当前位置：文档库 › 二项式定理复习学案

二项式定理复习学案

一、二项式定理： 1.知识梳理:

=+n b a )( ，其中组合数r

C 叫，展开式共有项，其中第1+r 项=+1r T 称为二项展开式的通项，二项式通项的主要用途是求指定的项. 2.例题: (1)73

)12(x

x -

的展开式中的常数项是 ;

(2)1043)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中3

x 的系数是 ; (3)403)27(+x 展开后所得的x 的多项式中,系数为有理数的项有项;

(4)若N x x x x x x x ∈+-+-+-(6152015616

5432且)21

≤x 的值能被5整除，则x 的可能取值的个数有个.

（5）4)1)(21(x x -+展开式中x 项的系数是 . 3.小结::

二、二项式系数的性质： 1. 知识梳理:

(1)对称性:与首末两端等距离的两个二项式系数 ,即=r

n C ;

(2)增减性与最大值:二项式系数r

C ,当21+

1+>n k 时, 二项

式系数r n

C 的值逐渐 ,且在中间项取得最大值.当n 为偶数时,中间第项的二项式系数取得最大值,当n 为奇数时,中间两项的二项式系数取得最大值.

(3)各二项式系数和:=++++n

n n n n C C C C 210 ;

=+++ 420n n n C C C =+++ 531n n n C C C .

2.例题:

(1)在二项式11)1(-x 的展开式中,二项式系数最大的项是第项,系数最小的项的系数为 ;

(2)在n x )1(+的展开式中,第十项是二项式系数最大的项,则=n ;

(3)如果21872221221=++++n n n n n C C C ,则=++++n n n n n C C C C 210 ; (4)化简=+++++n n n n n C n C C C )1(32210 .

3.小结:

三、赋值法： 1．例题:

(1)2012201222102012)21(x a x a x a a x ++++=- ,则=+++201210a a a ; (2) 9922109)31(x a x a x a a x ++++=- ,则=+++910a a a ; (3)设n n n x a x a x a a x x 2222102)1(++++=++ ,=+++n a a a 220 .

2. 方法总结:

四、系数最大项的求法： 1．例题:求84)21(x

x +的展开式中系数最大的项.

2. 方法总结:

五、二项式定理的应用： 1.例题:

(1)5)998.0(精确到001.0的近似值为 ; (2)99

3331++++ 被4除所得余数为 ; (3)求证:)(98322*+∈--N n n n 能被64整除; (4)求证:*

-∈+>N n n n n

(2)2(31

且)2≥n .

2.小结:(二项式定理可以解决哪些类型的问题?如何解决?)

六、考题再现： 1．（大纲卷13）20)1(x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为；

2．（新课标卷8）5)1

2)((x

x x a x -+

的展开式中各项系数和为2，则展开式中的常数项为（） A ．40- B ．20- C ．20 D ．40 3．（浙江13）设二项式)0()(6>-a x

a x 的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若A B 4=，则a 的

值是；

4（陕西卷4）)()24(6R x x x ∈--展开式中的常数项是（） A ．20- B ．15- C ．15 D ．20

5．（重庆卷4）n x )31(+（其中*∈N n 且6≥n ）的展开式中5x 与6

x 的系数相等，则=n （）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9 6．（山东卷14）若62

)(x a x -

展开式的常数项为60，则a 的值是；

7．（广东卷10）7

x x -展开式中4x 的系数是；

8．（安徽卷12）设2121221021)1(x a x a x a a x ++++=- ，则=+1110a a ； 9．（天津卷5）6

)22(x

x -展开式中2x 的系数为（） A ．4

15-

B ．415

C ．83-

D ．83

10．（湖北卷11）18)31(x

x -

的展开式中含15x 的项的系数为；

11．（上海卷6）6

)1(x

x +

二项展开式的常数项为

高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二

二项式定理（第1课时）一、内容和内容解析内容：二项式定理的发现与证明．内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视．二、目标和目标解析目标：（1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理．（2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用．（3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养．目标解析：（1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法．（2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利

