二轮复习教学导学案-函数与导数

函数与导数（1） 2014.4.6

【基础训练】

1．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且周期为2.若当x ∈[0,1)时，f (x )＝2x －1，则f (log 1

26)的值是

解析 ∵f (x )是在R 上的奇函数， 且周期为2.

∴f ? ?

???log 126＝－f (log 26)＝－f (log 26－2)

＝－f (log 23

2

)，

又x ∈[0,1)时，f (x )＝2x －1，

从而f (log 126)＝－2log 232＋1＝－32＋1＝－1

2.

2．已知函数f (x )＝???

? ????12x ＋3

4

，x ≥2，

log 2

x ，0＜x ＜2.

若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的

零点，则实数k 的取值范围是________． 解析 画出函数f (x )图象如图．

要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同交点，由图易知k ∈? ??

??

34，1.

3. 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线C 1：y ＝ax 3＋1(a >0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝5

2

的一个公共点，若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是__4______．

解析 设A (x 0，y 0)，则C 1在A 处的切线的斜率为f ′(x 0)＝3ax 20，C 2在A 处的

切线的斜率为－

1

k OA

＝－x 0y 0

，

又C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，

所以(－x 0

y 0

)·3ax 20＝－1，即y 0＝3ax 3

0，

又ax 30＝y 0－1，所以y 0＝3

2，

代入C 2：x 2＋y 2＝52，得x 0＝±1

2

，

将x 0＝±12，y 0＝3

2代入y ＝ax 3＋1(a >0)，得a ＝4.

【例题精练】

例1．已知函数f (x )＝ln x ＋1

x

－1.

(1)求函数f (x )的单调区间；

(2)设m ∈R ，对任意的a ∈(－1,1)，总存在x 0∈[1，e]，使得不等式ma －f (x 0)<0成立，求实数m 的取值范围．

解 (1)f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1

x

2，且x ＞0.

令f ′(x )＞0，得x ＞1；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1. 因此函数f (x )的单增区间是(1，＋∞)，单减区间是(0,1)． (2)依题意，只要满足ma ＜f (x )max . 由(1)知，f (x )在[1，e]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝ln e ＋1e －1＝1

e

，

从而ma ＜1e ，即ma －1

e ＜0对于任意a ∈(－1,1)恒成立．

∴?

??

??

m ×1－1

e ≤0，m × －1 －1

e ≤0.

解之得－1e ≤m ≤1e

.

因此实数m 的取值范围是????

??

－1e ，1e .

例2．已知函数f (x )＝? ????

13x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最

小值为h (a )． (1)求h (a )；

(2)是否存在实数m 、n 同时满足下列条件：

①m ＞n ＞3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出

m 、n 的值；若不存在，说明理由．

解 (1)∵x ∈[－1,1]，∴f (x )＝? ????13x ∈??????

13，3.

设t ＝? ????13x ，t ∈????

??13，3，

则y ＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a ＜1

3

时，y min ＝h (a )＝φ

? ????13＝289

－2a 3；

当1

3≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a ＞3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .

∴h (a )＝?????

289－2a 3 ? ??

??

a ＜13，3－a 2

? ??

??

13≤a ≤3，

12－6a a ＞3 .

(2)假设满足题意的m 、n 存在， ∵m ＞n ＞3，

∴h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数． ∵h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，

∴???

12－6m ＝n 2

，①12－6n ＝m 2

，②

由②－①得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，

∵m ＞n ＞3，∴m ＋n ＝6，但这与“m ＞n ＞3”矛盾，∴满足题意的m 、n 不存

在． 【课后作业】

1．已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________. 解析 f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′，

∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.

2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. 解析 当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－1

2

x (x ＋1)．

3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值是________

解析 依题意，设直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 切于点(x 0，kx 0)，则有

???

kx 0

＝ln x 0

，

k ＝1x 0

，

由此得ln x 0＝1，x 0＝e ，k ＝1

e

4．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是________

解析 f (x )＝x 2－3x ＋4为开口向上的抛物线，g (x )＝2x ＋m 是斜率k ＝2的直线，可先求出g (x )＝2x ＋m 与f (x )＝x 2－3x ＋4相切时的m 值． 由f ′(x )＝2x －3＝2得切点为? ??

??

52，114，此时m ＝－94，

因此f (x )＝x 2

－3x ＋4的图象与g (x )＝2x ＋m 的图象有两个交点只需将g (x )＝2x －9

4

向上平移即可．

再考虑区间[0,3]，可得点(3,4)为f (x )＝x 2－3x ＋4图象上最右边的点，此时m ＝－2，所以m ∈? ??

??

－94，－2.

5．已知奇函数f (x )在定义域[－2,2]上单调递减，则满足f (1－m )＋f (1－m 2)＜

0的实数m 的取值范围是 ． 解 由f (1－m )＋f (1－m 2)＜0， 得f (1－m )＜－f (1－m 2)．

又f (x )为奇函数，∴f (1－m )＜f (m 2－1)． 又∵f (x )在[－2,2]上单调递减，

∴???

－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，1－m ＞m 2

－1.

解得－1≤m ＜1.

