求多面体外接球体积和面积

求多面体外接球体积和面积

一、一般方法：利用平面性质先找外心，再找球心。

1.一个四面体的所有棱长都为√2，四个顶点在同一球面上，求外接球的表面积。（3π）

二、正方体/长方体外接球：体对角线=直径

三、补全法：补成正方体或长方体

2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为√3，求其外接球的表面积。（9π）

3.例题1.

4. 正四棱锥S-ABCD 的底面边长和各侧棱长都为√2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，求此球的体积。（4/3π）

5. 在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，求四面体ABCD的外接球的体积.（125/6π）

立体几何

1.如图，四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD为矩形，三角形PAD为等腰三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB=1,AD=2,E、F分别为PC和BD的中点．

（1）证明：EF//平面PAD；

（2）证明：平面PDC⊥平面PAD；

（3）求四棱锥P-ABCD 的体积．

2.如图1-5所示，四棱锥P - ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2√17.点G，E，

F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

(1)证明：GH∥EF；

(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积(18)

3.如图1-4所示四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，

∠BAD=π/3，M为BC上一点，且BM=1/2

. (1)证明：BC⊥平面POM；

(2)若MP⊥AP，求四棱锥P-ABMO的体积．(5/16)

圆锥曲线

已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率e=√6/3，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为√3/2.

（1）求椭圆的方程

（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由

函数

(f x=，曲线y=f(x) 在点（1，f(1)）处的切线为y=e(x-1)+2,

)

(Ⅰ)求,a,b

（Ⅱ）证明：f(x)>1.

简单多面体外接球问题总结

简单多面体外接球球心的确定 一、知识点总结 1.由球的定义确定球心 ⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点. ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点. ⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心. 2．构造长方体或正方体确定球心 ⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体. 3.由性质确定球心 利用球心O与截面圆圆心 O的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连 1 线垂直于弦的性质，确定球心. 二：常见几何体的外接球小结

1、设正方体的棱长为 a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3 ）与棱相切的球半径。 （1）截面图为正方形EFGH的内切圆，得 2 a R=； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中 点，如图4作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得a R 2 2 =。（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角 面 1 AA作截面图得，圆O为矩形C C AA 1 1 的外接圆，易得a O A R 2 3 1 = =。 2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为a，O也是球心）内切球半径为：6 r a = 外接球半径为：a R 4 6 = 三：常见题型 1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 图1 图2 图3

多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法

多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 4x x x h h =??=??∴??=???=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12 r = ，球心到底面的距离d =.∴外接球的 半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 ，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补 .

多面体外接球半径常见的5种求法

多面体外接球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 多面体几何性质法 例1 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例2 ，则其外接球的表面积是 . 解 正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 2 2 2 2 29R =++=.∴294 R = . 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R = 寻求轴截面圆半径法 例3 正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴ 由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面. 又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ?的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球 的半径. 在ASC ? 中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=. ∴ASC AC ??是以为斜边的Rt . ∴ 12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43 V π =球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆， C D A B S O 1图3

常见几何体的体积和表面积公式及三视图

常见几何体的体积和表面积公式及三视图 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

常见几何体的体积和表面积公式及三视图谨记常见几何体的三视图特点：一般情况下，（1）视图中有两个是矩形的几何体是柱体；（2）视图中有两个是三角形的几何体是锥体；（3）视图有两个是梯形的几何体是台体；（4）视图中有两个是圆的几何体是球. （2016年全国II高考）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 【2011全国新课标，理6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( )【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 【2013课标全国Ⅰ，理8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3. （2016年全国I高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 28π3，则它的表面积是 【2017山东，理13】由一个长方体和两个1 4 圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该 几何体的体积为 . 【2014课标Ⅰ，理12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）

专题 多面体的外接球问题

专题 多面体的外接球问题 一、考点分析： 有关多面体外接球问题，是立体几何中的一个重点，也是近几年高考考题的一个热点，研究多面体外接球的知识，既要运用多面体的知识又要运用球的相关知识；特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中会起着至关重要的作用。 二、教学目标 1、了解多面体与其外接球的关系 2、掌握几种常见的多面体的外接球的计算方法。 三、教学重点、难点 不同类型的多面体与其外接球半径的求法 四、教学过程 （一）球的性质 性质1：用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面， 截线是圆。 大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心 性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面． 性质3: 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 下面的关系:22d R r -= （二）球体的体积与表面积： 3 4 13球、V R π= 224球面、S R π= （三）球与多面体的接、切 1.外接球球心到各顶点的距离相等(R ) 2. 内切球球心到各面的距离相等(r ) 五、经典模型： (一)汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题） 例1、已知正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，且高为4，体积为16.其外接球的表面积是 111120ABC A B C -∠1例2：直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若AB=AC=AA =2，BAC=，则此球的表面积等于（ ） (二)对棱相等模型 题型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（AB=CD,AD=BC,AC=BD ），求外接球问题 画出一个长方体(补形)，标出三组互为异面直线第一步：的对棱； A A 1 C 1B B C 1 A

