2005年高考理科数学(福建卷)试题及答案

2005福建卷试题及答案

源头学子小屋

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

祝各位考生考试顺利！

第I 卷（选择题 共60分）

注意事项：

1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的

1．复数i

z -=11的共轭复数是

（ ）

A ．i 2

12

1+

B ．i 2

12

1-

C ．i -1

D ．i +1 2．已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是 （ ）

A ．15

B ．30

C ．31

D ．64 3．在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==AC k AB 则k 的值是 （ ）

A ．5

B ．－5

C ．2

3

D ．2

3-

4．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题： ①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m 其中真命题的个数是

（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

5．函数b

x a

x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，

则下列结论正确的是 （ ）

A ．0,1<>b a

B ．0,1>>b a

C ．0,10><

D ．0,10<<

6．函数)20,0,)(sin(π?ω?ω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 （ ）

A ．4

,2

π

?π

ω=

=

B ．6

,3

π

?π

ω=

=

C ．4,4π?πω==

D ．4

5,4π

?πω==

7．已知p ：,0)3(:,1|32|<-<-x x q x 则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 8．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，

AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中 点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） A ．5

15arccos

B ．

4π

C ．5

10arccos

D ．2

π

9．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人

游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种

10．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角

形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A ．324+

B ．13-

C ．

2

1

3+ D ．13+

11．设b a b a b a +=+∈则,62,,2

2

R 的最小值是

（ ）

A ．22-

B ．3

3

5-

C ．－3

D ．2

7-

12．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 在区间（0，6）内解的个数

的最小值是

（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

A

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置

13．6

)12(x

x -展开式中的常数项是 （用数字作答）

14．非负实数y x ,满足y x y x y x 3,03,

02+?

??≤-+≤+则的最大值为

15．若常数b 满足|b|>1，则=++++-∞→n

n n b b b b 1

21lim

. 16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：

若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于____对称，则函数)(x g =______

（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

已知5

1

cos sin ,02

=

+<<-

x x x π

. （I ）求sin x －cos x 的值；

（Ⅱ）求

x

x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322

++-的值.

18．（本小题满分12分）

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为

5

2

21与，投中得1分，投不中得0分. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；

（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率； 19．（本小题满分12分）

已知函数b

x ax x f +-=

26

)(的图象在点M （－1，f (x )）处的切线方程为x +2y+5=0. （Ⅰ）求函数y=f (x )的解析式； （Ⅱ）求函数y=f (x )的单调区间.

20．（本小题满分12分）

如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.

（Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小； （Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离.

21．（本小题满分12分）

已知方向向量为v =(1,3)的直线l 过点（0，－23）和椭圆C ：)

0(122

22>>=+b a b

y a x 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，满足63

4

=?ON OM cot ∠MON ≠0（O 为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分14分）

已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+

n

a 1

我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a =1时，得到无穷数列：.0,1,2

1

:,21;,35,23,

2,1---=得到有穷数列时当a （Ⅰ）求当a 为何值时a 4=0； （Ⅱ）设数列{b n }满足b 1=－1, b n+1=

)(1

1

+∈-N n b n ，

求证a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }； （Ⅲ）若

)4(22

3

≥<

D B

A

2005福建卷试题及答案

参考答案

1． B ． 2． A ．3． A ． 4． C ． 5． D ． 6． C ． 7． A ． 8． D ． 9． B ． 10． D ． 11． C ． 12． D ？． 12．解答：∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0

∵f(x)是以3为周期，∴f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝0f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＝0 ∵f(－1)＝f(2－3)＝f(2)＝0；f(x)是奇函数，f(－1)＝－f(1)＝0。∴f(1)＝0 f(4)＝f(1＋3)＝f(1)＝0

∵f(x)是以3为周期，∴f(1.5)＝f(1.5－3)＝f(－1.5)＝－f(1.5)

也就是f(1.5)＝－f(1.5)，即2f(1.5)＝0, f(1.5)＝0 f(4.5)＝f(1.5＋3)＝0

由此可见，f(x)＝0在区间(0,6)内的解有7个，分别是：1、2、3、4、5、1.5、4.5 四个选项中都没有正确答案

说明出题者当时忽视了f(4.5)＝f(1.5)＝0也成立的情况

13． 240 14． 9 15．

11

b -. 16．①x 轴 ,23log x --②y 轴 ,23log (x +-

③原点 ,23log (x ---④y x =直线 ,2

x -

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

已知5

1

cos sin ,02

=

+<<-

x x x π

. （I ）求sin x －cos x 的值；

（Ⅱ）求

x

x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322

++-的值.