∴实数m 的取值范围为[－1,1)．

6．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是__0

2

.______

解析 f ′(x )＝(ln x －ax )＋x (1

x

－a )＝ln x ＋1－2ax ，

令f ′(x )＝0，得2a ＝ln x ＋1

x

，

设φ(x )＝

ln x ＋1

x ，

则φ′(x )＝

－ln x

x 2

，

易知φ(x )在(0,1)上递增， 在(1，＋∞)上递减，

∴φ(x )在(0，＋∞)上的极大值为φ(1)＝1. 大致图象如图

若f (x )有两个极值点，则y ＝2a 和y ＝φ(x )图象有两个交点， ∴0<2a <1，∴0

2

.

7．定义在R 上的单调函数y ＝f (x )满足f (3)＝3

2log ，且对任意的x ，y ∈R 都有f (x

＋y )＝f (x )＋f (y )．

(1)求证：f (x )为奇函数；(2)若f (x k 3)＋f (293--x x )＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．

解 (1)令x ＝y ＝0，代入f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，得f (0)＝2f (0)， 所以f (0)＝0.令y ＝－x ，代入上式，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，

又f (0)＝0，所以0＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， 所以f (x )是奇函数． (2)f (3)＝log 23＞0，

又f (x )在R 上单调且f (0)＝0，所以f (3)＞f (0)， 故f (x )是R 上的增函数．由(1)知f (x )为奇函数， 所以f (k ·3x )＜－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)， 所以k ·3x ＜－3x ＋9x ＋2，即k ＜－1＋3x ＋2

3x 恒成立．

令h (x )＝－1＋3x

＋2

3

x ，则h (x )≥－1＋2

3x

·23x ＝－1＋22(当且仅当3x

＝23

x

时，取等号)，所以k ＜22－1.

8.已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3

＋ax 2

－x ＋2. (1)求函数f (x )的单调区间；

(2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；

(3)对一切的x ∈(0，＋∞)，2f (x )＜g ′(x )＋2恒成立，求实数a 的取值范围．

解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，

f ′(x )＝ln x ＋1， 令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1

e ；

令f ′(x )＞0，得x ＞1

e .

∴f (x )的递减区间是? ?

???0，1e ，

递增区间为? ??

??

1e ，＋∞.

(2)(ⅰ)当0＜t ＜t ＋2＜1

e 时，无解．

(ⅱ)当0＜t ＜1e ＜t ＋2，即0＜t ＜1

e ，

由(1)知，f (x )min ＝f ? ????

1e ＝－1e .

(ⅲ)当1e ≤t ＜t ＋2，即t ≥1

e

时，

f (x )在区间[t ，t ＋2]上递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .

因此f (x )min

＝???

??

－1e ，0＜t ＜1

e ，t ln t ，t ≥1

e .

(3)2f (x )＜g ′(x )＋2，得2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1. ∵x ＞0，∴a ≥ln x －32x －1

2x .

设h (x )＝ln x －32x －1

2x

，

则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－ x －1 3x ＋1

2x 2.

令h ′(x )＝0，得x ＝1，x ＝－1

3

(舍)．

当0＜x ＜1时，h ′(x )＞0，h (x )在(0,1)上单调递增； 当x ＞1时，h ′(x )＜0，h (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴当x ＝1时，h (x )取得最大值h (x )max ＝－2. ∴a ≥－2.

∴a 的取值范围是[－2，＋∞)．

函数与导数（2） 2014.4.7

【基础训练】

1．已知函数f (x )＝1

2mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围

是__[1，＋∞)______．

解析 f ′(x )＝mx ＋1

x

－2≥0对一切x ＞0恒成立，

m ≥－? ????

1x 2＋2

x

，

令g (x )＝－? ????1x 2＋2

x ，则当1x ＝1时，函数g (x )取最大值1，故m ≥1.

2．设直线x ＝t ，与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为___

2

2

_____． 解析 当x ＝t 时，f (t )＝t 2

，g (t )＝ln t ， ∴y ＝|MN |＝t 2－ln t (t ＞0)．

∴y ′＝2t －1

t ＝

2t 2－1

t

＝

2?

????t ＋22? ???

?t －22t

.

当0＜t ＜

22时，y ′＜0；当t ＞2

2

时，y ′＞0. ∴y ＝|MN |＝t 2－ln t 在t ＝

2

2

时有最小值． 3．若f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是增函数，又f (－2)＝0，则xf (x )＜0的解集为 (－2,0)∪(0,2) 【例题精练】

例1.某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用

在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加;②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%;③报销的医疗费用不得超过8万元.

(1)请你分析该单位能否采用函数模型y =0.05(x 2+4x +8)作为报销方案; (2)若该单位决定采用函数模型y =x -2ln x +a (a 为常数)作为报销方案,请你确定整数a 的值.(参考数据:ln2≈0.69,ln10≈2.3)

【解】(1)函数y =0.05(x 2+4x +8)在[2,10]上是增函数,满足条件①, 当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③

但当x =3时,y =

2920<32,即y ≥x

2

不恒成立,不满足条件②, 故该函数模型不符合该单位报销方案

(2)对于函数模型y =x -2ln x +a ,设f (x )= x -2ln x +a ,则f ′(x )=1-2x =x －2

x

≥0.

所以f (x )在[2,10]上是增函数,满足条件①,

由条件②,得x -2ln x +a ≥x 2,即a ≥2ln x -x

2

在x ∈[2,10]上恒成立,

令g (x )=2ln x -x 2,则g ′(x )=2x －12=4－x

2x ,由g ′(x )>0得x <4,

∴g (x )在(0,4)上增函数,在(4,10)上是减函数. ∴a ≥g (4)=2ln4-2=4ln2-2

由条件③,得f (10)=10-2ln10+a ≤8,解得a ≤2ln10-2 另一方面,由x -2ln x +a ≤x ,得a ≤2ln x 在x ∈[2,10]上恒成立, ∴a ≤2ln2,

综上所述,a 的取值范围为[4ln2-2,2ln2], 所以满足条件的整数a 的值为1 例2.设f (x )＝a x

＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.