二项式定理教学反思_心得体会

二项式定理教学反思本文是关于心得体会的二项式定理教学反思，感谢您的阅读！二项式定理教学反思（一）下午在安庆一中高二(6)班上了一节数学展示课，课堂学生的反应和专家的点评，都让我受益匪浅，主要体会如下： 1、学生能机积极配合，情绪高涨。据了解,高二(6)班学生基础较好，整体素质较高。由于是新老师,学生不了解我的教学风格,开头几分钟,学生的积极性还没有完全调动起来,但随着时间的推进,课堂氛围不断进入高潮。在遇到疑难问题时,只要我稍加点拨,都能立即化解。特别是最后一道天津高考题,具有挑战性,需要较高的逆向思维水平,但一名学生在很短的时间内就看出了它的结构特点,作出了完整的回答,使学生和听课老师眼睛一亮。加上我及时总结的“数感、式感和图感”又让学生耳目一新，增添了课堂色彩。 2、数学思想、方法和数学文化得到了较好的体现。孙主任点评中的“课堂教学要有高贵和丰满的学科气质”，我认为对数学课堂来说，就是要体现数学思想、方法和数学文化，让数学课堂有“数学味”。课堂中，提到的数学的两重性“直觉与逻辑”，牛顿的“没有大胆的猜想就没有伟大的发现”，二项式系数的对称美，“特殊出发、发现规律、猜想结论、逻辑证明”的科学方法，二项式指数推广到负整数指数，有没有三项式定理，反例C62就不是偶数等等，都带给学生积极的情感体验和无尽的思考。“真诚、深刻、丰富”是课堂永恒的追求。 3、基本技巧和基本方法可能没有很好落实。本节课的教学重点是二项式定理的探求过程,而简单的应用则次之。基于这种想法,我在引导发现定理上花的时间较多,证明过程多媒体详细展示,但最后没有点到“还可以用数学归纳法证明”是一个疏忽。同时对将(p-q)7展开这种问题没有书写示范，以致不少学生书写不规范或弄错，板演的学生就有好几处错误,我也没有详细板书订正。我想,好在还有第二节课的加强,先让学生对此内容有点兴趣,再去强化运算的正确性也不迟。 4、课堂上如何放手让学生自主学习。多位专家评课中提到数学课堂上如何放手让学生自主学习,这也是新课程大力倡导的。我认为,像这样面对新学生的展示课,难以操作。因为让学生自主学习,必须课前作充分的准备,学生带着问题到

二项式定理学案

1．3．1二项式定理（1）（一）教学目标 1、知识与技能: 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。 2、过程与方法:通过学生熟悉的多项式的乘法引入，让学生归纳猜想出二项式定理，发挥例题的示范作用使学生能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。 3、情态与价值：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力（二）教学重、难点重点：二项式定理和二项展开式的通项公式。难点：二项式定理和二项展开式的通项公式。（三）教学设想、问题情境 1. 在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n 的展开式. (a+b)1= , (a+b)2= , (a+b)3= , (a+b)4= . 构建数学 (a+b) ｎ = 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的，其中r n C （r=0,1,2,……,n ）叫做，叫做二项展开式的通项，它是展开式的第项，展开式共有个项. 数学应用例1用二项式定理展开：（1）93)b a (+；（2）7)x 22x (- 例2求（1+2x ）7的展开式中第4项的二项式系数和系数例3求（x- 8)21x 的二项展开式中的常数项。 n n n r r n r n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C ++++++---ΛΛ2221110

练习： 1. 求（2a+3b ）6的展开式的第3项. 2. 求（3b+2a ）6的展开式的第3项. 3.写出的展开式的第r+1项. 4选择题（1）62)x a a x (-的展开式中，第五项是………………………………………（） A .x 15- B .32a x 6- C .x 20 D .x 15 （2）153)a 1 a (-的展开式中，不含a 的项是第……………………………（）项 A .7 B .8 C .9 D .6 （3）（x-2）9的展开式中，第6项的二项式系数是……………………………（） A .4032 B .-4032 C .126 D .-126 （4）若n )111 x (-的展开式中的第三项系数等于6，则n 等于………………（） A .4 B .4或-3 C .12 D .3 （5）多项式(1-2x)5(2+x)含x 3项的系数是………………………… ………（） A .120 B .-120 C .100 D .-100 5.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x 2的系数. 6.求二项式73)213(+ 的展开式中的有理项. 7.二项式n 4 )x 1x x (+ 的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数. n x x )21(33-

数学高考复习名师精品教案：第85课时：第十章排列、组合和概率——二项式定理(2)

