量子体系本征值问题的解法
量子体系本征值问题的解法
关键词：本征值；分析解法；矩阵解法；代数解法；线性谐振子
摘要：处理量子体系的本征值和本征态是量子理论的中心问题，对其求解方法进行研究具有一定的实际意义。本文对量子体系本征值问题的求解进行归纳与总结。对于处理本征值问题的常见方法（解析法、矩阵法），给出例证说明。另外，基于代数的方法，采用升降算符处理一维线性谐振子的本征值和本征态，进而推广到利用升降算符处理二维以及三维线性谐振子问题，得到二维以及三维线性谐振子的本征值；进一步基于代数方法对角动量的本征值问题进行研究。
Solution methods of the eigenvalues for Quantum System
Keywords:Eigenvalue; Analytical method; Matrix method; Algebraic method; Linear harmonic oscillator Abstract:Solving eigenvalues and eigenfunctions for the quantum systems is mainly contents in the quantum theory. There are a lot of processing methods such as analytical method, matrix method and factorization method, and so on. In this paper, several kinds of different methods on solving eigenvalues for the quantum systems are given and compared, and further summarized. Furthermore, on the basis of algebraic solution, the expanding resolutions were obtained for one-dimensional linear harmonic oscillator, the two-dimensional linear harmonic oscillator, three-dimensional linear harmonic oscillator, and even n-dimensional linear harmonic oscillator. Moreover, the eigenvalues and eigenstates of the angular momentum were shown by algebraic solution.
.
引言
∞
x
a/2
-a/2 U(x)
∞
如图①所示
我们在初学量子力学时解决本征值问题我们通常选择分析解法或者矩阵解法，而在物理学的前沿领域广泛使用代数的方法处理本征值问题也是一种很重要的方法和思想，运用代数解法解决本征值问题可能会得到意想不到的效果，因此对于本征值问题的代数解法及其应用的研究具有重要的理论和实际意义.这就是这篇文章所要达到的要求.此外，这篇文章还在已知的用升降算符处理一维、二维线性谐振子求本征值问题的基础上，讨论是否在三维线性谐振子的算符解法求本征值进而为处理多维线性谐振子本征值问题提供了思路.
1.量子体系本征值问题的分析解法
运用分析方法求解本征值，其本质是讨论定态问题求出体系有可能存在的波函数以及在这些定态所对应的能量，归根到底可以概括为解定态薛定谔方程，下面通过研究无限深势阱来讲解分析解法求本征值.
假设现在有一维无限深势阱为：
()???
????>-<∞≤
≤-
=.
2
2,,
22,0a x a x a
x a x U 或者 （1-1） 我们知道一维无限深势阱的特点是在2
2a
x a ≤≤-
时，它的势能是零；在
2
2a
x a x >-<或时，
其势能为无限大（如图①所示）. 定态薛定谔方程为：
()()()()x E x x U x m dx
d ψψψ=-22
2-2
在阱内??? ??≤≤-
22
a x a
时，
()()()
x E x x m dx
d ψψψ=?+02-2
2
2 （1-2） 在阱外??
? ??>-<22a x a x 或者时，()()()x E x x m U dx d ψψψ=+?
02
22
2- （1-3）
在（1-3）式∞→U
.由波函数的标准条件我们知道应满足连续性和有限性，那么只有在
0=ψ时，③式才成立.
于是有 0=ψ， 2
2a
x a x >-
<或者 （1-4）
显然，（1-4）式是求解（1-2）式的边界条件. 为了运算方便，我们通常引入符号
2
1
22???? ??= mE k （1-5）
则有 022
2
=ψψk x d d ， 2
2a
x a ≤≤- .
方程的解为 kx B kx A sin cos +=ψ， 2
2a
x a ≤≤-. （1-6）
由边界条件（即0=ψ， 22a x a x >-
<或者 ）知： 02=??
?
??±a ψ 于是， 时，2
a
x = 0
2
sin 2cos 2=+=??
?
??a
k B a k
A a ψ 时，2
a
x -= 02sin 2cos 2=??
? ??-+??? ??-=??? ??-a k B a k A a ψ 由此解得
.
02sin ;02cos =??
? ??=??? ??k a B k a A （1-7）
① 0,0==B A ;此时不管x 为何值ψ恒为零，因此应将这组解舍去.
② 02sin ,0,0=??
?
??≠=k a B A 即 （1-8） 由此解得
2
22π
?=m k a ， ???±±=,2,1,0m （1-9）
③ 0
2cos ,0,0=??
?
??=≠k a B A 即 （1-10） 由此解得 2
222π
π?+=m k a ， ???±±=,2,1,0m （1-11）
对第②种情况的解，显然m 为偶数；对于第③ 种情况的解，显然m 为奇数.0=m 对应的解ψ恒为零.而m 等于负整数时方程的解和m 等于正整数时方程的解只相差一个负号，即
二者线性相关.
因此，综合②、③ 得 2
2π
?=n k a ， ???=,3,2,1n （1-12）
则 a
n k π
=
（1-13）
由（1-5）式和（1-13）式可得
2
2
22
2mE
a
n
=
π
根据上式可以解得体系的能量为 a n E m n 22
2
2
21
π=
（1-14）
上式对应于量子数n 的所有取值，有无穷多个n E 与之对应。 把（1.8）式代入（1.6）式，可以得到波函数为
()???
??????
=>-<≤≤-.22,0,
22,sin a
x a x a
x a x a n B x n n 或者为偶数时，πψ （1-15）
()???
?
?????
=>-<≤≤-.2
2,0,
22,cos a
x a x a
x a x a n A x n n 或者为奇数时，πψ （1-16）
.0,0无解时，≠≠B A
所以波函数为
()??
?
?
?+'=2sin a x a n A x n
πψ ???=,3,2,1n （1-17） 由归一化条件
()12sin 2
2222
=??
?
??+'=??
-∞
+∞
-dx a x a n A dx x a
a n πψ （1-18）
可以解得122
=?
'a
A 于是 a
A 2='
()????
??
??
?=>-<≤≤-??
? ??+.2
2,
0;22,2sin 2a
x a x a
x a a x a n a x n 或者πψ （1-19）
2.量子体系本征值问题矩阵解法
我们知道态在不同的表象中，可以用不同的波函数表述，而算符在表象中是用矩阵表述的，并且我们知道算符在其自身表象中是一个对角矩阵，下面将通过矩阵的形式来处理量子体系的本征值问题.
我们先来讨论这样一个问题，在任意一个力学量Q 的表象中，怎样描述()t x ,ψ所描写的状态呢？
我们可以先假设Q 具有分立的本征值,,,,2,1??????n Q Q Q 它对应的本证函数是
()()()??????,,,,21x u x u x u n .将其按Q 的本证函数展开，则有
()()()x u t a t x n
n
n
∑=
,ψ. （2-1）
由归一化条件， ()()()dx x t x t a n n u ?*
=
,ψ. （2-2）
假设()t x ,ψ也满足归一化条件，于是 ()()()()()dx x u x u t a t a dx t x m n m mn
n ?∑?
**
=
2
,ψ
()()()()t a t a t a t a n n
n mn
m
mn n ∑∑**
==δ
于是
()()1=∑*t a t a n
n
n
. （2-3）
据此，我们知道在()t x ,ψ所描写的态中测量力学量Q 的结果是n Q 的概率 2
n a .
那么()t x ,ψ在Q 中可以表示为 ()()()??????,,,,21t a t a t a n . （2-4）
用矩阵表示为：
()()()?????
??
?
??= t a t a t a n 21ψ （2-5）
其共轭矩阵为： ()()()(
)
,,,,
21t a t a t a n ***
+
=ψ. （2-6）
我们知道算符在表象中用矩阵表示，所以力学量F 在∧
Q 表象中的矩阵表示为
?????
??
? ??= nm n n m m F F F F F F F F F F 212222111211 （2-7）
其中，()()dx x u F
x u F n m m n ??
*=. 将()t x ,ψ按照Q 表象的本征函数()x u n 展开 ()()()()()()??
