湖南师范大学高等代数2002
湖南师范大学2002年高等代数考研试题
一.(12分)设多项式(),()f x g x 互素,证明:
(1)(()(),()())1f x g x f x g x -=;
(2) 22(()(),()())1f x g x f x g x -=
二.(8分)()f x 为整系数多项式,且(1)1f =,证明(3)0f ≠.
三.(10分)计算行列式0
121
031201230
n n D n =
.
四.(10分)若矩阵A,B.C=AB 满足:秩(B)=秩(C),证明线性方程组BX=O 与CX=O 同解.
五.(8分)对于n 阶方阵A,B,C,D,若D 可逆,是否A B C O ??
???与AD BD C O ?? ???
的秩一定相等?若是,请证明;否则,举出反例.
六.(12分)证明二次型
222212341234121314232434(,,,)3333222222f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++------ 是半正定的,并把1234(,,,)f x x x x 化为标准型.
七.(8分)设3阶方阵A 满足2
,A O =123,,ααα是线性空间V 的一组基,如果 ()123123(,,),,,A βββααα=证明123(,,)L βββ的维数1≤.
八.(12分)设V 的一个线性变换A 满足2
2A A =,证明:
(1)A 的核1(0){2|}A A V ααα-=-?∈;
(2)A 的值域A V 中的任一非零向量是特征值2的特征向量;
(3)1(0)V AV A -=⊕.
九.(10分)若A 为实对称矩阵,则A 的特征值一定是实数.
十.(10分)对于 n 阶方阵A,B 证明:(,)A A '其中表示的转置其余类推
(1)若A ∽B,则A '∽B '(A ∽B 表示A 与B 相似)
(2)称矩阵
1
1
()
1
J
λ
λ
λ
λ
λ
??
?
?
?
=
?
?
?
??
为一个Jordan块,证明
00
()()
J J
λλ'
=相似;
(3)若
1
2
1
()
()
()
()
s
s
J
J
A
J
J
λ
λ
λ
λ
-
??
?
?
?
'=
?
?
?
??
,其中()
i
Jλ为Jordan块(1,2,,)
i s
= ,
证明A∽A'