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数学竞赛中解析几何问题的解法(一)-最新教育资料

数学竞赛中解析几何问题的解法（一）

解析几何是各种考试中的重点和难点内容，解析几何题的运算量往往较大，所以很多同学简易出错或者做着做着就做不下去了.所以减少运算量、降低难度常常是解析几何题能否顺利做出来的关键.本文就选了近年的部分考题，来说明解好解析几何题的一些方法.

一、抓住定义解题――要烂熟掌握圆锥曲线的两个定义，很多考题都是从定义出发求解的

二、用好韦达定理――韦达定理是解题的严重工具，圆锥曲线问题中恰当运用韦达定理可以减少不必要的运算

三、结合向量――近年解析几何题常常安一个向量的外壳，所以烂熟运用向量知识在解这类题中至关严重

例6对于两条互相垂直的直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心轨迹.（上海交大自主招生考试）

解以两条直线的交点为原点，两条直线为坐标轴建立直角坐标系.设椭圆的长轴长与短轴长分别为2a，2b（a>b>0）.中心为P（x，y），两个焦点分别为F1，F2.

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数学竞赛《解析几何》专题训练(答案)

《解析几何》专题训练一、选择题 1、（04福建）在平面直角坐标系中,方程 1(,22x y x y a b a b +-+ =为相异正数),所表示的曲线是 A,三角形 B,正方形 C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形 1,D 令y x =,得y x a ==±,令y x =-得x y b =-=±,由此可见,曲线必过四个点:(,)a a , (,)a a --,(,)b b ,(,)b b --,从结构特征看,方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形,易知它是非正方形的菱形. 2、若椭圆22 13620 x y +=上一点P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍,则P 点坐标为 A, B,(- C,(3, D,(3,- C 设00(,)P x y ,又椭圆的右准线为9x =,而122PF PF =,且1212PF PF +=, 得24PF =,又 20 2 93 PF e x == -,得03x =, 代入椭圆方程得0y =3、设双曲线22 221x y a b -= 的离心率 e 2?∈??? ，则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是 ( ) C A. ,63ππ?????? B ．,62ππ?????? C ．,32ππ?????? D ．2,33ππ?? ???? 4、已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有条。（ C ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解: 由,5= AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案为C 。 5、双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定（B ）（A ）相交（B ）相切（C ）相离（D ）以上情况均有可能

一道竞赛试题的解法探究

44 福建中学数学 2012年第3期一道竞赛试题的解法探究浙江省温州市第二十二中学（325000） 2011年全国高中数学联合竞赛第2题，试题简约，寓意深刻，考生可以从多个角度切高洪武吴勇军一试（A 卷）中22(1)1(1)y x t t x t t =??? ?令=??=≥?? （＊2）而直线入，很好地考查高中数学常见的一些思想方法以及学生对基本知识、基本技能的掌握情况．本文拟从四个角度出发，对该题目进行初步的剖析，以期引发更多的思考．题目（2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A (1)t y x =? 过定点（1，0）．当时，两曲线有公共点，则； 0y >1y >时，两曲线有公共点，x 直线(1t y 当0y <)=?应绕着点(1，0)从逆时针方向旋转到的位置，与曲线t 2L 卷）第2 题）函数()1 f x x = ?的值域是．解法一三角换元法令tan x θ=，（22θπ?<<，且π4 θπ ≠）（注：换元时保持变量的等价性）则y tan 1cos θθ? = 11 sin cos )4 θθθ==π??． 22θππ?<<∵，且4θπ≠， 3444 <，且0θπππ ∴?π?， ()f x ∴ 的值域为((12 ?∞?+∞∪，，)．评析此函数为分式型无理函数，解决此类问题通常是化无理式为有理式，即努力将根式中的被开方数(式)化成完全平方数(式)，由221tan 1cos θθ+=联想到三角换元，思路由此打开．解法二数形结合法 y =∵ ，(y x ∴1)?=（＊1）， 322t x L 3L 1(1)?=≥切．相联立方程221t x (1)t y x =????=?，得(1)y x ??．即2222(1)210y x y x y ，22210x ?=??+?=．若直线1)(t y x =?x t ≥相切， )4(0y y 与2t ?=21( 1)2y =?则2(21)222Δ=?=??，． ∴直线(1)t y x =?绕着点(1，逆时针方向旋转过程中，0)从2 L 2 到L 的y ≤3．综上得y ≤或即函数的值域为 1y >， ((1)?∞+∞∪，，．解法比较巧妙地函数值赋予“特殊身份”，想，将问题转化为我们熟悉的两类曲线有公共点问题．其转化基本思路为：函数有意义评析本将利用数形结合思方程有解曲线有公共点． ←←解法三基本不等式法（1）若1x >， ()f x 1x >∵，20x x ∴+?>2x x ∴+>，， 2 1112x x ∴+>+?，f x ()1∴>（2）若．， x 1<

