三大常用的抽样分布-考研真题
2015考研数学冲刺：三大常用的抽样分布
来源：文都教育
在2014考研中，三大抽样分布在考研数学选择题中出现2次，大题中1次，不是常考点，但这两道选择题集中出现在这两年的真题中。同学们复习的时候一定不要忽略这部分的内容，下面老师对这部分的知识点进行讲解，以帮助广大考生理清思路。 一、基本知识点 1．2χ分布
（1）定义：设随机变量12,,
,n X X X 相互独立且都服从(0,1)N ，则称随机变量
222
212n X X X X =++
+服从自由度为n 的2χ分布，记为2
2()X
n χ．
（2）性质 ①2
2()X
n χ，2
212
2
{()},{()}12
2
P X n P X n ααα
α
χχ->=
>=-
，则称2
2
()n αχ为X 的上
2
α
分位点，称2
12
()n αχ
-
为X 的下
2
α
分位点． ②设2
222(),()X m Y n χχ，且,X Y 相互独立，则2()X Y
m n χ++．
③设2
2()X
n χ，则,2EX n DX n ==．
2．t 分布
（1）定义：设随机变量2(0,1),()X
N Y
n χ，且,X Y 相互独立，则称随机变量
/X
T Y n
=
为服从自由度为n 的t 分布，记为()T t n ．
（2）性质 ①设()X t n ，其密度函数为偶函数，当n 充分大时，X 非常接近标准正态分布． ②设()X t n ，若{()}P X t n αα>=，称()t n α为X 的上α分位点，其上下分位点是对称
的． ③若()X t n ，则0,(2)2
n
EX DX n n ==
>-．
3．F 分布
（1）定义：设随机变量22(),()X
m Y n χχ，且,X Y 相互独立，则称随机变量X m
F Y n
=
为服从自由度,m n 的F 分布，记为(,)F
F m n ．
若{(,)}P X F m n αα>=，称(,)F m n α为上α分位点；若1{(,)}P X F m n αα-<=，则称1(,)F m n α-为下α分位点． （2）性质
①若(,)F F m n ，则
1
(,)F n m F
．
②11
(,)(,)
F m n F n m αα-=．
二、典型例题
例 1 设总体2(,)X
N μσ，12,,
,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，求统计量
2
1
1
()n
i
i X
μσ=-∑服从的分布．
解析：因为2
(,)i X N μσ，所以
(0,1)(1)i X N i n μ
σ
-≤≤，
则22
1
1
()()n
i
i X
n μχσ=-∑．
例2 设总体2(0,)X
N σ，1234,,,X X X X 为总体X 的简单随机样本．
（1）求统计量122
23
4
X X U X X
+=
+服从的分布；（2）求统计量22212
23
4
X X V X X +=
+服从的分布．
解析：（1）由212
(0,2)X X N σ+，得
12
(0,1)2X X N σ
+，由
34
(0,1),
(0,1)X X N N
σσ
，
得
22
234
2
(2)X X χσ
+，且122X X σ+与22
342X X σ+独立，则22
3412
2
(2)22X X X X U t σσ++=
（2）由
22
22
2
2
34
12
2
2
(2),
(2)X X X X χχσσ++且
22
12
2
X X σ+与
22
34
2
X X σ+独立，由F 分布的
定义得2212
222122222
3434
2
2
(2,2)2
X X X X V F X X X X σσ++==++．
例 3 设总体2(0,)X
N σ，1220,,
,X X X 是总体X 的简单样本，求统计量
10
1
20
2
11
(1)i
i
i i
i X
U X
==-=
∑∑所服从的分布．
解析：因为1220,,
,X X X 独立同分布，且服从2(0,)N σ，所以
10
10
2
1
1
(1)(1)(0,10)(0,1)10i
i
i
i i
i X
X
N N σσ
==--?
∑∑，2
20
211
(
)
(10)i
i X χσ
=∑，
且
10
2
20
1
11
(1),(
)10i
i
i i
i X
X σ
σ
==-∑∑相互独立．则10
1
20
2
2
11
(1)10(10)/10
i
i
i i i X
Y
Y U t Z Z
X σσ==-=
=
=
∑∑．
例 4 （2012）设1234,,,X X X X 为来自总体2
(1,)(0)N σσ>的简单随机样本，则统计量
12
34|2|
X X X X -+-的分布为（ ）
（A ）(0,1)N （B ）(1)t （C ）2
(1)χ （D ）(1,1)F
解析:由212
(0,2)X X N σ-，得
12
(0,1)2X X N σ
-，由234
(2,2)X X N σ+，得
342
(0,1)2X X N σ
+-，于是2
2342(
)(1)2X X χσ
+-．由
12
2X X σ-与3422X X σ
+-独立，得
12
2342(1)2()
2X X t X X σσ
-+-，即
12
34(1)|2|
X X t X X -+-．
例 5 （2013）设123,,X X X 为来自正态总体2
(0,)N σ的简单随机样本，则统计量
12
32||
X X S X -=
服从的分布为（ ）
（A ）(1,1)F （B ）(2,1)F （C ）(1)t （D ）(2)t 解析：123,,X X X 来自正态总体2
(0,)N σ，则12X X -与3||X 独立．
2
12
(0,2)X X N σ-，则1
2
(0,1)2X X N σ
-，
2
23
32
(0,1)(1)X X N χσ
σ?
