初中数学解直角三角形题型大全

第11关 解直角三角形（讲义部分）

知识点1 解直角三角形

1.已知一边一角

（1）已知斜边和一锐角分别为A c ，，解法：,90A B ∠-=∠ο

,sin A c a =A c B c b cos sin ==

（2）已知一直角边和一锐角分别为A a ，，解法：,90A B ∠-=∠ο

,tan B a b =A a c sin =

2.已知两边

（1）已知两直角边b a ,，解法：由b

a

A =

tan 求出A ∠,,90A B ∠-=∠οA b

A a c cos sin =

=

（2）已知一直角边和斜边分别为c a ,，解法：由

c a

A =sin 求出A ∠，,90A

B ∠-=∠ο

A c

B c b cos sin ==

解直角三角形的关键是合理的选用边角关系，包括勾股定理、直角三角形的两个直角互余及锐角三角函数的概念.

题型1 解直角三角形

【例1】如图，AD 是ABC ?的中线，1

tan 3

B =，cos

C =，AC =

（1）BC 的长； （2）sin ADC ∠的值．

【解答】解：（1）过点A 作AE BC ⊥于点E ，

cos C =

Q ， 45C ∴∠=?，

在Rt ACE ?中，cos 1CE AC C ==g ， 1AE CE ∴==，

在Rt ABE ?中，1tan 3B =，即1

3

AE BE =，

33BE AE ∴==， 4BC BE CE ∴=+=；

（2）AD Q 是ABC ?的中线，

1

22

CD BC ∴==，

1DE CD CE ∴=-=， AE BC ⊥Q ，DE AE =， 45ADC ∴∠=?，

sin ADC ∴∠．

【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注 意锐角三角函数的概念的正确应用．

【例2】如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=?，45C ∠=?，CD =，3BD =． （1）求sin CBD ∠的值； （2）若3AB =，求AD 的长．

【解答】解：（1）如图，过点D 作DE BC ⊥于点E ，

在Rt CED ?中，Q 45,C CD ∠=?，

1CE DE ∴==，

在Rt BDE ?中，1

sin 3

DE CBD BD ∠=

=； （2）过点D 作DF AB ⊥于点F ， 则90BFD BED ABC ∠=∠=∠=?， ∴四边形BEDF 是矩形，

1DE BF ∴==， 3BD =Q ，

∴DF =2AF AB BF ∴=-=，

∴AD =

【点评】本题考查了锐角三角函数及矩形、等腰三角形的知识．构造直角三角形和矩形，利用锐

角三角函数是解决本题的关键．

【例3】如图，在等腰Rt ABC ?中，90C ∠=?，8AC =，D 是AC 上一点，若1tan 3

DBA ∠=． （1）求AD 的长； （2）求sin DBC ∠的值．

【解答】解：（1）过点D 作DH AB ⊥于点H ，

ABC ?Q 为等腰直角三角形，90C ∠=?，

45A ∴∠=?，8AC BC ==， AH DH ∴=，

设AH x =，则DH x =

1tan 3

DBA ∠=

Q ， 3BH x ∴=， 4AB x ∴=，

由勾股定理可知：AB

x ∴=

由勾股定理可得，4AD ==；

（2）4AD =Q ，

4DC AC AD ∴=-=，

由勾股定理得，DB =

sin

CD DBC BD ∴∠=

==

【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键．

【例4】如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知36α∠=?，求长方形卡片的周长．（精确到1)mm （参考数据：sin360.60?≈，

cos360.80?≈，tan360.75)?≈

【解答】解：作BE l ⊥于点E ，DF l ⊥于点F ．

1801809090,90,36.

DAF BAD ADF DAF ADF αα+∠=?-∠=?-?=?∠+∠=?∴∠==?Q 根据题意，得24BE mm =，48DF mm =． 在Rt ABE ?中，sin BE

AB

α=， ∴24

40sin360.60

BE AB mm =

==?

在Rt ADF ?中，cos DF

ADF AD

∠=， ∴48

60cos360.80

DF AD mm =

==?．

∴矩形ABCD 的周长2(4060)200mm =+=．

【点评】本题考查矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．

【例5】阅读下面材料：

小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=?，60D ∠=?