专题18多面体的表面积和体积(解析版)

1 8 专题18 多面体的表面积和体积（解析版） 多面体，因其具有考查直观想象、逻辑推理、数学抽象的素养的特性，越来越引起出题专家组的青睐。 易错点1：基础知识不扎实 （1）对立几中一些常见结论要做到了然于胸，如：关于三棱锥中顶点在底面三角形上的射影问题的相关条件和结论要在理解的基础上加以熟记； （2）在思维受阻时，要养成回头看条件的习惯，问一问自己条件是否都用了呢？ 易错点2：平面化处理意识不强，简单的组合体画不出适当的截面图致误 易错点3：“想图、画图、识图、解图”能力的欠缺，多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误 易错点4：空间想象能力欠缺 题组一 1．（2016年全国III ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三 视图，则该多面体的表面积为 A ．18+ B ．54+ C ．90 D ．81 【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是 9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右 两个侧面是矩形，边长为3 ，故面积都为，则该几何体的表面积为2(9 +18+ 2．（2016全国II ）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积 为

2 8 A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ． 由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：( ) 2 2223 4l =+=， 21 π2 S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ． 3．（2015新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几 何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16 + 20π，则r = A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为 22222422016r r r r ππππ+++=+，所以2r =． 题组二 4．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视 图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为

多面体外接球半径常见的求法

多面体外接球半径常见求法 知识回顾： 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、公式法 例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同

一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 小结 本题是运用公式222 R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧

，则其外接球的表面积是 . 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两 两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R，则有2R= 变式1： 变式2：三棱锥O ABC -中，,, OA OB OC两两垂直，且

多面体外接球半径内切球半径常见几种求法

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 x x h h =??=??∴??=??=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12 r = ，球心到底面的距离d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直， ，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R =

多面体的体积和表面积计算公式大全

多面体的体积和表面积 「-一个蛆含三馅形的面积 M -粗合三角形的个数 u-惟底备嗣角皤交点 S = Q71+ 气+ 0 Si=an 国荏： 矿=*?』 5 = 2?cfi ? h +3寂。 6 ■ 2trR * h 空心直回柱： F =双中T 气=由耕 s= Mjnmdj?顼） 尺寸符号 体税（/）底面积（月 表面税（罚刨表面积（用） 『 =(? 4 =物' 长 方 体 A 棱 住 V V =a*b*h S = + a ? fi +b * h) d 三J/w*十护 V = ^F*h 3 S 二刀?丁 ■+ F 3\= ?!?/

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方-球缺的高 「-球缺半径 《-平切圆直径跖 =曲面面积『球缺 表面积 成-球半径 出。-底面半径 有-腰局 & -球心。至带底回心3）的距离 为-中间断面直径 I-底直径 [-桶高 a,b,c-半轴 r—圈注半役 tJ-?柱长F = *（『_鸟 3 43 $?点仲小） 芥=飒为-的） 矿小snfw’ S-4^2Ry?/以■明4无阳 矿.史（3爬+3词+殆 S = +西村 +的） 对于胭物嬲形棉体 J/ =史（2户+应4■兰占。 15 4 对于圆形橘体 4君渺十户） p = H]_

冬5-下底边长m-上底迓长卜上、下底遭距离（高） 尺寸符号V- -[(2^ +flj)& +口灼+a)6J 6 二一［口8 H 口中口U（b+ 四）+豹刀 6 fl = /? = 0.77^ 4 = 1414? =1.414./? J郭L+勺 -'血 fin er 2 常用图形求面积公式 田-边长 b-对角投 d"厂对墙恭 Ct-对龟钱夹侑 面积（F）表面积（S）

多面体的外接球半径的几种求法

多面体外接球半径常见的几种求法 白维亮 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 x x x h h =??=??∴??=??=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= ∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直， 则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就

多面体外接球半径常见的5种求法

多面体外接球半径常见的5种求法 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为，高为，则有 ∴正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.∴外接球的半径.. 小结 本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A. B. C. D. 解 设正四棱柱的底面边长为，外接球的半径为，则有，解得. ∴.∴这个球的表面积是.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为，则有.∴. 故其外接球的表面积. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有. 练习1 （2003 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） 3π B. 4π C. D. 6π 2（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ?与BEC ?分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）. A. 27 B. 2 C. 8 D. 24 3 （2008年浙江高考题）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ， DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥ ，O 的体积等于 . 4（2008年安徽高考题）已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上， B BCD A ⊥平面，B C DC ⊥，

