专题复习一集合与简易逻辑
专题一 集合、常用逻辑用语
第一讲：4课时
高考热点一： 集合
[命题方向] ：
1．以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补的基本运算. 2.利用集合之间的关系求解参数的值或取值范围.
3.以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算． [真题感悟，自主突破]：
1.（12年江苏）已知集合A={1,2,4}，B={2,4 ,6},则A ∪B ＝
2.（10年江苏）设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{ a +2，a 2+4}，且 A ∩B ＝{3}，则实数a ＝
解析：3∈B, a+2=3, a=1.
3. （09年江苏）已知集合A ＝{x |log 2x ≤2 }，B ＝(－∞，a )，若A ?B ，则实数a 的取值范围是(c ，+∞),其中c ＝ 解析：由2
log 2x ≤得04x <≤，
(0,4]A =；由A B ?知4a >，所以
c =4。
[典型题例，精析巧解]：
1．(14年山东)设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B
＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝
解析：由|x －1|＜2?－2＜x －1＜2，故
－1＜x ＜3，即集合A ＝(－1,3)．根据指数函
数的性质，可得集合B ＝[1,4]．
所以A ∩B ＝[1,3)．
2．已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜2}，
且A ∪(?R B )＝R ，则实数a 的取值范围是
解析：由于A ∪(?R B )＝R ， ∴B ?A ，∴a ≥2
3.在平面直角坐标系中，A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}，B ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0,3x －4y ≥0}，则P ＝{(x ，y )|x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2，(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }所表示的区域的面积为
[解析] 由x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2，得x 1＝x －x 2，y 1＝y －y 2，因为(x 1，y 1)∈A ，所以把x 1＝x －x 2，y 1＝y －y 2代入x 2＋y 2≤1可
得，(x －x 2)2＋(y －y 2)2≤1，
点集P 所表示的集合是以集合B ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0,3x －4y ≥0}的区域为圆心，半径为1的圆内部分，如图中阴影部分所示，其面积为5＋6＋4＋3＋π＝18＋π
[同类拓展，变式训练]：
1. 设集合A={（x,y ）|y ＝-4x +6}，B={（x,y ）
|y ＝3x -8},则A ∩B ＝
2. 设集合M={2，x 2}，N ={2，x},若M =N ，
则x ＝
3. 设集合A ＝{x ||x －a|＜1,x ∈R }，B ＝{ x |1
＜x ＜5,x ∈R }，若A ∩B ＝
,则实数a 的取值范围是 4.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝49－x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋m }，且A ∩B ≠?，则实数m 的取值范围是________
解析：集合A 表示以原点为圆心，7为半径的圆在x 轴及其上方的部分，A ∩B ≠?，表示直线y ＝x ＋m 与圆有交点，作出示意图可得实数m 的取值范围是[－7，7 2 ]．
高考热点二 命题及逻辑连结词
[命题方向]
1．命题的四种形式及命题的真假判断.
2．.复合命题的真假判断，常与函数、三角、解析几何不等式结合． [真题感悟，自主突破]： 1 (12年湖南)命题“若α＝
4
π
，则tan α＝1”的逆否命题是
解析：由命题与其逆否命题之间的关系知，逆否命题是：若tan α≠1，则α≠
4
π. 2． (14年陕西)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，原命题的逆命题为 ，是 命题。（填真或假） 解析：当z 1＝1，z 2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以是假的，故否命题也的 3．(14年辽宁)设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是
①p ∨q ②p ∧q ③ (
p )∧
(
q )④
p
∨
(
q )
解析：如图，若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →
，则a·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．. [典型题例，精析巧解]：
1．命题：“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是
[解析] ： (1)∵“－1＜x ＜1”的否定是x ≥1，或x ≤－1.∴逆否命题为：若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1.
