《圆》章节学习知识点复习资料
《圆》章节知识点复习
一、圆的概念
集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内?d r
2、点在圆上?d r=?点B在圆上；
3、点在圆外?d r>?点A在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离?d r>?无交点；
A
2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点；
3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-；
五、垂径定理
图4
图5
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；
③OC OF =；④ 弧BA =弧BD
七、圆周角定理
B
D
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=? ∴90C ∠=? ∴AB 是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=?
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
B
B
A
B
A
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O 中，
∵四边形ABCD 是内接四边形
∴180C BAD ∠+∠=? 180B D ∠+∠=? DAE C ∠=∠
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线
∴PA PB = PO 平分BPA ∠
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ?=?
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =?
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =?
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ?=?
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆
的
D
B
B
A
的公共弦。
如图：12O O 垂直平分AB 。
即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：12Rt O O C ?
中，221AB CO =
（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ?
中进行：
::2OD BD OB =；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE ?
中进行，::OE AE OA =
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB ?
中进行，::2AB OB OA =.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180
n R
l π=
； （2）扇形面积公式： 21
3602
n R S lR π=
= n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
2S S S =+侧表底=222rh r ππ+ （2）圆柱的体积：2V r h π=
（2）圆锥侧面展开图
（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+ （2）圆锥的体积：2
13
V r h π=
难题透视
例1如图7-1，在O e 中，弦AD 平行于弦BC ，若80AOC ∠=o ，则DAB ∠=____度． 【考点要求】本题主要考查圆中圆心角与圆周角之间的关系． 【思路点拔】∵∠B=1
2
∠AOC ，80AOC ∠=o ∴∠B=40° ∵AD ∥BC
∴DAB ∠=∠B =40°
l
O
C 1
D 1
图7-1
【答案】填：40
【方法点拨】本题部分学生不能很快发现所求角与已知角之间的关系．突破方法：抓住题中的所在条件，如本题中的两条弦平行，由此可将∠DAB 转化为∠ABC ，然后再利用圆周角与圆心的角关系求解．
解题关键：本题要求学生要熟悉同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，同时还要根据平行线的性质进行解题．
例2如图8-2，AB 是的⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC=CD=DA ，则∠BCD=（ ）
A ．1000
B ．1100
C ．1200
D ．1350 【考点要求】本题考查了圆中弧、弦、圆心（周）角之间的关系，以及直径所对的弧是半圆等基本知识．
【思路点拔】∵AB 是的⊙O 的直径
∴?
ACB 度数是1800 ∵BC=CD=DA
∴?BC
=?CD =?DA ∵∠BCD=
001
(18060)2
=1200 【答案】选填C
【方法点拨】本题要求学生要能比较熟悉圆中的弧、弦和圆心角之间的有关系，即同圆中相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等，同时还要知道直径是圆的一条特殊的弦，其所对的圆心角等于180°，以及圆心角与圆周角之间的关系，综合运用这些知识，容易理解要求某个圆周角，只需求得其所对的弧的度数．
例3已知：AB 和CD 为⊙O 的两条平行弦，⊙O 的半径为5cm ，
图7-2
B
A
(A)
(B)
C D E
F
图7-3
AB=8cm ，CD=6cm，求AB、CD间的距离是．
【考点要求】本题考查圆中弦、弦心距等与弦有关的计算问题．
【思路点拔】由于圆内的的两条弦均小于圆的直径，因此可确定出圆中的两条平行弦的位置关系有两种：一是位于圆心的同侧；二是位于圆心的异侧．如图8-3：过O作EF⊥AB，分别交AB、CD于E、F，则AE=4㎝，CF=3㎝，由勾股定理可求出OE=3㎝，OF=4㎝．故当AB、CD在圆心异侧时，距离为7㎝，在圆心同侧时，距离为1㎝．
【答案】填：7㎝或1㎝
【方法点拨】本题难点有两个：一是有不少学生容易只考虑其中的一种情形，而忽视另一情形；二是辅助线的添加．突破方法：一般几何填空题中，如果不配图，在自己作图时，应全面考虑各种可能情况．圆中与弦有关的计算或证明问题，往往需要连结半径和弦心距，以构造直角三角形，从而应用勾股定理进行计算．
例4用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，
需确定管道圆形截面的半径，如图7-5图是水平放置的破裂管道有水