(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；

(2)如果对于任意的s ，t ∈??????

12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．

解 (1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－

g (x 2)]max ≥M .

因为g (x )＝x 3－x 2－3，所以g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ? ?

???x －23.

由g ′(x )＞0，得x ＜0或x ＞23；由g ′(x )＜0，得0＜x ＜2

3.

又x ∈[0,2]，

所以g (x )在区间??????0，23上是单调减函数，在区间??????

23，2上是单调增函数．

所以g (0)＝－3，g ? ????

23＝－8527，g (2)＝1.

所以g (x )min ＝g ? ????

23＝－8527，g (x )max ＝g (2)＝1.

故[g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝112

27≥M ，

所以满足条件的最大整数M ＝4.

(2)对于任意的s ，t ∈??????12，2，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在区间??????

12，2上，

函数f (x )min ≥g (x )max .

由(1)可知在区间????

??

12，2上，g (x )max ＝g (2)＝1.

在区间??????

12，2上，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立，等价于a ≥x －

x 2ln x 恒成立． 设h (x )＝x －x 2ln x ， 则h ′(x )＝1－2x ln x －x ，

可知h ′(x )在区间????

??

12，2上是单调减函数．

又h ′(1)＝0，所以当1＜x ＜2时，h ′(x )＜0；当1

2＜x ＜1时，h ′(x )＞0.

所以函数h (x )＝x －x 2ln x 在区间??????

12，1上单调递增，

在区间[1,2]上单调递减．

所以h (x )max ＝h (1)＝1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)． 【课后作业】

1．若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是____(－1，＋∞)____

2 已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，

则x 的取值范围为___?

?

???－2，23_____．

解析 f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴f (x )为增函数． 又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知，

f (mx －2)

∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，

令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立， 即??

?

g －2 ＝－x －2<0g 2 ＝3x －2<0

，∴－2

3

.

3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是___??????

12，2_____

4.已知定义在R 上的奇函数)(x f 在区间),0(+∞上单调递增，若0)2

1

(=f ，△ABC

的内角A 满足0)(cos

2()2,3(ππ

ππ

5. 若函数()2(3)log (4)a f x ax -=+在[]1,1-上是单调增函数,则实数a 的取值范围

是___(()2,2,4- ____

6．已知函数f (x )＝x －1x ＋1

，g (x )＝x 2

－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在

x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是____??????

94，＋∞______．

解析 由于f ′(x )＝1＋1

x ＋1 2>0，

因此函数f (x )在[0,1]上单调递增， 所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1. 根据题意可知存在x ∈[1,2]， 使得g (x )＝x 2

－2ax ＋4≤－1，

即x 2

－2ax ＋5≤0，即a ≥x

2＋5

2x

能成立，

令h (x )＝x

2＋5

2x

，

则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，

又函数h(x)＝x

2

＋

5

2x

在x∈[1,2]上单调递减，

所以h(x)min＝h(2)＝9

4

，故只需a≥

9

4

.

7．已知函数f(x) (x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)<1

2

，则f(x)<

x

2

＋1

2

的解集为____{x|x>1}______．

解析φ(x)＝f(x)－x

2

－

1

2

，则φ′(x)＝f′(x)－

1

2

<0，

∴φ(x)在R上是减函数．

φ(1)＝f(1)－1

2

－

1

2

＝1－1＝0，

∴φ(x)＝f(x)－x

2

－

1

2

<0的解集为{x|x>1}．

8.已知函数f(x)＝ln(e x＋a＋1)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g(x)＝λf(x)＋sin x在区间[－1,1]上是减函数．

(1)求实数a的值；

(2)若g(x)≤λt－1在x∈[－1,1]上恒成立，求实数t的最大值；

(3)若关于x的方程

ln x

f x

＝x2－2e x＋m有且只有一个实数根，求m的值．

解(1)∵f(x)＝ln(e x＋a＋1)是实数集R上的奇函数，

∴f(0)＝0，即ln(e0＋a＋1)＝0?2＋a＝1?a＝－1，

将a＝－1代入f(x)＝ln e x＝x，显然为奇函数．

(2)由(1)知g(x)＝λf(x)＋sin x＝λx＋sin x，

∴g′(x)＝λ＋cos x，x∈[－1,1]，

∴要使g(x)是区间[－1,1]上的减函数，

则有g′(x)≤0在x∈[－1,1]上恒成立，

∴λ≤(－cos x)min，∴λ≤－1.

要使g(x)≤λt－1在x∈[－1,1]上恒成立，

只需g(x)max＝g(－1)＝－λ－sin 1≤λt－1在λ≤－1时恒成立即可．∴(t＋1)λ＋sin 1－1≥0(其中λ≤－1)恒成立即可．

令h (λ)＝(t ＋1)λ＋sin 1－1(λ≤－1)， 则??

?

t ＋1≤0，h －1 ≥0，

即??