第85课时：第十章排列、组合和概率——二项式定理（2）课题：二项式定理（2）一．复习目标： 1．能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和． 2．能熟练地逆向运用二项式定理求和． 3．能利用二项式定理求近似值，证明整除问题，证明不等式．二．课前预习： 1．1003 )32(+的展开式中无理项的个数是（ A ） ()A 84 ()B 85 ()C 86 ()D 87 2.设1510105)(2345++-+-=x x x x x x f ，则)(1 x f -等于（ C ） ()A 51x + ()B 521--x ()C 521-+x ()D 51x - 3．如果21872221221=++++n n n n n C C C ，则=++++n n n n n C C C C 210128． 4.n n n n n C n C C 11)1(3121121+-+-+- =1 1+n ． 5.9)23(z y x +-展开式中含432z y x 的项为43290720z y x -． 6．若1001002210100)1()1()1()21(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则=++++99531a a a a 2 1 5100-. 四．例题分析：例1．已知}{n a 是等比数列，公比为q ，设n n n n n n C a C a C a a S 123121+++++= （其中+∈>N n n ,2），且n n n n n n C C C C S ++++= 2101，如果1 lim n n n S S ∞→存在，求公比q 的取值范围．解：由题意11-?=n n q a a ，n n S 21 =，) 0()1()1(122 1 11221111≠+=++++=++++=q q a C q C q qC a C q a C q a qC a a S n n n n n n n n n n n n

高中数学教案——二项式定理第二课时

课题： 10．4二项式定理(二) 教学目的： 1 2.展开式中的第1+r 项的二项式系数r n C 与第1+r 项的系数是不同的概念教学重点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用教学难点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，

（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、讲解范例：例1．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数；（2）求9 1 ()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==， ∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280．（2）∵9 1()x x -的展开式的通项是9921991()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-， ∴923r -=，3r =， ∴3x 的系数339(1)84C -=-，3 x 的二项式系数3984C =．例2．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x 02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+?22224(3)4C x x ++?3234444(3)44C x x C -+?+?，显然，上式中只有第四项中含x 的项， ∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=??-C （法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 4 4)4()1(+-=x x ) (4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +?+?+?+? ∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．

二项式定理教学案设计

《二项式定理》教案设计一、教学目标 1.知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3. 情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．二、教学重点、难点重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理．难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程（一）提出问题，引入课题引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如：2222)(b ab a b a ++=+， ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. （二）引导探究，发现规律 1、多项式乘法的再认识．问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 2、3)(b a +展开式的再认识探究1：不运算3)(b a +，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）： (1) 合并同类项之前展开式有多少项？ (2) 展开式中有哪些不同的项？ (3) 各项的系数为多少？ (4) 从上述三个问题，你能否得出3)(b a +的展开式？探究2：仿照上述过程，请你推导4)(b a +的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有 “法”可依． (三) 形成定理，说理证明探究3：仿照上述过程，请你推导n b a )(+的展开式． )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -，它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个 b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

二项式定理复习课的教学设计

二项式定理复习课的教学设计 1、教学内容：高中数学理科选修2-3：《二项式定理复习课》 2、教学对象分析：学生高二学习了《二项式定理》的全部内容，对这部分内容有了初步的了解，但遗忘率比较大，对二项式定理的题型已经生疏，因此让学生在老师的指导下，对《二项式定理》进行复习应用，巩固和加深。在复习的过程中，渗透了《排列组合》等其它的内容，加强了知识点之间的联系，培养学生综合运用知识的能力。 3、教学内容分析: 本节内容包括以下几部分：（1）二项式展开式的特点。（2）二项式展开式项的系数和二项式式系数。（3）二项式定理的四个应用。教学目标：（1）知识目标：复习二项式定理，正确理解和区分二项式系数、通项、二项式项的系数等概念，会利用通项公式及二项式系数的性质解决有关计算问题. （2）能力目标：通过讲练结合使学生掌握二项式定理习题的一般解题方法，提高分析和解决问题的能力。（3）情感目标：通过学生的主体活动，营造一种愉悦的情境，使学生自始至终处于积极思考的氛围中，不断获得成功的体验，从而对自己的数学学习充满信心。教学重点：二项式定理的应用教学难点：二项式定理及二项式系数性质的灵活应用教学方法：讲练结合教学过程： 1、知识回顾： (1)二项式定理： =+n b a )( （*N n ∈）. 二项式展开式的通项公式为=+1r T . (2)二项式系数： ①n b a )(+展开式的二项式系数之和为，即 =++++++n n k n n n n C C C C ......C 210 ②奇数项的系数之和等于的系数之和，即=++...C 20 n n C = 2、热身练习：