???==∑∑*
*+m m m n
x t t x x u t a t x u a n n ;
,,,ψψ （2-8） 代入期望值公式有 ()(),,,?,dx x x x i x F t x F ψψ??
? ????=
?*
（2-9） ()()()(),,
?dx t u t a x i x F x t F n n u a m mn
m ??
?
?
???=
**
?∑ ()()().,?t dx t x i x F t a u u a n n
m
mn
n ???
?
???=
?∑**
（2-10）
那么
()()dx x x i x F x u u F n m mn ??
?
????=?* , ， （2-11） 所以有 ()()t t F a F a n
mn
mn
m
∑*
=. （2-12）
()
()()();,,,,212
1222
21
11211
21??
???
??
?
?????????? ??=*
**
t t t F a a a F
F
F F
F
F F F F a a a n mn
m m n
n m （2-13）
即 ψψF F +
=. （2-14）
本征值方程为 ()()t x t x x i x F
,,,?λψψ=??
?
??
??
（2-15） 令 λψ=Φ， 则有 λψψ=F . （2-16） 把上式用矩阵表示为：
()()()()()()?????
??
?
??=????????
?????????? ??
t t t t t t a a a a a a F
F
F F
F
F F F F n n nn
n n n
n 21212
1222
21
11211λ. （2-17）
移向并化简得：
()()()0212
1222
21
11211=??
??????
??????????
??---
t t t a a a F F
F F
F F F F F n nn n n n
n
λλ
λ
. （2-18） 显然，上式是一个线性齐次的代数方程组：
()().,2,1,0???==-∑m t a F
n n
mn mn
δλ （2-19）
根据相关条件，系数行列式等于零这个方程组才有非零解，即
0det =-δλm n m n
F
，
则久期方程为
.02
1
22221
112
11
=---
λλ
λF
F
F
F
F F F
F
F nn
n n n
n （2-20）
解这个久期方程，可以得到F 的本征值，它是一组λ值，即
??????,,,,2
1
λλλn
，我们如果
把所求得的λ值代入（1-38）式，可以求出与之相对应的本征矢
()()()()??????,,,,2
1
t t t a a a in
i i ??????=n i ,,2,1其中，.
由此可知，我们就把解微分方程求解本征值的问题变换为了求解（2-21）式的根的问题.
3.运用代数解法处理量子体系的本征值问题
前面我们讲到了用分析解法和矩阵解法处理量子体系的本征值问题，我们也比较习惯用这两中解法来求解；但应用最早且在物理学的前沿领域应用最为广泛的却不是这两种解法而是用代数的解法来求本征值问题。下面，将分别从一维、二维、三维线性谐振子的角度运用代数的解法来求其本征值和本征函数，这对于今后的学习很有帮助。 3.1用升降算符求解一维线性谐振子的本征值
求一维线性谐振子的本征值问题主要是对r Schrodinge
因式分解法和 n Hamiltonia 经典表达式与算符表达式的关系，得出谐振子的升降算符，进而求出一维线性谐振子的本
征值以及本征函数.
首先写出一维线性谐振子的n Hamiltonia 量为： x p
H 2
22
2
121ωμμ
+
=
（3-1） 我们知道自然单位是,1===ωμ 我还知道能量单位和长度单位分别为ω 、
μω
，下
面进行r Schrodinge
因式分解处理 x p
H 2
22
2121
ωμμ
+=
()1212
12
2
===+
=ωμ 因为x
p
()
????
??-
=ip x 2
2
21()()ipx ixp ip x ip x 2
12121+-+-= （3-2）
由对易式可以知道， []()都是厄米算符和p x i p x =, （3-3）
现在，令
()()???
?
??
?-=+=+p i x a p i x a ??2
1
???2
1
? （3-4）
由 （3-2）式和 （3-4）式知道 1]?,?[=+
a a （3-5）
由 （3-3）式、（3-4）式得： 2
1
???+=+a a H
（3-6） 令 ()是粒子数算符N
a a N ????+= （3-7） 则 2
1
??+=N H
（3-8） 由 （3-8 ）式可知，由于N H
??和都是正定厄米算符，对于任意一个量子态ψ，若求得N ?的本征值，则H
?的本征值也就可以随之求出来了. 由对易式， 0]?,?[=N H
()()0,,≥==
+
ψψψψa a a a N
0????2
≥==+ψψψa a a N
（3-9）
现在假设N ?的本征态为n ， n n n N =? （3-10）
由（3-5）式以及（3-9）式可以得到 .?]?,?[,?]?,?[a a N a a N
-==+ 因此，我们可以得到 n a n a N ?]?,?[-= （3-11） 而 n N a n a N n a N ????]?,?[-= n a n n a N ???-= （3-12） 由（3-11）式和（3-12）式知道， n a n n a N n a
????-=- 所以， ()n a n n a N ?1??-= （3-13） 同理 ()n a n n a N
+++=?1?? 所以，若N ?的本征态为n ，其本征值为n ，显然，n a +?也是N ?的本征态其征，值为1+n ；n a
?也是N ?的本征态，其本征值为1-n . 由（3-10）知 n n n N
=? 于是 n n n n a a n n N
n ==+??? 所以 0?2
2≥=
n
n a n
（3-14） 由（3-14）式可知N
?的最小本征值为0min =n ，对应的本征态为0， 即 min min 00?n n N
== 现在从本征态0开始，逐次用算符+a
?进行运算，于是可以得到所有的本征态： N
?的本征态： ,0 ,0?+a ,0?2
+a ； N ?的本征值： ,0 ,1 ,2 . 运用归纳法可知N
?的归一化本征态为 ()
,0?!
1
n
a n n += （3-15）
通过前面的叙述知道，H N
??和有共同的本征函数，就有n E n H n =? 由式（3-6）2
1
???+=+a a H
， 知 0???2
≥=+
n a n a a n
于是可以得到 2
1??≥=n H n H
假设能量本征值为E ,
则有 2
1
≥
E . （3-16） 由上式可知，最小本征值，即基态能量为0E ， 2
1
0=E .
由式（3-6）和式（3-11）得， ()
1????+=H a a H
， ()n a n n a H '+'='++?1??， 显然n a
'+
?也是H ?的本征态，其本征值为1+'n ，以此类推 ,2,1,+'+''n n n 也是
能量本征值。
将上述情况综合整理，可以知道,2
1
+=n En ,2,1,0=n . （3-17）
即 ,21ω ??
?
??+
=n En ,2,1,0=n . （3-18）
3.2用升降算符求解二维线性谐振子的本征值
上面我们讲过了一维线性谐振子的处理方法，接下来讨论怎样用升降算符求解二维线性谐振子的本征值。
与一维线性谐振子的情况类似，在其基础上对于二维线性谐振子也可以通过因式分解和n Hamiltonia 量来求其本征值和本征函数。 二维线性谐振子的n Hamiltonia 量：
??
?
??++??? ??+=y x
p p y x H
2
222
2
2121?ωμμ （3-19） ??? ??++??? ?
?+=
y p x p y x 222
22121 （3-20）
在一维线性谐振子中有2
1???+=+a a H
，则（3-20）式也可以做类似的处理结果为 ??? ??++??? ?
?+=++2121?????a a a a y y x x H 1????++=++a a a a y y x x 1??++=N N y x （3-21） 由于
N N
y
x
??,与H
?对易，即0]?,?[,0]?,?[==y x N H N H ，根据对易关系有 1???++=y x N N H （3-22）
????
?=>===>==++
,2,1,0,???,2,1,0,???n n n n a
a n N
n n n n a
a n N y y y y y y y y x x x x x x x x （3-23）
参考一维线性谐振子的推导，
() ,2,1,0,0?!
1
?==
+x x
x
x
n n a
x
n n
（3-24）
同理有
()
,2,1,0,0?!
1
?==
+y y y y
n n a n y n
（3-25） 综上所述，可以求得二维线性谐振子的本征函数
()()0,0??!
!1
?,?n a n a
x y
x
y
x
y
x
y
n n n n
+
+
=
（3-26）
??