2．命题A ：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不经过第四象限．那么命题
A 的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中假命题的个数是
[解析] ：易知命题A 是真命题，其逆否命题也是真命题，A 的逆与否命题都是假命题． 3．设p ：关于x 的不等式ax ＞1的解集是{x |x ＜0}；q ：ax 2－x ＋a ＞0恒成立，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则实数a 的取值范围是________． [解析]：根据指数函数的单调性，可知命题p 为真时，设实数a 的取值集合为P ，则P ＝{a |0＜a ＜1}．对于命题q ：当a ＝0时，
不等式为－x ＞0，解得x ＜0，显然不成立；当a ≠0时，不等式恒成立的条件是
?
????
a ＞0，Δ＝(－1)2－4a ×a ＜0，解得a ＞1
2
.综上，命题q 为真时，设a 的取值集合为Q ，则Q ＝?
??
?
??a |a ＞12.由“p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命
题”可知命题p ，q 一真一假，设U 为实数集，当p 真q 假时，a 的取值范围是P ∩(?U Q )
＝{a |0＜a ＜1}∩?
??
?
??a |a ≤12＝?
???
??a |0＜a ≤12；当
p 假q 真时，a 的取值范围是(?U P )∩Q ＝{a |a ≤0或a ≥1}∩?
??
?
??a |a ＞12＝{a |a ≥1}．综
上，a 的取值范围是?
??
?
??a |0＜a ≤12∪{a |a ≥1}
＝???
?0，1
2∪[1，＋∞)． [同类拓展，变式训练]： 1. 命题：“若f(x)是奇函数，则f(-x) 是奇函数”的否命题是__________ 2．有下列命题： p ：函数 f (x )＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π； q ：已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(－1，λ2)，c ＝(－1,1)，则(a ＋b )∥c 的充要条件是λ＝－1；其中所有的真命题是
__
3，已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________
1解析否命题是“若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数”
2解析 ∵f(x)＝－cos 2x ，∴T ＝π，故p 是
真命题；∵a ＋b ＝(λ－1，λ2＋1)，则λ2＋λ＝0，即λ＝－1或λ＝0，故q 是假命题； 3解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0，解得m ＜8.故m 的范围是[3,8)．
高考热点三 全称命题与特称命题
[命题方向]
1．全称命题与特称命题的否定及真假判断.
2.利用全称命题与特称命题的真假求参数值或范围． [真题感悟，自主突破]：
2．(14年天津)已知命题p ：?x ＞0，总有(x ＋
1)e x
＞
1
，
则
p 为_______
解析： “?x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1”． 2.下列命题中是假命题的是_______ ①．?x ∈????0，π
2，x ＞sin x ②．?x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2
③．?x ∈R, 3x ＞0 ④．?x 0∈R ，lg x 0＝0 解析：①由正弦线的定义易知x ＞sin x ，故?x ∈????0，π
2，x ＞sin x ，即①是真命题； ②sin x ＋cos x ＝2sin ???
?x ＋π
4≤2，所以不存在x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2，故②是假命题．③，由指数函数的值域?x ∈R,3x ＞0是真命题；④取x 0＝1，lg x 0＝lg 1＝0，故?x 0∈R ，lg x 0＝0是真命题．故②是假命题 [典型题例，精析巧解]：
1．(14年安徽)命题“?x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是_______
解析：否定是?x 0∈R ，|x 0|＋x ＜0. 2．下列命题中的假命题是_______
①．?x ∈R ，e x ＞0 ②．?x ∈N ，x 2＞0 ③?x 0∈R ，ln x 0＜1 ④?x 0∈N *，sin x 0＝1 解析：②当x ＝0，x 2＝0，与x 任意性矛盾，
3．已知命题：p ：?x 0∈R ，ax 20＋x 0＋1
2≤0.若命题p 是假命题，则a 的取值范围是____． 解析：因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即?x ∈R ，ax 2
＋x ＋12
＞0恒成立．当
a ＝0时，x ＞－1
2
，不满足题意；当a ≠0时，
要使不等式恒成立，则有???
?
?
a ＞0Δ＜0
，解得
?????
a ＞0a ＞12
，所以a ＞12，即a ∈ ? ??