?

t ＋1≤0，－t －2＋sin 1≥0，

∴t ≤sin 1－2，

∴实数t 的最大值为sin 1－2. (3)由(1)知方程ln x

f x

＝x 2－2e x ＋m ， 即ln x

x

＝x 2－2e x ＋m ， 令f 1(x )＝

ln x

x

，f 2(x )＝x 2－2e x ＋m ，

∵f ′1(x )＝

1－ln x

x 2

当x ∈(0，e]时，f ′1(x )≥0， ∴f 1(x )在(0，e]上为增函数； 当x ∈[e，＋∞)时，f ′1(x )≤0， ∴f 1(x )在[e ，＋∞)上为减函数； 当x ＝e 时，f 1(x )max ＝1

e

.

而f 2(x )＝x 2－2e x ＋m ＝(x －e)2＋m －e 2. ∴当x ＝e 时，f 2(x )min ＝m －e 2. 只有当m －e 2＝1e ，即m ＝e 2＋1

e 时，

方程有且只有一个实数根．

9.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝???

??

10.8－1

30

x 2，0＜x ≤10，108x －1 0003x 2

，x ＞10.

(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；

(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最

大．(注：年利润＝年销售收入－年总成本) 解 (1)当0＜x ≤10时，

W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 3

30

－10；

当x ＞10时，

W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－

1 000

3x

－2.7x ， ∴W ＝?

??

??

8.1x －x 3

30－10，0＜x ≤10，98－1 0003x －2.7x ，x ＞10.

(2)①当0＜x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210

＝0，得x ＝9.

当x ∈(0,9)时，W ′＞0；当x ∈(9,10]时，W ′＜0， ∴当x ＝9时，W 取得最大值， 即W max ＝8.1×9－1

30

×93－10＝38.6. ②当x ＞10时，

W ＝98－? ??

??

1 0003x ＋2.7x ≤98－

2 1 000

3x

×2.7 x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7 x ，即x ＝100

9时，W 取得最大值38.

综合①②知：当x ＝9时，W 取得最大值38.6，

故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大．

复合函数的求导法则(导案)

当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）4 x x y = ； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。 （2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。 （4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+

高考数学函数与导数相结合压轴题(含具体解答)(学案)

函数与导数相结合压轴题精选（二） 11、已知)0()(2 3 >+++=a d cx bx ax x f 为连续、可导函数，如果)(x f 既有极大值M ，又有极小值N ，求证：.N M > 12、已知函数ax x x f +-=3 )(在（0，1）上是增函数. （1）求实数a 的取值集合A ； （2）当a 取A 中最小值时，定义数列}{n a 满足：)(21n n a f a =+，且b b a )(1,0(1=为常 数），试比较n n a a 与1+的大小； （3）在（2）的条件下，问是否存在正实数C ，使20<-+< c a c a n n 对一切N n ∈恒成立？

13、已知)(2 2)(2 R x x a x x f ∈+-= 在区间[－1，1]上是增函数. （1）求实数a 的值所组成的集合A. （2）设关于x 的方程x x f 1 )(= 的两根为1x 、2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式 ||1212x x tm m -≥++对任意]1,1[-∈∈t A a 及恒成立？若存在，求出m 的取值 范围；若不存在，请说明理由 14、已知二次函数y=g(x )的图象过原点和点（m ，0）与点（m+1, m+1）， （1）求y=g(x )的表达式； （2）设)(x f =(x －n)g(x )(m>n>0)且)(x f 在x =a 和x =b(b0, a ≠1，函数5 5 log )(+-=x x x f a ， （1）讨论)(x f 在区间（－∞，－5）上的单调性，并予以证明； （2）设g(x )=1+log a (x －3),如果)(x f =g(x )有实数根，求a 的取值范围.

导数的概念导学案

导数的概念导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

预习目标：“导数的概念”了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速 度，理解导数(瞬时变化率)的概念 预习内容： 问题1 我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地，若物体的运动规律为 )(t f s =，则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t ?+这段时间内，当_________时平均速度的极限，即t s v x ??=→?0lim =___________________ 问题2 函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的______，记作'0()f x 或________，即___________________________________________________________. 提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑? 课内探究学案 一：探究求导数的步骤： （即________变化率） 二：精讲点拨 例1(1)求函数23x y =在1=x 处的导数. (2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 三：有效训练 求22+=x y 在点x=1处的导数. );()()1(00x f x x f y -?+=?求增量;)()()2(00x x f x x f x y ?-?+=??算比值时）（在求0.)3(0→???='=x x y y x x

导数学案(有答案)

3.1.1平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题． 1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________． 2．函数y＝f(x)的平均变化率Δy Δx＝ f(x2)－f(x1) x2－x1 的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象 上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________． 一、填空题 1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号) ①在[x0，x1]上的平均变化率； ②在x0处的变化率； ③在x1处的变化率； ④以上都不对． 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________. 3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝ ________. 4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________． 5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________． 6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________． 7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______． 8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________． 二、解答题 9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．

第三章 导数 导学案

§3.1.1 变化率问题 1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义； 2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化. 7880 复习1：曲线22 1259 x y +=与曲线 22 1(9)259x y k k k +=<--的（ ） A ．长、短轴长相等 B ．焦距相等 C ．离心率相等 D ．准线相同 复习2：当α从0 到180 变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一： 问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率 吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象? 问题2：高台跳水，求平均速度 新知：平均变化率： 2121()()f x f x f x x x -?=-? 试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ?，即 x ?= 或者2x = ，x ?就表 示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ?，即y ?= ；如果它们 的比值y x ??，则上式就表示为 ， 此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. ※ 典型例题 例 1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1P 和(1,1)Q x y +?+?作曲线的割线，求出当0.1x ?=时割线的斜率. 变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点 (1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+?-+?，则y x ??= 例 2 已知函数2 ()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001] 小结：