? ??++??? ??
+=+=2121n n E E E y x y x xy （3-27） 3.3用升降算符求解三维线性谐振子的本征值
上面我们我们讲到了用升降算符求解一维、二维线性谐振子的本征值问题，那么这种方法是否也同样适用于三维线性谐振子的本征值问题呢？下面我们就来用升降算符处理三维线性谐振子。
按照一维、二维的方法，三维我们也同样采用r Schrodinge 因式分解和 Hmiltonian 量来求其本征值和本征函数。
三维线性谐振子的Hmiltonian 量可以表示为：
??
?
?
?+++??? ?
?+
+=z y x p p
p z y
x H
2
2
222
22
2121?ωμμ （3-28） 显然， ??? ??+++??? ?
?++=z y x p p p z y x H 2222222121?
??? ??++??? ??++??? ??+=z p y p x p z y x 2
222222
12121 （3-29）
在一维线性谐振子中有2
1???+=+a a H
，则（3-32）式也可以做类似的处理结果为 ?
?? ??++??? ??++??? ??+=+++
212121???????a a a a a a z z y y x x H 23???+++=N N N z y x （3-30） 由于z
y x N N N ?,?,?与H ?对易，即0]?,?[,0]?,?[,0]?,?[===z y x N H N H N H ，根据对易关系
23????+++=z
y x N N N H 以一维以及二维线性谐振子的处理方法为基础，可以做如下推导
????
???=>===>===>
==+
++
,2,1,0,
,2,1,0,,2,1,0,?????????n
n
n n
a a
n N n n n n a a n N n n n n a a n N z
y
y
y
y
y y Z y y y
y y
y y y x x x x x
x x x （3-31）
参考一维线性谐振子的推导，
() ,2,1,0,0?!
1
?==
+x x
x
x
n n a
x
n n
同理有
()
,2,1,0,0?!
1
?==
+y y y y
n n a n y n
()
,2,1,0,0?!
1
?==
+z z z z
n n a n z n
综上所述，可以求得三维线性谐振子的本征函数
()()()0,0???!
!!1
,??,?n a n a n a
x z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
n n n n n
n ++
+
=
（3-32）
??
? ??+??? ??++??? ??
+=++=212121n n n E E E E y y x z y x xyz （3-33）
4.角动量的本征值问题
我们知道轨道角动量用l ?表示，自旋角动量用s ?表示，总角动量用j ?表示，则有s
l j ???+=.那么怎么求矢量算符j
的本征值呢？我们可以根据角动量算符的厄米性和基本的对易关系
求解。
假设矢量算符j
的三个分矢量分别为j
j j z
y
x
,,由对易关系则有
j
j j z
y
x
i =],[， （4-1） j
j j x
z
y
i =],[， （4-2）
j
j j y
x
z
i =],[. （4-3）
且有
j
j
j
j
z
y
x
2222
?+
+
=
. （4-4）
以二维各向同性谐振子为例，两类声子的算符用
a a a a 2
2
1
1
,，
与++来表达。由一维线性谐振子本征值问题中的正定厄米算符我们知道，正定厄米算符满足a a N
???+
=，则在二维谐振子中有
?????+=+=a a N
a a N 222111??
类比一维线性谐振子本征值的解法可知其本征值为 ,2,1,0,2
1
=n
n
则归一化本征态为
()()
0!
!21
212
1
2
1
n n a a n
n n n ++= （4-5）由于本题讨论的是角动量的本征值，所以需要对角动量j ?
的三个分量进行定义 ()(
)
()()
?????
???
?
-=+-+=+=+-+=+=+++
=+=
.2121,
21,21??21221112211221N N
a a a a j j a a a a j j a a a a j j
z z
y y x x
i （4-6） (
)
(
)
()
???
??=+=-=+=+=++-
+.,1221j a a j j j a a j j j y x y x i i （4-7）
因此
,12?2?2
2
2
2
????
? ??+=++=N N
j j j j
z y x （4-8） .2?1??????2
2
1
1
a a a a
N N N
+++=+= （4-9） 则其本征值为 ,2,1,021=+=n n n （4-10） 那么，()1+j j 就是
j
?2
的本征值，
???
??==
,2
5,23,21,2,1,02n j （4-11）
显然
的共同本征态，则有是??
?
??j j n
n z
,?2
2
1
()???????-=??? ??+=2
121212121221,122??n n n n n n n n n n n n j j z
（4-12）
把
jm n
n 表示成2
1
，于是有
(),21
21n n j +=
（4-13） ().2
1
21n n m -= （4-14）
现在来讨论m 的取值范围
??
?
??+--=-==.,,1,,0,,12,2,2,,1,
021j j j m j j n j n （4-15）
由上面可知，m 的取值范围为.,,1,j j j +-- 根据（4-13）式、（4-14）式、（4-15）式可以推出
??
?-=+=.
,
21m j m j n n （4-16）
于是 ()()
()().0!
!21m j m j jm a a m
j m
j -+++=-+ （4-17） 根据（4-12）式知
()????
?=+=.,
1??2jm m jm jm j j jm j j z
（4-18）
因此 ???
??+--==.,,1,,,2
5,23,21,,2,1,0j j j m j （4-19）
5.结语
通过上述求解量子体系本征值问题的讨论，我们可以发现在实际问题问题中用代数的
方法求本征值这种方法是很重要的，而且可能会使问题变得简单；在解决问题的过程中我们发现不管是分解解法、矩阵解法还是代数的解法我们会得到相同的结果，这也启示我们在遇到问题时我们可以采取较简单的办法，而不必拘泥于经验。总之，对于量子体系本征值问题的解法的研究具有十分重要的理论和实践意义。
参考文献：
[1] 周世勋.量子力学教程[M].第二版.北京：高等教育出版社.2009. [2] 曾谨言.量子力学教程[M].第二版.北京：科学出版社，2008.
[3] 钱伯初，曾谨言.量子力学习题精选与剖析[M].第二版.北京：科学出版社，1988. [4] 刘宇峰、曾谨言.物理学报，46（1997），417. [5] 刘宇峰、曾谨言.物理学报，46（1997），423. [6] 碦兴林，大学物理，（12），（1989），2.
[7] 曾谨言.量子力学 卷I[M].第四版.北京：科学出版社，2007.263-269.
[8] 刘晓丽，赵岩，戴宝印.一维谐振子能量本征值在各种表象中的求解[J].鞍山师范学院学报，2000-09,2（3）：51-54.
[9]史守华，张占军.量子力学考研辅导[M].第二版.北京：清华大学出版社，2007.10 [10] 曾谨言.量子力学导论[M].北京：北京大学出版社，1998,242-246.