??12，＋∞.
[同类拓展，变式训练]：
1．若命题p ：?x ∈R ，1
x 2＋x ＋1＞0，则其
否定是______．
解析：隐含条件1
x 2＋x ＋1＞0且x 2＋x ＋1≠0
∴?x ∈R ，1
x 2＋x ＋1＜0，或x 2＋x ＋1＝0.
2．命题p 1：?x ∈(0，＋∞)，????12x ＜????13x
；p 2：?x ∈(0,1)，12
log x ＞13
log x ；p 3：?x
∈(0，＋∞)，????12x ＞12
log x ；p 4：?x ∈???
?0，13，????12x ＜13
log x ，其中的真命题是_____
解析 取x ＝1
2，则12log x ＝1，
13log x ＝log 32＜1，p 2正确；当x ∈????0，13时，???
?1
2x ＜1，而13
log x ＞1，p 4正确．
3.若命题“?x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知，x 为任意实数时，都有ax 2－ax －2≤0成立．当a ＝0时，－2≤0显然
成立．当a ≠0时，由?
????
a ＜0，
Δ＝a 2
＋8a ≤0得－
8≤a ＜0.综上，实数a 的取值范围是[－8,0]．
高考热点四 充分必要条件的判定
[命题方向]
1．充要性的判定多与函数、不等式、三角、直线间关系、平面向量等易混易错的概念、性质相结合考查.
2.利用充要性求参数值或取值范围． [真题感悟，自主突破]：
1. (14天津)设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的_______条件
（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要） 解析：
构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为
奇函数．因为f (x )＝?????
x 2，x ≥0，
－x 2
，x ＜0，
所以函
数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ?f (a )＞f (b )?a |a |＞b |b |..充要条件
2． (14江西)下列叙述中正确的是_______ ①．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”
②．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要
条件是“a ＞c ” ③．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”
④．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β 解析：
由于“若b 2－4ac ≤0，则ax 2＋bx ＋c ≥0”是假命题，所以“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件不是“b 2－4ac ≤0”， ①错；∵ab 2＞cb 2，且b 2＞0，∴a ＞c .而a ＞c 时，若b 2＝0，则ab 2＞cb 2不成立，由此知“ab 2＞cb 2”是“a ＞c ”的充分不必要条件，②错；“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有
x2＜0”，③错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一条直线的两个平面平行，④正确．
3．(14重庆)已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是____ ①．p∧q②．
p∧
q
③．p∧q ④．p∧
q
解析：
命题p是真命题．由x＞2?x＞1，而x＞1?/ x＞2，因此“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则
q是真命题，p∧綈q是真命题，选④
[典型题例，精析巧解]：
1.(12天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos (x＋φ)(x∈R)为偶函数”的_______条件
[解析]
由条件推结论和结论推条件后判断．
若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，但是若f(x)＝cos (x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos (x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．
2.( 12安徽)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的_______
【解析】
利用面面垂直的性质定理及空间直线的位置关系，判定充分必要条件．
当α⊥β时，由于α∩β＝m，b?β，b⊥m，由面面垂直的性质定理知，b⊥α.
又∵a?α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．而当a?α且a∥m时，∵b⊥m，∴b ⊥a.而此时平面α与平面β不一定垂直，∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件，
3．设集合P＝{t|数列{n2＋tn(n∈N*)}单调递增}，集合Q＝{t|函数f(x)＝kx2＋tx在区间[1，＋∞)上单调递增}，若“t∈P”是“t∈Q”的充分不必要条件，则实数k的最小值为_____．
解析：因为数列{n2＋tn(n∈N*)}单调递增，所以(n＋1)2＋t(n＋1)＞n2＋tn，可得t＞－2n －1，又n∈N*，所以t＞－3.因为函数f(x)＝kx2＋tx在区间[1，＋∞)上单调递增，所
以其图象的对称轴x＝－t
2k≤1且k＞0，故t≥－2k，又“t∈P”是“t∈Q”的充分不必
要条件，所以－2k≤－3，即k≥3
2
，故实数k的最小值为
3
2.
