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9矩阵代数式(文库)

矩阵代数式计算

矩阵代数式与代数式计算法则不同(用矩阵代替实数)。 §1矩阵基本运算 1矩阵加法

从两个矩阵加到每一个对应元素加法。元素之间的加法互相不影响，所以遵守实数加的一切规律。

.1加法零元 0A A +=

.2逆元 ,0A B A B ???+=，称B 为 A 的加法逆元A - .3交换律 A B B A +=+

.4结合律 ()A B C A B C ++=++ 2矩阵数乘

每个元素数量乘相同的数。数量乘法式集合。 .5数乘不变元 1A A ?= .6交换律A k k A ?=? .7结合律 ()()k A kA λλ=

说明：因为是数乘，所以只能在数的计算上符合结合律，而不出现矩阵乘法。 .8数乘对矩阵加法的分配律 ()A B A B λλλ+=+

.9数加对矩阵数乘的分配律 ()k A A kA λλ+=+

说明：矩阵加法与数乘称为矩阵线性运算，并且符合交换，结合，分配律。

? 从加法逆元与数乘可得，矩阵减法

.10 ()A B A B -=+- 3矩阵乘法

不满足交换律,矩阵乘法分为左乘右乘。

.11乘法不变元m m n m n m n n E A A A E λλλ???== .12矩阵乘法结合律()ABC A BC = .13数乘的结合律()()A B AB λλ=

.14矩阵乘法对加法的左乘分配律：()C A B CA CB +=+ .15矩阵乘法对加法的右乘分配律：()A B C AC BC +=+ 说明：1)分配律在异号间，不存在不同阶同号间。 2) 根据多项式等式有

.16 2

()2AB BA

A B A B AB BA A B AB =+=+++???→++

.17 2

()AB BA

A B A B AB BA A B AB =-=+--???→+- .18 2

()()AB BA

A B A B A B AB BA A B =+-=--+???→+ 2),A BA AB ?=,且A 不是对称阵，则B 是数量阵（不是对角阵）。 3)AB 是A 的行矩阵和B 的列矩阵相乘，BA 是B 的行矩阵和A 的列矩阵相乘.因此如果A,B 的行向量和列向量都相等，那么AB BA =。 4) 矩阵代数式与等式仍可使用移项，合并同类项等计算方法。 5)向量可看作单行矩阵：

12121122[,,...,],......n n n n b b a a a a b a b a b b αβαβ??

==?=+++??????

121

2221

.....................

n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a βα????

=??????

4矩阵的转置(行作用与列作用交换)

.19T

A 与A 的关系：()T T

A A =

.20转置与加法的关系：()T T T

A B A B +=+

.21转置与数乘的关系：()T T kA kA = .22转置与乘法的关系：()T T T AB B A = 说明：T A A =，称为对称矩阵。

.23 ()T T T AB B A BA AB ===对称矩阵。

5方阵的幂

.24m n m n n m A A A A A +==(m,n 非负数) .25()()m

n m

A A

A ==

()()()

k k k βαβαβααββα--==

说明：1涉及实数加，实数乘的计算都可交换。 .26,,k l A A E 矩阵多项式乘法可交换

x 的m 次多项式:01..()m

m a a x a x x ?+++

若A 为n 阶矩阵用A 代替变量x ，则有01()..m

m A a a A a A ?=+++

称为矩阵的m 次多项式(以矩阵A 为自变量的多项式)。

说明：1矩阵也有类似向量的线性组合式，矩阵的线性组合式是一类复合运算。矩阵的多项式是另一类复合运算。但是向量没有多项式，所以只有正方形（立方体）一类的数据结构（矩阵—正方形，一个数）有多项式计算。 2矩阵幂的复合计算遵守实数代数式法则。但是AB BA ≠，所以有些式子不能直接使用结果。在代数式里，矩阵可视为一个数看，因此矩阵具有整体数量性。可用行列式计算。

§2矩阵求逆与矩阵的数量二．行列式

行列式不能看作矩阵的行列式计算，应该看成排列的（有顺序的，用顺序决定符号）计算式。行列式的表示是简化表示。行列式的值是一个数。

求解行列式有四类方法。

1低阶用定义。

2特殊矩阵的行列式，用特殊计算方法。

3行列式展开定理。

4利用矩阵的性质化简再计算行列式。

行列式的计算性质可在2~4中使用。

方法2

.27上（下）三角行列式的值等于主对角线元素的乘积。

.28副对角线行列式,增加符号:

(1)

2 (1)

n n--.

