A．2 B．4 C．6 D．8

8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）

A． B． C．6 D．

9．已知对任意平面向量=（x，y），把绕其起点沿逆时针旋转θ角得到向量=（xcosθ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角θ得到点P，设平面内曲

线C上的每一点绕原点逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线x2﹣y2=2，则原来曲线C的方程是（）

A．xy=﹣1 B．xy=1 C．y2﹣x2=2 D．y2﹣x2=1

10．已知F1、F2分别为双曲线C： =1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且|PF1|=2|PF2|，则△PF1F2外接圆的面积为（）

A． B．C．D．

11．如图．在△ABC中，D是BC的中点，E、F是AD上的两个三等分点，?=4，?=

﹣1，则?的值是（）

A．4 B．8 C．D．

12．《数学统综》有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最

大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”．现已知凹函数f（x）=x2﹣2x+2，

在上任取三个不同的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c）），均存在以f （a），f（b），f（c）为三边长的三角形，则实数m的取值范围为（）

A． B．C．D．

二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．

13．展开式中第三项为．

14．设函数f（x）=，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x2+y2+2x+2y在D上的最小值为．

15．已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n的最小值为．

16．已知函数f（x）=log（x2+）﹣||，则使得f（x+1）＜f（2x﹣1）成立x的范围是．

三、解答题（本大题含6个小题．共70分．解答应写出文字说明或演算步骤）

17．已知数列{a n}的首项a1=4，当n≥2时，a n﹣1a n﹣4a n﹣1+4=0，数列{b n}满足b n=

（1）求证：数列{b n}是等差数列，并求{b n}的通项公式；

（2）若c n=4bn?（na n﹣6），如果对任意n∈N*，都有c n+t≤2t2，求实数t的取值范围．18．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．

（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；

（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．

参考数据： =25， =5.36， =0.64

回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

=， =﹣．

19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB=2BC=2．

（1）求证：BC⊥D1E；

（2）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段D1E的长度．

20．已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的左焦点F1（﹣，0），若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F

（1）求椭圆E的方程；

（2）过坐标原点O的直线交椭圆W： =1于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．

21．已知函数．（a为常数，a＞0）

（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；

（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；

（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在，使不等式f（x0）＞m（1﹣a2）成立，求实数m的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做则按所做的第一个题计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑?

22．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为：

（其中θ为参数）．

（1）判断直线l与圆C的位置关系；

（2）若椭圆的参数方程为（φ为参数），过圆C的圆心且与直线l垂直的直线l′与椭圆相交于A，B两点，求|AB|．

23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．

（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．

2017年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．

1．i是虚数单位，复数，则a+b=（）

A．0 B．2 C．1 D．﹣2

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则，得=1+i，再利用，由复数相等的概念能求出a+b的值．

【解答】解： =

=

=1+i，

∵，

∴a=b=1，

∴a+b=2．

故选B．

2．设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B 的子集的个数是（）

A．4 B．3 C．2 D．1

【考点】1E：交集及其运算；16：子集与真子集．

【分析】由题意集合，B={（x，y）|y=3x}，画出A，B集合所表示的图象，看图象的交点，来判断A∩B的子集的个数．

【解答】解：∵集合，

∴为椭圆和指数函数y=3x图象，

如图，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，

则A∩B的子集应为?，{A1}，{A2}，{A1，A2}共四种，

故选A．

3．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）

A．﹣B．﹣C．D．

【考点】GP：两角和与差的余弦函数．

【分析】利用两角和与差的三角函数公式整理已知等式，然后逆用两角和与差的三角函数诱导公式解答．

【解答】解：∵sin（α+）+sinα=﹣，

∴，

∴，

∴cos（α﹣）=，

∴cos（α+）=cos=﹣cos（α﹣）=．

故选C．

4．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．280

【考点】D3：计数原理的应用．

【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．

【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．

若是1，1，3，则有C53×A33=60种，

若是1，2，2，则有×A33=90种

所以共有150种不同的方法．

故选：A．

5．执行如图所示的程序框图，若输出的S值为﹣4，则条件框内应填写（）

A．i＞3？B．i＜5？C．i＞4？D．i＜4？

【考点】EF：程序框图．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得

i=1，S=10

满足判断框内的条件，第1次执行循环体，s=10﹣21=8，i=2，

满足判断框内的条件，第2次执行循环体，s=8﹣22=4，i=3，

满足判断框内的条件，第3次执行循环体，s=4﹣23=﹣4，i=4，

此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S值为﹣4，

则条件框内应填写：i＜4，

故选：D．

6．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，三棱柱的高为，若P是△A1B1C1中心，且

三棱柱的体积为，则PA与平面ABC所成的角大小是（）

A．B．C．D．

【考点】MI：直线与平面所成的角；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】由题意设底面正△ABC的边长为a，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O为底面△ABC的中心，故∠PAO即为PA与平面ABC所成角，由此能求出PA与平面ABC所成的角．【解答】解：由题意设底面正△ABC的边长为a，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，