[同类拓展，变式训练]：
1．(12年陕西)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋
b
i
为纯虚数”的________条件
解析：∵a＋
b
i
＝a－b i为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，而ab＝0时有a＝0或b＝0，∴由a＝0，b≠0?ab＝0，反之不成立．
∴必要不充分条件．
2. “cos α＝
3
5”是“cos2α＝－
7
25”的__条件
【解析】∵cos α＝3
5，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×925－1＝－
725，
∴由cos α＝35可推出cos 2α＝－7
25. 由cos 2α＝－725得cos α＝±3
5，∴由cos
2α＝－725不能推出cos α＝3
5.
3．已知p ：????
??
1－
x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若?p 是?q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________ 【解析】
解?
?????
1－
x －13≤2得p ：－2≤x ≤10， 又x 2－2x ＋1－m 2＝[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0，且m ＞0，
∴q ：1－m ≤x ≤1＋m .
∵?p 是?q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件．
由图得 ????
?
1－m ＞－21＋m ≤10m ＞0
或????
?
1－m ≥－21＋m ＜10m ＞0
∴0＜m ≤3.．
集合专题检测
1．设集合A ＝{x | 1＜x ＜4}，集合B ＝{x | x 2－2x －3≤0}，则A ∩(?R B )＝
2.已知集合A ＝{0,1}，B ＝{－1,0，a ＋3}，且A ?B ，则a 等于
3.已知集合A ＝{x | log 2x ＜1}，B ＝{x | 0＜x ＜c ，其中c ＞0}．若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是
3集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{x | 02
x b
x -<+}，若A ∩B ≠?，则实数b
的取值范围是________．
5已知集合M ＝{m ，－3}，N ＝{x | 2x 2＋7x ＋3＜0，x ∈Z }，如果M ∩N ≠?，则m 等于
6．设全集为R ， M ＝??????x ???
x 24＋y 2
＝1，N ＝??????
???
?x ?
?
?
x －3x ＋1≤0，则集合M ∩N ＝
7设全集U ＝R ，集合A ＝?
???
??
???
?x ∈Z ???
x 3－x ≥0
，B ＝{x ∈Z | x 2≤9}，则A ∩B ＝
8.已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0 9.设集合A ＝{x |1 6 1 x +≥1}，M ∩N ＝{1，2}，?U (M ∪N )＝{0}，(?U M )∩N ＝{4，5}，则M ＝ [规范解答] 1解析 ．解x 2－2x －3≤0得－1≤x ≤3，∴B ＝[－1,3]，则?R B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∴A ∩(?R B )＝(3,4)． 2∵A ?B ，∴a ＋3＝1，∴a ＝－2. 3解不等式log 2x ＜1，得0＜x ＜2，∴A ＝{x | 0＜x ＜2}．∵A ∪B ＝B ，∴A ?B ，∴c ≥2. 4解析：由题意得A ＝{x |－1 02 x b x -<+等价于(x －b )(x ＋2)<0，因为方程(x －b )(x ＋2)＝0的两根为－2和b ，又由A ∩B ≠?，所以b >－1.故填b >－1. 5解析 由2x 2＋7x ＋3＜0，得－3＜x ＜－1 2 ， 又x ∈Z ，∴N ＝{－2，－1}，又M ∩N ≠?，∴m ＝－2或－1. 6解析 根据椭圆的有界性知M ＝{x | －2≤x ≤2}，解不等式x －3 x ＋1 ≤0，得N ＝{x | －1＜x ≤3}． 7解析 图中阴影表示的是A ∩B ，化简集合：A ＝?????? x ∈Z ??? x x －3≤0＝ ? ????? ??? ? x ∈Z ???? ??? ?? x (x －3)≤0，x －3≠0＝{x ∈Z | 0≤x ＜3}＝{0,1,2}， B ＝{x ∈Z | －3≤x ≤3}＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{0,1,2}， 8 [解析]由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2 ，∴A ＝{1，2}． 由题意知B ＝{1，2，3，4}，∴满足条件的C 可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}． 9.