二项式定理(一)教案

二项式定理教案（一）一、教学目标： 1．知识技能：（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理 2．过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式 3．情感、态度、价值观培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨二、教学重点、难点重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式得到二项式定理。难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。三、教学过程（一）提出问题：引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式。如2222)(b ab a b a ++=+，那么： 3 ) (b a +=? 4)(b a +=? 100)(b a +=? 更进一步：n b a )(+=？（二）对2)(b a +展开式的分析 ))(()(2 b a b a b a ++=+ 展开后其项的形式为：22,,b ab a 考虑b ，每个都不取b 的情况有1种，即02c ,则2a 前的系数为02c 恰有1个取b 的情况有12c 种，则ab 前的系数为12c 恰有2个取b 的情况有22c 种，则2b 前的系数为22c 所以 2 2212202 2222)(b c ab c a c b ab a b a ++=++=+ 类似地 3 33223213 3033223333)(b c ab c b a c a c b ab b a a b a +++=+++=+ 思考：))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+=? 问题： 1)．4)(b a +展开后各项形式分别是什么？ 4 a b a 3 22b a 3ab 4b

2019-2020年高三数学第一轮复习第69课时二项式定理(2)教案

2019-2020年高三数学第一轮复习第69课时二项式定理（2）教案一．复习目标： 1．能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和． 2．能熟练地逆向运用二项式定理求和． 3．能利用二项式定理求近似值，证明整除问题，证明不等式．二．课前预习： 1．的展开式中无理项的个数是（） 84 85 86 87 2.设1510105)(2 345++-+-=x x x x x x f ，则等于（） 3．如果21872221221=++++n n n n n C C C ，则=++++n n n n n C C C C 210128． 4.n n n n n C n C C 1 1)1(3121121+-+-+- =． 5.展开式中含的项为． 6．若1001002210100 )1()1()1() 21(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则. 四．例题分析：例1．已知是等比数列，公比为，设n n n n n n C a C a C a a S 123121+++++= （其中），且n n n n n n C C C C S ++++= 2101，如果存在，求公比的取值范围．解：由题意，， ) 0() 1()1(122 1 11221111≠+=++++=++++=q q a C q C q qC a C q a C q a qC a a S n n n n n n n n n n n n ∴n n n n n q a q a S S )21(2 )1(111+=+=．如果存在，则或， ∴或，故且．例2．(1)求多项式6734102 3 4 )157()53() 323(--?-?---x x x x x x 展开式各项系数和． (2)多项式1000231000 )22(+--?-x x x x 展开式中的偶次幂各项系数和与奇次幂各项系数和各是多少？解：（1）设 ) ()157()53()323()(2 210673410234N n x a x a x a a x x x x x x x f n n ∈++++=--?-?---= ，

二项式定理第一课时教学设计

二项式定理第一课时教学设计广西北海市第五中学蒙旭芬一、教材分析： 1、【教材的地位及作用】“二项式定理”是全日制普通高，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重，难点）。教学目标： 1、知识目标：通过对二项式定理的学习，使学生理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式。并理解和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，进行相应的计算。还会区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。级中学教科书《数学第二册（下A）》的第十章第四节，它既是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块，也是初中学习的多项式乘法。它所研究的是一种特殊的多项式——二项式幂的展开式。它与后面学习的概率的二项分布有着内在的联系，利用二项式定理还可以进一步深化对组合数的认识。因此，二项式定理起着承上启下的作用，是本章教学的一个重点。本小节约需3个课时，本节课是第一课时。【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能力，学生思维也较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程，因而对定理、公式不能做到灵活运用，更做不到牢牢记住。（根据以上分析 2、能力目标：在学 3、情感目标：通过“二项式定理”的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐，对称美及数学符号应用的简洁美，进一步结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。一、教学重点，难点，关键：重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律。（2）利用二项展开式的规律对二项式展开，进行相应的计算。（3）区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。难点：

二项式定理公开课教案

二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。三、教学过程 1、情景设置问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。问题2：以5 )(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。

预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。初步归纳出下式： ()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※）（设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7 )(b a + 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑如何展开100) (b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。）继续新授师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+