一年级数学竞赛试题

一年级数学竞赛试题一、填空（每题7分，共105分) １、把下面算式按从小到大的顺序排列。 8-４、９－3、５＋５、6+3、8-0、７-７（)<（)<( )＜( ）＜（）＜( ）２、把6、2、7、9、4、３填在圆圈里,成为三个算式，每个数只能用一次。 ○－○=5 ○+○=8 ○＋○＝10 3、记住每个图形表示的数,然后计算。 ○=５☆＝6 △＝７●=1 ★＝2 □＝3 ▲＝４ 4、明明从布袋里拿出5个白皮球和5个花皮球后,白皮球剩下1０个，花皮球剩下5个。布袋里原有________个白皮球,＿_＿___＿_个花皮球。

5、芳芳做了1４朵花，晶晶做了8朵花,芳芳给晶晶＿_＿___＿朵,两人的花就同样多。 7、妈妈买回一些鸭蛋和16个鸡蛋,吃了8个鸡蛋以后,剩下的鸡蛋和鸭蛋同样多,买回___＿____个鸭蛋。８、同学们排队做操,小英前面有9人,后面有４人,这一队共有___＿____人。 9、森林里的小动物开运动会比赛跑,最后小白兔用了4分钟,小狗用了5分钟,熊猫用了4分半钟。请问：得第一名的是＿__＿＿_＿＿。 10、把一根绳子对折以后,再对折,这时每折长1米，这根绳子长_＿＿米。 11、小强家离学校3千米,小强每天上两次学，来回要走____＿_＿_千米。 12、班上的同学,年龄都是８岁或9岁,那么任意两个邻座同学的年龄之和最大是__＿____＿岁，最小又是＿_＿__＿__岁。

13、把“３、６、８、7、9”五个数字分别组成两位数,最大的两位数是__＿＿___＿，最小的两位数是___＿____。１4、小东数数,从９开始数起,数到99时,小东数了＿＿_____＿个数。 15、一天，小红的妈妈下班回家,刚进门,就听见隔壁王奶奶家的钟敲了一下。当他们吃完饭,又听见钟敲了一下。小红休息了一会儿，背着书包去上学，又听见钟敲了一下。请问：小红妈妈几点回家?答:___＿＿_______。吃完饭几点了？答：＿__＿____＿_小红几点钟去上学的?答:_＿＿_＿_＿＿_＿___。二、找规律填数。（共１５分） ①１、3、5、、、11、1３; ②20、18、１6、、、１0、; ③0、3、６、、、1５、18; ④１5、3、1３、3、11、３、、； ⑤1、6、７、12、１3、18、19、、。

小学一年级数学竞赛试题及答案

小学一年级数学知识竞赛试题 1、找规律，填一填，画一画。（1）17、2、16、3、15、4、（）、（）。 ⑵—. :（）（）。 2、在下面…里填数，使每条3.数一数，下面图中共有（）线上3个数的和都是16。个正方体。 4、你能像下面那样，写出两个数相加，得数是99的竖式吗 1 8 +8 1 9 9 ______ _________ ________ _________ 5、我们一队有12个男生。老师让两个男生之间插进一个女生。一共可以插进（）个女生。 6、至少用（）个,可以拼成一个大正方体。 7、用12根一样长的小棒，最多可以拼摆出（）个大小相同的正方形。次手。参加数学竞赛的一共有（）人。 10、用数字卡片、| 、?可以摆出（）个不同的两位数。其中最大的两位数是（丄」T,最小的两位数是（）。