，
12
122
332
2(1)2||X X X X S t X X σσ--==．
例6 （1999）设129,,
,X X X 是来自正态总体X 的简单样本，令6
11
1
6
i
i Y X
==
∑，
2
92789122272()
1,(),Z 32i i X X X Y Y Y s X Y S
=++-==-=
∑，证明(2)Z t ．
解析：
注：
2
2
2
2
21
1
2
22
()
()(1)(),
(1)n
n
i
i
i i X
X
X n S n n μχχσσσ==---=
-∑∑．
设总体2
(,)X
N μσ，则2
6
11
1(,)66i
i Y X N σμ==∑，2
789
2
(,)33
X X X Y N σμ++=，
且12,Y Y 独立，于是
12
(0,1)2
Y Y N σ
-，又
2
22
2(2)S χσ，因为12,Y Y 都与2
S 独立，所以
12
2
Y Y σ
-与
2
2
2S σ独立，则2
21212
22()
(2)2
2
S Y Y Y Y Z t S
σσ
--=
=．
希望通过今天的学习，能为各位考生的知识大厦添砖加瓦。预祝各位考生金榜题名！
统计量及其抽样分布练习题
第六章 统计量及其抽样分布 练习题 一、填空题（共10题，每题2分，共计20分） 1．简单随机抽样样本均值X 的方差取决于_________和_________，要使X 的标准差降低到原来的50％，则样本容量需要扩大到原来的_________倍。 2. 设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________。 3．若(5)X t ，则2X 服从_______分布。 4．已知0.95(10,5) 4.74F =，则0.05(5,10)F 等于___________。 5．中心极限定理是说：如果总体存在有限的方差，那么，随着_________的增加，不论这个总体变量的分布如何，抽样平均数的分布趋近于_____________。 6. 总体分布已知时，样本均值的分布为_________抽样分布；总体分布未知，大样本情况下，样本均值的分布为_________抽样分布。 7. 简单随机样本的性质满足_________和_________。 8.若(2,4)X N ，查分布表，计算概率(X 3)P ≥=_________。若(X )0.9115P a ≤=，计算a =_________。 9. 若12~(0,2),~(0,2),X N X N 1X 与2X 独立，则2212X X +（）/2服从______分布。 10. 若~(16,4)X N ，则5X 服从___________分布。 二、选择题（共10题，每题1分，共计10分）
1．中心极限定理可保证在大量观察下 ( ) A ． 样本平均数趋近于总体平均数的趋势 B ． 样本方差趋近于总体方差的趋势 C ． 样本平均数分布趋近于正态分布的趋势 D. 样本比例趋近于总体比例的趋势 2．设随机变量()(1)X t n n >，则21/Y X =服从 ( ) 。 A. 正态分布 B.卡方分布 C. t 分布 D. F 分布 3．某品牌袋装糖果重量的标准是（500±5）克。为了检验该产品的重量是否符合标准，现从某日生产的这种糖果中随机抽查10袋，测得平均每袋重量为498克。下列说法中错误的是（ ） A. 样本容量为10 B .抽样误差为2 C. 样本平均每袋重量是统计量 D. 498是估计值 4．设总体均值为100，总体方差为25，在大样本情况下，无论总体的分布形式如何，样本平均数的分布都是服从或近似服从( ) A. (100/,25)N n B. N C. (100,25/)N n D. (100,N 5、设2(0,1),(5),X N Y χ且X 与Y 独立，则随机变量_________服从自由度为5的t 分布。 （ ） A. /X Y B. 5/Y X C. /X /
样本及抽样分布知识讲解
第六章 样本及抽样分布 【内容提要】 一、简单随机样本与统计量 1. 总体 用来表征某一随机试验的数量指标X ，其概率分布称为总体的分布。 2. 简单随机样本 在相同条件下，对总体X 进行n 次独立的重复观察，将所得结果12,,...,n X X X 称为从总体X 中抽取的容量为n 的简单随机样本，试验结束后，可得一组数值12,,...,n x x x ，称其为 12,,...,n X X X 的观察值。 注:若12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，则12,,...,n X X X 相互独立，且与总体X 同分布。 3. 统计量 设12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，12(,,...,)n T g X X X =为样本12,,...,n X X X 的实值函数，且不含任何未知参数，则称12(,,...,)n T g X X X =为一个统计量，将样本值12,,...,n x x x 代入后算出的函数值12(,,...,)n t g x x x =称为该统计量的值。 注:设12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，12,,...,n x x x 为相应的样本值，则常用的统计量有: 4. 经验分布函数 设12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，12,,...,n x x x 为相应的样本值，将样本值 按由小到大的顺序重新编号12,1r x x x r n ***<
抽样分布习题与答案
