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2011年高考数学湖北卷(理科)带规范标准答案

2011年高考数学湖北卷(理科)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.i 为虚数单位，则2011

11i i +??

= ?

-??

（）

(A) -1 (B) -i (C) 1 （D) i 2. 已知{}

21log ,1,,2U y y x x P y y x x ??

==>==

>????

，则U P =e（） (A)(]1,0,2??-∞+∞????U (B) 10,2??

??? (C) ()0,+∞ (D) 1

,2??

+∞????

3.已知函数()cos ,f x x x x R -∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为（） (A) 22,3P x k x k k Z π

πππ??

≤≤+∈???

(B) 522,66P x k x k k Z π

πππ?

≤≤+∈???

(C),3P x k x k k Z π

πππ?

≤≤+∈???

(D) 5,66P x k x k k Z π

πππ?

≤≤+∈???

4.将两个顶点在抛物线2

2y px =()0p >上，另一个顶点是抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则（）

(A)0n = (B) 1n = (C) 2n = (D) 3n ≥ 5.已知随机变量ξ服从正态分布(

2,N σ

，

且()40.8P ξ<=，则()02P ξ<<=（） (A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.6 6.已知定义在

上的奇函数

()f x 和偶函数()g x 满足

()()()20,1x x f x g x a a a a -+=-+>≠且，若()2g a =，则()2f =（）

(A)2

a (B) 2 (C)

154 (D) 174

7.如图，用K 、12A A 、三类不同的原件连接成一个系统，当K 正常工作且12A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、12A A 、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）

(A)0.960 (B) 0.864 (C) 0.720 (D) 0.576

8.已知向量()(),3,2,a x z b y z a b =+=-⊥r r r r

，且，若x ，y 满足不等式1x y +≤，则z

的取值范围为：

(A) []3,3- (B)[]3,2- (C)[]2,2- (D) []2,3- 9.若实数a ，b 满足0,0,0a b ab ≥≥=且，则称a 与b 互补，记()22,a b a b a b ?=+-，

那么(),0a b ?=是a 与b 互补的

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件

10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M(太贝克/年)与时间t(单位：年)满足函数关系：()1

M t M -=，其中M 0为t=0时铯137的含量，已知t=30时，

铯137含量的变化率为-10ln2(太贝克/年)，则M （60）=

(A) 5太贝克 (B) 75ln2太贝克 (C) 150ln2太贝克 (D) 150太贝克二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.

11.18

13x x ??- ??

?的展开式中，含15

x 的项的系数为 .（结果用数值表示）

12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示）

13.《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升. 14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系x Oy ''（其中y '轴与y 轴重合）所在的平面β，45xOx '∠=o

（Ⅰ）已知平面β内有一点()

222P '，

，则点P '在平面α内的射影P 的坐标为 . （Ⅱ）已知平面β内的曲线C /的方程是()

220x y ''-+-=，则曲线C /在平面α内的射影C 的

方程是 .

15.给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色，4n ≤时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：

由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种.，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种。（结果用数值表示）

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分10分）

设ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ，已知1

1,2,cos 4

a b C ===，（Ⅰ）求ABC ?的周长（Ⅱ）求()cos A C -的值。

17.（本小题满分12分）

提高过江大桥的车辆通行能力可改变整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0,‘当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数。

（Ⅰ）当0200x ≤≤，求函数()v x 的表达式；

（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =g 可以达到最大，并求出最大值。（精确到1辆/小时）

18.（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1

CC 上，且不与点C 重合

（Ⅰ）当CF=1时，求证：1EF A C ⊥;

（Ⅱ）设二面角C-AF-E 的大小为θ，求tan θ的最小值。

19.（本小题满分13分）

已

知

数

列

{}

n a 的前n 项和为

S ，且满足：

()()*110,,,1n n a a a a rS n N r R r +=≠=∈∈≠-

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式

（Ⅱ）若存在*

k N ∈，使得12,,k k k S S S ++成等差数列，试判断：对于任意的*

m N ∈，且2m ≥，12,,m m m a a a ++是否成等差数列，并证明你的结论。

20.（本小题满分14分）

平面内与两定点()()()12,0,00A a A a a ->、连线的斜率之积等于非零常数的m 的点的轨迹，加上12A A 、两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆、或双曲线。（Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；