11、把2、3、4、5这四个数分别填入下面的使等式成立。 12、小王看一本书，第一天看了10页，第二天看的页数和第一天同样多。小王第三天从第（）页看起。 13、桌上放着一本打开的书，它的左右两页页码的和是17。这两页页码分别是（）和（）。 14、小亮说：“爸爸比妈妈大4岁，我比妈妈小26岁。”请你算一算，小亮的爸爸比小亮大（）岁。 15、房间里的桌子上有8支刚刚点燃的蜡烛，风从窗户吹进来，吹灭了 1支蜡烛，过了一会儿，又有2支蜡烛被吹灭，把窗户关起来以后，再也没有蜡烛被吹灭。最后桌上还剩（）支蜡烛。 16、小红有10枚邮票，小明有6枚邮票，小红拿（）枚给小明后，两人的邮票一样多。 17、15个小朋友排成一队，小东的前面有9人，小东的后面有（）人。 18、在某数的右边加上一个“ 0 ”，就得到一个两位数，比原来的数增加了36，原来这个数是（）。 19、小亮从1写到40,他一共写了（）个数字“ 2”。 20、丁丁从家走到学校要9分钟，他从家出发走了4分钟后发现语文课本没有带来，马上回家去拿，然后再走到学校。丁丁一共走了（）分钟。小学一年级数学知识竞赛试题答案 1、（1）14、5（2）丨、? 2、5、（7）、4 ；4、 3、（9）；5、（2）、9； 3、6 4、2736 45 + 72+ 63 +54 9 999 99 5、11 6、8 7、4 8、1 里（每个数只能用一次）

高中数学竞赛专题讲座(解析几何)

高中数学竞赛专题讲座（解析几何）一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0b>0)，参数方程为? ? ?==θθ sin cos b y a x （θ为参数）。若焦点在y 轴上，列标准方程为 12 2 22=+b y a y (a>b>0)。 3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆 122 22=+b y a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为 c a x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且a c e =，由c 2+b 2=a 2 知0b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为 12020=+b y y a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；

小学数学竞赛：统筹规划.学生版解题技巧培优易错难

统筹规划教学目标 1.掌握合理安排时间、地点问题. 2.掌握合理布线和调运问题．知识点拨知识点说明：统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。 “节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。 “发生对流的调运方案”不可能是最优方案。 “小往大靠，支往干靠”。例题精讲板块一、合理安排时间【例 1】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎3张饼需几分钟？怎样煎？【巩固】烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？【巩固】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎2009张饼需几分钟？

小学一年级数学竞赛试题

青年路小学第六届希望杯级数学竞赛（一年级组）班级：姓名：计分一、判断：（对的在括号里打“√”，错的打“×”）（20分） 1.一根绳子被剪成7段，需要剪7次。（）2.一只猫吃一条鱼需要3分钟，两只猫同时吃两条鱼需要6分钟。 ( ) 3.小明比小华重，比小亮轻，小亮最重，小华最轻。（）4.小马虎在做加法时，把加数9看成了6，得出的和是10，正确的得数是12。（）5.小红今年6岁，他比爸爸小28岁，去年他比爸爸小27岁。（）二、□里最大能填几？（24分）（）－2＜8 2＋（）＜13 （）＋7＜10 16－6＞（）（）＋10＜20 17－7＞（）＋8 三、想一想，填一填：（每空3分共56分。） 1、小华有40张邮票，小红有30张邮票，小华给小红（）张邮票，两人的邮票张数就同样多了。 2、小玲画了一排小花，其中一朵黄花从左数排在第6个，从右数排

在第5个，这一排花有（）朵。 3、一个加数是8，另一个加数比它少5，和是（）。 4、△＝2 ○＝6 □＝9 那么△＋□＝（） □－○＋△＝（） 5、○＋9＝11 ○＋○＝☆那么○＝（）☆＝（） 6、小华有15本书，小玲有11本书，小华给小玲（）本书，两人的书就一样多。 7、张老师带了男女同学各10名去看电影，一共要买（）张电影票。 8、小朋友排队去公园，小华前面有4个人，后面有10个人。小华排在第（）个，一共有（）个小朋友去公园。 9、.找规律填数：19、17、15、（）、（）、（）、（）。 10、请你写出三个两位数，使这个两位数十位上的数比个位上的数大。（）（）（）。 11、芳芳做了14朵花，晶晶做了8朵花，芳芳给晶晶（）朵，两人的花就同样多。

