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概率论与数理统计数学实验

实验一几个重要的概率分布的MATLAB实现 p2-3 实验二数据的统计描述和分析 p4-8 实验三参数估计 p9-11 实验四假设检验 p12-14 实验五方差分析 p15-17 实验六回归分析 p18-27实验一几个重要的概率分布的MATLAB实现

实验目的

(1) 学习MATLAB软件与概率有关的各种计算方法

(2) 会用MATLAB软件生成几种常见分布的随机数

(3) 通过实验加深对概率密度，分布函数和分位数的理解

Matlab统计工具箱中提供了约20种概率分布，对每一种分布提供了5种运算功能，下表给出

了常见8种分布对应的Matlab命令字符，表2给出了每一种运算功能所对应的Matlab命令字符。

当需要某一分布的某类运算功能时，将分布字符与功能字符连接起来，就得到所要的命令。

N，在x=处的概率密度。

例1 求正态分布()2,1-

解：在MATLAB命令窗口中输入：

normpdf,-1,2)

结果为：

例2 求泊松分布()3P ，在k=5，6，7处的概率。解：在MATLAB 命令窗口中输入： poisspdf([5 6 7],3) 结果为：

例3 设X 服从均匀分布()3,1U ，计算{}225P X .-<<。

解：在MATLAB 命令窗口中输入： unifcdf,1,3)-unifcdf(-2,1,3) 结果为：

例4 求概率995.0=α

的正态分布()2,1N 的分位数αX 。

解：在MATLAB 命令窗口中输入： norminv,1,2) 结果为：

例5 求t 分布()10t 的期望和方差。解：在MATLAB 命令窗口中输入： [m,v]=tstat(10) m = 0 v =

例6 生成一个2*3阶正态分布的随机矩阵。其中，第一行3个数分别服从均值为1，2，3；第二行3个数分别服从均值为4，5，6，且标准差均为的正态分布。解：在MATLAB 命令窗口中输入： A=normrnd([1 2 3;4 5 6],,2,3) A =

例7 生成一个2*3阶服从均匀分布()3,1U 的随机矩阵。解：在MATLAB 命令窗口中输入： B=unifrnd(1,3,2,3) B =

注：对于标准正态分布，可用命令randn(m,n);对于均匀分布()1,0U ,可用命令rand(m,n)。

实验二数据的统计描述和分析

实验目的

(1) 学习MATLAB 软件关于统计作图的基本操作 (2) 会用MATLAB 软件计算计算几种常用统计量的值

(3) 通过实验加深对均值、方差、中位数等常用统计量的理解

1. 频数表和直方图

一组数据（样本观察值）虽然包含了总体的信息,但往往是杂乱无章的，作出它的频数表和直方图，可以看作是对这组数据的一个初步整理和直观描述。将数据的取值范围划分为若干个区间，然后统计这组数据在每个区间中出现的次数，称为频数，由此得到一个频数表。以数据的取值为横坐标，频数为纵坐标，画出一个阶梯形的图，称为直方图，或频数分布图。

2 经验累计分布函数图

设n x x x ,,,21Λ是总体X 的一个容量为n 的样本观察值。将n x x x ,,,21Λ按自小到大的次序排列，并重新编号，设为

记

则称()x F n 为总体X 的经验累积分布函数，它的图像即为经验累计分布函数图。 3 几种常用的统计量

（1）算术平均值和中位数

算术平均值（简称均值），∑==n

i i X n X 1

1 ，中位数是将数据由小到大排序后位于中间位

置的那个数值。（2）标准差、方差

标准差: ()2

1211?

???--=∑=n

i i X X n s

,它是各个数据与均值偏离程度的度量。方差是标准差的平方,记为2

s 。

（3）偏度和峰度

表示数据分布形状的统计量有偏度和峰度。偏度：()∑=-=n

i i

X X

g 1

反映数据分布对

称性的指标，当01>g 时，称为右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的多；当

i i

X X

g 1

21),是数据分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为3，若2g ?比3大

得多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的数据，因而峰度可以用作衡量偏离正态分布的尺度之一。

将样本的观测值()n x x x ,,,21Λ代入以上各式后，即可求得对应统计量的观测值。

4 MATLAB 实现

下面我们列出用于数据的统计描述和分析的常用MATLAB 命令。其中，x 为原始数据行向量。（1）用hist 命令实现作频数表及直方图，其用法是：

[n,y] = hist(x,k)