则点O为底面△ABC的中心，故∠PAO即为PA与平面ABC所成角，

∵|OA|==，|OP|=，

又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中体积为，

∴由直棱柱体积公式得V==，解得a=，

∴tan∠PAO==，

∴，

∴PA与平面ABC所成的角为．

故选：C．

7．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈的所有零点之和为（）

A．2 B．4 C．6 D．8

【考点】54：根的存在性及根的个数判断．

【分析】作出y=2sinπx与y=的函数图象，根据图象的交点个数和对称性得出答案．

【解答】解：令f（x）=0得2sin（πx）=，

作出y=2sinπx与y=的函数图象，如图所示：

由图象可知两图象在上共有8个交点，∴f（x）共有8个零点，

又两图象都关于点（1，0）对称，

∴8个交点两两关于点（1，0）对称，

∴8个零点之和为4×2=8．

故选D．

8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）

A．B．C．6 D．

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积．

【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状，求出各棱的长度，比较后，可得答案．

【解答】解：利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体位三棱锥P﹣ABC

如图所示，其中，正方体棱长为4，点P是正方体其中一条棱的中点，

则：

，

所以最长棱为6．

故选：C

9．已知对任意平面向量=（x，y），把绕其起点沿逆时针旋转θ角得到向量=（xcosθ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角θ得到点P，设

平面内曲线C上的每一点绕原点逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线x2﹣y2=2，则原来曲线C的方程是（）

A．xy=﹣1 B．xy=1 C．y2﹣x2=2 D．y2﹣x2=1

【考点】J3：轨迹方程．

【分析】设平面内曲线C上的点P（x，y），根据把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P

的定义，可求出其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点P′（（x﹣y），

（x+y）），另由点P′在曲线x2﹣y2=2上，代入该方程即可求得原来曲线C的方程．

【解答】解：设平面内曲线C上的点P（x，y），则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到

点P′（（x﹣y），（x+y）），

∵点P′在曲线x2﹣y2=2上，

∴[（x﹣y）]2﹣[（x+y）]2=2，

整理得xy=﹣1．

故选：A．

10．已知F1、F2分别为双曲线C： =1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一

点，且|PF1|=2|PF2|，则△PF1F2外接圆的面积为（）

A． B．C．D．

【考点】KC：双曲线的简单性质．

【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=6，再由|PF1|=2|PF2|，求出|PF1|，|PF2|，由此能求出△PF1F2的面积，利用余弦定理求得cos∠PF1F2，由正弦定理求得△PF1F2外接圆的半径，即可求得△PF1F2外接圆的面积．

【解答】解：双曲线C： =1，的两个焦点F1（﹣3，0），F2（3，0），|F1F2|=6，a=2，

由|PF1|=2|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=2x，

由双曲线的性质知，2x﹣x=4，解得x=4．

∴|PF1|=8，|PF2|=4，

∵|F1F2|=6，∴p==9，

∴△PF1F2的面积S==3．

在△PF1F2中，由余弦定理可知：cos∠

PF1F2==，

由0∠PF1F2＜π，则sin∠PF1F2=，

=2R，R为△PF1F2外接圆的半径，

则R=，

∴△PF1F2外接圆的面积S=πR2=，

故选D．

11．如图．在△ABC中，D是BC的中点，E、F是AD上的两个三等分点，?=4，

?=﹣1，则?的值是（）

A．4 B．8 C．D．

【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】把所用向量都用表示，结合已知求出的值，

则?的值可求．

【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，

∴=， =﹣， =+3， =﹣

，

∴=，

=9，

∴，，

又∵，，

∴=4，

故选：C．

12．《数学统综》有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”．现已知凹函数f（x）=x2﹣2x+2，

在上任取三个不同的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c）），均存在以f（a），f（b），f（c）为三边长的三角形，则实数m的取值范围为（）