人教版一年级上册数学竞赛试题.doc

一年级数学竞赛试题（一）一、我会填。（每空1分，共30分） 1.按规律填数。（1）1、3、5、7、（）、（）。（2）5、6、8、11、（）、（）。 2. 1、6、13、0、20、3、15、9这些数中，最小的数是（），最接近10的数是（），大于６并且小于20的数有（）个。把左边的四个数圈起来，从右起，0排在第（），从左起，排在第４的数是（）。３.1个西瓜的重量=3个菠萝的重量。一个菠萝的重量=3个梨的重量，1个西瓜的重量=（）个梨的重量。４.最小的一位数与最大的一位数的和是（）。 5. 7比（）少1，10比（）多2。６. 与9相邻的两个数是（）、（）。１7后面的连续三个数是（）、（）、（）。 7. 哥哥给了弟弟6支铅笔后，还剩下13支，这时两人铅笔就同样多，原来弟弟有铅笔（）支。８.一个加数是7，另一个加数是9，和是（）。 9. 减数是8，被减数是13，差是（） 10. 7个一和1个十组成的数是（）。个位上是0，十位上是２的数是（） 11.今年姐姐比妹妹大３岁，2年后，姐姐比妹妹大（）岁。 12.奶奶家有6个鸡蛋，还养了一只一天能下一个鸡蛋的老母鸡，如果她家一天吃2个鸡蛋，奶奶家的鸡蛋能连续吃（）天。13.一次排队，从左边开始报数，小亮报了“8”，小军报了“10”，从右边开始报数，小亮报了“5”，小军应报（）。 14. 13个小朋友玩捉迷藏游戏，已经捉住了4个小朋友，还藏着（）个小朋友。 15.把一根木头锯成２段要2分钟，那么锯成3段要（）分钟。 16. △+○＝8 △+○+○＝14 △＝（）○＝（）二、我会算。（20分） 1.口算。（12分） 6+10＝9+8＝0+19＝12－8+9＝ 9+9＝13－13＝14－7＝8+8－9＝ 18－8＝5+10＝20－10＝15－5+10＝２.在○里填上＞、＜或＝。（4分） 9+6○17 13－10○3 19－2○11+3 10○17－10 3.在括号里填上合适的数。（4分） 7+( )=16 14-( )=6+5 12-7=( )-10 13-( )=11 三、我会数。（8分） 1.图中正方形有（）个，三角形有（）个。 2.数数下列图形各有多少个小方块？

空间解析几何数学竞赛辅导

空间解析几何数学竞赛辅导一. 向量代数 1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量 ),,(12121221z z y y x x M M ---=→ 2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→ ，则（1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→ （2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→ → （3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→ →?b a （1）><→ →b a ,为向量→ → b a ,的夹角，且π>≤≤<→ →b a ,0 注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。 4、向量的外积→ → ?b a （遵循右手原则，且→ → → ⊥?a b a 、→ → → ⊥?b b a ） 3 2 1 3 21 b b b a a a k j i b a → → → → →=? （1）3 3 2211//b a b a b a b a b a ==? =?→ → → → λ （2）00332211=++?=??⊥→ →→ → b a b a b a b a b a （3）几何意义： ||a b ?代表以,a b 为邻边的平行四边形的面积S ；

平面上三点11(,,0)A x y ,22(,,0)B x y ,33(,,0)C x y 构成的三角形的面积为 212131 3111 |||0|22 ABC i j k S AB AC x x y y x x y y =?=---- 21 21 31 3112x x y y x x y y --=--的绝对值也可以写成1 1223 31 1121 ABC x y S x y x y =的绝对值。 5. 混合积：(,,)()a b c a b c =??。 (1)注意：(,,)(,,)(,,)a b c b c a c a b == (2)坐标表示：1 11 2 223 3 3 (,,)()x y z a b c a b c x y z x y z =??=, 其中， ()111,,a x y z =，()222,,b x y z =, ()333,,c x y z =。 (3)几何意义：(,,)a b c 的绝对值表示以,,a b c 为三条邻边的平行六面体的体积。 ,,a b c 共面的充要条件是(,,.)0a b c =。空间不共面的四点111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,333(,,)C x y z , 444(,,)D x y z 构成的四面体的体积为