高三数学第一轮复习第69课时二项式定理(2)教案

一．复习目标： 1．能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和． 2．能熟练地逆向运用二项式定理求和． 3．能利用二项式定理求近似值，证明整除问题，证明不等式．二．课前预习： 1．1003 )32(+的展开式中无理项的个数是（ A ） ()A 84 ()B 85 ()C 86 ()D 87 2.设1510105)(2 3 4 5 ++-+-=x x x x x x f ，则)(1 x f -等于（ C ） ()A 51x + ()B 521--x ()C 521-+x ()D 51x - 3．如果21872221221=++++n n n n n C C C ，则=++++n n n n n C C C C 210128． 4.n n n n n C n C C 11)1(3121121+-+-+- =1 1+n ． 5.9)23(z y x +-展开式中含432z y x 的项为4 3290720z y x -． 6．若1001002210100 )1()1()1() 21(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则=++++99 531a a a a 2 15100-. 四．例题分析：例1．已知}{n a 是等比数列，公比为q ，设n n n n n n C a C a C a a S 123121+++++= （其中 +∈>N n n ,2），且n n n n n n C C C C S ++++= 2101，如果1 lim n n n S S ∞→存在，求公比q 的取值范围．解：由题意11-?=n n q a a ，n n S 21=， ) 0() 1()1(122 1 11221111≠+=++++=++++=q q a C q C q qC a C q a C q a qC a a S n n n n n n n n n n n n ∴n n n n n q a q a S S )21(2 )1(111+=+=．如果1lim n n n S S ∞→存在，则1|21|<+q 或121=+q ， ∴212<+<-q 或1=q ，故13≤<-q 且0≠q ．例2．(1)求多项式6734102 34)157()53() 323(--?-?---x x x x x x 展开式各项系数和．

二项式定理讲学案

讲学案课题：二项式定理第一课时设计教师：设计时间：2015.4.2 一、教学目标 1.知识与技能: (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法: 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3.情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．二、教学重点、难点 1.教学重点：用计数原理分析3) a 的展开式，得到二项式定理． (b 2.教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程（老师在多媒体上展示学案，同学们齐读）今天我们学习新课《二项式定理》，我们的学习目标是： 1、进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活的应用 2、运用二项式定理的过程中，领会化归意识与方法迁移的能力（一）公式探究：师：今天是星期四，再过8天是星期几？再过是星期几？再过天呢？如果是过天呢生：再过8天是星期五；再过是星期五；再过天也是星期五，如果是过天，……应该也是星期五吧！师：先给同学们吃颗定心丸，星期五是对的，可有谁知道这是为什么？

生：这…… 师：没事，学习完我们今天要学的知识，我想聪明的同学们能告诉你怎么一回事了．板书（二项式定理）设计感悟：本来的设计是经过天，再过天，后来觉得那不是这道题的本质，用8反而更容易我后面找到周期7埋下伏笔，而且学生马上算了出来，更容易发现规律，事实证明能将学生的兴趣激发出来．师：二项式定理其实就是研究形如如何展开表示．对这个问题我们如何来研究呢？生：（感到茫然）…… 师：我们研究问题时经常使用什么方法？对了，就是特殊到一般，一般到特殊．现在这种情况是一般还是特殊的？生：一般的．师：恩，那如何特殊化呢？生：是不是先令试试看…… 师：很棒哦．这就是先特殊，然后再一般的方法，下面说来说说如何展开表示？生：（举手并回答）．师：很好哦．那谁来说说如何表示呢？生：（举手并回答）师：看来同学们回答都不错哦！接下来的一个问题是如何展开？生：许多同学拿起笔算了起来，一些同学陷入思考中…… 师：让我们回顾刚刚的做法，为什么一些同学很快的写出的情形？

高考数学知识要点复习教案二项式定理(1)

二项式定理（1）一．复习目标： 1．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们讨论整除、近似计算等相关问题． 2．能利用二项展开式的通项公式求二项式的指数、求满足条件的项或系数．二．知识要点： 1 ．二项式定理：． 2．二项展开式的性质：（1）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数．（2）若n 是偶数，则的二项式系数最大；若n 是奇数，则的二项式系数最大．（3）所有二项式系数的和等于．（4）奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和．三．课前预习： 1．设二项式n x x )13(3+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若272=+S P ，则=n （ A ） ()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 8