，AB =

BC AD 的长．小红发现，延长AB 与DC 相交于点E ，通过构造Rt ADE ?，经过推理

和计算能够使问题得到解决（如图2)． 请回答：AD 的长为 ． 参考小红思考问题的方法，解决问题： 如图3，四边形ABCD 中，1

tan 2

A =

，135B C ∠=∠=?，9AB =，3CD =，求BC 和AD 的长．

【解答】解：（1）延长AB 与DC 相交于点E ，

在ADE ?中，90A ∠=?Q ，60D ∠=?，

30E ∴∠=?．

在Rt BEC ?中，90BCE ∠=?Q ，30E ∠=?

，BC =

2BE BC ∴==

AE AB BE ∴=+==

在Rt ADE ?中，90A ∠=?Q ，30E ∠=?，AE =

tan 6AD AE E ∴=∠==g ． 故答案为6；

（2）如图，延长AB 与DC 相交于点E ．

135ABC BCD ∠=∠=?Q ， 45EBC ECB ∴∠=∠=?， BE CE ∴=，90E ∠=?．

设BE CE x ==，则BC =，9AE x =+，3DE x =+． 在Rt ADE ?中，90E ∠=?，

1

tan 2

A =Q ，

∴

12DE AE =，即31

92

x x +=+， 3x ∴=．

经检验3x =是所列方程的解，且符合题意，

BC ∴=12AE =，6DE =，

AD ∴=

【点评】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解 答此题的关键．

【例6】如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，斜边AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点E 和点

D ，已知:2BD CD =

（1）求ADC ∠的度数；

（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15?的值（结果保留根号）．

【解答】解：（1）连接AD ，如图．

设2BD k =，则CD =．

DE Q 垂直平分AB ， 2AD BD k ∴==． 在Rt ACD ?中， 90C ∠=?Q ，

cos CD ADC AD ∴∠=

==

， 30ADC ∴∠=?；

（2）AD BD =Q ， B DAB ∴∠=∠．

30ADC ∠=?Q ，B DAB ADC ∠+∠=∠， 15B DAB ∴∠=∠=?． 在Rt ACD ?中， 90C ∠=?Q ，

∴AC k ．

在Rt ABC ?中

90C ∠=?Q ，

∴tan 2

AC B BC ===-

∴tan152?=-

【点评】本题主要考查了三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，利用已知条 件和第（1）小题的结论是解决第（2）小题的关键．

知识点2 解直角三角形综合

题型2 解直角三角形综合

【例7】如图，在同一平面内，两条平行高速公路1l 和2l 间有一条“Z ”型道路连通，其中AB 段与高速公路1l 成30?角，长为20km ；BC 段与AB 、CD 段都垂直，长为10km ，CD 段长为30km ，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．

【解答】解：过B 点作1BE l ⊥，交1l 于E ，CD 于F ，2l 于G ．

在Rt ABE ?中，1

sin302010BE AB km =?=?=g ，

在Rt BCF ?中，cos3010BF BC =÷?=，

1sin30CF BF =?=g ，

(30DF CD CF km =-=，

在Rt DFG ?中，1sin30(30(152FG DF km =?=?=g ，

(25EG BE BF FG km ∴=++=+．

故两高速公路间的距离为(25km +．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题 转化为数学问题加以计算．

【例8】如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离75OA =厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB AO ⊥，37AOB ACB ∠=∠=?，且支架长OB 与桌面宽BC 的长度之和等于OA 的长度．求小桌板桌面的宽度BC ．（参考数据sin370.6?≈，cos370.8?≈，tan370.75)?≈

【解答】解：延长CB 交AO 于点D ．

CD OA ∴⊥，

设BC x =，则75OB x =-， 在Rt OBD ?中，cos OD OB AOB =∠g ，sin BD OB AOB =∠g ， (75)cos370.8(75)600.8OD x x x ∴=-?=-=-g ，

(75)sin370.6(75)450.6BD x x x =-?=-=-， 在Rt ACD ?中，tan AD DC ACB =∠g ，

(450.6)tan370.75(0.445)0.333.75AD x x x x ∴=+-?=+=+， 75AD OD OA +==Q ，

0.333.75600.875x x ∴++-=， 解得37.5x =． 37.5BC ∴=；

故小桌板桌面的宽度BC 约为37.5cm ．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形并求解．

【例9】如图， 望湖公园装有新型路灯， 路灯设备由灯柱AC 与支架BD 共同组成 （点C 处装有安全监控， 点D 处装有照明灯） ，AC 与地面垂直，BC 为 1.5 米，BD 为 2 米，AB 为 7 米，60CBD ∠=?，某一时刻， 太阳光与地面的夹角为37?，求此时路灯设备整体在地面上的影长为多少？