第 4 章抽样分布自测题选择题 1.抽样分布是指（） A. 一个样本各观测值的分布C. 样本统计量的分布 B. 总体中各观测值的分布D. 样本数量的分布 2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（） 2 A. B. x C.2 D. n 3.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（） 2 A. B.x C.2 D. n 4.从均值为，方差为2 n 的样本，则（）的任意一个总体中抽取大小为 A.当 n 充分大时，样本均值x 的分布近似服从正态分布 B.只有当 n<30 时，样本均值x的分布近似服从正态分布 C.样本均值 x 的分布与n无关 D. 无论 n 多大，样本均值x 的分布都是非正态分布 5.假设总体服从均匀分布，从该总体中抽取容量为 36 的样本，则样本均值的抽样分布（） A. 服从非正态分布 B. 近似正态分布 C. 服从均匀分布 D. 服从 2 分布 6. 从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样本，则当样本容量增大时，样 本均值的标准差（） A. 保持不变 B. 增加 C.减小 D.无法确定 7. 某大学的一家快餐店记录了过去 5 年每天的营业额，每天营业额的均值为2500 元，标准差为 400 元。由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100 天，并计算这100 天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（） A. 正态分布，均值为250 元，标准差为40 元 B. 正态分布，均值为2500 元，标准差为40 元 C.右偏，均值为2500 元，标准差为400 元 D. 正态分布，均值为2500 元，标准差为400 元 8. 在一个饭店门口等待出租车的时间是左偏的，均值为12 分钟，标准差为 3 分钟。如果从饭店门口随机抽取 81 名顾客并记录他们等待出租车的时间，则样本均值的抽样分布是（） A. 正态分布，均值为12 分钟，标准差为0.33 分钟 B. 正态分布，均值为12 分钟，标准差为 3 分钟 C. 左偏分布，均值为12 分钟，标准差为 3 分钟
样本及抽样分布
第六章样本及抽样分布 【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念； 2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算； 3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论； 4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。 【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2 分布，t分布， F分布；分位数的理解和计算。 【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。 【学时分配】4学时 【授课内容】 §6.0 前言 前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。其研究方法是归纳法（部分到整体）。对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。 §6.1 随机样本 1
一、总体与样本 1.总体、个体 在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。 例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。 但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们以后就把总体和数量指标X可能取值的全体组成的集合等同起来。 定义1：把研究对象的全体（通常为数量指标X可能取值的全体组成的集合）称为总体；总体中的每个元素称为个体。 我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X的分布的研究，所谓总体的分布也就是数量指标X的分布，因此，X的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体X。根据总体中所包括个体的总数，将总体分为：有限总体和无限总体。 例1：考察一块试验田中小麦穗的重量： X=所有小麦穗重量的全体（无限总体）；个体——每个麦穗重x 2
三大抽样分布
三大抽样分布 众所周知，在概率论中有二项分布、正态分布、泊松分布着三大分布，而统计学中也有三大抽样分布，分别是x2 分布、t布和F分布。这三大抽样分布的发现正好是现代统计学的形成时期，对于以参数统计推断为主要内容的现代统计学理论的形成有着重要意义。X2分布的发现来源于Kad Pears0n创立X2拟合优度理论的过程，而t分布的发现来源于Gosset小样本理论的创立过程，F分布则是来源于Fisher创立方差分析理论的过程。 三大抽样分布的研究意义 c．R．Rao曾经说过“在终极的分析中，一切知识都是历史，在抽象的意义下，一切科学都是数学，在理性的基础上，所有的判断都是统计学。”这句话一语道破统计学的重要性。三大抽样分布在统计学理论中占据着重要地位，由此可见，研究三大抽样分布对于科学研究有着重要意义。在实际工作中，统计工作者对于三大抽样分布的研究必不可少，通过研究三大抽样分布的产生、发展和完善，能够充分了解三大抽样分布理论的重要性。具体到统计学三大分布，对于三大分布理论的研究，能够在充分吸收前人研究成果的基础上不断进行理论创新，从而推动科学技术的进步。纵观所有的科技进步，无一不是在充分研究前人成果的基础上发展而来的研究统计学三大抽样分布，对于我国社会经济发展有着重要的推动作用。三大抽样分布产生于19世纪末20世纪初，在统计学的发展过程中，每一次新的分析统计数据概率模型的发现，统计学理论都会发生一次重大飞跃。为此，要想研究三大抽样分布，就应该对其发展过程进行研究。统计量是样本的函数，是随机变量，有其概率分布，统计量的分布称为抽样分布。 X2分布 x2的早期发展 由于受到中心极限定理和正态误差理论的影响，正态分布一直在统计学中占据重要地位。在很多数学家和哲学家心目中，正态分布是唯一可用的分析和解释统计数据的方法。但是随着时代的发展，一些学者开始对正态性提出了质疑，随后，在多位科学家的试验验证下，正态分布与实际数据拟合不好的情况日渐凸显出来，科学家纷纷开始研究比正态分布范围更广的分布类型，波那个人产生了偏态分布，其中，x2就是最早的偏态分布最早引入偏态分布的是JamesClerk Maxwel，他在研究气体分子运动的过程中引入了X2分布。1891年，X2分布首次被作为统计量的分布导出。Pizzetti在求线性 模型最小二乘估计残差平方和的分布时，通过富氏分析法得出了X2的分布。随着时代的发展，正态分布理论的局限更加明显，更加推动了偏态分布的发展。KarlPearson是对偏态分布贡献最大的人，成为了一代统计学巨人。按照他的观点，统计学应该把在模型基础上对观测数据进行有效预测作为基本任务，所以他开创了一族曲线对观测数据进行拟合，使得分布拟台数据的应用范围进一步扩大。 X2模型