定理行列式的性质

1行列互换,行列式的值不变.用矩阵计算表示:T A A

2互换行列式的两行(或两列),行列式的值反号(序列的符号).---1

推论1：有两行（列）相同的行列式值为0。

3行列式,某一行(列)的所有元素都乘以数k,等于k乘以此行列式(定义).---2 推论1：有一行（列）元素为0，则行（列）式为0。

推论2 如果行列式有两行(列)元素成比例,则此行列式值为0.（元素顺序变化影响正负号）

4如果行列式的某一行(列)的所有元素是两个元素之和,则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别对应两个相加元素之一,其余各行(列)的元素与原行列式相同.(定义)

5把行列式的某一行(列)的所有元素乘以数k加到另一行(列)的相应元素上,

行列式的值不变.----3(3个矩阵初等变换的行列式)

说明:1行列式0,不仅仅是数量0,还有分布导致的数量0.所以

000A A A +=+=+,这个0行列式，可有不同的形式，可以是A 中任

意相等的两行，或者有一行全部为0。数量0可有不同的形式。

2某一个行(列)就是全部数列项的同一个位置上的数,尽管没有列出式子,对计算式的全部式子有了解,但是集中考虑这一行(列)的数就能知道这一行(列)对计算结果的影响. 方法2

.29范德蒙行列式(n>1);

1211

11...1...()...............

i j j i n

n n n n

a a a a a a a a ≤<≤=-∏

.30三角矩阵的加法行列式

1212......m m Λ+Λ++Λ≠Λ+Λ++Λ

方法4(方阵有行列式)

.30AB A B B A BA ===,A B A B ±≠±,n kA k A =

.311

n AA A E AA A E A A A -=?==?=

.321

--=

分块矩阵的行列式:

伴随矩阵与逆矩阵

定义式：11AA E A A --== 两个级别

1矩阵结构的逆*1*1,A A A E A A A A --=??=，*A 称为伴随矩阵 2矩阵数量的逆*

A A

-?=

求逆矩阵的方法 1低阶:伴随矩阵*

(3)A

n A

当年n=2时,有1

b d

b c d c a ad bc --?

-???

???

-. 2特殊矩阵1E E -=,

11221

0 (00)

...010...00...0 0

0...

100

...

n n a a a a a a -????????????=??????????

?????

3逆矩阵的计算性质

1()

A B A

B ---±≠±，1

1()

()kA k A --=，1

()

AB A B ---=

11()()T

A A --=,1*

()()A A --=,**

()()T

A A =

4分块求逆:若A 能分块为以下类型之一时:

5初等矩阵变换法(n>2)

即1

(|)(|)A E E A -???

→初等行

§3．矩阵的线性变换等价变换

可逆矩阵的等价变换

一个n 阶可逆矩阵A ，它一定可以经过一系列的行初等变换化成单位矩阵，用矩阵表示：

121111,,...,......m m m m m P P P P P P A E A

P P P ---?→=?=

即：1111

1112(...)...m m m A P P P P P P -----==，A 是一系列矩阵的连乘积。

合同变换

定义式：方针A ，B 合同，存在可逆矩阵C ，使 T B C AC =

实对称矩阵A 正定的充要条件：存在可逆矩阵C ，使

A C EC =

说明：正定的实对称矩阵T

A C C =。

§4矩阵的相似变换

矩阵的相似变换（两端）定义式：

A B P AP B

-?=

常量矩阵1

P EP E λλ-=(如同没有运算一样,保持不变.相似变换对数量矩阵没有影响.)

A 的复合表示形式的相似变换：

.1线性计算式：1111()P AP P lB kC P lP BP kP CP ----=+=+ .2矩阵乘法式：1111()()()P AP P BC P P BP P CP ----==

相似变换符合对矩阵线性计算与乘法的分配律相似矩阵的性质

.1数量性：①矩阵相似性与行列式计算1P A P

B A B

-=?=

①?②1...n E A E B λλλλ-=-=矩阵相似性与行列式计算 ②?③相似矩阵的特征值相同 ④相似矩阵的迹相同1...n i λλλ=++=∑ .2秩：⑤相似矩阵（等价）的秩相同。 .3伴随矩阵集：⑥⑦

T A B A B A B A

--??

（可逆矩阵等式两端可直接求逆） .4矩阵计算

与常量矩阵加法运算的相似不变性 ⑧,t R tE A tE B ?∈--

幂的相似不变性

⑨⑩11()()K k K K K A P B P A B A P B P A B --=?=

.5构造分块矩阵

00,00A B A B C D C D ????

?????

????

主要是特征向量的矩阵构造顺序（？）

说明：① E A E B λλ-=- ，但是E A E B A B λλ-=-?-=-不成立。

②相似矩阵的特征值相同，但是特征向量不同。 111()()Ax x PBP x x B P x P x λλλ---=?=?=

实际上，矩阵的相似变换是通过特征向量之间的可逆变换实现的。

③划分相似集，不一定每一个集合都有对角矩阵。因此A B 不一

定能都相似一个对角矩阵Λ。相似性与行列式

i A λ=∏(i λ为特征值)

11011111

011

0111

02121

0112()...&()...() 0

00 (000)

(00)