（参 考数据：sin370.60?≈，cos370.80?≈，tan370.75)?≈

【解答】解： 如图， 过点D 作光线的平行线， 交地面于点G ，交射线AC 于点F ，过点D 作 DE AF ⊥于点E ，

在Rt DBE ?中， 60CBD ∠=?Q ， 30BDE ∴∠=?， 2BD =Q ，

sin301BE BD ∴=?=g ，cos30DE BD =?g ， 在Rt FED ?中， 37AGF ∠=?Q ， 37EDF ∴∠=?，

tan37EF ED ∴=?=g ， 7AB =Q ，

718AF AB BE EF ∴=++=++=．

87>Q ，

∴此时的影长为AG ．

在Rt AFG ?中，32

tan373

AF AG ==?

答： 此刻路灯设备在地面上的影长为32

(3

米 ．

【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是锐角三角函数、三角形内角和定理，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．

第11关 解直角三角形（题册部分）

【课后练1】如图，在Rt ABC ?中，设a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠的对边，90C ∠=?，8b =，

A ∠

的平分线AD =

B ∠，a ，c 的值．

【解答】解：90C ∠=?Q ，8b =，A ∠

的平分线AD

cos AC CAD AD ∴∠=

==

30CAD ∴∠=?， 60CAB ∴∠=?， 30B ∴∠=?，

216c b ∴==

，tan30b a =

==?，

即30B ∠=?

，a =16c =．

【课后练2】如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，AB 的垂直平分线与AB ，BC 分别交于点E 和点D ，且2BD AC =． （1）求B ∠的度数．

（2）求tan BAC ∠（结果保留根号）．

【解答】解：（1）连接AD ．

DE Q 垂直平分线段AB ， DA DB ∴=， B DAB ∴∠=∠， 2BD AC =Q ， 2AD AC ∴=， 90C ∠=?Q ， 30ADC ∴∠=?，

ADC DAB B ∠=∠+∠Q ， 15B ∴∠=?．

（2）设AC a =，则2AD BD a ==

，CD =

，2BC a =+，

tan 2BC BAC AC ∴∠=

=

【课后练3】如图，在ABC ?中，45B ∠=?，5AC =，3

cos 5

C =，A

D 是BC 边上的高线． （1）求AD 的长；

（2）求ABC ?的面积．

【解答】解：（1）AD BC ⊥Q ，

90ADC ADB ∴∠=∠=?．

在Rt ACD ?中，5AC =，3cos 5

C =

， cos 3CD AC C ∴==g ，

4AD ∴==．

（2）45B ∠=?Q ，90ADB ∠=?， 9045BAD B ∴∠=?-∠=?， B BAD ∴∠=∠， 4BD AD ∴==，

11

4(43)1422

ABC S AD BC ?∴==??+=g ．

【课后练4】如图，把两幅完全相同的长方形图片粘贴在一矩形宣传板EFGH 上，除D 点外，其他顶点均在矩形EFGH 的边上．50AB cm =，40BC cm =，55BAE ∠=?，求EF 的长．参考数据：sin550.82?=，cos550.57?=，tan55 1.43?=．

【解答】解：在直角三角形ABE 中，50AB cm =，55BAE ∠=?，

sin 50sin55500.8241BE AB BAE ∴=∠=?=?=g g ． ABCD Q 是矩形，

55CBF BAE ∴∠=∠=?，

∴在直角三角形BCF 中，40BC cm =，55CBF ∠=?， cos 40cos55400.5722.8BF BC CBF ∴=∠=?=?=g g ． 4122.863.8EF BE BF ∴=+=+=． 所以EF 的长为63.8cm ．