《函数的单调性与导数》教学设计

教学设计 普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1 （人教A版） 函数的单调性与导数 （第一课时） 张丽园 安阳市实验中学（第39中学） 2016年6月15日

《函数的单调性与导数》教学设计 安阳市实验中学（第39中学）张丽园 【课题】函数的单调性与导数 【教材】人教A版《数学》选修1-1 【课时】1课时 【教材分析】 函数的单调性与导数是人教A版选修1-1第三章第三课第一节的内容.在学习本节课之前学生已经学习了函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二章中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备. 函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点.以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.同时，在本课第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助.因此，学习本节内容具有承上启下的作用. 【学生学情分析】 课堂学生为高二年级的的学生，学生基础普遍比较好，但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过，因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点. 在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性. 【教学目标】 知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法. 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想. 教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯. 自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法. 【教学重点】 利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 【教学难点】 ⒈探究函数的单调性与导数的关系; ⒉如何用导数判断函数的单调性. 【教学方法】 启发式教学 【课时安排】 1 课时

导数导学案8

§132利用导数研究函数极值 学习目标 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤 . 心学习过程 - ■—?■"—■- ~ —? ■—— -- ——~—-_-—I _■■- ? ?- —■—— 一、课前准备 (预习教材P27~ P30，找出疑惑之处) 复习1：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内 这个区间内为_____ 函数；如果在这个区间内y 0 ,那么函数 函数. 复习2:用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f 等式，得x的范围就是递增区间.③令______________ 解不等式，得 二、新课导学探学习探究探究任务一：问题1:如下图，函数y f(x)在a,b,c,d ,e, f ,g,h等点的函数值与这些点附近的函数值有什 么关系？ y f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y f(x)的导数的符号有什么 看出，函数y f(x)在点x a的函数值f(a)比它在点x a附近其它点的函数值都—， f (a) 且在点x a附近的左侧f (x)_0，右侧f (x)_0. 类似地，函数 y f(x)在点x b的函数值f(b)比它在点x b附近其它点的函数值都_____________ ，f (b)— 而且在点x b附近的左侧f(X) _______ 0，右侧f(X) _____ 0. 新知： 我们把点a叫做函数y f (x)的极小值点，f(a)叫做函数y f (x)的极小值；点b叫做函数y f (x) 的极大值点，f(b)叫做函数y f(x)的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的_________________ ， 刻画的是函数的_____________ . 试试: (1) ________________ 函数的极值 (填是，不是)唯一的. (2)一个函数的极大值是否一定大于极小值________ ⑶函数的极值点一定出现在区间的______ (内，外)部，区间的端点 极值点. 反思：极值点与导数为0的点的关系: 导数为0的点是否一定是极值点. y 0，那么函数y=f(x)在 y=f(x)在为这个区间内的 _ (x).②令 _____________ 解不 x的范围，就是递减区间. (能，不能)成为

变化率与导数、导数的计算学案(高考一轮复习)

20XX 年高中数学一轮复习教学案 第二章 函数、导数及其应用 第11节 变化率与导数、导数的计算 一．学习目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义； 2．能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1 x 的导数； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 二．学习重、难点： 1．学习重点：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数； 2．学习难点：理解导数的几何意义. 三．学习方法：讲练结合 四．自主复习： 1．导数的概念 (1)函数在x ＝x 0处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是__________________________＝lim Δx →0 Δy Δx ， 称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 . (2)导函数：当上式中的x 0看作变量x 时，函数f ′(x )为f (x )的________． (3)导数的几何意义：f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的________，相应的切线方程是_____________________．

2．基本初等函数的导数公式 3.运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝_________________； (2)[f(x)·g(x)]′＝________________________； (3)[f(x) g(x) ]′＝_______________________ (g(x)≠0)．五．复习前测： 1．已知函数f(x)＝sin x＋ln x，则f′(1)的值为() A．1－cos1 B．1＋cos1 C．cos1－1 D．－1－cos1

3.1 导数的概念及其运算导学案

§3.1 导数的概念及其运算 2014高考会这样考 1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导． 复习备考要这样做 1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程． 1． 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平 均变化率可表示为Δy Δx . 2． 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 学&科& (1)定义 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx → Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3． 函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx → f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4． 基本初等函数的导数公式

5. (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) g 2(x ) (g (x )≠0)． 6． 复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [难点正本 疑点清源] 1． 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数； (2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数． 2． 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不

3.1导数导学案

导数的概念及运算 一、预习案 （一）高考解读 能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数，通过图像直观地理解导数的几何意义，会求在某点和过某点的切线方程。 （二）知识清单 2、求导法则 ①运算 （1）=±' )]()([x g x f 。 （2）=?')]()([x g x f 。 （3）=?? ????' )()(x g x f 。 ②复合函数的导数：设)(x v u =在x 处可导，)(u f y =在点u 处可导， 则复合函数)]([x v f 在点x 处可导，且=)('x f 。 （三）预期效果及存在困惑