返回x 的频数表。它将区间[min(x),max(x)]等分为k 份（缺省时k 设定为10），n 返回k 个小区间的频数，y 返回k 个小区间的中点。

hist(x,k)

返回x 的直方图。

（2）用cdfplot 命令作累积分布函数图，其用法是：

[h,stats] =cdfplot(x)

在返回x 的累积分布函数图的同时，在stats 中给出样本的一些特征：样本最小值、最大值、平均值、中位数和标准差。

cdfplot(x,k)

则直接返回x 的累积分布函数图。（3）算术平均值和中位数

Matlab 中mean(x)返回x 的均值，median(x)返回中位数。（4）标准差、方差和极差

极差是n x x x ,,,21Λ的最大值与最小值之差。

Matlab中std(x)返回x的标准差，var(x)返回方差，range(x)返回极差。

（4）偏度和峰度

Matlab中skewness(x)返回x的偏度，kurtosis(x)返回峰度。

例1 某学校随机抽取100名学生，测量他们的身高，所得数据如下表

解：在MATLAB命令窗口中输入：

X=[172 169 169 171 167 178 177 170 167 169 171 168 165 169 168 173 170 160 179 172 166 168 164 170 165 163 173 165 176 162 160 175 173 172 168 165 172 177 182 175 155 176 172 169 176 170 170 169 186 174 173 168 169 167 170 163 172 176 166 167 166 161 173 175 158 172 177 177 169 166 170 169 173 164 165 182 176 172 173 174 167 171 166 166 172 171 175 165 169 168 173 178 163 169 169 177 184 166 171 170];

[n,y]=hist(X)

n =

2 3 6 18 26 22 11 8 2 2

y =

hist(X)

直方图

x1=mean(X)

x1 =

x2=median(X)

x2 =

170

x3=range(X)

x3 =

x4=std(X)

x4 =

x5=skewness(X)

x5 =

x6=kurtosis(X)

x6 =

例2 产生50个服从标准正态分布的随机数，指出它们的分布特征，并画出经验累积分布函数图解：在MATLAB命令窗口中输入：

x=normrnd(0,1,1,50);

[h,stats]=cdfplot(x)

h =

stats =

min:

max:

mean:

median:

std:

经验累积分布函数图

实验三参数估计

实验目的

(1) 学习MATLAB软件关于参数估计的有关操作命令

(2) 会用MATLAB软件求参数的点估计和置信区间

(3) 通过实验加深对参数估计基本概念和基本思想的理解

1 参数估计的方法

利用样本对总体进行统计推断的一类问题是参数估计，即假定总体的概率分布类型已知，由样本估计参数的分布。参数估计的方法主要有点估计和区间估计两种。

2 参数估计的Matlab实现

在Matlab统计工具箱中，有专门计算总体均值、标准差的点估计和区间估计的函数。

对于正态总体，命令是

[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha)

其中x 为样本（数组或矩阵），alpha 为显着性水平α?（alpha 缺省时设定为），返回总体均值??和标准差??的点估计mu 和sigma ，及总体均值??和标准差??的区间估计muci 和sigmaci 。当x 为矩阵时返回行向量。此外，Matlab 统计工具箱中还提供了一些具有特定分布总体的区间估计的命令，如expfit ，poissfit ，分别用于指数分布和泊松分布的区间估计，具体用法可参见MATLAB 的帮助系统。

例1 已知某种木材横纹抗压力的实验值),(~2

σμN X ，对10个试件做横纹抗压力的试验数据如下：482,493,457,471,510,446,435,418,394,496(单位：公斤/平方厘米)，试以95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力的置信区间:(1)2

σ未知； (2) 22

30=σ。

解:(1) 2

σ未知时，可直接使用normfit 命令在MATLAB 命令窗口中输入：

x=[482,493,457,471,510,446,435,418,394,496]; [mu sigma muci sigmaci]=normfit(x) mu =

sigma = muci = sigmaci =

2σ未知时，平均横纹抗压力μ的估计值为，其置信度为的置信区间为[，]。

（2）2

σ已知时，μ的置信度为的置信区间为

u ,x u αα--?-+??