量子加密技术
量子加密技术 摘要 自从BB84量子密钥分配协议提出以来,量子加密技术得到了迅速发展,以加密技术为基础的量子信息安全技术也得到了快速发展。为了更全面地、系统地了解量子信息安全技术当前的发展状况和以后发展的趋势,文中通过资料查新,以量子加密技术为基础,阐述了量子密钥分配协议及其实现、量子身份认证和量子数字签名、量子比特承诺等多种基于量子特性的信息安全技术的新发展和新动向。 关键词:信息安全;量子态;量子加密;量子信息安全技术
一、绪论 21世纪是信息技术高速进步的时代，而互联网技术为我们带来便捷和海量信息服务的同时，由于我们过多的依赖网络去工作和生活，网络通信、电子商务、电子金融等等大量敏感信息通过网络去传播。为了保护个人信息的安全性，防止被盗和篡改，信息加密成为解决问题的关键。那么是否有绝对可靠的加密方法，保证信息的安全呢？ 随着社会信息化的迅猛发展，信息安全问题日益受到世界各国的广泛关注。密码作为信息安全的重要支撑而备受重视，各国都在努力寻找和建立绝对安全的密码体系。而量子信息尤其是量子计算研究的迅速发展，使现代密码学的安全性受到了越来越多的挑战。与现代密码学不同的是，量子密码在安全性和管理技术方面都具有独特的优势。因此，量子密码受到世界密码领域的高度关注，并成为许多发达国家优先支持的重大课题。 二、量子加密技术的相关理论 1、量子加密技术的起源 美国科学家Wiesner首先将量子物理用于密码学的研究之中，他于 1969 年提出可利用单量子态制造不可伪造的“电子钞票”。1984 年，Bennett 和Brassard 提出利用单光子偏振态实现第一个 QKD（量子密钥分发）协议—BB84 方案。1992年，Bennett 又提出 B92 方案。2005 年美国国防部高级研究计划署已引入基于量子通信编码的无线连接网络，包括 BBN 办公室、哈佛大学、波士顿大学等 10个网络节点。2006 年三菱电机、NEC、东京大学生产技术研究所报道了利用 2个不同的量子加密通信系统开发出一种新型网络，并公开进行加密文件的传输演示。在确保量子加密安全性的条件下，将密钥传输距离延长到200km。 2、量子加密技术的概念及原理 量子密码，是以物理学基本定律作为安全模式，而非传统的数学演算法则或者计算技巧所提供的一种密钥分发方式，量子密码的核心任务是分发安全的密钥，建立安全的密码通信体制，进行安全通讯。量子密码术并不用于传输密文,而是用于建立、传输密码本。量子密码系统基于如下基本原理:量子互补原理(或称量子不确定原理),量子不可克隆和不可擦除原理,从而保证了量子密码系统的不可破译性。 3、基于单光子技术（即BB84协议）的量子密码方案主要过程: a)发送方生成一系列光子,这些光子都被随机编码为四个偏振方向; b)接收方对接收到的光子进行偏振测量; c)接收方在公开信道上公布每次测量基的类型及没测量到任何信号的事件序列,但不公布每次有效测量事件中所测到的具体结果; d)如果没有窃听干扰,则双方各自经典二进制数据系列应相同。如果有窃听行为,因而将至少导致发送方和接收方有一半的二进制数据不相符合,得知信息有泄露。 4、量子密码系统的安全性。 在单光子密码系统中,通讯密钥是编码在单光子上的,并且通过量子相干信道传送的。因此任何受经典物理规律支配的密码分析者不可能施行在经典密码系统中常采用的攻击方法:
量子电动力学简介
量子电动力学简介 量子场论发展中历史最长和最成熟的分支。简写为QED。它主要研究电磁场与带电粒子相互作用的基本过程。在原则上，它的原理概括原子物理、分子物理、固体物理、核物理及粒子物理各领域中的电磁相互作用过程。它研究电磁相互作用的量子性质(即光子的发射和吸收)、带电粒子（例如正负电子）的产生和湮没以及带电粒子之间的散射、带电粒子与光子之间的散射等。从应用范围的广泛、基本假设的简单明确、与实验符合程度的高度精确等方面看，在现代物理学中是很突出的。 内容量子电动力学认为，两个带电粒子（比如两个电子）是通过互相交换光子而相互作用的。这种交换可以有很多种不同的方式。最简单的，是其中一个电子发射出一个光子，另一个电子吸收这个光子。稍微复杂一点，一个电子发射出一个光子后，那光子又可以变成一对电子和正电子，这个正负电子对可以随后一起湮灭为光子，也可以由其中的那个正电子与原先的一个电子一起湮灭，使得结果看起来像是原先的电子运动到了新产生的那个电子的位置。更复杂的，产生出来的正负电子对还可以进一步发射光子，光子可以在变成正负最终表现为两个电子之间的相互所有这些复杂的过程，电子对……而作用。量子电动力学的计算表明，不同复杂程度的交换方式，对最终作用的贡献是不一样的。它们的贡献随着过程中光子的吸收或发射次数呈指数式下降，而这个指数的底，正好就是精细结构常数。或者说，
在量子电动力学中，任何电磁现象都可以用精细结构常数的幂级数来表达。这样一来，精细结构常数就具有了全新的含义：它是电磁相互作用中电荷之间耦合强度的一种度量，或者说，它就是电磁相互作用的强度。 发展过程1925年量子力学创立之后不久，P.A.M.狄喇克于1927年、W.K.海森伯和W.泡利于1929年相继提出了辐射的量子理论，奠定了量子电动力学的理论基础。在量子力学范围内，可以把带电粒子与电磁场相互作用当作微扰，来处理光的吸收和受激发射问题，但却不能处理光的自发射问题。因为如果把电磁场作为经典场看待，在发射光子以前根本不存在辐射场。原子中处于激发态的电子是量子力学中的定态，没有辐射场作为微扰，它就不会发生跃迁。自发射是确定存在的事实，为了解释这种现象并定量地给出它的发生几率，在量子力学中只能用变通的办法来处理。一个办法是利用对应原理,把原子中处于激发态的电子看成是许多谐振子的总和，把产生辐射的振荡电流认定与量子力学的某些跃迁矩阵元相对应，用以计算自发射的跃迁几率。从这个处理办法可以得到M.普朗克的辐射公式，以此反过来说明对应原理的处理是可行的。另外一种办法是利用A.爱关于自发射几率和吸收几率间的关系。虽然这些办法所得的结因斯坦但在理论上究竟是与量子力学体系相矛盾的果可以和实验结果符合， ──量子力学的定态寿命为无限大。 狄喇克、海森伯和泡利对辐射场加以量子化。除了得到光的波粒二象性的明确表述以外，还解决了上述矛盾。电磁场在量子化以后,电
量子力学第十一章
第十一章：量子跃迁 [1] 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为)(ωρ，波长较长，求： （1）跃迁选择定则。 （2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 （解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。 （1）跃迁选择定则： 为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396） )(34/ /'2 22 2 k k k k k k r q W ωρπ→ = （1） 式中2 ' → k k r 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，→ k k r / 仅有一项 2 /k k x )(34/ /'2 22 2 k k k k k k x q W ωρπ = （2） 根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 dx x k k k ? ∞ ∞ -= ) 0(' /ψ （3） 式中)(2 )(!)0(ax H k a x k k k πψ = ， μω= a ~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： }2 12 { 1 )0(1 )0(1 )0(+-++ = k k k k k x ψ ψ α ψ （4） 代入（3），利用波函数的正交归一化关系： mn n x n dx δψ ψ =?)0(* )0( dx k k x k k k k k ? ∞ ∞ -+-++ ? = }2 12 { 1 )0(1 )0(1 *)0(' 'ψ ψ α ψ