部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
【考点要求】本题考查圆内心的确定，及与弦有关计算问题，同时考查学生动手操作图形的能力和利用基本知识解决简单问题的能力．
【思路点拔】（1）正确作出图形，如图7-6并做答．
（2）过O作OC⊥AB于D ，交弧AB于C，图7-5
图7-6
∵OC ⊥AB ， ∴BD ＝
21AB ＝2
1
×16＝8cm ． 由题意可知，CD ＝4cm ．
设半径为x cm ，则OD ＝（x －4）cm ． 在Rt △BOD 中，由勾股定理得：
OD 2＋BD 2＝OB 2， ∴( x －4)2＋82＝x 2． ∴x ＝10．
【答案】这个圆形截面的半径为10cm ．
【方法点拨】这是一道作图与解答相结合的中考题，部分学生不会补全整个圆面或者补全之后不知如何进行计算．突破方法：补全圆面的关键在于确定圆心，然后再利用勾股定理进行计算．
解题关键：确定圆心时，主要根据圆的定义，取弧上的两条弦，作出两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，然后连结半径构造直角三角形．
例5如图7-7，有一木制圆形脸谱工艺品，H 、T 两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D 处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D 的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．
图7-7
【考点要求】本题考查线段垂直平分线知识，通过对圆中弦的中点的确定，考查学生综合运用知识的能力．
【思路点拔】方法一：画弦的垂直平分线常用的依据是根据垂径定理，如图7-8中，图①，画TH 的垂线L 交TH 于D ，则点D 就是TH 的中点．
方法二：利用全等三角形，如图②，分别过点T 、H 画HC ⊥TO ，TE ⊥HO ，HC 与TE 相交于点F ，过点O 、F 画直线L 交HT 于点D ，由画图知，Rt △HOC ≌Rt △TOE ，易得HF=TF ，又OH=OT ，所以点O 、F 在HT 的中垂线上，所以HD=TD 了，则点D 就是HT 的中点．
方法三：
如图③
，
（原理同方法二）
【答案】见图．
图7-8
③
②
①
【方法点拨】这一道题有一定的开放性，题目中只提供了一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），工具的限至使用学生思维不易完全打开．突破方法：充分利用三角板直角，可画垂直线段，从而能够根据垂径定理或者构造全等的直角三角形来确定弦的中点．
例6如图7-9，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到
点C，使DC=BD，连接AC交⊙O与点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系?为什么?
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并
说明理由．
【考点要求】本题考查与圆有关的性质在三角中的应用．
【思路点拔】（1）（方法1）连接DO ，∵OD是△ABC的中位线，
图7-9
O
F
D
C B
A
∴DO ∥CA ，∵∠ODB ＝∠C ，∴OD ＝BO ，∴∠OBD ＝∠ODB ， ∴∠OBD ＝∠ACB ，∴AB ＝AC
（方法2）连接AD ， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AO ⊥BC ， ∵BD ＝CD ，∴AB ＝AC
（方法3）连接DO ∵OD 是△ABC 的中位线，∴OD=
21AC ，OB=OD=2
1
AB ，∴AB=AC （2） 连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90° ∴∠B ＜∠ACB ＝90°．∠C ＜∠ACB ＝90°．∴∠B 、∠C 为锐角 ∵AC 和⊙O 交于点F ，连接BF ， ∴∠A ＜∠BFC ＝90°．∴△ABC 为锐角三角形 【答案】（1）AB ＝AC ；（2）△ABC 为锐角三角形
【方法点拨】部分学生第（1）题会做出判断，但不知如何证明，而第（2）题又容易将问题结果简单、特殊化，易错误的判断为等边三角形．突破方法：判断或证明线段的大小关系时，一般结论是相等，在同一个三角形中可根据等角对等边证明，如果在两个三角形中，往往会根据三角形全等证明，同时还要看清题目要求，如本题就是要求按角的大小分类进行判断，而不是边的大小关系．
解题关键：证明同一个三角形中的两边相等，一般根据等角对等边进行证明． 例7如图7-13，已知AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ． 例7如图7-13，已知AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ． （1）求证：AH ·AB =AC 2；
（2）若过A 的直线与弦CD （不含端点）相交于点E ，与⊙O 相交于点F ，求证：AE ·AF =AC 2；
（3）若过A 的直线与直线CD 相交于点P ，与⊙O 相交于点Q ，判断
AP ·AQ =AC 2是否成立(不必证明)．
（1）求证：AH ·AB =AC 2；
（2）若过A 的直线与弦CD （不含端点）相交于点E ，与⊙O 相交于点F ，
图7-13
求证：AE ·AF =AC 2；
（3）若过A 的直线与直线CD 相交于点P ，与⊙O 相交于点Q ，判断AP ·AQ =AC 2是否成立(不必证明)．
【考点要求】本题考查与圆有关的三角形相似问题，是一道几何综合证明题． 【思路点拔】（1）连结CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°． 而∠CAH =∠BAC ，∴△CAH ∽△BAC ． ∴AC
AH AB AC =， 即AH ·AB =AC 2 ． （2）连结FB ，易证△AHE ∽△AFB ， ∴ AE ·AF =AH ·AB ， ∴ AE ·AF =AC 2 ．
(也可连结CF ，证△AEC ∽△ACF ) （3）结论AP ·AQ =AC 2成立．
【答案】 （3）结论AP ·AQ =AC 2成立．
【规律总结】等积式的证明往往要转化为比例式进行，部分学生不知改写为何种比例式比较合适．突破方法：把等积式转化为比例式时，要结合图形书写，如证明AH ·AB =AC 2
时，可将其先转化为AC
AH
AB AC =
，然后从比例式中对应边的比容易看出证明的目标为△CAH ∽△BAC ，从而使得解题变得有的放矢．
解题关键：证明圆中的等积式或比例式问题时，往往会利用三角形的相似，因为圆中容易证明角相等． 难点突破方法总结