...()()...()

m m m m

m m m m m m m m

m m m

m m

m m m m m m f A a A a A a E A P P

f A a P P a P P P a EP

f A a a a E a a a a a a a a a f f f λλλλλλλλλ----------=+++=Λ?=Λ+Λ++?=Λ+Λ++++++=

+++++=

说明：1.a 0在每个式子里。

2.集合的形式，但是算式之间存在乘法关系.结构计算的表示方法。乘法集合形式。

A B A B ?=

§5特殊矩阵实对称矩阵

与对角阵的相似变换定义式：

A P AP

B -Λ?=

定义式：①()T ij ji A A a a ==，A 是实对称矩阵。定理实对称矩阵的性质

.1伴随集合：②1A -仍然是实对称矩阵11()T A A --=,*A ,T A 同理。 .2矩阵计算：③对称矩阵之间的数乘和加法计算结果仍然是对称矩阵

kA kA

=，()T A B A B +=+。

.3④矩阵s n A ?与转置矩阵的乘法结果是对称矩阵：()T T T AA AA =，

()

A A A A =。

所以，对称矩阵都是方阵。实对称矩阵都有n 个特征值么？定理实对称矩阵的正交相似性

任意一个实对称矩阵，一定相似正交与一个实对角矩阵。即存在一个正交矩阵T ，使得

⑤1'T AT T AT -==Λ

说明：Λ是T 的特征值构成的对角形矩阵。定理实对称矩阵的正定性

实对称矩阵A 正定的充要条件是存在可逆矩阵C ，使 ⑥'C AC E =

定理实对称矩阵正定的充要条件 .1数量 ⑦特征值{0}i

n λ>.

⑧行列式0A > ⑨各阶顺序主子式k A >0 .2构造(分解表示形式) ⑩T A P P =，P 可逆(⑥)。

存在正交矩阵,与对角矩阵合同且相似. ⑤1T Q AQ Q AQ -==Λ .3A 的正惯性指数为n 说明:正定矩阵一定是对称矩阵. 定理正定矩阵(实对称矩阵类)的性质 .1计算特性

,,,T kA A A A -都是实对称正定矩阵.

说明:这四个矩阵都可写出⑤,⑦~⑩.

第九章矩阵位移法习题集

第九章矩阵位移法【练习题】 9-1 是非题： 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、用矩阵位移法计算连续梁时无需对单元刚度矩阵作坐标变换。 6、结构刚度矩阵是对称矩阵，即有K i j = K j i ，这可由位移互等定理得到证明。 7、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 8、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 9、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 10、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 11、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。 9-2 选择题： 1、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0)(1,2,0) (0,0,0)(0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0)(1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,0,0)(0,3,4) A. B. C. D. 2134123412341234 2、平面杆件结构一般情况下的单元刚度矩阵[]k 66?，就其性质而言，是： A ．非对称、奇异矩阵； B ．对称、奇异矩阵； C ．对称、非奇异矩阵； D ．非对称、非奇异矩阵。 3、单元i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比： A ．完全相同； B ．第2、3、5、6行(列)等值异号； C ．第2、5行(列)等值异号； D ．第3、6行(列)等值异号。

《结构力学习题集》(下)-矩阵位移法习题及答案 (2)

第七章矩阵位移法一、是非题 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、用矩阵位移法计算连续梁时无需对单元刚度矩阵作坐标变换。 6、结构刚度矩阵是对称矩阵，即有K i j = K j i ，这可由位移互等定理得到证明。 7、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 ? 8、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 9、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 10、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 11、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。二、选择题 1、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0)(1,2,0) (0,0,0)(0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0)(1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,0,0)(0,3,4) A. B. C. D. 2134123412341234 2、平面杆件结构一般情况下的单元刚度矩阵[]k 66?，就其性质而言，是： A ．非对称、奇异矩阵； B ．对称、奇异矩阵； C ．对称、非奇异矩阵； D ．非对称、非奇异矩阵。 — 3、单元i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比：

《结构力学习题集》-矩阵位移法习题及答案

第八章矩阵位移法 – 老八校一、判断题： 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。 7、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 9、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。 11、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0)(1,2,0) (0,0,0)(0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0)(1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,0,0)(0,3,4) A. B. C. D. 2134123412341234 ( )

二、计算题： 12、用先处理法计算图示结构刚度矩阵的元素133322,,K K K 。 12 3l l 4 l 5EI 2EI EA (0,0,0) (0,0,1) (0,2,3) (0,0,0) (0,2,4)(0,0,0) EI 13、用先处理法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素153422,,K K K 。EI ，EA 均为常数。 l 14、计算图示结构整体刚度矩阵的元素665544,,K K K 。E 为常数。 l l 1 3 4 2 A , I A A /222A I , 2A 15、写出图示结构以子矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的子矩阵 [][]K K 22 24 ,。 [][]k k 1112 [][] k k 2122 [] k = i i i i i 单刚分块形式为：