二、导学案 （一）完成《新亮剑（红色）》第50页查缺补漏。 （二）高考类型 考点一、导数运算 1、已知函数ax x x x f +=sin )(，且1)2 ('=π f ，则a 的值等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.4 2、函数)(x f 的定义域是R ，2)0(=f ，对任意1)()(,'>+∈x f x f R x ，则不等式1)(+>?x x e x f e 的解集为 考点二、导数几何意义的应用 3、已知函数454)(23-+-=x x x x f 。 （1）求曲线)(x f 在点))2(,2(f 处的切线方程； （2）求经过点)2,2(-A 的曲线)(x f 的切线方程。 练习： 1（2018课标I ）设函数ax x a x x f +-+=23)1()(。若)(x f 为奇函数，则曲线)(x f y =在)0,0(处的切线方程为（ ） A. x y 2-= B.x y -= C.x y 2= D.x y =

2.（2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 课堂总结： 三、巩固案 1.（2016北京节选）设函数bx xe x f x a +=-)(，曲线)(x f y =在))2(,2(f 处的切线方程为4)1(+-=x e y ，求b a ,的值。 2.（2015全国II ）设函数)('x f 是奇函数)(x f 的导函数，0)1(=-f ，当 0>x 时，0)()('<-x f x xf ，解不等式0)(>x f 。

2019-2020年高考数学二轮复习专题02函数与导数教学案文

2019-2020年高考数学二轮复习专题02函数与导数教学案文 一．考场传真 1. 【xx 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科】已知f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，且f （－1）+g （1）=2，f （1）+g （－1）=4，则g （1）等于（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 2. 【xx 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】定义在上的函数满足.若当时.， 则当时， =________________. 3. 【xx 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】设函数（，为自然对数的底数）.若存在使成立，则的取值范围是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 4. 【xx 年全国高考统一考试天津数学（文）卷】设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足, 则（ ） (A) (B) (C) (D)

5.【xx年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科】函数的图像与函数的图像的交点个数为（） A.0 B.1 C.2 D.3 6. 【xx年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是（） （A）（-∞，+∞）（B）(-2, +∞) (C)(0, +∞) (D)（-1，+∞） 7. 【xx年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】若曲线在点处的切线平行于轴，则． 8. 【xx年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为 （A）3 (B) 4

(C) 5 (D) 6 如图则有3个交点，故选A. 二．高考研究 【考纲要求】 1．函数 （1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念. （2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数. （3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）. （4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义. （5）会运用基本初等函数的图像分析函数的性质. 2．指数函数 （1）了解指数函数模型的实际背景. （2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. （3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像． （4）体会指数函数是一类重要的函数模型. 3．对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. （2）理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，1/2的对数函数的图像． （3）体会对数函数是一类重要的函数模型； （4）了解指数函数与对数函数（）互为反函数. 4．幂函数

导数导学案1

§1.1.1函数的平均变化率 ，匚* 学习目标 1 ?感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义； 2?理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 心学习过程 一、课前准备 （预习教材P3~ P 5,找出疑惑之处） 2 2 复习1:曲线乞乂 25 9 A .长、短轴长相等 C.离心率相等1与曲线 2 X 25 k 焦距相等 准线相同 -1(k 9)的( ) k 复习2:当从0。到180°变化时，方程X2y2 cos 1表示的曲线的形状怎样变化? 二、新课导学探学习探究探究任务一： 问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球 时，随着气球内空气容量的增加, 描述这种现 象？ 气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何 问题2:高台跳水, 求平均速度 f x 试试：设y f（X）, X1是数轴上的一个定点, 即 在数轴X上另取一点X2 , X1与X2的差记为X , 或者X2 = 函数的变化量或增量记为y，即y = X就表示从X1到X2的变化量或增量，相应地， ____ ;如果它们的比值」，则上式就表示 X ，此比值就称为平均变化率 反思：所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.

2 x ，分别计算f （x ）在下列区间上的平均变化率: 小结： %动手试试 练1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试分别计算从出生到第 个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率 . 探典型例题 例 1过曲线y 割线的斜率. f(x) 3 X 上两点P （1,1）和Q （1 x,1 y ）作曲线的割线，求出当 x 0.1 时 变式：已知函数 f(x) x 2 x 的图象上一点（1, 2）及邻近一点（1 x, 2 y ），则一y = x 例2 已知函数f （1） [1，3]； （2） [1，2]； （3） [1，1.1]； （4[1，1.001] 3个月与第6

苏教版数学高二- 选修2-2导学案 《常见函数的导数》

1.2.1 常见函数的导数 导学案 一、学习目标 掌握初等函数的求导公式； 二、学习重难点 用定义推导常见函数的导数公式． 三、学习过程 【复习准备】 1.导数的相关知识 ①导数的定义；②导数的几何意义；③导函数的定义；④求函数的导数的流程图. （1）求函数的改变量 （2）求平均变化率 （3）取极限，得导数/ y ＝()f x '= 2.如何求切线的斜率? (0)PQ x k P ?→当时，无限趋近于点处切线的斜率 3.导数：函数在某点处的瞬时变化率 设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x0∈(a ，b)，若△x 无限趋近于零时，比值 00()()f x x f x y x x +?-?=??.无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导，并称

该常数A 为函数f(x)在x ＝x0处的导数，记作f/(x 0)． 4.由定义求导数（三步法） ①求函数的增量：=?y ②算比值（平均变化率）： =??x y ③取极限，得导数：0 x x y ='= 【情境引入】 本节课我们将学习常见函数的导数.首先我们来求下面几个函数的导数. （1）y=x; （2）y=x 2 ; （3）y=x 3 . 问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？ 问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ 【数学建构】 1.几种常见函数的导数: 问题引入1： (1)(23)x '-+= (4)x '= (2)(2)x '-= (5)(5)x '+= (3)3'= (6)(4)'-= 通过以上运算我们能得到什么结论? 公式一:

问题引入2： (1)x '= 2(2)()x '= 2(3)(3)x '= 1(4)()x '= 通过以上运算我们能得到什么结论? 公式二: 【知识应用】 例1 求下列函数的导数： （1）()'3x ;（2）'21x ?? ??? ;（3 ）' . 解： 拓展 例2 求下列函数的导数： 4(1)y x =; 3(2)y x -=; 1(3)y x =; (4)y = =0(5)sin 45y ; =(6)cos u v . 解：

123简单复合函数的导数江苏省扬州市苏教版高中数学选修2-2导学案

1．2.3 简单复合函数的导数 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)． 一、知识回顾 函数的和、差、积、商的求导法则 设两个函数分别为f (x )和g (x ) 两个函数的和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝ 两个函数的差的导数 [f (x )－g (x )]′＝ 常数与一个函数的乘积的导数 [C ·f (x )]′＝ (C 为常数) 两个函数的积的导数 [f (x )·g (x )]′＝ 两个函数的商的导数 [f (x )g (x ) ]′＝ (g (x )≠0) 二、知识探究 1．复合函数的概念 由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数． cos()cos 44y x y u u x 如由及复合而成. 32 21(1)(2)(31)(3)sin (4)sin 2y x y x x y x x y x 思考：下列哪些函数可以由两个基本初等函数复合得到？ 2．复合函数的求导法则 2 (2)(31)(4)sin 2y x y x 思考：下列这些复合函数可以借助于已有的知识求出导函数吗？ 2(2)(31),6(31) (4)sin 2,2cos 2y x y x y x y x 思考：对照下列复合函数的复合形式，发现规律.

ln(2)x u x y y u y x 对于猜想，尝试对函数求导进行验证 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y x ′＝ ，即y x ′＝ ． 其中y x ′，y u ′分别表示y 关于 的导数及y 关于 的导数． 三、知识应用 (1)ln(51)(2)cos(12) y x y x 例1：求下列函数的导数 31(1)(23)(2)31y x y x 例2：求下列函数的导数 四、当堂训练 1.指出下列函数的复合关系： (1)y ＝(a ＋bx n )m ；(2)y ＝(x 2＋4x )3； (3)y ＝e2＋x 2；(4)y ＝2sin(2－x 2)． 2.求下列函数的导数． (1)y ＝(2x ＋3)2； (2)y ＝e －2x ； (3)y ＝sin (πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)．

函数的极值与导数-复习课导学案(可编辑修改word版)

f(a) O a x y f ( b) O b x 【学习目标】： 函数的极值与导数（复习学案） 1.回顾函数极值的概念. 2.总结掌握函数极值的四种类型题型. 3.培养分析问题、解决问题的能力. 【温故知新】： 极值的概念： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有意义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的，其中x0叫作函数的. 如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0) ，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个，其中x0叫作函数的. 【类型1】：函数y=f(x)的图象与函数极值 【针对训练1】 1.图3 中的极大值点有；极小值点有. 2.观察函数在X2 与X6 的极值，能发现什么？ 【类型2】导数y=f(x)的图象与函数极值 1.由图3 分析极值与导数的关系

x0是函数f(x)的极值点f(x0) =0 f(x0) =0 x0是函数f(x)的极值点 总结：f(x0)=0 是函数取得极值的条件. 2.利用导数判别函数的极大（小）值： 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，且f ' (x0)=0，判别f(x0)是极大（小）值的方法是： (1)如果在x0附近的左侧f '(x)＞0，右侧f '(x)＜0，那么，f(x0)是； ⑵如果在x0附近的左侧f '(x)＜0，右侧f '(x)＞0，那么，f(x0)是；【针对训练2】 导函数y=f’(x)的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点， 并指出那些是极大值点，那些是极小值点？ 【针对训练3】 导函数y=f’(x)的图像如图，在标记的点中哪一点处 （1）导函数y=f’(x)有极大值？ （2）导函数y=f’(x)有极小值？ （3）函数y=f(x)有极大值？ （4）函数y=f(x)有极小值？ 【类型3】求函数y=f(x)的极值 求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： (1) (2) (3) (4) (5)

人教课标版高中数学选修1-1《函数的单调性与导数》导学案

§3.3.1函数的单调性与导数 学习目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 89~ P 93，找出疑惑之处） 复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有＝ ，那么函数f (x )就是区间I 上的 函数. 复习2： 'C = ；()'n x = ；(sin )'x = ；(cos )'x = ；(ln )'x = ；(log )'a x = ；()'x e = ；()'x a = ； 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系： 问题：我们知道，曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()y f x =的导数.从函数342+-=x x y 的图像来观察其关系： 在区间（2，∞+）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的 值随着x 的增大而 ，即0y '>时，函数()y f x =在区间（2，∞+）内为 函数； 在区间（∞-，2）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为 函数. 新知：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y '<，那么

函数()y f x =在这个区间内的减函数. 试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间： （1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--； （3）()sin ,(0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+. 反思：用导数求函数单调区间的三个步骤： ①求函数f (x )的导数()f x '. ②令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令()0f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间. 探究任务二：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？ ※ 典型例题 例1 已知导函数的下列信息： 当14x <<时，()0f x '>； 当4x >，或1x <时，()0f x '<； 当4x =，或1x =时，()0f x '=.试画出函数()f x 图象的大致形状. 变式：函数()y f x =的图象如图所示，试画出导函数()f x '图象 的大致形状. 例2 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应 的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.

