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最值问题的各种解法举例(含解答)-

最值问题解法举例

代数或函数的最值问题是中学数学比较常见的问题，解决这类问题，难度较大，灵活性强，下面举例说明几种方法。

一、配方法

例1 当 x=___时，且y=____时，代数式582222-+---y x y x 的最大值为________。

二、判别式法

例2 当x 变化时，分式12

15632++++x x x x 的最小值是__________。解：设y=12

15632++++x x x x ，变形得关于x 的一元二次方程。X 为实数，因此，△≥0，所以（y －4）(y －6)≤0得4≤y ≤6。

三、均值不等式法

例3 若a 、b 、c 、d 是乘积为1的四个正数，则代数式

cd bd bc ad ab d c b a ++++++++2222的最小值是_________。

解：∵abcd=1，∴cd=21,1≥+=+∴ab

ab cd ab ab . 同理22≥+≥+bc ad bd ac . 4)1(2,222222≥+∴+≥+++ab ab cd ab d c b a

102222≥++++++++cd bd bc ad ab d c b a .

四、分解因式法

例4 若a 、b 、c 、d 是四个不相等的自然数，且abcd=1998，则a +b +c +d 的最大值

是_______。

解：∵1998=1×4×7×71=1×2×14×71=1×2×7×142∴a 、b 、c 、d 的值分别为1，

4，7，71或1，2，14，71或1，2，7，142.由此可求得a +b +c +d 的最大值是152.

五、分类讨论法

例5 当61≤+x 时，函数12+-=x x x y 的最大值是_________。

解：∵61≤+x ∴57≤≤-x

当50≤≤x 时，22)1(12-=+-=x x x y 此时y 的最大值为16。

当07 x ≤-时，2)1(1222++-=+--=x x x y 此时y 的最大值为2。

六、减元法

例6 若实数x 、y 满足条件,022=-+x y 则522++-x x y 的最大值是_______。解：由条件可知7525222222+-=++--=++-∴-=x x x x x x y x y . 当x=0时最大值为7.

七、利用“主元法” 求最值

所谓“主元法”即对于含有多个字母的代数式或函数，可先取其中一个变量作为主变量，而其余的变量看作常量，这种求最值的方法，即为主元法。

例7 若a 、c 、d 为整数，b 是正整数且满足a+b=c ，b+c=d ，c+d=a ，则a+b+c+d 的

最大值是______。

解：注意到b 取值范围的特殊性，选b 作主元∵a+b=c ，c+d=a ∴d=－b ，c=d-b=-2b ，a=c+d=-3b ∴a+b+c+d=-5b ∵b 的最小值是1，∴a+b+c+d 的最大值为－5。

八、利用几何中两点之间线段最短求最值

例8 求函数842222+-+++=x x x x y 的最小值是______。

九、利用完全平方式的非负性质求最值

例9 求函数2221

3x x y +=的最小值。

解：根据a 2＋b 2≥2ab 来解决

十、利用函数的性质求最值

例10A市和B市各有机床12台和6台，现运往C市10台，D市8台，若从A市运一台到C市、D市各需要4万元和8万元，从B市运一台到C市、D市各需要3万元和5万元。

（1）设B市运往C市x台，求总费用y关于x的函数关系式。

（2）若总费用不超过90万元，问共有多少种调动方式？

（3）求总费用最低的调运方法，最低费用是多少万元？

例12．某市20位下岗职工近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：

请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多。

求最值问题的几种方法

浅谈求最值问题的几种方法摘要：最值问题综合性强, 涉及到中学数学的许多分支, 因而这类问题题型广, 知识面宽,而且在解法上灵活多样, 能较好体现数学思想方法的应用. 在历年的高考试题中, 既有基础题, 也有一些小综合的中档题, 更有一些以难题的形式出现. 解决这类问题要掌握多方面的知识, 综合运用各种数学技巧, 灵活选择合理的解题方法, 本文就几类最值问题作一探求. 关键词：数学；函数；最值；最大值；最小值 1. 常见函数的最值问题. 1.1 一次函数的最大值与最小值. 一次函数b kx y +=在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的, 但是, 如果对自变量 x 的取值范围有所限制时, 一次函数就可能有最大值和最小值了. 例1. 设0>a 且 a ≠1,)1(1 x a ax y -+=,(0≤x ≤1),求y 的最大值与最小值. 解: )1(1x a ax y -+=可化为：.1 )1(a x a a y +-=下面对一次项系数分两种情况讨论：（1）当a ＞1时，a -a 1＞0,于是函数a x a a y 1 )1(+-=的函数值是随着x 的增加而增加的,所以当x =0时,y 取最小值 a 1; 当x =1时,y 取最大值a . （2）当0＜a ＜1时,01<-a a ,于是函数a x a a y 1 )1(+-=的函数值是随着x 的增加而减少的,所以当x =0时,y 取最大值 a 1; 当x =1时,y 取最小值. 例2. 已知z y x ,,是非负实数,且满足条件 .503,30=-+=++z y x z y x 求z y x u 245++=的最大值和最小值. 分析：题设条件给出两个方程,三个未知数z y x ,,，当然， z y x ,,的具体数值是不能求出的.但是,我们固定其中一个，不防固定x ，那么z y ,都可以用x 来表示，于是u 便是x 的函数了（需注意x 的取值范围），从而我们根据已知条件，可求出u 的最大值与最小值.