立体几何多面体与外接球问题

1 立体几何多面体与外接球问题 1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________. 2、一个正方体的各顶点均在同一球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为____. 3、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，2,3，则此球的表面积为_____ 4、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是( ) A .16π B .20π C.24π D .32π 5、正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A. 1∶3 B. 1∶3 C. 1∶33 D. 1∶9 答案 C 7、一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2. 答案 242+ 8、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是______. 9、一个正四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( ) A.3π B.4π C.33π D.6π 10、 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A ．4 33 B ．33 C ． 43 D ．123 11、 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。 解:在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠=?,可得23BC =,由正弦定理,可得ABC ? 外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '?中，易得球半径5R = ，故此球的表面积为2 420R ππ=. 12、正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 ． 答案 8 13、如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是________．

简单多面体外接球球心的确定.docx

简单多面体外接球球心的确定 一、知识点总结 1.由球的定义确定球心 ⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点 . ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点 . ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点 . ⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到 . ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心 . 2．构造长方体或正方体确定球心 ⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥 . ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥 . ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体 . ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体 . 3.由性质确定球心 利用球心 O 与截面圆圆心 O 1 的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中点的连线垂直于弦的性 质，确定球心 . 二、典型例题 1、已知点 P 、 A 、B 、C 、D 是球 O 表面上的点， PA 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是边 长为 2 3 的正方形 .若 PA 2 6 ，则 OAB 的面积为多少 2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a ，顶点都在同一个球面上，则该球的表面 积为多少 3 、已知正三棱锥 P ABC ，点 P, A, B, C 都在半径为 3 的球面上 .若 PA, PB , PC 两两互 相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为多少 4、三棱锥 S ABC 中， SA 平面 ABC ， SA 2 ， ABC 是边长为 1 的正三角形，则其 外接球的表面积为多少 5、点 A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上， AB BC 2，AC 2 ，若四面体 ABCD 体 积的最大值为 2 ，则这个球的表面积为多少 3 6 、四面体的三组对棱分别相等，棱长为 5, 34, 41 ，求该四面体外接球的体积 . 7 、正四面体 ABCD 外接球的体积为 4 3 ，求该四面体的体积 . 8、若底面边长为 2 的正四棱锥 P ABCD 的斜高为 5 ，求此正四棱锥外接球的体积 . 9、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球 面上，且该六棱柱的体积为 9 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 8

多面体外接球半径常见的5种求法

多面体外接球半径常见的5种求法 文/郭军平 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 x x x h h =??=??∴??=??=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= ∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直， 则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直

简单多面体的外接球问题优秀教案

1 简单多面体的外接球问题 【学习目标】 能求简单多面体的外接球半径。 【问题】 1.什么是多面体的外接球？ 2.外接球的球心有什么特点？ 一、棱柱的外接球问题 【思考1】正方体的外接球球心在哪里？外接球半径是多少？长方体呢？ 答案： 2223122 a a b c ++例1．直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥=，求该三棱柱的外接球半径。 答案：132 【思考2】如果底面是“边长为6的等边三角形”呢？ 答案：43 例2．右图是某空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图是矩形，俯视图是等腰三角形，求该几何体的外接球半径。 13 例3．正六棱柱所有棱长均为1，求它的外接球的体积。 答案：555,26 R V = = 【思考3】是不是所有的棱柱都有外接球？ 二、棱锥的外接球问题 班级 姓名 C 1 A 1 B 1 C B A 4 4 22 22 正视图 侧视图 俯视图

2 例4．已知三棱锥P ABC -中，侧棱PA 垂直于底面ABC ，若2,3,3AB AC PA ===，且AB AC ⊥，求该三棱柱的外接圆半径。 答案：2 【变式】右图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图是直角三角形，俯视图是一个等腰直角三角形， 若该几何体外接球的表面积为6π，则正视图中三角形的高x =（ ） A.1 B.2 C.3 D.2 答案：D 【思考4】如果底面是“边长为2的等边三角形”呢？ 答案：63 例5．正四棱锥V ABCD -的底面是边长为22的正方形，侧棱长为4， 求该四棱锥的外接球半径。 答案： 43 3 【思考5】 （1）若例5的题目中的“侧棱长为4”改为“侧棱长为22”呢？ （2）若例5的题目中的“侧棱长为4”改为“侧棱长为6”呢？ 答案：（1）2；（2） 32 【变式】右图是某多面体的三视图，其中正视图和侧视图是棱形， C A B P 正视图 3 3 侧视图 1 x 正视图 侧视图 俯视图