1 ,1 ,' ' 2 112 1+-++ = k k k k k k δα δα （5） 由此知道，对指定的初态k 来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态'k 和初态k 的关系必需是： ,1' -=k k 这时2 1,1' k k x x k k k α= =- （6） ,1' +=k k 这时2 11 ,1'+= =+k k x x k k k α 因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是1。 （2）每秒钟从基态0=k 跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到： )()2 11( 34102 2 2 210ωρα π q W = )(321010 2 2 2 ωρμωπ q = ~447~ [2]设有一带电q 的粒子，质量为μ，在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长a >>λ。 （1）求跃迁的选择定则。 （2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。 （解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。 （1）跃迁选择定则： 按第三章§3.1一维无限深势阱定态波函数是：（原点取在势阱左端） a x k a x k πψsin 2)(= （1） 根据此式计算矩阵元： dx a x k x a x k a x a x k k ππsin sin 2 ' '??= ?= dx a x k k a x k k x a a x ?=+--= ' ' ])(cos )([cos 1 ππ 利用不定积分公式： 2 cos sin cos p px x p px pxdx x x + ?= ? (2)
量子力学与统计力学各章习题Word版
《量子力学与统计力学》各章习题 习题一 1.1、一颗质量为20克的子弹以仰角30o初速率500米/秒从60米的高度处射出。求在重力 作用下该子弹着地前的轨道以及射出50秒后对射出点的位矢、速度、动量、角动量、动 能和机械能。（不考虑空气阻力，重力加速度取10米/秒2 ，地面为零重力势能面）。 1.2、在极坐标平面中任取两点P 1和P 2，但它们和极点三者不共线。试分别画出在P 1和P 2处 的极坐标单位矢。 1.3、在球坐标系中任取一点P ，试画出P 点的球坐标单位矢。 1.4、对于做斜上抛运动的子弹，以抛出点为坐标系原点建立直角坐标系。试分别选取两组不 同的广义坐标，并用之表示子弹在任一时刻的直角坐标。 1.5、氢原子由一个质子和一个电子组成。试说明一个孤立氢原子体系是基本形式的Lagrange 方程适用的体系。 1.6、证明: Lagrange 方程的基本形式（1.59）式可写为如下的Nielsen 形式： αα αQ q T q T =??-??2 ,s ,,2,1 =α 1.7、设一个s 自由度的体系的广义坐标为αq ),,2,1(s =α。试证明存在一个任意可微函 数),,,,(21t q q q F s ，由它与该体系的Lagrange 函数构成的如下函数 dt t q q q dF s ) ,,,,(L L 21 + =' 满足Langrange 方程（1.67）式。 1.8、设一个s 自由度的体系的广义坐标为αq ),,2,1(s =α，满足Langrange 方程（1.67） 式的Lagrange 函数为),,,,,,,,(L 2121t q q q q q q s s 。设存在另一组广义坐标αξ，),,2,1(s =α，且有变换方程 ),,,,(21t q q s ξξξαα =，s ,,2,1 =α 此变换叫做点变换。证明： 若通过上述点变换将),,,,,,,,(L 2121t q q q q q q s s 变 换为),,,,,,,,(L L 2121t s s ξξξ ξξξ =，则有 s dt d , ,2 ,1 ,0L )L ( ==??-??αξξα α 这就是说，Lagrange 方程的形式与所选用的广义坐标无关。 1.9、一个质量为m 的物体在地球(质量为M )引力场中做周期运动。以地心为极点在轨道平面 上建立极坐标系),(?r ，并选极坐标为广义坐标。 1）、写出该物体的Lagrange 函数，广义动量，所受的广义力，并由Lagrange 方程导出 该物体的径向和横向运动方程； 2）、写出该物体的Hamilton 函数， 并由Hamilton 正则方程导出该物体的径向和横向运动方程。
第5章 微扰理论-量子跃迁
§6.含时微扰论 前面，我们解决的是H ?与t 无关，但不能直接求解，而利用0 2 0V m 2P H ?+=有解析解，并且0 1V V H ?-=较小，通过微扰法求解)r (E )r ()p ?,r (H ?ψψ=的近似结果。有时也能用试探波函数，通过变分来获得。 现在要处理的问题是：体系原处于0H ?的本征态（或叠加），而有一与t 有关的微扰)t (H ?1 附加到该体系。显然，这时体系的能量不是运动常数，其状态并不处于定态（即使1H ?在一段时间中不变），在0H ?的各定态中的几率并不是常数，而是随时间变化的。而且无法获得解析结果。有时附加作用在一段时间之后结束，这时体系处于0 H ?的本征态的几率又不随时间变化。当然，这与作用前的几率已有所不同。也就是，体系可以从一个态以一定几率跃迁到另一态，这称为量子跃迁。这就需要利用含时间的微扰论。总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。 H ?与t 有关，体系原处于)P ?,r (H ?0 ，随t 加一微动)t (V ψψH ?t i =?? , )t (V H ?)t (H ?0 += 因0 H ?不显含t ，而有 )r (E )r (H ?n 0n n 0??= 则 ψψ0 H ?t i =?? 的通解为 ∑-=ψn t iE n n 0n e a )t ,r ( ? 0H 的定态 ∑=n n )t ,r (a ψ t iE n n e )r ()t ,r (?ψ= 而 n a 是常数 ))0,r (),r (())t ,r (),t ,r ((a n n n ψ=ψ=?ψ 不随t 变 当nk n a δ=时，即0t =，处于)r (k ?时
在过去几十年中量子场论及超弦中有关几何拓扑的数学物理问题研究.
中国高等科学技术中心 简报2009—05 2009.1.12 数学物理前沿问题 上世纪八十年代以来，现代数学物理研究已经深入到数学和物理的很多领域，并且取得了极其重要的成果，成为21世纪数学和物理学发展的重点方向。为更加深入推动国内数学物理的发展，中国高等科学技术中心10月13日-17日组织了“数学物理前沿问题”工作周，该工作周由中科院数学与系统科学研究院王世坤研究员和首都师范大学吴可教授负责组织，有来自中科院理论物理所、中科院高能物理所、中科院数学与系统科学研究院、中科院研究生院、北京应用物理与计算数学所、北京大学、清华大学、中国科技大学、浙江大学、首都师范大学、广州华南理工大学、河南大学，湖南师范大学、山东理工大学和宁波大学等单位的五十余名代表参加，其中有14名国内数学物理知名教授和研究员，16名青年学者，约25名数学物理方面的研究生。 工作周研讨的主要内容包括四个方面：1 超弦理论和量子场论中的数学物理问题；2 辛几何、保辛结构算法和离散变分方法；3 协变的延拓结构理论及其推广；4 共形不变性、de Sitta狭义相对论和引力理论。其中第2～3三个研究方向是由我们中国学者提出并开拓的研究方向，这个工作周的一个目的是回顾和总结国内在这些领
域主要研究成果和新的进展，介绍国际上超弦理论和量子场论等数学物理研究的进展，为参加这次讨论班的青年研究人员和研究生指出新的研究方向和研究问题，推动国内有特色的数学物理研究。 工作周期间，共安排了21个学术报告，中科院理论物理研究所的代表详细地报告了The special relativity triple的研究；中科院数学与系统科学研究院的代表介绍了“动力系统几何算法若干问题与进展”；浙江工业大学的代表报告了把离散变分方法用于图形的传输和再生的研究；首都师范大学的代表介绍了将协变的延拓结构理论和方法推广到研究超对称的可积方程和离散可积方程；北京大学的代表报告了在AdS/CFT对应中的半经典弦的研究成果。这些学术报告比较系统地介绍了关于辛几何、保辛结构算法和离散变分方法、协变的延拓结构理论和三个狭义相对论及其研究进展，也介绍了部分突出的研究成果。 “数学物理前沿问题”工作周的一个主要特点是紧密结合我国有优势的数学物理前沿研究，密切结合当前国际上重要的数学物理研究，安排学术报告，开展自由讨论。工作周期间，与会学者踊跃交流，研究生虚心求教，就一些尚未解决的问题深入讨论，为下一步的研究工作打下了良好的基础。研究生普遍反映很有受益。 全体与会人员最后对高科技中心所提供的学术讨论的环境、以及热情安排和周到服务深表感谢。 吴可王世坤供稿
实数编码量子进化算法