2014-2015苏教版小学一年级数学上册竞赛题

苏教版小学一年级“学习小能手”数学竞赛试卷学校班级姓名得分一、比谁算得快（每题1分，计30分） 9+2= 8+3= 6+5= 10-7= 6- 2= 7-1= 5+7= 4+8= 7+4= 9+4= 5-4= 7-3= 4+3= 3+8= 8+5= 9+5= 3+5= 5-2= 8+8= 7+10= 9+9= 8+6= 6+1= 4+7= 7+2+8= 3+5+4= 18-10+7= 15-5-7= 8-5+5= 3+6+6= 二、我是思维小能手。 1.□□○□△○○ ①左起第3个图形是（） ②把右边起第5个图形圈起来。 ③把左边起第4个涂上颜色，它的左边有（）个图形，右边有（）个图形。 2.在下面三个杯子里放入相同数量的糖，在最甜的杯子下面画“○”。 3.在最长线的右面画“√”，最短的右面画“○”。 ①□ ②~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~□ ③□ 4.在△下面画○，○比△多，最少画（）个，如果○比△少，最多画（）个。 △△△△ 5. 2根短绳连在一起要打1个结，3根连在一起要打2个结，8根连在一起要打（）个结。 6.小明和小组里的每个小朋友握1次手，一共握了8次，小组里一共有（）个小朋友。 7. ○+○=6 △+○=8 ○=（）△=( ) 8.找规律接着画。（1）○△□□○△□□ （2）○●●○○●●●

9.按规律填数。（1）20、18、16（）、（）（2）0、5、10、（）、（）（3）0、1、3、6、（）、（）（4）15、14、12、9、（）、（）（5）6、15、6、12、6、9、（）、（）（6）1、13、2、14、3、15、（）、（） 10. 有12个小朋友排成一队，从前往后数，小强排在第5，小强后面有（）人，前面有（）人。三、挑战自我。（每题5分，计40分） 1.一只小猫吃一条鱼，用3分钟吃完；那么5只小猫同时吃完5条鱼，需要（）分钟。 2.有9个小朋友排成一队，从左数起，小兰排在第4个，从右数起小利排在第3个，小兰和小利中间有（）个小朋友。 3.王阿姨从一楼到二楼用了1分钟，那她从一楼到四楼要用（）分钟。 4．小明用的时钟敲打2下需要2秒钟，敲打6下需要（）秒钟。 5.妹妹今年6岁，姐姐今年9岁，3年前姐姐比妹妹大（）岁。 6.有10个小朋友玩猫捉老鼠的游戏，现在已经捉到了7人，还有（）人没有捉到。 7.小芳有8支铅笔，小红送给小芳3支后，两人同样多，小红有（）支铅笔。 8.数一数，下图中有（）个正方形。

解析几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第08讲：解析几何 1、（2009一试2）已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案】[]36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =?，由直线AC 与圆M 相交，得 d 36a ≤≤． 2、（2009一试5）椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ?的最小值为．【答案】22 222a b a b + 【解析】设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ??????±± ? ? ?????? ?，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221 cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得222211 11a b OP OQ +=+．于是当OP OQ =OP OQ 达到最小值22 222a b a b +． 3、（2010一试3）双曲线12 2=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是. 【答案】9800 4、（2011一试7）直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，?=∠90ACB ，则点C 的坐标为．【答案】)2,1(-或)6,9(- 即0)(24)(21212212214=?++-+?++-y y t y y t x x t x x t ，