（Ⅱ）当m=-1时，对应的曲线为1C ；对给定的()()1,00,m ∈-+∞U ，对应的曲线为

2C 。设12F 、F 是2C 的两个焦点。试问：在1C 上是否存在点N,使得12F NF ?的面积

2S m a =。若存在，求12tan F NF ∠的值，若不存在，请说明理由。

21.（本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数()()ln 1,0,f x x x x =-+∈+∞求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）设(),1,2,,k k a b k n =L 均为正数，证明：

（1）若112212n n n a b a b a b b b b +++≤+++L L ，则12121n

b b

n a a a ∴≤L

（2）若121n b b b +++=L ，则1222212121

n b b b n n b b b b b b n

≤≤+++L L 。

参考答案

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C

7．B

8．A

9．C

10．D

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11． 17

12．

28145 13．6766

14．()2,2,()2

11x y -+=

15．21,43

三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16.（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）2

2cos 1444,24

c a b ab C c =+-=+-?=∴=Q ，故ABC ?的周长为1225a b c ++=++=。

（Ⅱ）1cos ,sin 44C C =

∴=Q ，sin sin 8

a C A c ∴== a c A C <∴

cos 8

A ∴=

()11cos cos cos sin sin 16

A C A C A C ∴-=+=

17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意：当020x ≤≤时，()v x =60，当20200x ≤≤时，设()v x ax b =+。

再由已知得：2000,2060,a b a b +=??+=?解得：1,3

200,3a b ?

=-????=??

故函数()v x 的表达式为()()60,0201200,202003x v x x x ≤≤??

=?-≤≤??

（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）可得：()()60,0201200,202003

x x f x x x x ≤≤??

=?-≤≤??

当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60201200?=；

当20200x ≤≤时，()()()2

2001110000

2003323x x f x x x +-??=-≤=

????

，当且仅当200,100x x x =-=即时，等号成立。

所以，当100x =时，()f x 在区间[]20,200上取得最大值

10000

3。综上，，当100x =时，()f x 在区间[]20,200上取得最大值10000

33333

≈，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则有已知可得

()0,0,0A ,()

23,2,0

B ,()0,4,0

C ,()10,0,4A ,

(

)

3,3,0E

,()0,4,1F

于是()10,4,4CA =-u u u r

，()

EF =u u u r ，则10CA EF =u u u r u u u r

，故1EF A C ⊥ （Ⅱ）设(),04CF λλ=<≤,平面AEF 的一个法向量为(),,m x y z =u r

，则由（Ⅰ）得：

()0,4,F λ

，)

AE =

u u u r ,()0,4,AF λ=u u u r ,于是由m AE ⊥u r u u u r ,m AF ⊥u r u u u r 可得0

m AE m AF ?=??=??u r u u u r

g u r u u u r

g ,

即30

y y z λ=+=??

，取)

,,4m λ=-u r

又由直三棱柱的性质可取侧面1AC 的一个法向量为()1,0,0n =r

，于是又由θ为锐角可得：

cos m n m n θ==

u r r g u r r g

，sin θ=

tan θ==。由04λ<≤，得

≥

，即tan 3θ≥= 故当4λ=时，即点F 与点1C 重合时，tan θ

取得最小值3

19.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知1n n a rS +=可得21n n a rS ++=，两式相减可得

()2111n n n n n a a r S S ra ++++-=-=，即()211n n a r a ++=+，又21a ra ra ==，

所以当r=0时，数列{}n a 为a,0,0……,0，……；当0,1r r ≠≠-时，由已知0a ≠，所以()

20,n a n N ≠∈, 于是由211n n n a a ra +++-=，可得2

1n n a r a ++=+，所以23,,,,n a a a L L 成等比数列，当2n ≥时，()

1n n a r r a -=+。

综上，数列{}n a 的通项公式为：(

11,2n n a n a r r a n -=??=?+≥?? （Ⅱ）对于任意的*

m N ∈，且2m ≥，12,,m m m a a a ++是否成等差数列，证明如下：

当r=0时，由（Ⅰ），知,1

0,2

n a n a n =?=?