本题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、各个象限内三角函数符号的特

点等基本知识，以及推理和运算能力 解法一：（Ⅰ）由,25

1cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得 即 .25

49

cos sin 21)cos (sin .25

24

cos sin 22=-=--=x x x x x x

又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02

<-><∴<<-

x x x x x π

故 .5

7cos sin -=-x x

（Ⅱ）x

x x x x x x

x x x x x sin cos cos sin 1

sin 2sin 2cos tan 2cos 2cos 2sin 2sin 3222+

+-=++-

125

108)512()2512()

sin cos 2(cos sin -

=-?-=--=x x x x

解法二：（Ⅰ）联立方程??

???

=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x

由①得,cos 5

1

sin x x -=

将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x ???

???

?

=-=∴<<-=-=∴.

54c o s ,53s i n ,02.54c o s 53c o s x x x x x π 或 故 .5

7

cos sin -=-x x

（Ⅱ）x

x x x x x x

x x x x x sin cos cos sin 1

sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 3222+

+-=++-

125

108)53542(54)53()

sin cos 2(cos sin -

=+-??-=--=x x x x

18．（本小题满分12分）

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为

5

2

21与，投中得1分，投不中得0分. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；

（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率； 本题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力 解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则

.5

3

)(,21)(,52)(,21)(====

P P B P A P

02102510

E ξ=?++?= 答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为

10

9. （Ⅱ）“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中”的事件是“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球均未命中”的事件C 的对立事件，

①②

而()0202

022211232255100

P C C C ????????=?= ? ?

? ????????? ∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为()1100

P C -=100

19．（本小题满分12分）

已知函数b

x ax x f +-=

2

6

)(的图象在点M （－1，f (x )）处的切线方程为x +2y+5=0. （Ⅰ）求函数y=f (x )的解析式； （Ⅱ）求函数y=f (x )的单调区间.

本题考查函数的单调性，导数的运用等知识，考察运用数学知识、分析问题和解决问题的能力

解：由函数f(x)的图像在点M （-1，()1f -）处的切线的方程为x+2y+5=0,知

()()()1

12150,12,'12

f f f -+-+=-=--=-即，

()()()

()

22

2

26',a x b x ax f x x

b +--=

+

()()()2

6

2

12,1261321a b a a b a b b --?=-?+=??

∴??++--=??=-?+?

解得，∴()23f x x =+（II ）()()

22

2

2126

'3x x f x x

-++=

+，

()'03f x x ><<+由得到

由()'0f x <得到，33x x <->+所以函数f (x ) 在(,3)-∞-++∞上单调递减，在(3-+上单调递增

20．（本小题满分12分）

如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.

（Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小； （Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离.

本题主要考查直线、直线和平面基点和平面的距离等基础知识，考察空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力 D B

A

（I ）,,BF ACE BF AE ⊥∴⊥ 平面

D-AB-E ABCD ABE ∴⊥ 二面角为直二面角，平面平面，

BC AB BC ABE BC ,AE ⊥∴⊥∴⊥又，平面，

BF BCE BF BC=B BCE AE ?∴⊥ 又平面，，平面。

（II ）连结AC 、BD

交于G ，连结FG ，∵ABCD 为正方形，∴B D ⊥A C

，∵B F ⊥平面ACE

，∴F G ⊥AC ，∠FGB 为二面角B-AC-E 的平面角，

由（I ）可知，A E ⊥平面BCE

，∴A E ⊥EB ，又AE=EB ，AB=2， 在直角三角形BCE 中，

BC BE

BF CE ?=

=

==

在正方形中，BG=

，在直角三角

形BFG 中，

s i n BF

FGB BG

∠=

==

∴二面角B-AC-E 为

（III ）由（II ）可知，在正方形ABCD 中，BG=DG ，

D 到平面ACB 的距离等于B 到平面AC

E 的距离，B

F ⊥平面ACE ，线段BF 的

长度就是点B 到平面ACE 的距离，即为D 到平面ACE 的距离所以D 到平面的距离为

=

另法：过点E 作AB EO ⊥交AB 于点O. OE=1. ∵二面角D —AB —E 为直二面角，∴EO ⊥平面ABCD.

设D 到平面ACE 的距离为h ，,ACD E ACE D V V --= .3

1

31EO S h S ACD ACB ?=?∴?? ⊥AE 平面BCE ，.EC AE ⊥∴ .

332622

11

2221

2

1

21

=????=

???=∴EC AE EO

DC AD h ∴点D 到平面ACE 的距离为

.3

3

2 解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，过

O

D

A

点平行于AD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O —xyz ，如图.

⊥AE 面BCE ，BE ?面BCE ， BE AE ⊥∴，

在AB O AB AEB Rt 为中,2,=?的中点，

).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(.1C E A OE -∴=∴

).2,2,0(),0,1,1(== 设平面AEC 的一个法向量为),,(z y x =， 则?

?

?=+=+?????=?=?.022,0,0,0x y y x n AE 即

解得?

?

?=-=,,x z x y

令,1=x 得)1,1,1(-=n 是平面AEC 的一个法向量.