第23卷第1期 Vol.23No.1 控 制 与 决 策 Cont rol and Decision 2008年1月 J an.2008 收稿日期:2006210211;修回日期:2007201224. 基金项目:交通部西部交通建设科技项目(200431882053). 作者简介:高辉(1969—),男,吉林松源人,博士生,从事智能控制、智能交通系统等研究;徐光辉(1964— ),男,辽宁锦州人,副教授,博士,从事城市轨道交通和交通系统动力学的研究. 文章编号:100120920(2008)0120087204 实数编码量子进化算法 高 辉1,徐光辉1,张 锐2,王哲人1 (1.哈尔滨工业大学交通科学与工程学院,哈尔滨150090;2.哈尔滨理工大学自动化学院,哈尔滨150080) 摘 要:为求解复杂函数优化问题,基于量子计算的相关概念和原理,提出一种实数编码量子进化算法.首先构造了由自变量向量的一个分量和量子比特的一对概率幅为等位基因的三倍体染色体,增加了解的多样性;然后利用量子旋转门和依据量子比特概率幅满足归一化条件设计的互补双变异算子进化染色体,实现局部搜索和全局搜索的平衡.标准函数仿真表明,该算法适合求解复杂函数优化问题,具有收敛速度快、全局搜索能力强和稳定性好的优点.关键词:量子计算;量子进化算法;实数编码量子进化算法;函数优化中图分类号:TP18 文献标识码:A R eal 2coded qu antum evolutionary algorithm GA O H ui 1 ,X U Guan g 2hui 1 ,Z H A N G R ui 2 ,W A N G Zhe 2ren 1 (1.School of Communication Science and Engineering ,Harbin Institute of Technology ,Harbin 150090,China ;2.School of Automation ,Harbin University of Science and Technology ,Harbin 150080,China.Correspondent :GAO Hui ,E 2mail :zr_gh @https://www.wendangku.net/doc/6310799017.html, ) Abstract :In order to optimize the complex f unctions ,a real 2coded quantum evolutionary algorithm is proposed based on the relational concepts and principles of quantum computing.Real 2coded triploid chromosomes ,whose alleles are composed of a component of the independent variable vector and a pair of probability amplitudes of the corresponding states of a qubit ,are constructed to keep the population diversity.The complementary double mutation operator ,which is designed according to the probability amplitudes of a qubit f ulfilling the normalization conditions ,and the quantum rotation gate are used to update chromosomes and realize a good balance between exploration and exploitation.Simulation results on benchmark functions show that the algorithm is well suitable for the complex function optimization ,and has the characteristics of rapider convergence ,more powerf ul global search capability and better stability. K ey w ords :Quantum computing ;Quantum evolutionary algorithm ;Real 2coded quantum evolutionary algorithm ;Function optimization 1 引 言 进化算法在求解复杂函数优化和组合优化问题中得到广泛应用,但仍存在“早熟”和“停滞”现象.为解决这些问题,借鉴量子计算的概念和原理,人们提 出了量子进化算法(Q EA )[123].Q EA 采用基于量子比特概念构造的量子染色体,增加解的多样性,以克服“早熟”现象;并利用当前最优染色体信息,使用量子旋转门更新量子染色体,确保进化的方向性,以避免“停滞”现象.然而大量研究表明[426],尽管Q EA 在求解组合优化问题时比传统进化算法表现出更优良的性能,但不适合求解复杂函数优化问题.为此, 本文提出一种实数编码量子进化算法(RCQ EA ).RCQ EA 利用待求解复杂函数自变量向量的一个分 量和量子比特的一对概率幅组成染色体的等位基因,进而构造实数编码三倍体染色体,以增加解的多样性,并利用量子旋转门和依据量子比特概率幅满足归一化条件而设计的基于高斯变异的互补双变异算子一起进化染色体,实现算法局部搜索和全局搜索的平衡.标准函数仿真表明,RCQ EA 求解复杂函数优化问题具有很好的性能. 2 量子进化算法(QEA) 在Q EA 中[5],用一个具有n 个量子比特的量子
量子色动力学
量子色动力学 维基百科，自由的百科全书 量子色动力学（英语：Quantum Chromodynamics，简称QCD）是一个描述夸克胶子之间强相互作用的标准动力学理论，它是粒子物理标准模型的一个基本组成部分。夸克是构成重子（质子、中子等）以及介子（π、K等）的基本单元，而胶子则传递夸克之 间的相互作用，使它们相互结合，形成各种核子和介子，或者使它们相互分离，发生衰变等。 量子色动力学是规范场论的一个成功运用，它所对应的规范群是非阿贝尔的群，群量子数被称为“颜色”或者“色荷”。每一种夸克有三种颜色，对应着群的基本表示。胶子是作用力的传播者，有八种，对应着群的伴随表示。这个理论的动力学完全由它的规范对称群决定。 目录 [隐藏] ? 1 历史 ? 2 理论 ? 3 微扰量子色动力学 ? 4 非微扰量子色动力学 ? 5 参考文献 ? 6 外部链接
[编辑]历史 静态夸克模型建立之后，在重子质量谱和重子磁矩方面取得了巨大成功。但是，某些由一种夸克组成的粒子的存在，如等，与物理学的基本假设广义泡利原理矛盾。为解决这个问题，物理学家引入了颜色自由度，并且颜色最少有3种。这个时候颜色还只是引入的某种量子数，并没有被认为是动力学自由度。 静态夸克模型建立之后，经历了十年左右的各种实验，都没有发现分数电荷的自旋的夸克存在，物理学家被迫接受了夸克是禁闭在强子内部的现实。然而，美国的斯坦福直线加速器中心SLAC在七十年代初进行了一系列的轻强子深度非弹性散射实验，发现强子的结构函数具有比约肯无标度性(Bjorken Scaling)。为解释这个令人惊奇的结果，费曼由此提出了部分子模型，假设强子是由一簇自由的没有相互作用的部分子组成的，就可以自然的解释比约肯无标度性(Bjorken Scaling)。更细致的研究确认了部分子的自旋 为，并且具有分数电荷。 部分子模型和静态夸克模型都取得了巨大成功，但是两个模型对强子结构的描述有严重的冲突，具体来讲就是夸克禁闭与部分子无相互作用之间的冲突。这个问题的真正解决要等到渐近自由的发现。格娄斯，韦尔切克和休·波利策的计算表明，非阿贝尔规范场论 中夸克相互作用强度随能标的增加而减弱，部分子模型的成功正预示着存在的规范相互作用，N自然的就解释为原先夸克模型中引入的新自由度--颜色。 [编辑]理论 拉氏密度为 其中 是狄拉克矩阵
2、量子场论中的量子真空概念
2、量子场论中的量子真空概念 现代真空理论实质上是量子的。具体说来，真空的众多新奇物理性质，正是被量子场论逐步的研究所揭示。可见在当今，只有理解量子场论，才有可能深刻而正确地掌握真空概念的物理内涵。量子场论是研究量子场的结构、运动及相互作用规律及其时空特征的物理理论。当今量子场论有阿贝尔的和非阿贝尔两种形式。在量子场论中，研究电磁作用的量子理论，是量子电动力学，属于阿贝尔量子规范场论；研究强作用的量子理论是量子色动力学，研究弱作用和电磁作用统一的量子理论是量子味动力学，两者都属于非阿贝尔量子规范场论。 1.量子电动力学真空 （1）光子真空 不少物理学家认为，量子理论中的真空概念，最早起源于P.狄拉克（Dirac，1902—— 1984）对电子相对论波方程的负能态研究，然而事实并非如此。量子真空的思想源于狄拉克对辐射电磁场量子化的探讨，所以最早的量子真空并非电子真空，而是光子真空。 1927年，狄拉克发表了题为《辐射的发射和吸收的量子理论》论文，标志着量子电动力学的诞生。在这篇文章中，狄拉克用两种不同的方法，研究了原子和电磁辐射场的相互作用问题，可称为微扰方法和波动方法。在微扰方法处理中，光量子被视为一种粒子集合，在这个粒子集合中没有相互作用，粒子以光速运动，并且满足爱因斯坦波色统计。狄拉克在证明哈密顿量能导致辐射和吸收所遵循的爱因斯坦定律时，首次提出和应用了真空思想。 狄拉克假定对于光量子，存在一种零态。在这种态中有无数个光子，但它们都是不可观测到的。这些光子可以从这些零态跃迁到生成可观测到的实光子，即零态的激发；而实光子也可跃迁回到这种零态，成为不可观测到的虚光子，即激发态的消失。这种实光子的产生和湮没图像是狄拉克第一次提出来的。可以看到这正是现今量子电动力学中真空态的概念和光子真空的思想，而电子真空的概念则是在他的这种思想的基础上提出来的。 （2）电子真空 1928年，狄拉克在电子量子理论方面发表了两篇文章。在这两篇论文中，狄拉克讨论了克莱因. 高登（Klein-Gordon）方程解的困难，并提出了著名的电子相对论波方程。利用这个方程来研究氢原子能级分布时，给出氢原子的能级结构，并和当时的实验很好符合。从这个方程还可以自然地导出电自旋为1/2，并且电子自旋的回磁比为轨道角动量回磁比的2倍，使得人们相信，这是一个正确描述电子运动的相对性量子力学波方程。