结构力学习题集9-结构动力计算

第九章结构的动力计算一、是非题 1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。 2、忽略直杆的轴向变形，图示结构的动力自由度为4个。 3、仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。 4、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。 5、图 a 体系的自振频率比图 b 的小。 l /2 l /2 l /2 l /2(a)(b) 6、单自由度体系如图，W =98.kN ，欲使顶端产生水平位移 ?=001.m ，需加水平力 P =16kN ，则体系的自振频率 ω=-40s 1 。 ? 7、结构在动力荷载作用下，其动内力与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。 8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。 9、桁架 ABC 在 C 结点处有重物 W ，杆重不计，EA 为常数，在 C 点的竖向初位移干扰下，W 将作竖向自由振动。 A C 10、不计阻尼时，图示体系的运动方程为： m m X X h EI EI EI EI X X P t 00148242424012312????????????+--????????????=?????? &&&&()

二、选择题 1、图示体系，质点的运动方程为： A ．()()()y l Ps in my EI =-77683θ t &&/； B ．()()my EI y l Ps in &&/+=19273θ t ； C ．()()my EI y l Ps in &&/+=38473θ t ； D ．()()()y l Ps in my EI =-7963θ t &&/ 。 l l 0.50.5 2、在图示结构中，若要使其自振频率 ω增大，可以 A ．增大 P ； B ．增大 m ； C ．增大 E I ； D ．增大 l 。 l t ) 3、单自由度体系自由振动的振幅取决于： A ．初位移； B ．初速度； C ．初位移、初速度与质量； D ．初位移、初速度与结构自振频率。 4、考虑阻尼比不考虑阻尼时结构的自振频率： A ．大； B ．小； C ．相同； D ．不定，取决于阻尼性质。 5、已知一单自由度体系的阻尼比 ξ=12.，则该体系自由振动时的位移时程曲线的形状可能为： D. C. B. A. 6、图 a 所示梁，梁重不计，其自振频率 () ω=76873 EI ml /；今在集中质量处添加弹性支承，如图 b 所示，则该体系的自振频率 ω为： A ． () 76873EI ml k m //+； B ．()76873EI ml k m //-； C ． ()76873 EI ml k m //-； D ．()76873 EI ml k m //+ 。

《结构力学习题集》下矩阵位移法习题及答案 2

第七章矩阵位移法一、就是非题 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性与奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 就是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、用矩阵位移法计算连续梁时无需对单元刚度矩阵作坐标变换。 6、结构刚度矩阵就是对称矩阵 ,即有K i j = K j i ,这可由位移互等定理得到证明。 7、结构刚度方程矩阵形式为:[]{}{}K P ?=,它就是整个结构所应满足的变形条件。 8、在直接刚度法的先处理法中,定位向量的物理意义就是变形连续条件与位移边界条件。 9、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数与。 10、矩阵位移法中,等效结点荷载的“等效原则”就是指与非结点荷载的结点位移相等。 11、矩阵位移法既能计算超静定结构,也能计算静定结构。二、选择题 1、已知图示刚架各杆EI = 常数,当只考虑弯曲变形,且各杆单元类型相同时,采用先处理法进行结点位移编号,其正确编号就是: (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0)(1,2,0) (0,0,0)(0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0)(1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,0,0)(0,3,4) A. B. C. D. 2134123412341234 2、平面杆件结构一般情况下的单元刚度矩阵[]k 66?,就其性质而言,就是: A.非对称、奇异矩阵; B.对称、奇异矩阵; C.对称、非奇异矩阵; D.非对称、非奇异矩阵。 3、单元i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比: A.完全相同; B.第2、3、5、6行(列)等值异号;