A． B．C．D．

【考点】HT：三角形中的几何计算．

【分析】由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2，可得m2﹣m+2≤2，即可得出结论．

【解答】解：由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2，

∵f（x）=x2﹣2x+2=2，∴x=0或2，

∴m2﹣m+2≤2，∴0≤m≤1，

故选A．

二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．

13．展开式中第三项为60 ．

【考点】DA：二项式定理．

【分析】确定展开式的通项公式，令r=2，可得结论．

【解答】解：展开式的通项公式为：T r+1=

令r=2，可得T2+1==15×4=60

故答案为：60．

14．设函数f（x）=，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在

点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x2+y2+2x+2y在D上的最小值为﹣．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最小值即可．

【解答】解：当x＞0时，f′（x）=，

则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x﹣1，

D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．

而z=x2+y2+2x+2y=（x+1）2+（y+1）2﹣2，

表示以（﹣1，﹣1）为圆心，以（﹣1，﹣1）与阴影部分内的点为半径的平方再减2，

显然（﹣1，﹣1）到直线AC的距离最小，

由C（﹣，0），A（0，﹣1）得AC的方程是：2x+y+1=0，

此时，r=d==，r2=，

故z的最小值是﹣2=﹣，

故答案为：﹣．

15．已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n的最小值为﹣4 ．

【考点】67：定积分；82：数列的函数特性；8E：数列的求和．

【分析】由题意，先由微积分基本定理求出a n再根据通项的结构求出数列的前n 项和为S n，然后代入求b n S n的最小值即可得到答案

【解答】解：a n=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n

∴==﹣

∴数列{}的前n项和为S n=++…+=1﹣+﹣+…+﹣

=1﹣=

又b n=n﹣8，n∈N*，

则b n S n=×（n﹣8）=n+1+﹣10≥2﹣10=﹣4，等号当且仅当

n+1=，即n=2时成立，

故b n S n的最小值为﹣4．

故答案为：﹣4．

16．已知函数f（x）=log（x2+）﹣||，则使得f（x+1）＜f（2x﹣1）成立x 的范围是（0，2）．

【考点】4N：对数函数的图象与性质．

【分析】根据函数的单调性和奇偶性将问题转化为|x+1|＞|2x﹣1|，解出即可．

【解答】解：∵f（x）=log（x2+）﹣||，

∴f（﹣x）=f（x），

∴f（x）是偶函数，

x＞0时，f（x）=log（x2+）﹣，

∴f（x）为减函数，

∴当x＜0时，f（x）为增函数

若f（x+1）＜f（2x﹣1），

则|x+1|＞|2x﹣1|，解得：0＜x＜2，

故答案为：（0，2）．

三、解答题（本大题含6个小题．共70分．解答应写出文字说明或演算步骤）

17．已知数列{a n}的首项a1=4，当n≥2时，a n﹣1a n﹣4a n﹣1+4=0，数列{b n}满足

b n=

（1）求证：数列{b n}是等差数列，并求{b n}的通项公式；

（2）若c n=4bn?（na n﹣6），如果对任意n∈N*，都有c n+t≤2t2，求实数t的取值范围．【考点】8K：数列与不等式的综合；8H：数列递推式．

【分析】（1）通过作差可知b n﹣b n﹣1=，结

合a n﹣1a n﹣4a n﹣1+4=0可知b n﹣b n﹣1=﹣，进而利用数列{b n}是等差数列即可求出通项公式；

（2）通过（1）及b n=b n=可知a n=+2，进而可知c n=

（2n﹣4），结合单调性可知﹣1≤c n≤，将y=c n+t﹣2t2看作是关于c n的一次函数，结

合其单调递增可知当c n=时y≤0即可，进而问题转化为解不等式+t﹣2t2≤0，计算即得结论．

【解答】（1）证明：当n≥2时，b n﹣b n﹣1=﹣

=，

由于a n﹣1a n﹣4a n﹣1+4=0，

所以b n﹣b n﹣1=﹣，即数列{b n}是等差数列，

又因为b1==﹣，

所以b n=+（n﹣1）（）=﹣；

（2）由（1）及b n=b n=可知a n=+2，

所以c n=4bn?（na n﹣6）=（2n﹣4），

由单调性可知：﹣1≤c n≤，

令y=c n+t﹣2t2，则y是关于c n的一次函数，且单调递增，

所以当c n=时y≤0即可，

所以+t﹣2t2≤0，解得：t≤﹣或t≥，

故实数t的取值范围是：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．

18．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．

（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；

（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．

参考数据： =25， =5.36，

=0.64

回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

=， =﹣．

【考点】BK：线性回归方程；B9：频率分布折线图、密度曲线．

【分析】（Ⅰ）求出回归系数，可得回归方程，即可预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）X的取值为1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．

【解答】解：（Ⅰ）由题意

=5， =1.072， =10，