第6章 样本及抽样分布121126
第6章 样本与抽样分布 第6章的教学要求： 1.理解总体、个体、简单随机样本及其分布的概念. 2.了解直方图和条形图、经验分布函数.会求经验分布函数. 3.了解样本均值、样本方差与样本标准差、样本原点矩、众数和中位数等数字特征，并会根据数据计算这些数字特征的方法. 4.了解2χ分布、t 分布、F 分布.会查表计算上α分位数. 5.理解统计量的概念，掌握来自正态总体的抽样分布. 在概率论中，一切的分析和运算都是基于分布已知这个假设进行的．但在实际问题中，情况往往并非如此，常常是我们对所要研究的随机变量知道不多或知之甚少．这时需要经试验或观测，获得反映随机变量信息的数据，并以概率论为理论基础，对数据进行整理、分析，从而对研究对象的性质和统计规律做出合理、科学的估计和推断．这就是数理统计基本的和主要的任务． 数理统计研究统计的一般原理与方法. 本章主要介绍数理统计中的基本概念、基本分布和正态抽样分布及性质． §6.1 总体与样本 6.1.1 总体和个体 在数理统计中，概括性地说，把研究对象的全体称为总体，把总体中的每个元素称为个体. 例如，研究……学生，……总体，……个体. 但在实际中，我们说研究……学生，一般是带有“目的性”的.如：我们想研究学生的……，根据这种“目的性”，我们研究对象的全体就具体为“……”、个体则为“……”. 因此，也说——总体是研究对象的某数量指标. 记数量指标为X ，则X 是随机变量. 例如，若X 是表示学生的……数量指标，则每个个体的指标值即为X 的取值.注意到，在进行研究时，个体的指标值事先是不知道的，我们一般是通过“随机抽样”的方式来获得个体的指标值及有关情况——即总体X 的取值及其分布的.因此，数量指标X 是一个随机变量. 总体中所包含的个体的数量称为总体容量.根据总体容量的有限或无限，分为有限总体和无限总体． 6.1.2 样本和简单随机样本 通常人们以随机抽样的方式了解总体分布. 把从总体中抽取出的一部分个体称为总体的一个样本，样本中的个体称为样品，样本中所包含的个体的数目称为样本容量． 由于是通过样本来了解总体，所以样本应该具有代表性． 如何获得具有代表性的样本？ 获得具有代表性的样本最常采用的方法是：在相同条件下对总体X 进行n 次重复且独立的随机观测，把n 次观测的结果按试验的次序记为12,,,n X X X ．采用这种有放回抽取得到的样本12,,,n X X X 是相互独立的随机变量，且均与总体X 有相同的分布，因此它具有代表性，这个样本称为简单随机样本.样本的一次观测值记为12,,,n x x x ，称为样本的一个样本值，这里n 即是样本容量． 如果没有特别说明，在今后的讨论中所提到的样本都指简单随机样本，并简称为样本． 怎样才能获得简单随机样本呢？ 对有限总体来说，采用有放回抽取方式就可以得到简单随机样本．但是有放回抽取在实际中有时使用起来不太方便．采用不放回抽取方式取得的样本则不是简单随机样本，但是当总体容量比样本容量大很多时，可以把它当作简单随机样本．对无限总体来说，抽走少量样本后不影响总体的构成或影响很小，因此常采用不放回抽取． 6.1.3 样本的联合分布
统计学习题答案 第4章 抽样与抽样分布
统计学习题答案第4章抽样与抽样分布
第4章抽样与抽样分布——练习题(全免) 1. 一个具有64 n个观察值的随机样本抽自于均 = 值等于20、标准差等于16的总体。 ⑴给出x的抽样分布（重复抽样）的均值和标 准差 ⑵描述x的抽样分布的形状。你的回答依赖于 样本容量吗？ ⑶计算标准正态z统计量对应于5.15 = x的值。 ⑷计算标准正态z统计量对应于23 x的值。 = 解: 已知n=64，为大样本，μ=20，σ=16， ⑴在重复抽样情况下，x的抽样分布的均值为 a. 20, 2 b. 近似正态 c. -2.25 d. 1.50 2 . 参考练习4.1求概率。 ⑴x<16；⑵x>23；⑶x>25；⑷.x落在16和22之间；⑸x<14。 解: a. 0.0228 b. 0.0668 c. 0.0062 d. 0.8185 e. 0.0013 3. 一个具有100 n个观察值的随机样本选自于 = μ、16=σ的总体。试求下列概率的近似值：30 =
解: a. 0.8944 b. 0.0228 c. 0.1292 d. 0.9699 4. 一个具有900=n 个观察值的随机样本选自于100=μ和10=σ的总体。 ⑴ 你预计x 的最大值和最小值是什么？ ⑵ 你认为x 至多偏离μ多么远？ ⑶ 为了回答b 你必须要知道μ吗？请解释。 解:a. 101, 99 b. 1 c. 不必 5. 考虑一个包含x 的值等于0，1，2，…，97，98，99的总体。假设x 的取值的可能性是相同的。则运用计算机对下面的每一个n 值产生500个随机样本，并对于每一个样本计算x 。对于每一个样本容量，构造x 的500个值的相对频率直方图。当n 值增加时在直方图上会发生什么变化？存在什么相似性？这里30,10,5,2====n n n n 和50=n 。 解:趋向正态 6. 美国汽车联合会（AAA ）是一个拥有90个俱 乐部的非营利联盟，它对其成员提供旅行、
(完整版)样本及抽样分布.doc
第六章样本及抽样分布 【基本要求】 1、理解总体、个体和样本的概念； 2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算； 3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论； 4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。 【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布—— 2 分布，t分布， F分布；分位数的理解和计算。 【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。 【学时分配】 4 学时 【授课内容】 §6.0前言 前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一 门数学分支。它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性； 而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的 一门数学分支。所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来 选择、构造数学模型（即研究随机现象）。其研究方法是归纳法（部分到整体）。对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。数理 统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。 § 6.1随机样本 1