矩阵位移法练习题

结构力学自测题（第八单元）矩阵位移法姓名学号一、是非题（将判断结果填入括弧：以 O 表示正确，以 X 表示错误） 1、用矩阵位移法计算连续梁时无需对单元刚度矩阵作坐标变换。 ( ) 2、结构刚度矩阵是对称矩阵，即有 K ij = K ji ，这可由位移互等定理得到证明。 () 3、图示梁结构刚度矩阵的元素 K EI l 113 24=/ 。 ( ) EI l l EI 212 x y M , θ 附： ????? ?????????? ?????????? ???? ?--- -----l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA 460260612061200000260460 6120612000002 22323222323 4、在任意荷载作用下，刚架中任一单元由于杆端位移所引起的杆端力计算公式为：{} [][]{}F T K e e e =δ 。 ( ) 二、选择题（将选中答案的字母填入括弧内） 1、已知图示刚架各杆 EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0) (1,2,0) (0,0,0) (0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0) (1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,0,0) (0,3,4) A. B. C. D. 2 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x y M , θ ( ) 2、平面杆件结构一般情况下的单元刚度矩阵 []k 66?，就其性质而言，是： ( ) A ．非对称、奇异矩阵； B ．对称、奇异矩阵； C ．对称、非奇异矩阵； D ．非对称、非奇异矩阵。 3、单元 i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比： A ．完全相同； B ．第 2、3、5、6 行 (列 ) 等值异号； C ．第 2、5 行 (列 )等值异号； D ．第 3、6 行 (列 ) 等值异号。 ( ) i j y x i j y x M , θ M , θ 4、矩阵位移法中，结构的原始刚度方程是表示下列两组量值之间的相互关系： ( ) A ．杆端力与结点位移； B ．杆端力与结点力； C ．结点力与结点位移； D ．结点位移与杆端力。 5、单元刚度矩阵中元素 k ij 的物理意义是： A ．当且仅当 δi =1 时引起的与 δj 相应的杆端力； B ．当且仅当 δj =1时引起的与 δi 相应的杆端力； C ．当 δj =1时引起的 δi 相应的杆端力； D ．当 δi =1时引起的与 δj 相应的杆端力。 () 6、用矩阵位移法解图示连续梁时，结点 3 的综合结点荷载是： A ．[]-ql ql 2 12 T 132 ； B ．[]ql ql 2132 12T -； C ．[]--ql ql 2112 12T ； D ．[]ql ql 2112 12T 。 ( ) 123 l /2 l l ql 2 q 4 ql l /2 x y M , θ 7、用矩阵位移法解图示结构时，已求得 1 端由杆端位移引起的杆端力为 {}[] T F 461--=，则结点 1 处的竖向反力 Y 1 等于： A ．6-； B ．-10； C ．10 ； D ．14 。 ( ) 2m 4m 12 3 M 1 Y 20kN/m 1 x y M , θ 三、填充题（将答案写在空格内） 1、图示桁架结构刚度矩阵有个元素，其数值等于。 2m 3m 3m A B C D EA EA EA x y M , θ 2、图示刚架用两种方式进行结点编号，结构刚度矩阵最大带宽较小的是图。 3 5 641 2 7 1 2345 6 7 (a) (b) 3、图示梁结构刚度矩阵的主元素 K K 1122== , 。 l l 2EI EI 1 2 x y M , θ 四、图 a 、b 所示两结构，各杆 EI 、l 相同，不计轴向变形，已求得图 b 所示结构的结点位移列阵为 {}?=-???? ? ?ql EI ql REI ql EI 34396192192 T 。试求图 a 所示结构中单元 ① 的杆端力列阵。 q 1 2 3 4(a) ql 2 ② ③ ① 1 2 34 (b) ② ③ ① x y M , θ 五、图 a 所示结构 (整体坐标见图 b )，图中圆括号内数码为结点定位向量 (力和位移均按水平、竖直、转动

结构力学-第9章矩阵位移法课堂练习

结构力学练习题——矩阵位移法一、是非题（将判断结果填入括弧：以 O 表示正确，以 X 表示错误） 1、用矩阵位移法计算连续梁时无需对单元刚度矩阵作坐标变换。)(对 2、结构刚度矩阵是对称矩阵，即有 K ij = K ji ，这可由位移互等定理得到证明。 ()错 3、图示梁结构刚度矩阵的元素 K EI l 113 24=/ 。 ( )错 l l 附： ????? ? ????????? ?????????? ???? ?--------l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA 4602606120612000002604606120612000002 22323222323 二、选择题（将选中答案的字母填入括弧内） 1、已知图示刚架各杆 EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是：A (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0) (1,2,0) (0,0,0) (0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0) (1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,0,0) (0,3,4) A. B. C. D. 2 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) 2、平面杆件结构一般情况下的单元刚度矩阵 []k 66 ?，就其性质而言，是： ( )B A ．非对称、奇异矩阵； B ．对称、奇异矩阵； C ．对称、非奇异矩阵； D ．非对称、非奇异矩阵。 3、单元 i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比：B A ．完全相同；

《结构力学习题集》(下)-矩阵位移法习题及答案

第八章矩阵位移法 1、(O) 2、(X) 3、(O) 4、(X) 5、(X) 6、(O) 7、(O) 8、(X) 9、(O) 10、(O) 11、(A) 一、判断题： 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。 7、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 9、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。 11、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0)(1,2,0) (0,0,0)(0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0)(1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,0,0)(0,3,4) A. B. C. D. 2134123412341234x y M , θ( )

二、计算题： 12、用先处理法计算图示结构刚度矩阵的元素133322,,K K K 。 123l l 4l l 5EI 2EI EA (0,0,0) (0,0,1) (0,2,3) (0,0,0) (0,2,4)(0,0,0) x y M , θ EI 13、用先处理法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素153422,,K K K 。EI ，EA 均为常数。 l (0,0,1) (0,5,0) (2,3,4) l ① ② 123x y M , θ 14、计算图示结构整体刚度矩阵的元素665544,,K K K 。E 为常数。 l l l 1 3 4 2A , I A A /222A I , 2A x y M , θ 15、写出图示结构以子矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的子矩阵 [][]K K 22 24 ,。 3 12① ② ③ [][]k k 1112 [][] k k 2122 [] k = i i i i i 单刚分块形式为： 4x y M , θ