【课后练5】某片绿地形状如图所示，其中AB BC ⊥，CD AD ⊥，60A ∠=?，200AB m =，

100CD m =，求AD 、BC 的长．

（精确到1m 1.732)≈

【解答】解：如图，延长AD ，交BC 的延长线于点E ，

在Rt ABE ?中，

200AB m =Q ，60A ∠=?，

tan BE AB A ∴==g ，

400cos60AB

AE m =

=?，

在Rt CDE ?中，

100CD m =Q ，9030CED A ∠=?-∠=?， 2200CE CD m ∴==，

tan CD

DE CED

==∠，

400227AD AE DE m ∴=-=-≈，

200146BC BE CE m =-=-≈．

答：AD 的长约为227m ，BC 的长约为146m ．

【课后练6】如图，河的两岸1l 与2l 相互平行，A 、B 是1l 上的两点，C 、D 是2l 上的两点，某人在点A 处测得90CAB ∠=?，30DAB ∠=?，再沿AB 方向前进20米到达点E （点E 在线段AB 上），测得60DEB ∠=?，求C 、D 两点间的距离．

【解答】解：过点D 作1l 的垂线，垂足为F ，

60DEB ∠=?Q ，30DAB ∠=?， 30ADE DEB DAB ∴∠=∠-∠=?， ADE ∴?为等腰三角形， 20DE AE ∴==，

在Rt DEF ?中，1

cos6020102

EF DE =?=?

=g ， DF AF ⊥Q ， 90DFB ∴∠=?， //AC DF ∴，

由已知12//l l ，

//CD AF ∴，

∴四边形ACDF 为矩形，30CD AF AE EF ==+=， 答：C 、D 两点间的距离为30m ．

(完整版)初中解直角三角形练习题

解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=

二、选择题 1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm

解直角三角形题型归纳梳理

解直角三角形题型归纳梳理 专题一、 求直角三角形锐角三角函数的方法 题型一 直接运用定义求锐角三角函数值 【典例1】（2019?金堂校级期末）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝1，BC ＝2，则sin ∠A ＝ 2√5 5 ． 【解析】解：∵∠C ＝90°，∴AC 2+BC 2＝AB 2， ∵AC ＝1，BC ＝2，∴AB =√5；∴sin ∠A =BC AB = 25=2√5 5，故答案为2√55 ． 【典例2】（2019?镇海区一模）如图，直线y =3 4x +3与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，则cos ∠BAO 的值是（ ） A ．4 5 B ．3 5 C ．4 3 D ．5 4 【解析】解：当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝﹣4， ∴直线y =3 4x +3与x 、y 轴的交点A 的坐标（﹣4，0）、B （0，3），∴OA ＝4，OB ＝3， 由勾股定理得，AB ＝5，则cos ∠BAO =OA AB =4 5，故选：A ． 【典例3】（2019?咸宁模拟）如图，P （12，a ）在反比例函数y =60 x 图象上，PH ⊥x 轴于H ，则tan ∠POH 的值为 512 ．

【解析】解：∵P （12，a ）在反比例函数y = 60x 图象上，∴a =6012 =5， ∵PH ⊥x 轴于H ，∴PH ＝5，OH ＝12，∴tan ∠POH =5 12，故答案为： 5 12 ． 【典例4】（2019?成都）如图，在正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，BE ＝3AE ，试求sin ∠ECM 的值． 【解析】解：设AE ＝x ，则BE ＝3x ，BC ＝4x ，AM ＝2x ，CD ＝4x ，∴EC =√(3x)2+(4x)2=5x ， EM =√x 2+(2x)2=√5x ，CM =√(2x)2+(4x)2=2√5x ， ∴EM 2+CM 2＝CE 2，∴△CEM 是直角三角形，∴sin ∠ECM = EM CE =√5 5 ． 题型二 利用等角转换求锐角三角函数值 【典例5】（2019?雁塔区校级月考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝3， AC ＝4，则cos ∠DCB 的值为（ ） A ．3 5 B ．4 5 C ．3 4 D ．4 3 【解析】解：在Rt △ABC 中，AB =√BC 2+AC 2=√32+42=5，∵CD ⊥AB ，∴∠DCB +∠B ＝90°，

(完整版)解直角三角形超经典例题讲解

课 题 解直角三角形 授课时间： 备课时间： 教学目标 1. 了解勾股定理 2. 了解三角函数的概念 3. 学会解直角三角形 重点、难点 三角函数的应用及解直角三角形 考点及考试要求 各考点 教学方法：讲授法 教学内容 （一）知识点（概念）梳理 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 7.图中角α可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角； （1）

9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 铅直 高度（h ）和水平长度（l ）的比。 记作i,即i = l h ； （2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i ＝l h =tan α （3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 大 ，坡面就越 陡 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即 b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 21 22 23 1 cos α 1 23 2 2 21 0 tan α 0 33 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3 0 4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1