一、总体与样本 1.总体、个体 在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。 例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是 个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每 个男大学生就是个体。 但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几 项数量指标 X ( 可以是向量 ) 和该数量指标X在总体的分布情况。在上述例子中 X 是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X 的这样或那样的数值，因而这个数量指标X 是一个随机变量（或向量），而 X 的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们以后就把总体和数量指标 X 可能取值的全体组成的集合等同起来。 定义 1：把研究对象的全体（通常为数量指标X 可能取值的全体组成的集合）称为总体；总体中的每个元素称为个体。 我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X 的分布的研究，所谓总体的分布也就是数量指 标 X 的分布，因此， X 的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体 X 。根据总体中所包括个体的总数，将总体分为：有限总体 和无限总体。 例 1：考察一块试验田中小麦穗的重量： X =所有小麦穗重量的全体（无限总体）；个体——每个麦穗重x 2
习题六 样本及抽样分布.
习题六样本及抽样分布 一、填空题 1．设来自总体的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 ，样本方差 =； 2．在总体中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值落在4与6之间的概率 = 0.9332 ； 3．设某厂生产的灯泡的使用寿命 (单位:小时，抽取一容量为9的样本，得到 ，则； 4．设为总体的一个样本，则 0.025 ； 5．设为总体的一个样本，且服从分布，这里， ，则1/3 ； 6．设随机变量相互独立，均服从分布且与分别是来自总体的简单随机样本，则统计量服从参数为 9 的 t 分布。 7．设是取自正态总体的简单随机样本且 ，则 0.05 ， 0.01 时，统计量服从分布，其自由度为 2 ；
8．设总体 X 服从正态分布,而是来自总体的简单随机样 本，则随机变量 服从 F 分布，参数为 10,5 ； 9．设随机变量则 F(n,1 ； 10．设随机变量且，A为常数，则 0.7 二、选择题 1．设是来自总体的简单随机样本，是样本均值， 记 则服从自由度的分布的随机变量是（ A ）； A． B． C． D． 2．设是经验分布函数，基于来自总体的样本，而是总体的分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的（ B ） A．是分布函数 B．依概率收敛于 C．是一个统计量 D．其数学期望是
3．设总体服从0－1分布，是来自总体的样本，是样本均值，则下列各选项中的量不是统计量的是（ B ） A． B． C． D． 4．设是正态总体的一个样本，其中已知而未知，则下列各选项中的量不是统计量的是（ C ）。 A． B． C． D． 5．设和分别来自两个正态总体和的样本，且相互独立，分别为两个样本的样本方差，则服从的统计量是（ B ） A． B． C． D． 6．设是正态总体的一个样本，和分别为样本均值和样本方差，则下面结论不成立的有（ D ） A．相互独立； B．与相互独立； C．与相互独立D．与相互独立。
三大抽样分布
三大抽样分布 教程 一、复习特征函数 1：()it t Ee ξξ?=与概率分布函数()F x ξ相互唯一确定。 2：独立随机变量和的特征函数等于每个特征函数的乘积。 () ()()11 1 ,...,...n n n X X X X X X t t t ???++= 独立 综合利用上面特征函数性质可以得到很多结论 例题1：证明，()()222~,~,X N a d cX N ca c d → 证明： syms a t x real syms pi syms d positive characterfunction=int(exp(i*t*x)*1/sqrt(2*pi)/d*exp(-(x-a)^2/2/d^2),x,-inf,inf) characterfunction = exp(1/2*i*t*(i*t*d^2+2*a)) 变形一下，结合性质1得到()()2222 ~,d iat t X t e X N a d ?-=? 由特征函数定义知 ()()()()()()()22 22 ()222 2 ~,cd d iact ct i ac t t i ct X it cX cX X t Ee Ee ct e e cX N ac c d ??- - =====? 例题2 ()()22 111222~,,~,X N a d X N a d ，12,X X 独立，则 ()()()()2222 2 2 2 1212 12121 2 1 222 2 d d d d ia t t ia t t i a a t t X X X X t t t e e e ???+--+-+=== () 2 212121 2 12~,X X N a a d d N a a ???+++=+ ??? 推论：{},1,2,...,i X i n =为独立随机变量序列且对每个i 有() 2 ~,i i i X N a d ，则 () 2 2111 1...~...,......n n n n X X N a a d d N a a ??++++++=++ ??? 推论 () 2 2111 1...~...,......n n n n X X N a a d d N a a ??++++++=++ ???