第9章矩阵位移法例题

第9章矩阵位移法习题 9-1：请给图示结构编号（同时用先处理法和后处理法）及建立坐标。题9-1图 9-2：求图示连续梁的整体刚度矩阵。题9-2图 9-3：求图示刚架的整体刚度矩阵。（c ）（e ）

题9-3图 9-4：求图示组合结构的整体刚度矩阵。题9-4图 9-5：求图示桁架结构的整体刚度矩阵，所有杆件的EA 均相同。题9-5图 9-6：求图示排架结构的整体刚度矩阵。题9-6图 9-7：求图示结构的等效结点荷载，请利用结构的对称性。 1kN/m

题9-7图 9-8：求图示结构的等效结点荷载，请利用结构的对称性。题9-8图 9-9：求图示结构的等效结点荷载。题9-9图 9-10：求出图示结构的荷载列阵。题9-10图 9-11：求出图示结构的荷载列阵，请分别用先处理法和后处理法进行编号。 q q

题9-11图 9-12：求图示结构的荷载列阵，考虑轴向变形。题9-12图 9-13：求图示结构的荷载列阵。题9-13图 9-14：图示连续梁中间支座发生了下向的移动a ，请求出其整体刚度方程。题9-14图 10kN/m q

9-15：请求出图示连续梁的整体刚度方程。题9-15图 9-16：求图示连续梁的整体刚度矩阵。题9-16图 9-17：图示结构温度发生了变化，请求出整体刚度方程。杆件的EI 、EA 相同。题9-17图 9-18：图示结构温度发生了变化，请求出整体刚度方程。题9-18图 9-19：图示结构发生了支座移动，请画出结构的内力图。 00

《结构力学习题集》-矩阵位移法习题及标准答案

第八章矩阵位移法一、判断题： 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。 7、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 9、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。 11、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0)(1,2,0) (0,0,0)(0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0)(1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,0,0)(0,3,4) A. B. C. D. 2134123412341234 ( )

9矩阵位移法习题解答,重庆大学,文国治版教材课后答案

第9章矩阵位移法习题解答习题9.1 是非判断题（1）矩阵位移法既可计算超静定结构，又可以计算静定结构。（）（2）矩阵位移法基本未知量的数目与位移法基本未知量的数目总是相等的。（）（3）单元刚度矩阵都具有对称性和奇异性。（）（4）在矩阵位移法中，整体分析的实质是建立各结点的平衡方程。（）（5）结构刚度矩阵与单元的编号方式有关。（）（6）原荷载与对应的等效结点荷载使结构产生相同的内力和变形。（）【解】（1）正确。（2）错误。位移法中某些不独立的杆端位移不计入基本未知量。（3）错误。不计结点线位移的连续梁单元的单刚不具奇异性。（4）正确。（5）错误。结点位移分量统一编码会影响结构刚度矩阵，但单元或结点编码则不会。（6）错误。二者只产生相同的结点位移。习题9.2 填空题（1）矩阵位移法分析包含三个基本环节，其一是结构的________，其二是________分析，其三是________分析。（2）已知某单元○e 的定位向量为[3 5 6 7 8 9]T ，则单元刚度系数35e k 应叠加到结构刚度矩阵的元素____中去。（3）将非结点荷载转换为等效结点荷载，等效的原则是________________。（4）矩阵位移法中，在求解结点位移之前，主要工作是形成________________矩阵和________________列阵。（5）用矩阵位移法求得某结构结点2的位移为T 2222[]u v θ=Δ=[0.8 0.3 0.5]T ，单元①的始、末端结点码为3、2，单元定位向量为(1)T [000345]=λ，设单元与x 轴之间的夹角为π 2 α= ，则(1)=δ________________。（6）用矩阵位移法求得平面刚架某单元在单元坐标系中的杆端力为 T [7.54870.97.548121.09]e =----F ，则该单元的轴力F N =______kN 。【解】（1）离散化，单元，整体；（2）k 68；（3）结点位移相等；（4）结构刚度，综合结点荷载；（5）[0 0 0 0.3 -0.8 0.5]T ；（6）-7.5。习题9.3 根据单元刚度矩阵元素的物理意义，直接求出习题9.3图所示刚架的(1)K 中元素(1) 11k 、

结构力学习题集矩阵位移法习题及答案老八校

第八章矩阵位移法 – 老八校一、判断题： 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。 7、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 9、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。 11、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是：二、计算题： 12、用先处理法计算图示结构刚度矩阵的元素133322,,K K K 。 13、用先处理法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素153422,,K K K 。EI ，EA 均为常数。 14、计算图示结构整体刚度矩阵的元素665544,,K K K 。E 为常数。 15、写出图示结构以子矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的子矩阵 [][]K K 22 24 ,。 16、已知平面桁架单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵，计算图示桁架结构原始刚度矩阵[]K 中的元素,,7877K K EA ＝常数。 ,cos α=C ,sin α=S ,C C A ?= S S D S C B ?=?=,，各杆EA 相同。