解直角三角形知识点及典型例题

解直角三角形 本章知识结构梳理 一、锐角三角函数 1、梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比＿＿＿＿ 2、直角三角形AB 1C 1 和直角三角形ABC 有什么关系? 边之间的关系呢？ 3、三角函数定义： 注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的sin ，cos ，tan 是没有意义的，其中A 前面的“∠”一般省略不写 例1、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 例2、在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 例3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA= 23 ，则tanB 等于（ ） 锐角三角函数 1锐角三角函数的定义 ⑴、正弦； ⑵、余弦； ⑶、正切。 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。 3、各锐角三角函数间关系 ⑴、定义； ⑵、直角三角形的依据 ⑶、解直角三角形的应用。 ①、三边间关系； ②、锐角间关系； ③、边角间关系。

A ． 35 B ．3 C ．2 5 D ． 2 例4、已知：α是锐角，tan α= 7 24 ，则sin α=_____，cos α=_______． 4、取值范围：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 坡度（坡比） 方向角度 俯角仰角 例6、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB ?的值． 例7、如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD ，根据此图求tan15°的值．

锐角三角函数及解直角三角形的应用练习题

第18题图 C B A 锐角三角函数及解直角三角形的应用 一、选择题 1.如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在斜边AB 上的点E 处. 已知AB=38, ∠B=30°, 则DE 的长是( ). A. 6 B. 4 C. 34 D. 23 2.如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为（ ） A 80 3 3米 B ．403米 C ．40米 D ．10米 3．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（ ） A ． 1：2 B. 3 ：2 C. 1： 3 D. 3 ：1 4．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）1213 （C ）10 13 （D ）512 5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)1 (B)2 （C ）2 2 (D)22 6．在△ABC 中，三边之比为2:3:1::=c b a ，则sinA+tanA 等于（ ） （A ） 6323+ （B ）32 1 + （C ）233 （D ）213+ 7．在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ∶AC 等于（ ） （A ）2:3 （B ）3:3 （C ）1∶2 （D ）1:2 8．如图是一束平行的光线从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成的∠AMC=30°，在教室地面的影长MN=32米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC 为（ ） （A ）32米 （B ）3米 （C ）3.2 米 （D ） 2 3 3米 A B C M N

解直角三角形练习题(一)及答案

解直角三角形 一、选择题 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长 线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)．1 (B)．2 (C)． 2 2 (D)．22 2、如果α是锐角，且5 4 cos = α，那么αsin 的值是（ ）． （A ） 259 （B ） 54 （C ）53 （D ）25 16 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ） 513 （B ） 1213 （C ）10 13 （D ）512 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( ) （A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）． （A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且5 3 cos =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）． （A ）3 （B ） 316 （C ）320 （D ）5 16 7、某市在“旧城改造”中计划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75° 9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( ) （A ）13 5 （B ）1312 （C ）125 （D ）512 A B C D E ?15020米30米

解直角三角形题型带解析

解直角三角形题型－带解析

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１、（2０1７?河南）如图所示,我国两艘海监船Ａ，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时,B船在Ａ船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东４5°方向,B船测得渔船C在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈,cos53°≈，tａn53°≈，≈1.４1） 【分析】如图作ＣE⊥AB于Ｅ．设AE=ＥC=ｘ,则BE=x﹣5,在Rｔ△ＢCＥ中，根据tan５3°=,可得=,求出x，再求出BＣ、ＡC,分别求出A、B两船到C的时间，即可解决问题. 【解答】解：如图作CＥ⊥AB于Ｅ. 在Rt△ACE中,∵∠A=45°, ∴ＡE＝EC,设AE=ＥＣ＝ｘ，则ＢE=x﹣5, 在Rｔ△BCE中, ∵tan53°=, ∴＝, 解得x=2０, ∴AE=EC＝20,

∴AC=2０=28.２， ＢC==25, ∴A船到C的时间≈=０.９4小时,Ｂ船到C的时间==1小时, ∴C船至少要等待0.94小时才能得到救援． 2、(２016?河南)如图,小东在教学楼距地面９米高的窗口Ｃ处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为３7°,旗杆底部Ｂ点的俯角为4５°，升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.２5米处，若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：ｓiｎ37°≈０.６0,ｃｏs３7°≈0.80,taｎ37°≈0．75) 【分析】通过解直角△BCD和直角△AＣD分别求得BＤ、CD以及ＡD的长度,则易得AB的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度,由“速度=”进行解答即可． 【解答】解:在Rｔ△ＢＣＤ中，BＤ＝9米，∠BＣD=４5°,则BD=ＣD=9米. 在Rt△ＡＣD中,ＣD=９米，∠ＡＣＤ=37°，则AD=ＣD?tan37°≈9×0．75=6.７５（米）． 所以，ＡB=ＡD+BD＝15.75米， 整个过程中旗子上升高度是：15.75﹣２.２5＝13．5（米), 因为耗时45s,