多面体外接球半径常见的几种求法

多面体外接球半径常见的几种求法

多面体外接球半径常见的几种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 263,1,2936,38 x x x h h =?? =?? ∴?? =??=??． ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离3 2 d =.∴外接球的半径221R r d =+=.43 V π∴= 球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π

解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有 2416x =，解得2x =. ∴222222426,6R R =++=∴= .∴这个球的表面积是 2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，3则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱3锥的外接球. 设其外接球的半径为R ，则有()2 2 2 2 23339R =++=.∴ 294 R = . 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R ，则有2222R a b c =++.

简单几何体外接球半径的求法及答案

简单几何体外接球半径的求法 一、补成正方体或长方体型 有三维垂直的条件或者正四面体或者三对相对棱分别相等的三棱锥。 练习：1、三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，长度 2，则其外接球半径为。 分别为3，5，2 2，则其外接球表面积为。 2、正四面体棱长为2 3、已知三棱锥A-BCD的三对相对棱分别长为5 , 13， 10 , 则其外接球表面积为。 二、补成圆柱型 底面有外接圆的直棱柱都可以补成圆柱求外接球半径。 练习：1、三棱锥P-ABC中，PA垂直于底面ABC， 120，PA=3， AB=BC=2，∠B=0 其外接球表面积为。 2、三棱锥P-ABC中，PC垂直于底面ABC，

AB=3，BC=23，∠B=060， 其外接球表面积为π28，则PC=。 三、正棱锥型 外接球球心在正棱锥高所在直线上，在直角三角形中求解。 练习：1、如图，正三棱锥A-BCD 底面边长BC=6，高AH=8，则其 外接球表面积为。 2、正四棱锥底面边长为4，侧棱长为112 ，则其外接球表面积为。 四、面面垂直型 找出互相垂直的这两个面的外心21,O O ，分别过21,O O 作所在平面的垂线21,l l ，21,l l 的交点即为外接球的球心。在直角三角形中求外接球的半径。 练习：1、三棱锥P-ABC 中，面PBC 垂直于面ABC ， ABC Δ和PBC Δ都是边长为6的正三角形， 则其外接球半径为。

2、三棱锥P-ABC 中，面PBC 垂直于面ABC ， ABC Δ是斜边为BC 的直角三角形，PBC Δ是边长为6的正三角形，则其外接球半径为。 3、三棱锥P-ABC 中，面PBC 垂直于面ABC ， ABC Δ是斜边为AB 的直角三角形，AC=4，PBC Δ是边长为6的正三角形，则其外接球半径为。 4、四棱锥P-ABCD 中，面PBC 垂直于面ABCD ，其中PBC Δ都是边长为6的正三角形，底面ABCD 是矩形， AB=8，则其外接球半径为。

空间几何体的表面积和体积讲解及经典例题

空间几何体的表面积和体积 一．课标要求： 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 二．命题走向 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上，预测2009年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题； 三．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。 2．旋转体的面积和体积公式 表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积

例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：?? ?=++=++24 )(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16 所以l =4(cm)。 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。 例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。 图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ， 从而OM=ON 。 ∴点O 在∠BAD 的平分线上。 （2）∵AM=AA 1cos 3 π =3×21=23 ∴AO=4 cos πAM =223 。 又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－ 29=2 9， ∴A 1O= 223，平行六面体的体积为2 2 345? ?=V 230=。 题型2：柱体的表面积、体积综合问题 例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是

多面体外接球半径常见的求法

多面体外接球半径常见的求法

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多面体外接球半径常见求法 知识回顾: 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。３、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、公式法 例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同

一个球面上,且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 小结 本题是运用公式2 2 2 R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、多面体几何性质法 例２ 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为1６,则这个球的表面积是 Ａ.16π B.20π C.24π D.32π 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧

棱长均为3，则其外接球的表面积是． 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其 外接球的半径为R，则有222 =++. 2R a b c 变式1：

多面体外接球半径内切球半径常见几种求法复习过程

多面体外接球半径内切球半径常见几种求 法

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 x x x h h =??=??∴??=??=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12 r = ，球心到底面的距离d =.∴外接球的 半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.

∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 ，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补 . 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294 R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R =寻求轴截面圆半径法 例4 正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ， 如图3所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面. 又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ?的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在ASC ? 中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=. ∴ASC AC ??是以为斜边的Rt . C D A B S O 1图3