。在MATLAB 命令窗口中输入：

x=[482,493,457,471,510,446,435,418,394,496];

muci=[mean(x)-norminv*30/sqrt(10),mean(x)+norminv*30/sqrt(10)] muci =

2σ已知时，平均横纹抗压力μ的置信度为的置信区间为[，]。同（1）比较可得，在置信水平

相同的条件下，利用方差得到的置信区间的长度要小于忽略方差得到的置信区间长度。例2 某厂生产的瓶装运动饮料的体积假定服从正态分布，抽取10瓶，测得体积（毫升）为595,602,610,585,618,615,605,620,600,606。求出方差的置信度为的置信区间。

解:在MATLAB命令窗口中输入：

x=[595,602,610,585,618,615,605,620,600,606];

[mu sigma muci sigmaci]=normfit(x,

mu =

sigma =

muci =

sigmaci =

sigma^2

ans =

sigmaci.^2

ans =

σ的估计值为，其置信度为的置信区间为[，]。

即2

λ>为参例3 某炸药制造厂，一天中发生着火现象的次数X是一个随机变量，假设它服从以0

数的泊松分布，参数λ未知。现有以下样本值：

试求λ的极大似然估计值和置信水平为95%的置信区间。

解:在MATLAB命令窗口中输入：

x=[75,90,54,22,6,2,1];

[lamda,lamdaci]=poissfit(x)

lamda =

lamdaci =

即λ的极大似然估计值为，其置信水平为95%的置信区间为[，]。

实验四假设检验

实验目的

(1) 学习MATLAB软件关于假设检验的有关操作命令

(2) 会用MATLAB软件求单个正态总体和双正态总体的假设检验问题

(3)会用MATLAB软件判断总体是否服从正态分布

(4) 通过实验加深对假设检验基本概念和基本思想的理解

1 参数假设检验

如果总体的分布函数类型已知，只是对总体分布中的参数做某种假设。然后，用样本检验此假设是否成立，这种检验称为参数检验。下面我们给出几种参数检验对应的Matlab 命令，相关的理论知识可参考教材。

注1： x 是样本，mu 是0H 中的0μ?，sigma 是总体标准差??，alpha 是显着性水平??（alpha 缺省时设定为），tail 是对备择假设1H 的选择：1H 为0μμ≠

时，令tail=0（可缺省）； 1H 为

0μμ>时，令tail=1；1H 为0μμ

绝0H ，p 表示在假设0H 下样本均值出现的概率，p 越小0H 越值得怀疑，ci 是0μ?的置信区间。

注2：ttest2输入的是两个样本x,y ，长度可以不同。

例1 某种电子元件的寿命x (以小时计)服从正态分布,2

σ未知.现得16只元件的寿命如下: 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)??（???????）解：需要检验：0H ：225=μ，1H ：225>μ

x=[159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170]; [h,p,ci]=ttest(x,225,,1)

h = 0 p = ci =

Inf

h=0，p=，说明在显着水平为的情况下，不能拒绝原假设，认为元件的平均寿命不大于225小时。

例2 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率,试验是在同一平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外,其它条件都可能做到相同。先用标准方法炼一炉,然后用建议的新方法炼一炉,以后交换进行,各炼了10炉,其得率分别为: 1°标准方法 2°新方法

设这两个样本相互独立且服从标准差相同的正态分布，问建议的新方法能否提高得率?(取

????。)

解需要检验：0H ：21μμ=，1H ：21μμ< x=[ ]; y=[ ];

[h,p,ci]=ttest2(x,y,,-1) h = 1 p = ci =

-Inf

h=1,p=×10。表明在????的显着水平下，可以拒绝原假设，即认为建议的新操作方法能提高得率。

2 分布拟合检验

在实际问题中，有时不能预知总体服从什么类型的分布，这时就需要根据样本来检验关于分布的假设。下面我们给出几种检验总体是否服从正态分布对应的Matlab 命令。

注1：输入参数x是样本，alpha是显着性水平??（alpha缺省时设定为），输出h=1,则拒绝总体

是正态分布的假设,若h=0，则接受总体服从正态分布的假设。p为检验概率值，p越小，则

0越值得怀疑

例3 试检验实验二例1中的学生身高数据是否来自正态总体（取????。

解: 在MATLAB命令窗口中输入：

[h,p]=jbtest(x,

h =

p =

h=0，因此，接受总体服从正态分布的假设。

实验五方差分析

实验目的

(1) 学习MATLAB软件关于方差分析的有关操作命令

(2) 会用MATLAB软件求解单因素和双因素方差分析问题

(3) 通过实验加深对方差分析基本概念和基本思想的理解

1 单因素方差分析Matlab实现

Matlab统计工具箱中单因素方差分析的命令是anoval，用法为：

p=anoval(x，group)