9矩阵位移法习题.docx

第9章矩阵位移法习题解答习题9?1是非判断题（1）矩阵位移法既可计算超静定结构，又可以计算静定结构。（T ）（2）矩阵位移法棊木未知量的数冃与位移法棊木未知量的数冃总是相等的。（|T*） F （3）单元刚度矩阵都具有对称性和奇界性。（F ）（4）在矩阵位移法中，整体分析的实质是建立各结点的平衡方程。（T ）（5）结构刚度短阵与单元的编号方式冇关。（F ）（6）原荷载与对应的等效结点荷载使结构产生相同的内力和变形。（F ）【解】（1）正确。（2）错误。位移法中某些不独立的杆端位移不计入基本未知量。（3）错谋。不计结点线位移的连续梁单元的单刚不具奇异性。（4）正确。（5）错误。结点位移分量统-?编码会影响结构刚度矩阵，但单元或结点编码则不会。（6）错误。二者只产生相同的结点位移。习题9.2填空题（1） ______________________________________________________________ 矩阵位移法分析包含三个基本环节，其一是结构的___________________________________ ,其二是_________ 分析，-其三是______ 分析。（2）已知某单元?的定位向量为[3 5 6 7 8 9]丁，则单元刚度系数紜应叠加到结构刚度矩阵的元素—中去。（3） ________________________________________________________________________ 将非结点荷载转换为等效结点荷载，等效的原则是____________________________________ o （4）矩阵位移法屮，在求解结点位移之前，主要工作是形成_____________________ 矩阵和_______________ 列阵。（5）用矩阵位移法求得某结构结点2的位移为J2=[w2V2 ft]T=[O.S 0.3 0.5]丁，单元①的始、末端结点码为3、2,单元定位向量为= [0 0 0 3 4 5]T,设单元与兀轴之间的夹角为? = |,则（6 ）用短阵位移法求得平面刚架某单元在单元坐标系中的杆端力为戸=[7.5 -48 -70.9 -7.5 48 -121.09]7,则该单元的轴力F* _______________________ k N。【解】（1）离散化，单元，整体；（2）烁（3）结点位移相等；

矩阵位移法习题

矩阵位移法一、选择题：（将选中答案的字母填入括弧内） 1、图示连续梁结构，在用结构矩阵分析时将杆AB 划成AD 和DB 两单元进行计算是：（） A ．最好的方法； B ．较好的方法； C ．可行的方法； D ．不可行的方法。 2、图示结点所受外载，若结点位移列阵是按转角顺时针、水平位移（→）、垂直位移（↑）顺序排列，则2结点荷载列阵()2P 应写成：（） A ．[]6105T ； B ．[]---6105T ； C ．[]6510-T ； D ．[] 6105-T 。 3、图示结构，用矩阵位移法计算时(计轴向变形)，未知量数目为：（） A ．7； B ．8； C ．9； D ．4。 4、图示结构，用矩阵位移法计算时(计轴向变形)，未知量数目为：（） A ．9； B ．5； C ．10； D ．6。 5、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义为：（） A ．变形连续条件； B ．变形连续条件和位移边界条件； C ．位移边界条件； D ．平衡条件。 6、设有一单跨两层支座为固定的对称刚架，承受反对称荷载作用，若考虑杆件的轴向变形与弯曲变形，取半刚架计算时，其先处理法所得结构刚度矩阵的阶数为：（） A ．8×8； B ．9×9；

C ．10×10； D ．12×12。 7、单元ij 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比：（） A ．完全相同； B ．第2、3、5、6行(列)等值异号； C ．第2、5行(列)等值异号； D ．第3、6行(列)等值异号。 j y x i 二、填充题：（将答案写在空格内） 1、根据互等定理可以证明结构刚度矩阵是矩阵。 2、图示结构中，已求得结点2的位移列阵{} [][]T T 2222 u a b c ?θ==v ，则单元②的杆端2在局部坐标下的位移列阵：{}[] T T 2222 u ?θ??==?? ② ②v 。 3、图示桁架结构刚度矩阵有个元素，其数值等于。 3m 3m A B C D EA EA EA 4、结构刚度方程中的荷载列阵是由和叠加而得。 5、用先处理法中，若只考虑弯曲变形则图示刚架的结构刚度矩阵[]K 中第1行元素为：。三、计算题： y