≥?，

故对于任意的*

m N ∈，且2m ≥，12,,m m m a a a ++是否成等差数列；当0,1r r ≠≠-时，212k k k k S S a a +++=++Q ，11k k k S S a ++=+Q 。

若存在*

k N ∈，使得12,,k k k S S S ++成等差数列，则122k k k S S S +++=，

12222k k k k S a a S ++∴++=，即212k k a a ++=-，

由（Ⅰ），知23,,,,n a a a L L 的公比12r +=-，

于是对于任意的*

m N ∈，且2m ≥，12m m a a +=-，从而24m m a a +=，

122m m m a a a ++∴+=，即12,,m m m a a a ++是否成等差数列。

综上，对于任意的*

m N ∈，且2m ≥，12,,m m m a a a ++是否成等差数列。 20.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设动点为M ，其坐标为(),x y ，当x a ≠±时，由条件可得：

MA MA y y y k k m x a x a x a

===-+-g g ，即()222mx y ma x a -=≠±，又()()()12,0,00A a A a a ->、的坐标满足

mx y ma -=，故依题意：曲线C 的方程为2

mx y ma -=

当1m <-时，曲线C 的方程为22

1x y a ma

+=-，C 是焦点在y 轴上的椭圆；当1m =-时，曲线C 的方程为2

x y a +=，C 是圆心在原点的圆；

当10m -<<时，曲线C 的方程为22

221x y a ma +

=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆；当0m >时，曲线C 的方程为22

1x y a ma

-=，C 是焦点在x 轴上的双曲线；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1m =-时，曲线1C 的方程为2

x y a +=，

当()()1,00,m ∈-+∞U 时，2C

的两个焦点分别为(

)()

12F F -、对于给定的()()1,00,m ∈-+∞U ，

1C 上存在点()()000,0N x y y ≠，使得2S m a =的充要条件是

2220002

0,0,122

x y a y m a ?+=≠?

?=??g ①② 由①的00y a <≤

，由②得，0y =

，

当0a <

≤

0,m ≤<

或0m <≤时，存在点N 使得，2S m a =；

a >

，即1m -<<

m >

由()100,NF x y =--u u u r

，()

200,NF x y =-u u u u r

可得()222

212001NF NF x m a y ma =-++=-u u u r u u u u r g

令12,NF s NF t ==u u u r u u u u r

，12F NF θ∠=，

则由2

12cos NF NF st ma θ==-u u u r u u u u r g 可得2cos ma st θ

-=，从而221sin 1

sin tan 22cos 2

ma S st ma θθθθ-==

=-，于是由2S m a = 可得：2

21tan 2

ma m a θ-

=，即2tan m m θ-=

综上可得：当m ?

∈??

时，在1C 上，存在点N,使得12F NF ?的面积2S m a =，且12tan 2F NF ∠=

当m ?∈ ?

?时，在1C 上，存在点N,使得12F NF ?的面积2S m a =，且

12tan 2F NF ∠=-

当m ??∈-+∞ ? ?????

U 时，在1C 上，不存在满足条件的点N 。

21.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞，令

()1

10f x x

-=，解得1x = 当01x <<时，()0f x '>，()f x 在()0,1上是增函数；当1x >时，()0f x '<，()f x 在()1,+∞上是减函数；故函数()f x 在x=1处取得最大值()10f =

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当()0,x ∈+∞，有()()10f x f ≤=，即ln 1x x ≤-，

,0k k a b >Q ，从而有ln 1k k a a ≤-，得ln k k k k k b a a b b ≤-()1,2,,k n =L 。

求和得：

ln k

n n

b k

k k k k k k a

a b b ===≤-∑∑∑

k k k k k a b b ==≤∑∑Q ，1

ln 0k n

b k k a =∴≤∑，即()

1212ln 0n b b b n a a a ≤L

12121n b b b n a a a ∴≤L

（2）①先证：12121

n b b b n b b b n

≥

L 。令1k k a nb =Q ()1,2,,k n =L ，则111

1n n n

k k k k k k a b b n ======∑∑∑，于是由（1）得12121111n

b b b n nb nb nb ??????

≤ ? ? ?

??????L ，即 1212

121n n b b b b b b n n n b b b +++≤=L L ，12

121n b b b n b b b n

≥L 。 ②再证122221212n

b b

n b b b b b b ≤+++L L

记2

1n n

k k k k S b b =====∑∑,于是由（1）得12

121n b

b b n b b b S S S ??????≤ ? ? ???????L ，即

121212n n b b b b b b n b b b S S +++≤=L L ，122221212n b b b n n b b b b b b ∴≤+++L L

综合①②，（2）得证。