输入参数x是一个向量，从第1个总体的样本到第r个总体的样本依次排列，group是一个与x有相同长度的向量，反映了x中数据的分组情况。比如，可以用数字i代表第i个总体的样本。输出值p是一个概率值(p值)，当P ???时接受原假设，即认为因素A对指标有无显着影响。另外，该命令还给出一个标准的方差分析表和一个盒子图。

例1 用4种工艺生产灯泡，从各种工艺制成的灯泡中各抽出了若干个测量其寿命，结果如下表，试推断这几种工艺制成的灯泡寿命是否有显着差异。

解: 在MATLAB 命令窗口中输入：

x=[1620 1580 1460 1500 1670 1600 1540 1550 1700 1640 1620 1610 1750 1720 1680 1800];

g=[ones(1,5),2*ones(1,4),3*ones(1,3),4*ones(1,4)]; p=anova1(x,g) p =

p=<，所以这几种工艺制成的灯泡寿命有显着差异。

方差分析表盒子图

2 双因素方差分析Matlab 实现

双因素方差分析的MATLAB 命令为:

p=anova2(x,reps)

输入参数x 为矩阵，其元素表示两因素在某个水平组合下的试验结果，其中行对应因素A,列对应因素B 。如果每一种水平组合都有不止一个的观测值，则用参数reps 来表明，即reps 给出重复试验的次数。当reps=1(缺省值)时，输出p 是一个向量包含两个概率值(p 值)，第1个对应因素A ；第2个对应因素B

。p 值接近于零(小于时，拒绝原假设,即认为该因素对指标有显着影响。当reps>1时，输出p 还包含另外一个概率值，该p 值接近于零(小于时，认为两个因素交互作用的效应是显着的。

例2 下表给出某种化工过程在三种浓度、四种温度水平下得率的数据。假设在诸水平配对下的试验结果如下表所示。试在水平????下，检验在不同浓度（因素A ）、不同温度（因素B ）下的得率是否有显着差异？交互作用是否显着？

解: 在MATLAB 命令窗口中输入：

x=[11 11 13 10;10 11 9 12;9 10 7 6;7 8 11 10;5 13 12 14;11 14 13 10]; p=anova2(x,2) p =

p= 。即认为温度因素不显着、而浓度因素有显着差异，交互作用不显着。

双因素方差分析表

实验六回归分析

实验目的

(1) 学习MATLAB 软件关于回归分析的有关操作命令 (2) 会用MATLAB 软件求解各种类型的回归分析问题 (3) 通过实验加深对回归分析基本概念和基本思想的理解

1 多元线性回归的Matlab 实现

Matlab 统计工具箱用命令regress 实现多元线性回归，用的方法是最小二乘法，其MATLAB 命令为：

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)

其中 y,x 为输入数据，alpha 是显着性水平（缺省值为），输出b 为回归系数β估计值，bint 是

的置信区间，r 是残差向量，rint 是r 的置信区间，stats 中包含了三个检验量：决定系数

2R ，F 值和p 值。它们的用法如下：2R 值反映了变量间的线性相关的程度，2R 越接近1，则

变量间的线性关系越强；如果满足()F n F <--2,11α

，同样可以认为Y 与x 显着地有线性关系；若

置信区间不包含零点，则该数据可视为异常点，通常可将其剔除后重新计算。

例1 某饮料公司发现饮料的销售量与气温之间存在着相关关系，即气温越高，人们对饮料的需求量越大。下表记录了饮料销售量和气温的观察数据：

试建立销售量与气温之间的关系。

解: 首先画出散点图，从图形可以看出，这些点大致分布在一条直线上，所以，可以考虑一元线性回归。

散点图

在MATLAB命令窗口中输入：

x=[30 21 35 42 37 20 8 17 35 25];

y=[430 335 520 490 470 210 195 270 400 480];

plot(x,y,'o')

X=[ones(10,1),x'];