一道数学竞赛试题的解法探索及启示.doc

一道数学竞赛试题的解法探索及启示一、的提出笔看在分析2010年全国初中数学联合竟赛试题时.对第一大题第4小禽产生了极大的兴趣。厚题如下：若方程。. 3x-l=0(l)的两个根也是方程x\ax4bxM=0(2)的根，则ib-2c 的值为(,)(A)?13 (B)-9 (C)6 (D)0 为什么笔者会对这道试题特别感兴趣？我们一起从解决这一试题的思路形成过程及解答过程中寻求答案。二、何题的分析及解决该题纶出的参冬答案中解答如下：设m是方程x2-3x-l=O的一个根，则m2-3m-l=O，所以mJ3m+l o 由鹿意.m也是方程x4>ax2fbx>cxO得根，所以m4fam2+ bin代 =0,把代人上式，得(3m+l)A?mJbmM=0，整理 AVTT -2~ 将x>x2分别代入方程联立方程组并化简得： (952^-264 VTT+88a+24a VTT+24b+8b VIT+】6c=0 (3) '952-264\/TT*88a-24aV1T4-24b-8bx/1T?l^O (4) (3*)得：3a+b=-33 (5) (3 片(4)得：lla?3b+2c=-l 19 (6) (5)x4-(6)得：wb-2g-13 反思一：该思路清嘶、明了 .但在具体运算中.计算过程比较繁琐,且技巧性比较强?则有下面的分析：思路分析二：若方程(1)的两个根也是方程(2)的根.则多项式 x^ax^bx+c可分解为/?3x-l与另一个因式乘积的形式，可设 x%ax24-bx-H：=(x2-3x-1 Xx2^mx+n) (7) 其中?mji为待定的系IL为了得到a+b-2c的值，可以有两种解法. 解必二：由多顼式恒等定理知道，两个多项式恒等，对应次项的系数对应相等，即由x4+ax2+bx-H5=x4-Hm-3)x3+(n-3in-1) x2- (m+3n)x-n,得 m-3=0 n-3m-l=a m+3n=-b ic=f 典I a+b-2c—13 解法三：(7)式既然是怛等式，那么该式对所有实数均成立，令x=(?=l得： n=-c -3(m+n+ l)=a+b+c+1 1 +a-b+c=4( 1 -m+n) *l<#a+b-2c=-13 反思二：由思路分析二可知，x%ax、bwc能被F?3x?l 整除，设其商式F+mx+n,姻余式为O0此时，问题转换为求X、 ax24bx*c 除以x^-Sx-l 的商? 解法四：由长除法m x4 4-0-jr1?-女-1 * -3.？X 4 >3X4(0 4 10X^30 J G X-t-far +c 3? -X -* (a^lO)j^ +(64 3)x (o ? 10湿 T。? 10U - 10) (8 + 3a + 33)x +(Q + c*10)(余式) 右jb+3a+33=O 侣：aw 10=0 解之得：a+b-2c=-13 反思三：由解法四可知.当按长除法计算两多项式之商时，各项排列的位置完全可以表示它们所含字母的次救，故可以略去字母而只写出系数,以简化计算，此方法称为分离系数的长除法。僻法五：由分离系数的长除法⑶ 1 ?0 40 ?!> ?c 1 ?3 T ■)1 T T h *3 .("10X商式) 3 +("1)?b 3 “?3 _______________ ("10) ?(8?3) +c 9 + 10) -3("10) -(。+ 10) (8i?33) ?("?c?10X余式) 下同解法四。反思四：显然，分离系数的长除法比长除法简单，为使除法书写更简单一些。下面我们进一步讨论被除式、除式、商以及余式之间的系数关系：设 Rx)二KX W.I LI???”以+炒。(a.#0)? 除以x-a的商及余数分别是q(x)、r,其中 b#T??4遇1蛎。(bi。。) 得(9.a)mW6*b)m+c+1 =0。从而可知：方程x2-3x-1=O的两根也是方程(9+a)mW6+ b)m-K>l=0的根,这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有(9+a)m2+<6+b)m+c+l =k(x2-3x-1)(k 为常数)，故9±a_=6^=c+t，所以Jb=-3a律3 .因此出扯&-也 1 一3 —1 ic=—a—iu 笔者在对这道题经过研究，又得到了下面几种解法：思路分析一：由原题可知，方程(1)的两个根也是方程(2)的根，据此得：解法一：求出方程(1)的炯个根：由=号豆?％= 下用待定系数法来确定q(x)中的系数与余数r o f(x)Hx-a)q(x片 T,即 ? ? ? fxQao =b-ixN