高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选修

高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选 修 3、2 导数的计算 【成功细节】 张玥谈导数的计算的方法（xx年，北京文9) 已知是的导函数，则的值是＿＿＿＿、本节内容公式和法则比较多，以公式的推导、记忆以及应用为主，重点是基本初等函数导数公式以及导数的四则运算法则的灵活运用，公式的形式多样，容易引起混淆，并且公式中往往会有一些条件容易忽略，导致遗漏错误、所以在学习时，我认为应注意以下几个方面：（1）要牢记常数函数和幂函数的求导公式，能用定义法求这些函数的导数的方法，注意四种常见函数实际上就是四种特殊的幂函数；（2）要熟记基本初等函数的导数公式，特别是对数函数和指数函数的导函数的形式，；（3）熟练掌握导数的四则运算法则，注意公式的形式以及前提条件，两个函数的和与差的导数与两个函数积的导数的形式是不同的；（4）和（或差）、积的函数的导数运算法则可以推广到两个以上函数的和（差）、积的求导；（5）在求函数的导数时，一定要先化简函数的表达式，尽量不使用积的函数的导数的法则；（6）若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导。如，这个题主要考查基本初等

函数的导数公式以及函数和的导数的计算法则，是一个简单的小题，但计算时要细心，可先求出导函数，然后再求导数值，显然有公式可得，，所以、 【高效预习】 （核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。叶圣陶 【关注、思考】 1、阅读课本第8182页，总结四个常用函数的导数公式，认真阅读导数公式的推导过程，这四个常用函数有什么共同的特征，其导数有什么意义？细节提示：利用导数的定义求解四种函数的导数，对照函数图象，把握住导数的物理意义和几何意义；四种常用函数实际上都是幂函数，探讨规律时，应把导函数的系数与幂指数与原函数进行对比、 【领会、感悟】 1、这四种函数实质上都是特殊的幂函数，它们的导函数的系数为幂函数的指数，指数为幂函数的指数减去1所的数值；函数的导数的几何意义是函数图象在该点处的切线的斜率 【领会感悟】 2、基本初等函数的导数公式是我们求解函数导数的基础，要记准确，记牢，才可能在运算过程中不出现错误。例1是导数的简单应用、 【精读细化】

甘肃省张掖市高三数学一轮学案 模块1 函数与导数 第15讲 幂函数 新人教A版

一、知识梳理 1．幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数； 注意：幂函数与指数函数的区别． 2.幂函数的性质： （1）幂函数的图象都过点 ；任何幂函数都不过 象限； （2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 ； （3）当2,2α=-时，幂函数是 ；当1 1,1,3, 3α=-时，幂函数是 ． 二、同步练习 1. 下列函数是幂函数的是（ ） A. x y x = B. 1 23y x = C. 12 1y x =+ D. y x =2.与函数 1x y x = +的图像形状一样的是（ ） A. 2x y = B. 2log y x = C. 1 y x = D. 1y x =+ 3. 幂函数的图象过点 2,2? ??,则()4f 的值为（ ） A. 16 B. 116 C. 2 D. 1 2 4. 函数 () 1 2 2 2y x x -=-的定义域是（ ） A ．{x|x≠0或x≠2} B ．（－∞，0）（2，＋∞） C ．（－∞，0）［2，＋∞ ） D ．（0，2） 5. 下列函数在 (),0-∞上为减函数的是（ ） Ａ．1 3 y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3 y x = Ｄ．2y x -= 6. 下列幂函数中定义域为 {}0x x >的是（ ） Ａ．23 y x = Ｂ． 3 2 y x = Ｃ．23 y x -= Ｄ．32 y x -= 7. 比较下列各组数的大小： （1）45 3.6-与45 6.3- （2）0.2 5.3 与0.2 2.4 （3） 1113 221.1,1.4,1.1 8. 函数 45 y x -=的定义域是

《导数的概念与几何意义》导学案

第1课时　导数的概念与几何意义 1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数. 2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题. 3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法. 4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法. 如图,当点P n (x n ,f (x n ))(n=1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近点P (x 0,f (x 0))时,割线PP n 的变化趋势是什么? 问题1:根据创设的情境,割线PP n 的变化趋势是　. 问题2:导数的概念与求法: 我们将函数f (x )在x=x 0处的瞬时变化率称为f (x )在x=x 0处的导数, lim Δx→0 f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx 即有f'(x 0)==,所以求导数的步骤为:lim Δx→0Δy Δx lim Δx→0f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (1)求函数的增量:Δy=f (x 0+Δx )-f (x 0); (2)算比值:=; Δy Δx f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (3)求极限:y'=. | x =x 0lim Δx→0Δy Δx 问题3:函数y=f (x )在x=x 0处的导数,就是曲线y=f (x )在x=x 0处的切线的斜率k=f'(x 0)= 相应的切线方程是: . 问题4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直

线是曲线的切线吗? 它反映的是函数的 情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想. 不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点 . 1.下列说法正确的是( ). A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点　 B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点　 C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线　 D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在 2.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么( ). A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0 C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在 3.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标 为 . 4.函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0). 三，课后反思：