2．当+∈N n 且2≥n 时，q p n +=++++-52221142 （其中N q p ∈,,且50<≤q ），则q 的值为（ A ） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 与n 有关 3．在62)12(x x -的展开式中常数项是605=T ；中间项是34160x T -=． 4．在1033)3 (x x -的展开式中，有理项的项数为第3，6，9项． 5．求62)321(x x -+展开式里5x 的系数为-168． 6．在7)1(+ax 的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1>a ，那么=a 5 101+．四．例题分析：例1．求9 )23(x -展开式中系数绝对值最大的项．解：9)23(x -展开式的通项为r r r r r r r r x C x C T ???-=-??=--+999913)2()2(3，设第1+r 项系数绝对值最大，即???????≥????≥??-----++-r r r r r r r r r r r r C C C C 10191998191993 2323232，所以? ??≥--≥+r r r r 322021833，∴43≤≤r 且N r ∈，∴3=r 或4=r ，故系数绝对值最大项为3448988x T -=或45489888x T =．例2．已知n x x )12(2lg lg ++展开式中最后三项的系数的和是方程0)7272lg(2=--y y 的正数解，它的中间项是2lg 2410+，求x 的值．

二项式定理复习课

二项式定理复习课樊加虎一．教案描述教学设想：精心设计例题，用二节课的时间对二项式定理进行复习。除理清基本概念外，，着重训练定理运用中的七个层次，使学生的数学知识和数学思想都得到训练。 1、会正用. 即套用公式，这一层次的思维量较小，但对理解和巩固定理是完全必要的，例题安排上由浅入深，复习方法上以提问或学生练习为主，要做到正确、熟练。例1、求62)32(x x +的展开式中含5x 的项. 解：53336 24320)3(2x x C x = 例2、求45)31()21(x x +?-展开式中前三项之和. 解：计算时注意每个因式的展开式只须取前三项即可。 =+?-45)31()21(x x ])2(10251[2 --?+?-x x ])3(6341[2 +?+?+x x )54121)(40101(22 +++-+-=x x x x +-+=22621x x 。展开式前三项之和为22621x x -+. 例3、求82)132(+-x x 展开式中x 项. 解：若将82)132(+-x x 化为88)1()12(--x x 来确定展开式中x 项，解法不甚合理，注意到22x 与x 项无关，可转化为求8)13(+-x 展开式中x 项，即x x C 24)3(78-=-，解法较捷。本题较灵活，有助于提高学生转化能力。 2、会反用. 逆向思维的训练能加深对定理的理解，培养观察能力，但学生往往不习惯，例题和习题可逐步加深。例4、求值(1)1444412211+++++---n n n n n n n C C C ；

(2)n n n n n C C C )2(221221-+-+- . 解：(1)原式即为n )14(+的展开式，∴原式n 5=. (2)注意符号问题，原式n n )1()21(-=-=. 例5、设函数54325101051)(x x x x x x f +-+-+=.求)(x f 的反函数)(1x f -. 解：如果)(x f 的表达式中第一项1改为-1，则为5)1(x +-的展开式. ∴2)1()(5++-=x x f . 易得5121)(-+=-x x f )(R x ∈ 3、会变用. 不少问题需要将数式变形后，再运用二项式定理。这一层次要求学生有－定的分析能力，复习中应引导学生观察数式特征，进行合理变形。例6、求322)21(-+x x 展开式中的常数项. 解：一般有两种变形方法，其一变形为322]2)1[(-+ x x ，其二变形为6)1(x x -.后者较简，其常数项即为第四项2036 4-=-=C T . 例7、设=-++-+-1716321x x x x x 17172210)1()1()1(+++++++x a x a x a a , 求2a . 解：为了比较系数，将左式变形为2]1)1[(]1)1[(1-++-+-x x 17]1)1[(-+--x .再展开之，展开式中2)1(+x 项的系数即为2a ， 81631815172413022==++++=C C C C C a . 4、会设项. 这是二项式定理中常用的待定系数法，学生应熟练掌握。例8、1003)32(+的展开式中含有多少个有理项？解：32100100132 r r r r C T -+=,耍使其为有理数，即n r =-2100，m r =3 (m n ，为非负整数).