人教版小学一年级上册数学计算比赛试题

-6- 一年级计算比赛班级：姓名：学号：得分： 1. 口算。 8-2= 0+0= 10-3= 4+5= 9-3= 12+7= 16-5= 4+15= 17-7= 14+4= 15-3= 7+11= 19-6= 1+12= 18-10= 4+12= 13-1= 8+10= 10-3= 12+6= 14+3+2= 17-2+3= 18-4+4= 10+7-6= 16-6-7= 14+5-4= 13+3-5= 10+5+3= 7+3+5= 12-2+9= 19-4-10= 2+13-3= 7+12-3= 16-5+6= 8-6+14= 9-2-2= 2. 填‘>’、‘<’或“=”或“+”“-”。 3+6○9 9-2 ○8 ○7 10-4 13+4○18 10○5=15 ○3 10-8 12+5○10+6 4○3=7 15-4○12+3 16○3=13 10+7○18-7 ○0 8=8 3. 括号里填上合适的数。 6+（）=10 9-（）=7 5+（）=9 10-（）=2 10+（）=10 19-（）=9 4=（） 13=11+（） 8=（）（） 11>（） 17<（）（）<16

□ = 4. 选数列算式，看谁列的多。 53□ 2 + = □12 □ 6 -□7 □19 □+ =□ □- □= □+ =□ □- □= □+ =□ □- □= 5.拓展提高。 1. 13 这个数右边的数字表示（），左边的数字表示（） 2.把 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 十个数填写在□里，每个数只用一次。 □+ □= □+ □= □+ □= □+ □= □+

高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义：解析几何(教师版)

高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义第十五讲解析几何一（教师版）从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。一、知识精讲 1.点到直线的距离： d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 2.圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ θ =+??=+?. （4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 3.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若 d = d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r

一道数学竞赛题的探究(1)

２），则ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３ αｓｉｎα的最小值为（）（Ａ）２７６４．（Ｂ）３５槡２．（Ｃ）１．（Ｄ）５６槡３．本文首先给出问题的多种解法，然后对问题作引申推广．一、一题多解解法１　∵α∈（０，π２），∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，∴ｓｉｎ３ αｃｏｓα＋ｃｏｓ３ αｓｉｎα＝ｓｉｎαｃｏｓα （１－ｃｏｓ２α）＋ｃｏｓαｓｉｎα（１－ｓｉｎ２ α）＝ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓαｓｉｎα－ｓｉｎ　２α≥２－１＝１．等号成立当且仅当α＝π４．因此，ｓｉｎ３ αｃｏｓα＋ｃｏｓ３ αｓｉｎα的最小值为１．解法２　∵α∈（０，π２），∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，由柯西不等式得（ｓｉｎαｃｏｓα＋ｓｉｎαｃｏｓα）（ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３ αｓｉｎα）＝［（ｓｉｎαｃｏｓ槡α）２＋（ｓｉｎαｃｏｓ槡α）２］· ［（ｓｉｎ３αｃｏｓ槡α ）２＋（ｃｏｓ３ αｓｉｎ槡 α）２］ ≥（ｓｉｎαｃｏｓ槡α·ｓｉｎ３ αｃｏｓ槡 α ＋ｓｉｎαｃｏｓ槡α·ｃｏｓ３ α ｓｉｎ槡 α ）２＝（ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α）２＝１， ∴ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３ αｓｉｎα≥１ｓｉｎ　２α ≥１．等号成立当且仅当α＝π４．因此，ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３αｓｉｎα的最小值为１．解法３　∵α∈（０，π２），∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，由均值不等式，得ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｓｉｎ３αｃｏｓα ＋ｃｏｓ２ α≥３３（ｓｉｎ３ αｃｏｓα ）２ｃｏｓ２槡 α＝３ｓｉｎ２ α，ｃｏｓ３αｓｉｎα＋ｃｏｓ３ αｓｉｎα ＋ｓｉｎ２ α≥３３（ｃｏｓ３ αｓｉｎα ）２ｓｉｎ２槡 α＝３ｃｏｓ２ α，将上面二式相加，整理得ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３ αｓｉｎα≥１．等号成立当且仅当α＝π４．因此，ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３αｓｉｎα的最小值为１．二、引申推广对问题作引申推广，可得如下命题．命题１　设α∈（０，π２），则ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎα＋ｃｏｓｎ＋２αｓｉｎｎ α 的最小值为１．证明　∵α∈（０，π２），∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，由均值不等式，得ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎα＋ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎ α ＋ｃｏｓα＋ｃｏｓα＋…＋ｃｏｓ烉烇烋αｎ个 ≥（ｎ＋２）ｎ＋２（ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎα ）２ｃｏｓ２ｎ槡 α，即２ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎ α ＋ｎｃｏｓ２α≥（ｎ＋２）ｓｉｎ２ α，６５数学通讯———２０１２年第４期（上半月） ·课外园地·