解x 2－2x －3≤0得－1≤x ≤3，∴B ＝[－1，3]， 则?R B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∴A ∩(?R B )＝(3，4)． 10.解析：由 61x +≥1，得61x +－1≥0，即 5 1 x x -+≤0，解得－1 1设函数f (x )＝cos(2x ＋φ)，则“f (x )为奇函数”是“φ＝π 2 ”的________条件 解析：当φ＝π2时，可得到f (x )为奇函数，但f (x )为奇函数时φ＝π 2不一定成立，所以“f (x ) 为奇函数”是“φ＝π 2 ”的必要不充分条件． 2．已知p ：＜1，q ：x 2＋(a －1)x －a ＞0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知，p ：x ∈(－∞，1)∪(2，＋∞)，q ：(x －1)(x ＋a )＞0，由p 是q 的充分不必要条件可知p 中不等式的解集是q 中不等式的解集的真子集，从而有－a ＝1或1＜－a ＜2，所以实数a 的取值范围是(－2，－1]． 答案：(－2，－1] 3. 下列命题中，真命题是 A ．?x 0∈R ，0e x ≤0 B ．?x ∈R,2x ＞x 2 C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b ＝－1 D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件 解析 应用量词和充要条件知识解决． 对于?x ∈R ，都有e x ＞0，故选项A 是假命题；当x ＝2时，2x ＝x 2，故选项B 是假命题；当a b ＝－1时，有a ＋b ＝0，但当a ＋b ＝0时，如a ＝0，b ＝0时，a b 无意义，故选项C 是假命题；当a ＞1，b ＞1时，必有ab ＞1，但当ab ＞1时，未必有a ＞1，b ＞1，如当a ＝－1，b ＝－2时，ab ＞1，但a 不大于1，b 不大于1，故a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件，选项D 是真命题． 4.设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( ) A ．原命题真，逆命题假 B ．原命题假，逆命题真 C ．原命题真，逆命题真 D ．原命题假，逆命题假 解析：原命题的逆否命题：若a ，b 都小于1，则a ＋b ＜2，是真命题，所以原命题为真命题；原命题的逆命题：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，如a ＝3，b ＝－3满 足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但此时a ＋b ＝0，故逆命题为假命题，故选A. 答案：A 5 (20XX 年潍坊模拟)已知命题p ：?x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：?x ∈R ，(m ＋2)x 2＋1>0，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2，0) C ．(－2，0) D ．(0，2) 解析：若p 为真命题，则m <0；若q 为真命题，则m ≥－2.所以，若p ∧q 为真命题，则m ∈[－2，0)． 6 “a <－2”是“函数f (x )＝ax ＋3在区间[－1，2]上存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：当a <－2时，f (－1)f (2)＝(－a ＋3)(2a ＋3)<0，所以函数f (x )＝ax ＋3在区间[－1，2]上存在零点；反过来，当函数f (x )＝ax ＋3在区间[－1，2]上存在零点时，不能得知a <－2，如当a ＝4时，函数f (x )＝ax ＋3＝4x ＋3在区间[－1，2]上存在零点． 因此，“a <－2”是“函数f (x )＝ax ＋3在区间[－1，2]上存在零点”的充分不必要条件，选A. 7.。已知p ：|1－ 1 2 x -|≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若?p 是?q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意知，p 是q 的充分不必要条件， 即p 的解集是q 的解集的子集． 由p ：|1－ 12x -|≤2?－2≤12x -－1≤2?－1≤1 2 x -≤3?－1≤x ≤7， q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0?[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0，(*) 不等式(*)的解为1－m ≤x ≤1＋m ，所以1－m ≤－1且1＋m ≥7， 所以实数m 的取值范围是[6，＋∞)． 8. “x ＞y ＞0”是“x y ＞1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：x y ＞1?(x －y )y ＞0，由x ＞y ＞0，得x －y ＞0，y ＞0，所以x ＞y ＞0?x y ＞1，具有 充分性．由x y ＞1，得????? x ＞y y ＞0或? ???? x ＜y y ＜0，所以x y ＞1?