在求解有关圆的中考试题，尤其是难题时，应尽量注意巧妙而又快速地找到其突破口，把题目由繁化简，变难为易．归纳下来，有这样几个方面值得考生们注意：
1.掌握解题的关键点．（1）有直径，常作其所对的圆周角；（2）有切线，常将切点与圆心连结起来；（3）有关弦的问题，常需作弦心距．联系垂径定理和直角三角形中的勾股定理；（4）研究两圆位置关系时，常作公切线和连心线；（5）有关切线的判定问题，根据题目条件，主要是两条思路，连半径证明垂直，或者是作垂直证明半径．
2.重视基本定理与基本图形相结合，计算与推理相结合，灵活运用各种方法．
3.重视数学思想方法的应用．运用分析法、演绎法、截补法，结合方程思想、分类讨论思想、数形结合思想解有关圆的应用题，探索开放性题和方案设计．
图7-13
拓展演练
一、选择题
1．已知⊙O的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm，点A与⊙O的位置关系时（）
A．点A在⊙O内B．点A在⊙O 上C．点A在⊙O 外D．不能确定2．已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，圆心距=10cm，那么⊙O1与⊙O2的位置关系是（）
A．内切B．相交C．外切D．外离
3．下列语句中正确的有（）
①相等的圆心角所对的弧相等②平分弦的直径垂直于弦③长度相等的两条弧是等弧
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知圆的半径为6．5cm，如果一条直线和圆心的距离为9cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）
A．相交B．相切 C ．相离D．相交或相离5．如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连结AC．BC．OC，那么下列结论中：①PC2=PA·PB；②PC·OC=OP·CD；③OA2=OD·OP．正确的有（）
A ．0个B．1个 C ．2个D．3个
6．AB是⊙O的直径，点D．E是半圆的三等分点，AE．BD 的延长线交于点C，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（）
A．4
3π－3B．2
3
π
C．2
3π－3D．1
3
π
二、填空题
7．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于．
8．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是
9．用48m长的竹篱笆在空地上，围成一个绿化场地，现有两种设计方案，一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地．现请你选择，围成
（圆形．正方形两者选一）场地的面积较大．
10．某落地钟钟摆的摆长为0．5m，来回摆动的最大夹角为20°，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为am，最大高度为bm，则b a-=m
（不取近似值）．
11．如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则将该圆锥沿母线剪开后所得扇形对应的圆心角为
12．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图8，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为．
三、解答题
13．如图，在△ABC中，∠C=900，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB．AC都相切，求⊙O的半径．O
D
E
C
B
A
14．已知: 如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC 于点E．(1)求证: DE⊥BC; (2)如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．
15．如图所示，外切于P点的⊙O1和⊙O2是半径为3cm的等圆，
连心线交⊙O1于点A，交⊙O2于点B，AC与⊙O2相切于点C，
连接PC，求PC的长．
16．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B 点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB 于点G．
（1）求证：点F是BD中点；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．
17．已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点．
（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP．BP的延长线分别交⊙O′
于点C．D，连接CD，则△PCD是三角形；
（2）若⊙O′与⊙O相交于点P．Q（见图乙），连接AQ．BQ并延长分
别交⊙O ′于点E ．F ，请选择下列两个问题中的一个．．作答： 问题一：判断△PEF 的形状，并证明你的结论； 问题二：判断线段AE 与BF 的关系，并证明你的结论． 我选择问题 ，结论： ．
习题答案专题七《圆》
1.【答案】A [点拨：根据圆的定义及点和圆的位置关系进行分析]
2.【答案】D [点拨：根据圆与圆的位置关系进行判断]
3.【答案】A [点拨：这是一道概念辨析题，正确理解等弧的概念是解此类题目的关键．等弧只能在同圆中，长度相等或度数相等的两条弧都不能判断是等弧，因此①③ 都是错误的，圆内任意两条直径都互相平分，但不一定垂直，故②不正确]
4.【答案】C [点拨：根据已知条件圆心到直线的距离为9cm ，大于圆的半径6.5cm ，所以直线与圆相离]
5.【答案】D [点拨：由题目已知条件，容易证明△PCA ∽△PBC ．△OCD ∽△OPC ，所以
PC PB PA PC =，PC CD OP OC =，OC OP
OD OC
=
，又由于OA=OC ，从而可推得三个结论全部正确]
6.【答案】A [点拨：∵?
??AE ED DB ==，∴ ∠A=∠ABC=600，∴△ABC 是等边三角形，又 AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=900 ，即 BE ⊥AE ，∴AC=2CE=4=AB ， ∴S 阴=S 扇形OBE －S ▲ABE =
4
3
37.【答案】5 [点拨：直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上，且半径等于斜边的一半] 8.【答案】
4
5
[由已知已知AB 是⊙O 的直径，得∠ACB=90O ，AB 垂直平分CD ，∴△BCD