2018年一年级数学竞赛试题

2018年一年级数学竞赛试题满分 100分考试时间：60分钟我会填。（每小题3分，共36分。） 1、由6个十和7个一组成的数是（），数数时它后）。 2、74比60多（），8比81少（）。 3、两个加数都是12，和是（）；减数是20，被减 63，差是（）。 4、找规律填数。 4 5 7 （） 14 19 21 18 15 （） 9 6 5、△＋△=16，△＋●=22，那么△=（），●=（）。 6、一张2元钱可以换（）张5角钱。 7、现在是9:00，再过2时就是（）。 8、买一个练习本要8角钱，一把直尺要6角钱，买这两样东西一共要（元角）钱。 9、至少要用（）个相同的小正方体才能拼成一个 10、14只小猪背木头，每只小猪背了1根木头后，还剩 6根木头，请问一共有（）根木头。 11、妈妈25岁那年生下了我。今年，妈妈比我大（） 12、两根同样长的彩带用去一些后，第一根剩下8米， 10米，第（）根用去的多一些。

二、我会算。（共24分） 1、直接写得数。（12分） 77+9= 43-6= 27+40-9= 24-5= 50+34= 55-6-20= 7+17= 62-8= 54+30+8= 86-50= 35+60= 83+9-70= 2、在○里填“﹥”“﹤”或“﹦”。（4分） 4元8角○48角 65-6○56+5 2时○100分 50+24○88-4 3、在○里填“＋”或“－”。（4分） 46○8○7=45 30○18○6=42 4、在（）里填上合适的数。（4分） 30+（）=54 （）-40 =60 （）-8 =82 72-（）=64 三、数一数。（6分） ( ) 个三角形（）个长方形（）个小正方体四、看图列式计算。（8分） ?副 28副40副 76人 ?人40人

高一数学竞赛培训《解析几何部分》

高一上期数学竞赛培训资料（16） ——解析几何部分（4）——与圆有关的点的轨迹问题一、知识要点——求点的轨迹方程的基本步骤：（1）建：建立直角坐标系；（2）设：设立动点坐标P （x ，y ）；（3）现：将动点的等量关系呈现出来；（4）代：代入点的坐标；（5）化：化简上述等式。应注意：所求方程的完备性！二、题型示例： 1、ABC ?的两顶点A 、B 的坐标分别为(0,0)A 、(6,0)B ，顶点C 在曲线23y x =+上运动，求ABC ?重心的轨迹方程。 2、过原点作曲线2 1y x =+的割线12OPP ，求弦12PP 中点的 P 的轨迹方程。 3、已知两点(2,2)P -、(0,2)Q 以及一直线:l y x =，AB 在直线l 上移动，试求直线PA 和QB 的交点M

4、已知ABC ?的顶点A 是定点，边BC 在定直线上滑动，且||4BC =，BC 边上的高为3，求ABC ?的外心M 的轨迹方程。 5、设定点(6,0)P ，圆229x y +=上一点Q ，M 是PQ 上一点，满足 12 PM MQ =，当点Q 在圆上运动时，试求点M 的轨迹方程。 6、ABC ?中，边||6BC =，且0135B C ∠+∠=，试求顶点A 的轨迹方程。 7、过定点(,)M a b 任作两条互相垂直的直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于A B 、两点，试求线段AB 的中点P 的轨迹方程。

8、已知圆222:O x y r +=，点M 为圆O 上任意一点，又点(,0)A r -、(,0)B r ，过B 作BP ∥OM 交AM 的延长线于点P ，试求点P 的轨迹方程。 9、过圆22:4O x y +=与y 轴的交点A 作圆的切线l ，M 为直线l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，试求MAQ ?垂心的轨迹方程。 10、已知点P 是圆22 :4O x y +=上一动点，定点(4,0)Q 。（1）试求线段PQ 中点的轨迹方程；（2）设POQ ∠的角平分线交PQ 于点R ，求点R 的轨迹方程。