/ x ＞y ＞0，不具有必要性，故选A. 答案：A 9.已知条件p ：x ≤1，条件q ：＜1，则綈p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 [审题导引] (1)求出綈p 与q 中x 的范围后，再判断； (2)先解p 与q 中的不等式，然后利用数轴求解． [规范解答] (1)?p ：x ＞1，又易知q ：x ＜0或x ＞1， ∴?p 是q 的充分不必要条件． 10.下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是 A ．a ＞b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2＞b 2 D ．a 3＞b 3 解析 ∵a ＞b ＋1＞b ，∴a ＞b ＋1是a ＞b 的充分条件， 但当a ＞b 时不能推出a ＞b ＋1，故选A. 11.已知p ：|x －10|＋|9－x |≥a 的解集为R ，q ：1 a ＜1，则綈p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 ∵|x －10|＋|9－x |≥1， 且|x －10|＋|9－x |≥a 的解集为R ， ∴p ：a ≤1，则?p ：a ＞1； 解不等式1 a ＜1，得q ：a ＜0或a ＞1， ∴?p 是q 的充分不必要条件． 答案 A 12.已知命题p 1：当x ，y ∈R 时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0. p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 内为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(?p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(?p 2)中，真命题是 A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 4 解析 解法一 p 1是真命题，事实上：(充分性)若xy ≥0，则x ，y 至少有一个为0或两者同号，∴|x ＋y |＝|x |＋|y |一定成立． (必要性)若|x ＋y |＝|x |＋|y |，两边平方，得x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋2|xy |＋y 2，∴xy ＝|xy |.∴xy ≥0.故p 1为真． 而对于p 2：y ′＝2x ln 2－12x ln 2＝ln 2? ? ???2x －12x ，当x ∈[0，＋∞)时，2x ≥12x ，又 ln 2＞0，∴y ′≥0，函数单调递增； 同理得当x ∈(－∞，0)时，函数单调递减，故p 2是假命题． 由此可知，q 1真，q 2假，q 3假，q 4真．故选C. 解法二 p 1是真命题，同解法一．对p 2的真假可以取特殊值来判断，如取x 1＝1＜x 2＝2，得y 1＝52＜y 2＝174；取x 3＝－1＞x 4＝－2，得y 3＝52＜y 4＝17 4，即可得到p 2是假命题，由此可知，q 1真，q 2假，q 3假，q 4真．故选C. 解法三 p 1是真命题，同解法一．对p 2：由于y ＝2x ＋2－x ≥2 2x ·2－x ＝2(等 号在x ＝0时取得)，故函数在R 上有最小值2，故这个函数一定不是单调函数，p 2是假命题，由此可知，q 1真，q 2假，q 3假，q 4真．故选C. 答案 C 【规律方法总结】 (1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义． (2)根据集合中元素的性质化简集合． (3)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化． 一般规律为：①若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解； ②若给定的集合是点集，用数形结合法求解； ③若给定的集合是抽象集合，用Venn 图求解． [方法与技巧] ： 1．解决四种命题间的关系问题，关键是分原命题的条件和结论，将原命题写成“若p则q”的形式，原命题写其它三种命题时要注意大前提必须放在前面． 2．判断一个命题的真假性可通过判断其等价命题(逆否题)的真假来判断．若为复合命题，则应借助真值表判断． 全(特)称命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并把结论否定；特称命题的否定是将存在量词改为全称量词，并把结论否定；而命题的否定是直接否定其结论． 判断充分、必要条件时应注意的问题 (1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A 是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A； (2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明； (3)要注意转化：若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若綈p是綈q的充要条件，那么p是q的充要条件．