高中数学《二项式定理一》教案设计

《二项式定理(一)》教案设计一、教学目标 1.知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3. 情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．二、教学重点、难点重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理．难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程（一）提出问题，引入课题引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如：2222)(b ab a b a ++=+， ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. （二）引导探究，发现规律 1、多项式乘法的再认识．问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 2、3)(b a +展开式的再认识探究1：不运算3)(b a +，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）： (1) 合并同类项之前展开式有多少项？ (2) 展开式中有哪些不同的项？ (3) 各项的系数为多少？ (4) 从上述三个问题，你能否得出3)(b a +的展开式？探究2：仿照上述过程，请你推导4)(b a +的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有 “法”可依． (三) 形成定理，说理证明探究3：仿照上述过程，请你推导n b a )(+的展开式． )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -，它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个 b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

二项式定理学案(普通班版)

课题：二项式定理时间：2018/5/23 班级：教师：一、学习目标：1、会用二项式定理求二项式的展开式 2、会用通项求展开式中的任意项 3、会区分项的二次项系数和项的系数二、学习过程：（一）复习旧知组合数公式=_________________________,特别的=________ (二)知识探究与学习 1、完成计算: (a＋b)2 =______________________________ (a＋b)3= (a＋b)(a＋b)(a＋b)= ______________________________猜想(a＋b)n=(a＋b)(a＋b)…(a＋b) ( n个(a＋b)相乘) =______________________________ 2、二项式定理 (a＋b)n =______________________________ 这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (1)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有____________项，而且每一项的次数都为____________。(2)二项式系数：____________

(3)通项：(a＋b)n展开式的第____________项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝____________ (三)题型探究与训练题型求展开式、二项式系数、项的系数、任意项（1）例：求的展开式、展开式的第3项的系数、第3项的二项式系数；（2）跟踪训练1 求(a-2b)4的展开式的第4项系数和二项式系数；（四）归纳与总结 1、二项式定理： 2、通项：三、学习效果检测 1、写出的展开式. 2、的展开式的第6项的系数是_____________，第6项的二项式系数是____________。四、课后作业课本36页习题1.3A组2、4(1)(2) 五、课后反思

高三数学一轮复习精品教案1：二项式定理(理)教学设计

10.7二项式定理、 1．二项式定理 (1)定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理． (2)通项 T r＋1＝C r n a n－r b r为展开式的第r＋1项． 2．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数二项展开式中各项的系数C r n(r∈{0,1，…，n})叫做二项式系数． (2)项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．3．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－m n 增减性当r＜ n＋1 2时，二项式系数逐渐增大；当r＞ n＋1 2时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项???? 第 n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n 2n；当n是奇数时，中间两项??第 n－1 2＋1项和第 n＋1 2＋ 1) 项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为C n－1 2n或C n＋1 2n 4．各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.

1．二项式的通项易误认为是第r 项实质上是第r ＋1项． 2．(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒． 3．易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C r n (r ＝0,1，…，n )．『试一试』 1．(2014·无锡调研)化简C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n 2n 的值为________．『解析』(1＋x )2n ＝C 02n ＋C 12n x ＋C 22n x 2＋C 32n x 3＋…＋C 2n 2n x 2n . 令x ＝1得C 02n ＋C 12n ＋C 22n ＋…＋C 2n － 12n ＋C 2n 2n ＝22n ；再令x ＝－1得 C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋(－1)r C r 2n ＋…－C 2n － 12n ＋C 2n 2n ＝0. 两式相加得2(C 02n ＋C 22n ＋…＋C 2n 2n )＝22n ，又C 02n ＝1，得 C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2 n 2n ＝22n 2 －1＝22n －1－1. 『答案』22n － 1－1 2．(2014·深圳调研)若(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 3＝________. 『解析』根据已知条件得，T 3＋1＝C 35(2x )3＝80x 3 ， ∴a 3＝80. 『答案』80 3．(2014·沈阳模拟)设二项式(x －a x )6的展开式中x 2的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则 a ＝________. 『解析』T r ＋1＝C r 6x 6－r ·??? ?－a x r ＝(－a )r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝2，得r ＝2，A ＝a 2C 26＝15a 2；令6－2r ＝0，得r ＝3，B ＝－a 3C 36＝－20a 3 ，代入B ＝4A 得a ＝－3. 『答案』－3 1．赋值法研究二项式的系数和问题 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． 2．利用二项式定理解决整除问题的思路要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开． 3．二项式系数最大项的确定方法