习题六__样本及抽样分布解答
样本及抽样分布 一、填空题 1 ?设来自总体X的一个样本观察值为：2.1, 5.4, 3.2, 9.8, 3.5,则样本均值= 4.8 ,样本方差=2.7161 2； 2. 在总体X ~ N (5,16)中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值X落在4 与6之间的概率=0.9332 ; 3. 设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N(1000,二2)仲位:小时)，抽取一容量为 9 的样本，得到殳=940,s =100 ,则P(X ：：： 940) = ___________ ; 7 4. 设X1,X2,?., X7 为总体X ~ N(0,0.52)的一个样本，则Pr X i24^ 0.025 : i=1 5. 设X1,X2,...,X6为总体X ~ N(0,1)的一个样本，且CY服从2分布，这里， Y =(X1 X2 X3)2(X4 X5 X6)2,则C=血_ ； 6?设随机变量X,Y相互独立，均服从N(0,32)分布且X1,X2,...,X9与Y,Y2,...,Y分 别是来自总体X ,Y的简单随机样本，则统计量U= X1... X9服从参数为—9 H2+...+Y2 的_L_分布。 7. 设X11X21X31X4是取自X ~ N(0,22)正态总体的简单随机样本且 ^a(X^2X2)2b(3X^4X4)2,,则a = 0.05 , 0.01 时，统计量Y 服从 2分布，其自由度为一2_; 1 9. 设随机变量X ~t(n)(n 1),Y 2,则Y~ —; X 1 10. 设随机变量X~F(n,n)且P(X∣>A) = 0.3 , A 为常数，则P(XA—)= 0.7 A
8. 设总体X服从正态分布X ~ N(0,22),而X1,X2,...,X15是来自总体的简单随机 X 2十+X2 样本，则随机变量Y X1 2... 利服从F 分布，参数为10,5 ; 2(X11 +...+X15)
几个抽样分布的性质及其应用
几个抽样分布的性质及其应用 重庆师范大学涉外商贸学院数学与应用数学（师范）2008级阮国勇 指导老师陈勇 摘要在概率论中，我们是在随机变量的分布是假设已知的前提下去研究的；而数理统计中，随机变量的分布是未知或不完全知道。我们通过对随机变量进行重复独立观察得到许多观察值，并对观察值的数据进行分析，从而对所研究的随机变量的分布做出推断。本文介绍三种重要的抽样分布及其性质，并给出了抽样分布在参数估计、假设检验、分布拟合检验的简单应用。 关键词抽样分布；2χ分布；t分布；F分布 Abstract In the theory of probability, we are in the distribution of random variable is assumed known base on the research, however，in the mathematical statistics, random variable distribution is unknown or incompletely known. we base on the random variables are independent observations are repeated many observed value, and the observation data analysis, to study the distribution of random variable to make inference. This paper introduces three kinds of important sampling distribution and its properties, and gives the sampling distribution in parameter estimation, hypothesis testing, fitting of distribution of the simple application. Key words sampling distribution, 2χdistribution, t distribution, F distribution 第 1 页共 13 页
I 基本概念与抽样分布1-8#
应用数理统计概述 不确定性数学：1 . 概率论、数理统计),,(P F Ω 2 . 模糊数学 )}(,{x x ?M 3 . 灰色数学 ],[b a H 4 . 未确知数学 )}(],,{[x F b a 对于上述各个数学分支，各自有相应的运算法则和适用范围。 （一） 概率论： 1．),,(P F Ω： E 是一个随机试验，Ω 为E 的全体基本事件的集合 F 由Ω的一些子集为元素 所构成的集合 人们通过对某事件A 的频率)(A f 的研究，发现了概率 )(A P 和性质及运算 2．讨论的一般方法： 随机变量 → 分布 → 数学期望、方差等（宏观指标） ① 对于一维 ： )(ωξξ= )(i i x ωξ= ∑ <= <=x x i i p x P x F }{)(ξ, i i p x P ==}{ξ ； ? ∞ -= <=x dt t p x P x F )(}{)(ξ, 0)(≥x p . ? ∑ ∞ +∞ -∞ == dx x xp p x E i i i )(1 或 ξ； 2)(ξξξE E D -= ② 对于n 维 ： 随机变量),,,(21n ξξξ → 实数),,,(21n x x x },{})({),,(22111 21n n n i i i n x x x P x p x x x F <<<=<==ξξξωξω ； （二） 数理统计： 1．基础：统计量?? ?? ? =∑=数据分区间处理经验型，如：公式型，n i i n 11ξξ 及其分布 ???经验分布（直方图） 分布 如：统计分布2 χ 2. 样本的处理：① 参数估计； ② 假设检验（参数假设检验<本科>、非参数假设检 验<分布拟合 与 两总体相等性检验>）； ③ 回归分析； ④ 方差分析 与 正交试验设计．