量子统计力学
量子统计力学 一、课程编码： 课内学时：48 学分：3 二、适用学科专业：理论物理、凝聚态物理、光学 三、先修课程：量子力学、热力学与统计力学 四、教学目标 通过本课程的学习，掌握量子统计力学的基本概念，包括系综、配分函数、近独立粒子体系统计分布规律以及相变的分类及其基本规律；提升运用量子统计力学基本方法来分析解决和体系的热力学性质有关的问题的能力。 五、教学方式 课堂教学 六、主要内容及学时分配 1 量子统计物理学基础8学时 1.1 引言 1.2 存粹系综与混合系综 1.3 统计算符 1.4 刘维尔定理 1.5 统计物理的基本假设微正则系综 1.6 正则系综巨正则系综 1.7 计算密度矩阵举例 1.8 从统计物理出发推导三种独立粒子系统的统计分布 1.9 熵增加定律微观可逆性与宏观不可逆性 2 系综的配分函数3学时 2.1 配分函数与统计热力学 2.2 配分函数的经典极限 2.3 由巨正则系综出发推导理想气体的统计分布及物态方程 3 玻色系统8学时 3.1 理想玻色气体性质与BEC 3.2 非理想玻色气体中的BEC 3.3 多普勒致冷和磁--光陷阱 3.4 简谐势阱中理想玻色气体的BEC 4 超流性5学时 4.1 液氦He4中的超流相变 4.2液氦He4 II相的特征 4.3 超流体的涡旋运动 4.4 朗道超流理论 4.5 简并性近理想玻色气体 5 费米系统12学时 5.1 理想费米气体 5.2 朗道抗磁性 5.3 量子霍尔效应 5.4 泡利顺磁性 5.5 正常费米液体I：元激发 5.6 正常费米液体II：准粒子相互作用
6 相变与临界现象基本概念12学时 6.1 相变及其分类 6.2 序参量 6.3 热力学函数的临界指数 6.4 关联函数标度率 6.5 响应函数及其与关联函数的联系 6.6 涨落—耗散 6.7 平均场 6.8 平均场的失效 6.9 标度假设 6.10 普适性 6.11 自发对称破缺 6.12 Goldstone定理 6.13 空间维数与涨落 七、考核与成绩评定 平时成绩（作业）：30分 期终考试卷面分：70分 八、参考书及学生必读参考资料 1 必读书（教材）。作者：杨展如。书名：《量子统计物理学》。 出版地：北京。出版社：高等教育出版社。出版年：2010年 2 参考书。作者：张先蔚。书名：《量子统计力学》[第二版]。 出版地：北京。出版社：科学出版社。出版年：2008年。 九、大纲撰写人：杨帆
量子理论
量子理论 19世纪末20世纪初，物理学处于新旧交替的时期。生产的发展和技术的提高，导致了物理实验上一系列重大发现，使当时的经典物理理论大厦越发牢固，欣欣向荣，而唯一不协调的只是物理学天空上小小的"两朵乌云"。但是正是这两朵乌云却揭开了物理学革命的序幕：一朵乌云下降生了量子论，紧接着从另一朵乌云下降生了相对论。量子论和相对论的诞生，使整个物理学面貌为之一新。 中文名量子论外文名Quantum theory别称量子力学提出者普朗克提出时间1900年应用学科物理学适用领域范围黑体辐射数学基础微分几何、线性代数目录1简介2量子理论的发展与建立 ?历史的孕育 ?旧量子论的建立1简介编辑量子论是现代物理学的两大基石之一。量子论给我们提供了新的关于自然界的表述 方法和思考方法。量子论揭示了微观物质世界的基本规律，为原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学奠定了理论基础。它能很好地解释原子结构、原子光谱的规律性、化学元素的性质、光的吸收与辐射等。 2量子理论的发展与建立编辑该文回顾了从量子理论提出到量子力学建立的一段历史,详细叙述了在量子理论发展过程中每一种新的思想提出的曲折经过. 19世纪末20世纪初,物理学处于新旧交替的时期.生产的发展和技术的提高,导致了物理实验上一系列重大发现,使当时的经典物理理论大厦越发牢固，欣欣向荣，而唯一不协调的只是物理学天空上小小的"两朵乌云"。但是正是这两朵乌云却揭开了物理学革命的序幕:一朵乌云下降生了量子论,紧接着从另一朵乌云下降生了相对论.量子论和相对论的诞生,使整个物理学面貌为之一新. 马克思有句名言:"历史上有惊人的相似之处."正处于新的世纪之交的20世纪的物理学硕果累累,但也遇到两大困惑----夸克禁闭和对称性破缺.这预示着物理学正面临新的挑战.重温百年前量子论建立与发展的那段历史,也许会使我们受到新的启迪. 历史的孕育 在19世纪末,经典物理学理论已经发展到相当完备的阶段.几个主要部门----力学,热力学和分子运动论,电磁学以及光学,都已经建立了完整的理论体系,在应用上也取得了巨大成果.其主要标志是:物体的机械运动在其速度远小于光速的情况下,严格遵守牛顿力学的规律;电磁现象总结为麦克斯韦方程组;光现象有光的波动理论,最后也归结为麦克斯韦方程组;热现象有热力学和统计物理的理论.在当时看来,物理学的发展似乎已 达到了颠峰.于是,多数物理学家认为物理学的重要定律均已找到,伟大的发现不会再有了,理论已相当完善了.以后的工作无非是在提高实验精度和理论细节上作些补充和修正,使常数测得更精确而已.英国著名物理学家开尔文在一篇瞻望20世纪物理学的文章中,就曾谈到:"在已经基本建成的科学大厦中,后辈物理学家只要做一些零碎的修补工作就行了."然而,正当物理学界沉浸在满足的欢乐之中的时候,从实验上陆续出现了一系列重大发现.如固体比热,黑体辐射,光电效应,原子结构cdots cdots这些新现象都涉及物质内部的微观过程,用已经建立起来的经典理论进行解释显得无能为力.特别是关于黑体辐射的实验规律,运用经典理论得出的瑞利-金斯公式,虽然在低频部分与实验结果符合得比较好,但是,随着频率的增
量子力学与统计物理习题解答(理论物理导论)北理工_李卫_修订版
量子力学与统计物理习题解答 第一章 1. 一维运动粒子处于?? ?≤>=-) 0(0 )0()(x x Axe x x λψ 的状态，式中λ>0，求 （1）归一化因子A ； （2）粒子的几率密度； （3）粒子出现在何处的几率最大？ 解：（1）? ?∞ -∞ ∞-* =0 222 )()(dx e x A dx x x x λψψ 令 x λξ2=，则 3 23 23 2 2320 222 4! 28) 3(88λ λλξ ξλ ξ λA A A d e A dx e x A x = ?=Γ= = -∞ ∞ -? ? 由归一化的定义 1)()(=?∞ ∞-* dx x x ψψ 得 2/32λ=A （2）粒子的几率密度 x e x x x x P λλψψ22 3 4)()()(-* == （3）在极值点，由一阶导数 0)(=dx x dP 可得方程 0)1(2=--x e x x λλ 而方程的根 0=x ；∞=x ；λ/1=x 即为极值点。几率密度在极值点的值 0)0(=P ；0)(lim =∞ →x P x ；2 4)/1(-=e P λλ 由于P(x)在区间(0，1/λ)的一阶导数大于零，是升函数；在区间(1/λ，∞)的一阶导数小 于零，是减函数，故几率密度的最大值为2 4-e λ，出现在λ/1=x 处。 2. 一维线性谐振子处于状态 t i x Ae t x ωαψ2 12122),(--= （1）求归一化因子A ； （2）求谐振子坐标小x 的平均值；
（3）求谐振子势能的平均值。 解：（1）? ?∞ ∞ --∞ ∞-* =dx e A dx x 2 22 αψψ ?∞ -=0 22 2 2dx e A x α ? ∞ -=0 2 2 2ξα ξ d e A α π 2 A = 由归一化的定义 1=?∞ ∞ -*dx ψψ 得 π α=A （2） ?? ∞ ∞ -∞ ∞ --== dx xe A dx x xP x x 2 22 )(α 因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故 0=x （3）? ∞∞-= dx x P x U U )()( ? ∞ ∞ --=dx e kx x 2 22 21απ α ? ∞ -=0 2 2 2 dx e x k x απα ? ∞ -=0 22 2 ξξπα ξ d e k ?? ? ? ??+ -=? ∞ -∞ -0 2 2 221ξ ξπαξ ξ d e e k ? ∞ -= 2 2 21 ξπ αξ d e k 2 212 π πα k = 2 4αk = 将2μω=k 、 μω α =2 代入，可得 0214 1E U = =ω 是总能量的一半，由能量守恒定律 U T E +=0 可知动能平均值 U E U E T == -=002 1 和势能平均值相等，也是总能量的一半。 3．设把宽为a 的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点，有