[b bint r rint s]=regress(y',X,

b =

bint =

p=s(3)

p =

p=<,说明模型成立，即气温x与饮料销售量Y有显着的线性关系。

接下来画残差分布图

rcoplot(r,rint)

残差分布图由残差分布图可知，除第10个数据外其余残差的置信区间均包含零点。因此，第10个点应视为异常点，将其剔除后重新计算，可得

x=[30 21 35 42 37 20 8 17 35];

y=[430 335 520 490 470 210 195 270 400];

X=[ones(9,1),x'];

[b bint r rint s]=regress(y',X,;

b =

bint =

p=s(3)

p =

p值小于原模型的p值，所以应该用修改后的模型。

2 多项式回归的MATLAB实现

一元多项式回归的MATLAB命令为：

[p,s]=ployfit(x,y,n)

其中输入x,y是样本数据，n表示多项式的阶数，输出p是回归多项式的系数，s是一个数据结构，可用于其他函数的计算，比如，[y delta]=polyconf(p,x0,s)可用于计算x0处的预测值y及其置信区间的半径delta。

一元多项式回归还可以采用如下命令：

polytool(x,y,n,alpha)

该命令输出一个交互式画面，画面显示回归曲线及其置信区间，通过图左下方的export下拉式菜单,还可以得到回归系数的估计值及其置信区间、残差等。还可以在正下方左边的窗口中输入x，即可在右边窗口得到预测值y及其对应的置信区间。

例2将17至29岁的运动员每两岁一组分为7组，每组两人测量其旋转定向能力，

以考察年龄对这种运动能力的影响。现得到一组数据如下表：

试建立二者之间的关系。

解数据的散点图（略）明显地呈现两端低中间高的形状，所以应拟合一条二次曲线。

x=17:2:29;

X=[x,x];

y=[ ];

[p,s]=polyfit(X,y,2)

p =

即所求的回归模型为：

下面的命令给出了年龄为26岁时的预测值及其置信区间的半径。

x0=26;

[y0,delta]=polyconf(p,x0,s)

y0 =

delta =

若采用命令polytool(X,y,2)，则可得到一个如下图所示的交互式画面，其中实曲线为拟合曲线，它两侧的虚线是y 的置信区间。点击左下方的Export按钮，可以在MATLAB的工作空间中得到回归系数等。

3 多元二项式回归的MATLAB实现

MATLAB中提供了一个作多元二项式回归的命令rstool，同命令polytool类似也可产生一个交互式画面，并输出有关信息，用法是

rstool(x,y,model,alpha)

其中输入数据x,y分别为n ?m矩阵和n维向量，alpha为显着性水平??（缺省时设定为），model 对应4个模型（用字符串输入，缺省时设定为线性模型），分别为：linear(只包含线性项)；purequadratic（包含线性项和纯二次项）；interaction（包含线性项和纯交叉项）；quadratic （包含线性项和完全二次项)。

例3 对下面这组数据采用多元二项式回归确定它们之间的关系：

解：在MATLAB命令窗口中输入

x1=[120 140 190 130 155 175 125 145 180 150];

x2=[100 110 90 150 210 150 250 270 300 250];

y=[102 100 120 77 46 93 26 69 65 85];

x=[x1' x2'];

rstool(x,y,'quadratic')

得到一个如下图所示的交互式画面。

通过按钮Export向Matlab工作区传送：beta（回归系数），rmse（剩余标准差）和residuals（残差）等数据。可得：

beta =

rmse =

对应的回归模型为：

利用图左下方的下拉式菜单，选择不同的模型并通过按钮Export 向Matlab 工作区传送数据，就可以比较它们的剩余标准差，会发现模型（purequadratic ）的rmse=最小，对应的回归模型为：

4 非线性回归的Matlab 实现

Matlab 提供的非线性回归命令有：nlinfit ，nlparci ，nlpredci ，nlintool 。它们的具体用法如下：

[b,R,J]=nlinfit(x,y,’model ’,b0)

其中输入数据x ，y 分别为n ?m 矩阵和n 维向量。Model 是事先用M 文件定义的非线性函数，其形式为()β,x f y =

，β为待估参数。b0是β的初值。输出b 是β的估计值，R 是残差，J 是用于

估计误差的Jacobi 矩阵。进一步，将以上输出代入命令bi=nlparci(b,R,J)可得β的置信区间bi 。若代入命令[y0 delta]=nlpredci(‘model ’,x0,b,R,J)则可得回归函数在x0处的预测值y0及其置信区间。