第5章 样本及抽样分布课后习题答案(高教出版社,浙江大学)
第5章 样本及抽样分布 1,设总体X 服从均值为1/2的指数分布，4321,,,X X X X 是来自总体的容量为4的样本，求 （1）4321,,,X X X X 的联合概率密度；（2）}2.17.0,15.0{21<<<
贾俊平《统计学》(第5版)课后习题-第6章 统计量及其抽样分布【圣才出品】
第6章 统计量及其抽样分布一、思考题 1．什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？ 答：（1）设12n X X X ，， …，是从总体X 中抽取的容量为n 的一个样本，如果由此 样本构造一个函数12()n T X X X ，，…，，不依赖于任何未知参数，则称函数12()n T X X X ，，…，是一个统计量。 （2）在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。为了使统计推断成为可能，首先必须把分散在样本中关心的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。 （3）统计量是样本的一个函数。由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。 2．判断下列样本函数哪些是统计量？哪些不是统计量？ 1121021210310410()/10 min() T X X X T X X X T X T X μ μσ =+++==-=-…，，…，（）/答：统计量中不能含有未知参数，故1T 、2T 是统计量，3T 、4T 不是统计量。
3．什么是次序统计量？ 答：设12n X X X ，， …，是从总体X 中抽取的一个样本，()i X 称为第i 个次序统计量，它是样本 12()n X X X ，，…，满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值12X X ，，…，n X 时，其由小到大的排序 (1)(2)()()i n X X X X ≤≤≤≤≤……中，第i 个值()i X 就作为次序统计量()i X 的观测值，而(1)(2)()n X X X ，，…，称为次序统计量，其中(1)X 和()n X 分别为最小和最大次序统计量。 4．什么是充分统计量？ 答：在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，那对保证后边的统计推断质量具有重要意义。统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为充分统计量。 5．什么是自由度？ 答：统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的变量的个数。 6．简述2 χ分布、t 分布、F 分布及正态分布之间的关系。答：（1）随机变量X 1，X 2，… X n 相互独立，且都服从标准正态分布，则它们的平方和21 n i i X =∑服从自由度为n 的2 χ分布。（2）随机变量X 服从标准正态分布，Y 服从自由度为n 的2 χ分布，且X 与Y 独立，
三大常用的抽样分布-考研真题
2015考研数学冲刺：三大常用的抽样分布 来源：文都教育 在2014考研中，三大抽样分布在考研数学选择题中出现2次，大题中1次，不是常考点，但这两道选择题集中出现在这两年的真题中。同学们复习的时候一定不要忽略这部分的内容，下面老师对这部分的知识点进行讲解，以帮助广大考生理清思路。 一、基本知识点 1．2χ分布 （1）定义：设随机变量12,, ,n X X X 相互独立且都服从(0,1)N ，则称随机变量 222 212n X X X X =++ +服从自由度为n 的2χ分布，记为2 2()X n χ． （2）性质 ①2 2()X n χ，2 212 2 {()},{()}12 2 P X n P X n ααα α χχ->= >=- ，则称2 2 ()n αχ为X 的上 2 α 分位点，称2 12 ()n αχ - 为X 的下 2 α 分位点． ②设2 222(),()X m Y n χχ，且,X Y 相互独立，则2()X Y m n χ++． ③设2 2()X n χ，则,2EX n DX n ==． 2．t 分布 （1）定义：设随机变量2(0,1),()X N Y n χ，且,X Y 相互独立，则称随机变量 /X T Y n = 为服从自由度为n 的t 分布，记为()T t n ． （2）性质 ①设()X t n ，其密度函数为偶函数，当n 充分大时，X 非常接近标准正态分布． ②设()X t n ，若{()}P X t n αα>=，称()t n α为X 的上α分位点，其上下分位点是对称 的． ③若()X t n ，则0,(2)2 n EX DX n n == >-．
抽样分布习题及答案
第 4章 抽样分布自测题 选择题 1.抽样分布是指（ ） A. 一个样本各观测值的分布 B. 总体中各观测值的分布 C. 样本统计量的分布 D. 样本数量的分布 2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（ ） A. μ B. x C. 2σ D. n 2 σ 3. 根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（ ） A. μ B. x C. 2σ D. n 2 σ 4. 从均值为μ，方差为2σ的任意一个总体中抽取大小为n 的样本，则（ ） A. 当n 充分大时，样本均值x 的分布近似服从正态分布 B. 只有当n<30时，样本均值x 的分布近似服从正态分布 C. 样本均值x 的分布与n 无关