又平面BAC 的一个法向量为)0,0,1(=，

.3

3

3

1|

|||),cos(=

=

?=

∴n m

∴二面角B —AC —E 的大小为.3

3

arccos

（III ）∵AD//z 轴，AD=2，∴)2,0,0(=AD ，

∴点D 到平面ACE 的距离.33

2

3

2,cos |||=

=

>=

已知方向向量为v =(1,3)的直线l 过点（0，－23）和椭圆C ：)

0(122

22>>=+b a b

y a x 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，满足63

4

=

?OM cot ∠MON ≠0（O 为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.

本题考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力

（I ）解法一：直线323:-=x y l ， ①

D

A

过原点垂直l 的直线方程为x y 3

3

-=， ② 解①②得.2

3=

x ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，

.32

322=?=∴c a

∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.

.2,6,22

2

===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12

62

2=+

y x ③ 解法二：直线333:-=x y l .

设原点关于直线l 对称点为（p ，q ），则???

???

?-=?-?=.1332232p q p q 解得p=3. ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，

.32=∴c a ∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.

.2,6,22

2

===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12

62

2=+

y x ③ （II ）解法一：设M （11,y x ），N （22,y x ）.

当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代

入③，整理得

,061212)13(2222=-+++k x k x k

,1

36

12,13122

2212221+-=?+-=+∴k k x x k k x x ,1

3)1(62136124)1312(14)(1||22222222

212212

++=+-?-+-+=-++=k k k k k k k

x x x x k

MN

点O 到直线MN 的距离2

1|2|k

k d +=

,cot 634MON OM ∠=

? 即 ,0sin cos 634cos ||||≠∠∠=∠?MON

MON

MON ON OM

,63

4||.632,634sin ||||=?∴=∴=

∠?∴?d MN S MON ON OM OMN

即).13(63

4

1|

|6422+=

+k k k 整理得.3

3,312±=∴=

k k

当直线m 垂直x 轴时，也满足63

2

=?OMN S .

故直线m 的方程为,3

3233+=

x y

或,3

3

233--

=x y 或.2-=x

经检验上述直线均满足0≠?ON OM . 所以所求直线方程为,3

3

233+=

x y 或,33233--=x y 或.2-=x 解法二：设M （11,y x ），N （22,y x ）.

当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k m 代入③，整理得

,061212)13(2

2

2

2

=-+++k x k x k ,1

3122

2

21+-=+∴k k x x

∵E （－2，0）是椭圆C 的左焦点，

∴|MN|=|ME|+|NE|

=.13)1(6262)1312(6

22)()()(2222212212++=++-?=++=+++k k k k a x x a c x c a e x c a e 以下与解法一相同.

解法三：设M （11,y x ），N （22,y x ）.

设直线2:-=ty x m ，代入③，整理得.024)3(2

2=--+ty y t

,3

2

,342

21221+-=+=+∴t y y t t y y .)3(24

243

8

)34(4)(||2

22222212121++=

+++=-+=-t t t t t y y y y y y

,cot 63

4

MON OM ∠=

?

即 ,0sin cos 634cos ||||≠∠∠=∠?MON

MON MON ON OM

.63

2,634sin ||||=∴=

∠?∴?OMN S MON ON OM

=-?=+=???||||2

1

21y y OE S S S OEN

OEM OMN .)3(24

242

22++t t

∴2

22)

3(2424++t t =632

，整理得.324t t =

解得,3±=t 或.0=t

故直线m 的方程为,3

3

233+=

x y 或,33233--=x y 或.2-=x

经检验上述直线方程为.0≠?ON OM

所以所求直线方程为,3

3

233+=

x y 或,33233--=x y 或.2-=x 22．（本小题满分14分）

已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+

n

a 1

我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a =1时，得到无穷数列：.0,1,2

1

:,21;,35,23,

2,1---=得到有穷数列时当a （Ⅰ）求当a 为何值时a 4=0； （Ⅱ）设数列{b n }满足b 1=－1, b n+1=

)(1

1

+∈-N n b n ，

求证a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }； （Ⅲ）若

)4(22

3

≥<

∴==∴=-=-==-- 解法2：

1123441121322

,1,.,,0,113

n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++==+∴====∴=-++ （II ）

11

11

,1,{},1n n n n n n n b b a b b a b b b ++=

∴=+=- 若取数列的一个数即,

132121

111111,11,,n n n n b a b a b a b ---=+

=+==+=+= 2则a 111

1

1,10n n n a b a a --∴==-∴=+

= 所以数列{}n a 只能有n 项为有穷数列

（III ）()()()()11111

3112122332455253

2223222

n n n n n n a a a n n n a n a a -----?<+<<

()422332

2422033221

n a a n a a a +<<≥?<+ 这就是所求的取值范围