命令nlintool 可产生一个交互式画面，并输出有关信息，用法是：

nlintool(x,y,’model ’,b0,alpha)

例4 在工程中希望建立一种能由混凝土的抗压强度x 推算抗剪强度y 的经验公式，下表中给出了现有9对数据。试分别按以下三种形式建立y 对x 的回归方程，并从中选出最优模型。 (1) x b a y +=

(2) x b a y ln += (3)

b cx y =

解：首先对每个回归方程建立相应的M 文件如下：：

function y=f1(beta,x); y=beta(1)+beta(2)*sqrt(x); ：

function y=f2(beta,x); y=beta(1)+beta(2)*log(x); ：

function y=f3(beta,x); y=beta(1)*x.^beta(2);

然后，用nlinfit计算回归系数

x=[141 152 168 182 195 204 223 254 277];

y=[ ];

b0=[1,2];

[b1,r1,j1]=nlinfit(x,y,'f1',b0)

b1 =

r1 =

[b2,r2,j2]=nlinfit(x,y,'f2',b0)

b2 =

r2 =

[b3,r3,j3]=nlinfit(x,y,'f3',b0)

b3 =

r3 =

通过比较三个模型的残差和可得：sum(r2)

回归系数的置信区间可用如下命令得到：

bi=nlparci(b2,r2,j2)

bi =

5 逐步回归的MATLAB实现

用作逐步回归的Matlab命令是stepwise，它提供了一个交互式的画面，通过这个工具你可以自由地选择变量，进行统计分析，其通常用法是：

stepwise(x,y,inmodel,alpha)

其中x，y分别是n m矩阵和n维向量，inmodel是矩阵x的列数的指标，给出初始模型中包括的子集（缺省时设定为全部自变量），alpha为显着性水平。stepwise命令会产生一个图形窗口，显示回归系数及其置信区间，蓝色的线代表在模型中的变量，红色的线代表从模型中移去的变量，你可以用鼠标点击某条线改变其状态达到移去或选中该变量的目的。除此之外,该窗口还给出了跟模型有关的统计量（RMSE R-square,F,p等，其含义与regress,rstool相同）。你可以通

过这些统计量的变化来确定模型。ModelHistory窗口显示每一步RMSE的值。点击Export按钮产

生一个菜单，表明了要传送给Matlab工作区的参数。

例5 某种水泥在凝固时放出的热量y 与水泥中4种化学成分含量,, 2O3, 有关，今测得一组数据如下，试用逐步回归来确定一个线性模型

解：在MATLAB命令窗口中输入

x=[7 26 6 60;1 29 15 52;11 56 8 20;11 31 8 47;7 52 6 33;11 55 9 22;3 71 17 6;1 31 22 44;2 54 18 22;21 47 4 26;1 40 23 34;11 66 9 12;10 68 8 12]; y=[ ]';

stepwise(x,y,[1,2,3,4])

得到一个图形窗口如下：

根据回归系数p值的大小，选取p值最大的变量x3从模型中移去，可得下图：

再选取p值最大的变量x4从模型中移去，可得下图：

此时，剩下x1和x2的回归系数的p值均为0，说明这两个变量是显着的，对应的回归模型

为：

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习题一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。（ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

高等数学实验试题

东华大学20 ~ 20 学年第__ __学期期_末_试题A 踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负课程名称______高等数学实验___________使用专业____ 班级_____________姓名________________学号__________ 机号要求：写出M 函数（如果需要的话）、MATLAB 指令和计算结果。1.设矩阵A = 6 14230215 1 0321 21----，求A 的行列式和特征值。 2. 设 f (x ,y ) =2x cos (xy 2 )，求 21,2 x y f x y ==???。

3. 求积分? --1 2 2 1)2(x x xdx 的数值解。 4. 求解微分方程0.5e - x d y -sin x d x=0, y (0)=0, 要求写出x =2 时的y 值。 5. 求解下列方程在k=6,θ=π/3附近的解???=-=-1)sin (3 )cos 1(θθθk k