量子纠错码的一个统一构造方法
第37卷 第3期2010年3月计算机科学Comp uter Science Vol.37No.3Mar 2010 到稿日期:2009204215 返修日期:2009207215 本文受863国家重点基金项目(2007AA01Z472),国家自然科学基金(60773002,60672119, 60873144),教育部留学回国人员科研启动基金,ISN 开放课题,安徽省自然科学基金(090412251)资助。 钱建发(1976-),男,讲师,主要研究方向为编码理论、量子通信等,E 2mail :qianjianfa @https://www.wendangku.net/doc/6310799017.html, ;马文平(1966-),男,教授,主要研究方向为编码、密码等。 量子纠错码的一个统一构造方法 钱建发1,2 马文平1 (西安电子科技大学ISN 国家重点实验室 西安710071)1 (安徽理工大学理学院 淮南232001)2 摘 要 在量子通信和量子计算中,量子纠错码起着至关重要的作用。人们已经利用Hamming 码、BCH 码、Reed 2Solomon 码等各种循环码、常循环码、准循环码来构造量子纠错码。利用准缠绕码将这些构造方法统一起来,给出了准缠绕码包含其对偶码的充分必要条件及准缠绕码的一个新构造方法,并且利用准缠绕码构造了新的量子纠错码。关键词 量子纠错码,准缠绕码,循环码,常循环码,准循环码中图法分类号 TN918 文献标识码 A U nif ied Approach to Construct Q uantum E rror 2correcting Code Q IAN Jian 2fa 1,2 MA Wen 2ping 1 (National Key Laboratory of ISN ,Xidian University ,Xi ’an 710071,China )1 (College of Science ,Anhui University of Science and Technology ,Huainan 232001,China )2 Abstract Quantum error 2correcting codes play an important role in not only quantum communication but also quantum computation.All kinds of cyclic codes ,for example ,Hamming codes ,BCH codes and Reed 2Solomon codes et al.,consta 2cyclic codes and quasi 2cyclic codes have been used to construct quantum error 2correcting codes.An unified approach to construct quantum error 2correcting codes was presented by using quasi 2twisted codes.A sufficient and necessary condi 2tion for quasi 2twisted contained its dual codes ,and a new method for constructing quasi 2twisted codes was given.Moreo 2ver ,new quantum quasi 2twisted codes were obtained by using quasi 2twisted codes.K eyw ords Quantum error 2correcting codes ,Quasi 2twisted codes ,Cyclic codes ,Constacylic codes ,Quasi 2cyclic codes 量子通信和量子计算理论的提出,为将来信息技术的深入发展开辟了一个全新的领域。为了实现量子信息的可靠传输与处理,必须保证量子状态经过一定的时空距离后保持不变或能够正确恢复。然而,量子系统不可避免地会受到外界环境的干扰,这必然导致量子状态发生错误,因此要实现可靠的量子通信和计算,量子纠错编码是必不可少的。 1995-1996年,Shor [1]和Stean [2]将量子错误的复杂机 制简化为逐位纠错的物理模型,将每个量子位的错误归结为有限个Pauli 算子。基于此,Shor 给出了第一个量子纠错码[1,3,9]。1998年Calderbank 等人[3]利用有限交换群的特征理论给出构造量子码的系统数学方法,通过构造F 2和F 4上具有某种特性的经典纠错码来构造量子纠错码(稳定子码)。 此后,人们使用各种经典纠错码来构造量子纠错码[427]。在文献[8]中,Beth 等人利用Hamming 码来构造量子纠错码;文献[9]中,Aly 等人利用BCH 码来构造量子纠错码;文献[10]中,Grassl 等人利用Reed 2Solomon 码来构造量子纠错码;文献[11]中,Lin 利用循环码和常循环码来构造量子纠错码,文献[12]利用准循环码构造了一批量子纠错码。 本文利用准缠绕码来构造量子纠错码,给出了准缠绕码包含其对偶码的充分必要条件及准缠绕码的一个新的构造方 法。研究结果表明,我们的方法是上述量子纠错码构造方法 的统一,各种量子循环码(量子Hamming 码、量子BCH 码、量子Reed 2Solomon 码)、量子常循环码、量子准循环码都是量子准缠绕码的特例。 1 基本概念 假设p 是一个素数,m 是一个正整数,令q =p m ,F q 记为元素为q 的有限域。 经典的q 元线性码C 是F q 上的n 维向量空间F n q 的一个k 维子空间,记为[n ,k ,d ],其中d 是码C 的非零码字c 的最小Hamming 重量。 下面在有限域F q 上定义Euclidean 内积。 设u =(u 0,u 1,…,u n -1),v =(v 0,…,v n -1)∈F n q ,则u 和v 的Euclidean 内积为 u ?v =∑n -1 i =0 u i v i 线性码C 的Euclidean 对偶码定义为:C ⊥={u ∈F n q |u ?c = 0,c ∈C}。显然,C ⊥是线性码[n ,n -k ]。如果C ΑC ⊥,则称C 是自正交码。 引理1[3](CSS 构造) 如果存在自正交的线性码C =[n ,k ],则存在量子纠错码[n ,n -2k ,d],其中d =min {w t (c )|c ∈ ? 07?
量子场论 课程教学大纲
量子场论课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 课程名称：量子场论 所属专业：理论物理 课程性质：专业课 学时：72 学分：4 （二）课程简介、目标与任务； 近一个世纪以来，量子场论一直是了解微观世界的重要工具，是粒子物理的重要理论基础，并已广泛应用于微观物理其他领域。场的量子化解释了场与粒子之间的内在联系，而量子场论合理地描述了粒子的产生、湮灭，及其相互转化现象。上世纪五十年代初建立的体系完整的量子电动力学（QED），是关于带电粒子、光子及其相互作用的量子场论，是U(1)的阿贝尔规范场理论。光子的辐射与吸收、光电效应、Compton散射，特别是氢原子的Lamb移动、电子磁矩的计算与实验的精确符合等，足以说明量子电动力学的正确性。此外，量子电动力学中建立的重整化理论也是成功的。弱电统一理论克服了过去四个费米子直接相互作用理论不能重整化的困难；预言了中性流并得到严格的实验支持；中微子、反中微子与核子和电子碰撞等过程与实验符合得很好。在强相互作用领域，上世纪七十年代发展和建立的量子色动力学（QCD）是SU(3)非阿贝尔规范理论，它是1954年杨振宁建立的SU(2)非阿贝尔规范理论的推广。由量子色动力学探讨核子之间相互作用的严格理论目前尚未解决。基本粒子之间的电磁相互作用、弱相互作用、强相互作用都是由规范理论建立起来的，三种相互作用是由三类规范玻色子传递的。量子场论就是研究以三代轻子和三代夸克作为基本粒子，以强子夸克模型和弱电统一理论与量子色动力学为基础的标准模型。量子场论(一)主要研究量子电动力学。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 分析力学、电动力学、量子力学 （四）教材与主要参考书。 量子场论，段一士，高等教育出版社，2015年 二、课程内容与安排 第一章绪论（4学时） 1.1 组成物质的基本粒子,轻子和夸克 1.2 量子场论、规范场论和规范玻色子 1.3 自然单位