含参不等式

含参不等式知识互联网题型一：不等式（组）的基本解法

x （ x （ b （无解（大大小小无解了）典题精练【例1】 ⑴解不等式 31 423 x x x +--+≤. ⑵解不等式组12(1)532122 x x x --?? ?-<+??≤，并在数轴上表示出解集 ⑶求不等式组2(2)43 251x x x x --??--? ≤＜的整数解 ⑷解不等式组32215x x -<-<

⑸解不等式组253473 x x -?? （2012年朝阳一模）题型二：含参数的不等式（组）思路导航对于含参不等式，未知数的系数含有字母需要分类讨论：如不等式ax b <，例题精讲【引例】⑴关于x 的一次不等式组x a x b >???? ⑵13kx +> ⑶132kx x +>- ⑷36mx nx +<--

⑸() 212m x +< ⑹()25n x --< 【例3】 ⑴不等式 ()1 23 x m m ->-的解集与2x >的解集相同，则m 的值是． ⑵关于x 的不等式2x a -≤-1的解集如图所示，则a 的值为 . ⑶ 关于x 的不等式5ax >的解集为5 2 x <-，则参数a 的值 . ⑷ ①若不等式组3 x x a >??>? 的解集是x a >，则a 的取值范围是 . ②若不等式组3 x x a >??? ≥的解集是x a ≥，则a 的取值范围是 . A ．3a ≤ B ．3a = C ．3a > D ．3a ≥ （北京二中期中考试） ⑸已知关于x 的不等式组2 32x a x a +??-?≥≤无解，则a 的取值范围是． ⑹已知关于x 的不等式组>0 53x a x -??-? ≥无解，则a 的取值范围是．【例4】 ⑴ 已知关于x 的不等式组0 521≥x a x -??->? 只有四个整数解，则实数a 的取值范围是． ⑵ 如果关于x 的不等式50x m -≤的正整数解只有4个，那么m 的取值范围是（） A ．2025m <≤ B ．2025m <≤ C ．25m < D ．20m ≥ （北京五中期中考试）

中考数学中的最值问题解法

角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。 ∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。在△AME与△AMN中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM， ∴△BME≌△BMN（SAS）。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。又∵CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。 ∵BC=42，∠ABC=45°，∴CE的最小值为 0=4。例3.（2011四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为2cm，高为9cm ，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为▲ cm。

【答案】15π。【考点】圆柱的展开，勾股定理，平行四边形的性质。【分析】如图，圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线，第一条斜线与底面圆周长、13 高组成直角三角形。由周长公式，底面圆周长为4cm π，13 高为3cm π，根据勾股定理，得斜线长为5cm π，根据平行四边形的性质，棉线最短为15cm π。例4. （2012四川眉山3分）在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是BC 边上的中线，则AD 的取值范围是 ▲ ．【答案】1＜AD ＜4。【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。【分析】延长AD 至E ，使DE=AD ，连接CE ．根据SAS 证明△ABD≌△ECD，得CE=AB ，再根据三角形的三边关系即可求解：延长AD 至E ，使DE=AD ，连接CE 。 ∵BD=CD ，∠ADB=∠EDC ，AD=DE ， ∴△ABD≌△ECD（SAS ）。 ∴CE=AB。在△ACE 中，CE －AC ＜AE ＜CE ＋AC ，即2＜2AD

掌握高中数学选择题10大解法

掌握高中数学选择题10大解法高中数学！毫无疑问，是80%的高考生最头疼的问题。怎样才能将高考分数维持在一个可观的成绩上？请先把选择题的正确率提高到100%！下面给大家介绍十大方法： 1.特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。例：△ABC的三个顶点在椭圆4x2+5y2=6上，其中A、B两点关于原点O对称，设直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，则k1k2的值为 A.-5/4 B.-4/5 C.4/5 D.2√5/5 解析：因为要求k1k2的值，由题干暗示可知道k1k2的值为定值。题中没有给定A、B、C三点的具体位置，因为是选择题，我们没有必要去求解，通过简单的画图，就可取最容易计算的值，不妨令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，C 为椭圆的短轴上的一个顶点，这样直接确认交点，可将问题简单化，由此可得，故选B. 2.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。 3.剔除法：利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。 4.数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。 5.递推归纳法：通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。 6.顺推破解法：利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。例：银行计划将某资金给项目M和N投资一年，其中40%的资金给项目M,60%的资金给项目N,项目M能获得10%的年利润，项目N能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户。为了使银行年利润不小于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户回扣率最小值为( ) A.5% B.10% C.15% D.20% 解析：设共有资金为α，储户回扣率χ，由题意得解出 0.1α≤0.1×0.4α+0.35×0.6α-χα≤0.15α 解出0.1≤χ≤0.15，故应选B. 7.逆推验证法(代答案入题干验证法)：将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。例：设集合M和N都是正整数集合N*，映射f:M→把集合M中的元素n映射到集合N中的元素2n+n,则在映射f下，象37的原象是

含参不等式解法举例

含参不等式专题（淮阳中学）编写：孙宜俊当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：（1）二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。一、含参数的一元二次不等式的解法： 1．二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑0≥?）例1、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x 。解：0)1)((2>--x a x 1,0)1)((==?=--x a x x a x 令为方程的两个根（因为a 与1的大小关系不知，所以要分类讨论）（1）当1或（2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或（3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x 综上所述：（1）当1 或（2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或（3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x 变题1、解不等式0)1(2>++-a x a x ； 2、解不等式0)(322>++-a x a a x 。