6. 取k 7. 编写一个M 函数文件，使对任意给定的精度ε, 求N 使得 επ≤-∑=612 1 2 N n n 并对ε= 0.001求解。

8. 在英国工党成员的第二代加入工党的概率为0.5，加入保守党的概率为0.4，加入自由党的概率为0.1。而保守党成员的第二代加入保守党的概率为0.7，加入工党的概率为0.2，加入自由党的概率为0.1。而自由党成员的第二代加入保守党的概率为0.2，加入工党的概率为0.4，加入自由党的概率为0.4。求自由党成员的第三代加入工党的概率是多少？假设这样的规律保持不变，在经过很多代后，英国政党大致分布如何？

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

东南大学高等数学数学实验报告上

Image Image 高等数学数学实验报告实验人员：院（系） ___________学号_________姓名____________实验地点：计算机中心机房实验一 1、实验题目：根据上面的题目，通过作图，观察重要极限：lim（1+1/n）n =e 2、实验目的和意义方法的理论意义和实用价值。利用数形结合的方法观察数列的极限，可以从点图上看出数列的收敛性，以及近似地观察出数列的收敛值；通过编程可以输出数列的任意多项值，以此来得到数列的收敛性。通过此实验对数列极限概念的理解形象化、具体化。三、计算公式（1+1/n）n 四、程序设计五、程序运行结果六、结果的讨论和分析当n足够

Image Image 大时，所画出的点逐渐接近于直线，即点数越大，精确度越高。对于不同解题方法最后均能获得相同结果，因此需要择优，从众多方法中尽可能选择简单的一种。程序编写需要有扎实的理论基础，因此在上机调试前要仔细审查细节，对程序进行尽可能的简化、改进与完善。实验二一、实验题目制作函数y=sin cx的图形动画，并观察参数c对函数图形的影响。二、实验目的和意义本实验的目的是让同学熟悉数学软件Mathematica所具有的良好的作图功能，并通过函数图形来认识函数，运用函数的图形来观察和分析函数的有关性态，建立数形结合的思想。三、计算公式：y=sin cx 四、程序设计五、程序运行结果六、结果的讨论和分析 c的不同导致函数的区间大小不同。实验三一、实验题目观察函数f(x)=cos x的各阶泰勒展开式的图形。二、实验目的和意义利用Mathematica计算函数的各阶泰勒多项式，并通过绘制曲线图形，来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。三、计算公式

《概率论与数理统计》实验报告答案

《概率论与数理统计》实验报告学生姓名李樟取学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松学年学期2013-2014学年第1学期

实验报告一成绩日期年月日实验名称单个正态总体参数的区间估计实验性质综合性实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法．实验原理利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????-

概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个无偏估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝。！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望

概率论与数理统计第二版_课后答案_科学出版社_参考答案_

习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{

解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-

数学实验答案-1

1.（1） [1 2 3 4;0 2 -1 1;1 -1 2 5;]+(1/2).*([2 1 4 10;0 -1 2 0;0 2 3 -2]) 2. A=[3 0 1;-1 2 1;3 4 2],B=[1 0 2;-1 1 1;2 1 1] X=(B+2*A)/2 3. A=[-4 -2 0 2 4;-3 -1 1 3 5] abs(A)>3 % 4. A=[-2 3 2 4;1 -2 3 2;3 2 3 4;0 4 -2 5] det(A),eig(A),rank(A),inv(A) 求计算机高手用matlab解决。 >> A=[-2,3,2,4;1,-2,3,2;3,2,3,4;0,4,-2,5] 求|A| >> abs(A) ans = （ 2 3 2 4 1 2 3 2 3 2 3 4 0 4 2 5 求r（A） >> rank(A) ans =

4 求A-1 《 >> A-1 ans = -3 2 1 3 0 -3 2 1 2 1 2 3 -1 3 -3 4 求特征值、特征向量 >> [V,D]=eig(A) %返回矩阵A的特征值矩阵D 与特征向量矩阵V , V = - + + - - + - + - + - + D = { + 0 0 0 0 - 0 0 0 0 + 0 0 0 0 - 将A的第2行与第3列联成一行赋给b >> b=[A(2,:),A(:,3)'] b = 《 1 - 2 3 2 2 3 3 -2

1． a=round(unifrnd(1,100)) i=7; while i>=0 i=i-1; b=input('请输入一个介于0到100的数字：'); if b==a ￥ disp('You won!'); break; else if b>a disp('High'); else if b