D. 无论n多大，样本均值x的分布都是非正态分布 5. 假设总体服从均匀分布，从该总体中抽取容量为36的样本，则样本均值的抽样分布（） A. 服从非正态分布 B. 近似正态分布 C. 服从均匀分布 D. 服从2 分布 6. 从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样本，则当样本容量增大时，样本均值的标准差（） A. 保持不变 B. 增加 C.减小 D.无法确定 7. 某大学的一家快餐店记录了过去5年每天的营业额，每天营业额的均值为2500元，标准差为400元。由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100天，并计算这100天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（） A. 正态分布，均值为250元，标准差为40元 B. 正态分布，均值为2500元，标准差为40元 C.右偏，均值为2500元，标准差为400元 D. 正态分布，均值为2500元，标准差为400元 8. 在一个饭店门口等待出租车的时间是左偏的，均值为12分钟，标准差为3分钟。
(完整word版)习题六样本及抽样分布
习题六 样本及抽样分布 一、填空题 1．设来自总体X 的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 ，样本方差 =22.716； 2．在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值X 落在4与6之间的概率 = 0.9332 ； 3． 设某厂生产的灯泡的使用寿命2~(1000,)X N σ (单位:小时)，抽取一容量为9的样本，得到940,100x s ==，则(940)P X <= ； 4．设127,,...,X X X 为总体2 ~(0,0.5)X N 的一个样本，则7 21 (4)i i P X =>=∑ 0.025 ； 5．设126,,...,X X X 为总体~(0,1)X N 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里， 22123456()()Y X X X X X X =+++++，则c =1/3 ； 6．设随机变量,X Y 相互独立，均服从2(0,3)N 分布且129,,...,X X X 与129,,...,Y Y Y 分 别是来自总体,X Y 的简单随机样本，则统计量U =服从参数为 9 的 t 分布。 7．设1234,,,X X X X 是取自2~(0,2)X N 正态总体的简单随机样本且 22!234(2)(34),Y a X X b X X =-+-，则a = 0.05 ，b = 0.01 时，统计量Y 服从 2χ分布，其自由度为 2 ； 8．设总体 X 服从正态分布2~(0,2)X N ,而1215,,...,X X X 是来自总体的简单随机 样本，则随机变量 22 110 22 1115...2(...) X X Y X X ++=++ 服从 F 分布，参数为 10,5 ； 9．设随机变量21 ~()(1),,X t n n Y X >=则~Y F(n,1) ； 10．设随机变量~(,)X F n n 且()0.3P X A >=，A 为常数，则1 ()P X A > = 0.7 二、选择题 1．设12,,...,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，X 是样本均值， 记22222 21 23111 111(),(),(),11n n n i i i i i i S X X S X X S X n n n μ====-=-=---∑∑∑ 2 241 1(),n i i S X n μ==-∑则服从自由度1n -的t 分布的随机变量是T =（ A ）； A ． B C D 2．设()n F x 是经验分布函数，基于来自总体X 的样本，而()F x 是X 总体的 分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的,()n x F x （ B ） A ．是分布函数 B ．依概率收敛于()F x C ．是一个统计量 D ．其数学期望是()F x
三大抽样分布知识点一览
三大抽样分布知识点一览 抽样分布的概念 抽样分布：从已知的总体中以一定的样本容量进行随机抽样，由样本的统计数所对应的概率分布称为抽样分布。抽样分布是统计推断的理论基础。 如果从容量为N的有限总体抽样，若每次抽取容量为n的样本，那么一共可以得到N取n的组合个样本(所有可能的样本个数)。抽样所得到的每一个样本可以计算一个平均数，全部可能的样本都被抽取后可以得到许多平均数。如果将抽样所得到的所有可能的样本平均数集合起来便构成一个新的总体，平均数就成为这个新总体的变量。由平均数构成的新总体的分布，称为平均数的抽样分布。随机样本的任何一种统计数都可以是一个变量，这种变量的分布称为统计数的抽样分布。 三大抽样分布 1. 卡方分布χ2(n) 定义：若n个相互独立的随机变量ξ?、ξ?、……、ξn,均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。
2. t分布 定义：设X1服从标准正态分布N(0,1)，X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量t=X1(X2/n)1/2所服从的分布为自由度为n的t分布。 3. F分布 定义:设X1服从自由度为m的χ2分布，X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量F=(X1/m)/(X2/n)所服从的分布为F分布，其中第一自由度为m，第二自由度为n。
与正态分布一同构成数理统计中的四大分布。由标准正态总体样本的适当组合构成的统计量形成数理统计中的其他三大基础分布。所以，数理统计中总是以正态总体作为研究对象展开。在数理统计中，"总体"、"抽样"、"样本"是三个基本概念,分位点是"小概率事件"发生的临界点，置信区间是参数估计和假设检验的核心计算问题。
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