3平面桁架例题

桁架结构的命令流及GUI操作如图所示的平面桁架，其水平杆的截面积为0.01㎡，竖直杆和中间两斜杆的截面面积为0.005㎡，两边斜杆的截面面积为0.0125㎡，材料的弹性模量为210GPa,结构尺寸和所受载荷如图所示。（手绘草图，看懂即可哈哈）命令流： /title,hjjs.hx.2015.7.12 /prep7 k,1, ! 建立关键点 k,2,6 k,3,12 k,4,18 k,5,24 k,6,6,8 k,7,12,8 k,8,18,8 lstr,1,2 !生成直线 lstr,2,3 lstr,3,4 lstr,4,5 lstr,1,6 lstr,2,6 lstr,3,6 lstr,3,7 lstr,3,8 lstr,4,8 lstr,5,8

lstr,6,7 lstr,7,8 et,1,link180 !定义单元 r,1,0.01 !定义截面常数 r,2,0.005 r,3,0.0125 mp,ex,1,2.1e11 !定义材料属性 mp,prxy,1,0.3 lsel,s,,,1,4,1 !给不同的杆分配截面属性lsel,a,,,12,13,1 latt,1,1,1 lsel,s,,,6,10,1 latt,1,2,1 lsel,s,,,5 lsel,a,,,11 latt,1,3,1 alls lesize,all,,,0.5 !划分网格 lmesh,all fini /sol antype,0 dk,1,all !施加约束 dk,5,uy fk,6,fy,-2e5 !施加载荷 fk,8,fy,-2e5 fk,2,fy,-4e5 fk,3,fy,-4e5 fk,4,fy,-4e5 alls solve !求解 fini 下面是后处理过程为GUI操作。

结构力学习题集矩阵位移法习题及答案老八校

1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑. 第八章矩阵位移法 – 老八校一、判断题： 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。 7、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 9、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。 11、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是：二、计算题： 12、用先处理法计算图示结构刚度矩阵的元素133322,,K K K 。 13、用先处理法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素153422,,K K K 。EI ，EA 均为常数。 14、计算图示结构整体刚度矩阵的元素665544,,K K K 。E 为常数。 15、写出图示结构以子矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的子矩阵[][]K K 2224 ,。 16、已知平面桁架单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵，计算图示桁架结构原始刚度矩阵[]K 中的元素,,7877K K EA ＝常数。,cos α=C ,sin α=S ,C C A ?= S S D S C B ?=?=,，各杆EA 相同。

midas桁架分析实例

2. 桁架分析概述通过下面的例题，比较内部1次超静定桁架和内、外部1次超静定桁架两种结构在制作误差产生的荷载和集中力作用时结构的效应。内部1次超静制作误差5mm 内、外部1次超静定制作误差5mm 图 2.1 分析模型

材料钢材类型 : Grade3 截面数据 : 箱形截面 300×300×12 mm 荷载 1. 节点集中荷载 : 50 tonf 2. 制作误差 : 5 mm →预张力荷载(141.75 tonf) P = Kδ = EA/L x δ = 2.1 x 107 x 0.0135 / 10 x 0.005 = 141.75 to nf 设定基本环境打开新文件以‘桁架分析.mgb’为名存档。设定长度单位为‘m’, 力单位为‘tonf’。文件/ 新文件文件/ 保存( 桁架分析 ) 工具 / 单位体系长度 > m ; 力> tonf? 图 2.2 设定单位体系

设定结构类型为 X-Z 平面。模型/ 结构类型结构类型 > X-Z 平面? 定义材料以及截面构成桁架结构的材料选择Grade3（中国标准），截面以用户定义的方式输入。模型 / 特性/ 材料设计类型 > 钢材规范 > GB(S) ; 数据库 > Grade3? 模型 / 特性 / 截面数据库/用户截面号( 1 ) ; 形状 > 箱形截面 ; 名称(300x300x12 ) ; 用户（如图2.4输入数据）? 图2.3 定义材料图 2.4 定义截面

建立节点和单元首先建立形成下弦构件的节点。正面捕捉点 (关) 捕捉轴线 (关) 捕捉节点 (开) 捕捉单元(开) 自动对齐(开) 模型 / 节点/ 建立节点坐标系 (x , y, z ) ( 0, 0, 0 ) 图 2.5 建立节点

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第七章矩阵位移法一、是非题 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、用矩阵位移法计算连续梁时无需对单元刚度矩阵作坐标变换。 6、结构刚度矩阵是对称矩阵，即有K i j = K j i ，这可由位移互等定理得到证明。 7、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 8、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 9、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 10、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 11、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。二、选择题 1、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： 2、平面杆件结构一般情况下的单元刚度矩阵[]k 66?，就其性质而言，是： A ．非对称、奇异矩阵； B ．对称、奇异矩阵； C ．对称、非奇异矩阵； D ．非对称、非奇异矩阵。 3、单元i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比： A ．完全相同； B ．第2、3、5、6行(列)等值异号； C ．第2、5行(列)等值异号； D ．第3、6行(列)等值异号。 4、矩阵位移法中，结构的原始刚度方程是表示下列两组量值之间的相互关系： A ．杆端力与结点位移； B ．杆端力与结点力； C ．结点力与结点位移； D ．结点位移与杆端力。 5、单元刚度矩阵中元素 k ij 的物理意义是： A ．当且仅当 δi =1 时引起的与 δj 相应的杆端力； B ．当且仅当 δj =1时引起的与 δi 相应的杆端力； C ．当 δj =1时引起的 δi 相应的杆端力； D ．当 δi =1时引起的与 δj 相应的杆端力。三、填充题 1、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。

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