解直角三角形常见题型

解直角三角形常见题型 题型一、关于仰角与俯角的题型 1、为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已 知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度． 2、摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45?，再往摩天轮的方向前进50 m至D处，测得最高点A的仰角为60?． 3、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC 为多少米。 4、中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是45°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米 中考链接 5．（8分）（2018?泸州）如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．

6．（10分）（2008?巴中）又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”． 下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60；乙：我站在此处看塔顶仰角为30；甲：我们的身高都是；乙：我们相距20m ；请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度（精确到1米）． 7、（2017?广元）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB 的高度，在C 处测得∠ADG=30°，在E 处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB 的高度（结果保留两位有效数字，≈）． 8．（8分）（2015?巴中）如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB 的高度，在大厦前的平地上选择一点C ，测得大厦顶端A 的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D 处（C 、D 、B 三点在同一直线上），又测得大厦顶端A 的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．（精确到米，参考数据： ≈， ≈） 题型三、关于方位角的题型 1.如图1，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到千米） 2． 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距83 km 的C 处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠 岸请说明理由． 4、如图，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A 地观测到我渔船C 在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B 处，此时观测到我渔船C 在北偏东30°方向上．问渔政310船再航行多久，离我渔船C 的距离最近（假设我渔船C 捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．） N M 东 北 B C A l

整理解直角三角形的应用经典题型

解直角三角形应用经典 【例1】：为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度． 练习1、如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高（精确到0.1）． （参考数据：414 .12≈ 732.13≈） 练习2、2009年首届中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图， 有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米） （参考数据：, 75.037tan ,80.037cos ,60.037sin ≈?≈?≈?73.13≈） B A C

【例2】：在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处 有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经 过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距83的C处． （1）求该轮船航行的速度； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由． 练习：如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装 天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于 C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长. 【例3】：如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB的坡角∠BAD=ο 60,坡长AB=m 3 20,为加强水坝强度,将 坝底从A处向后水平延伸到F处,使新的背水坡的坡角∠F=ο 45,求AF的长度(结果精确到1米,参考数据: 414 .1 2≈,732 .1 3≈). N M 东 北 B C A l

《解直角三角形》典型例题

《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B = tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4 cos =? == B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 13 3 330tan =? =?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ．

分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是 的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．

解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有 ，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有 ， 则有 说明还可以这样求：

(完整word版)初三解直角三角形基本模型复习

课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数，理解三角函数表示的意义，学会利用三角函数求线段长度和角度； 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考（建议不超过10分钟） 1.（2017?绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼 顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m． （1）求∠BCD的度数． （2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32） 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾：三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0

1.解直角三角形的定义： 在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系： 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则： ①三边关系：a 2＋b 2= c 2 ； ②两锐角关系：∠A ＋∠B= 90°； ③边与角关系：sin A=cos B= a c ，cos A=sin B= b c ，tan A=a b ； ④平方关系：1cos sin 2 2 =+A A ⑥倒数关系：tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系：tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长； ②已知一锐角和一边。 注意：已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法： 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线： 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.（2017?恩施州）如图，小明家在学校O 的北偏东60°方向，距离学校80米的A 处，小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）

解直角三角形中考题型

《解直角三角形》复习及中考题型练习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2 1AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h ?=?） 由上图可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0， 三、特殊角的三角函数值（熟记） 四、 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 三种基本关系：1:、边边关系：2 2 2 a b c += 2、角角关系：∠A+∠B=90° 3、边角关系：即四种锐角三角函数 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2 c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A =g ，cos b c A =g 五、对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. （3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 仰角 俯角 北 东 南 α h L i i=h/L=tg α A C B D

解直角三角形常见题型教学提纲

解直角三角形常见题 型

解直角三角形常见题型 题型一、关于仰角与俯角的题型 1、为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显 示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别 是60°和45°．求路况显示牌BC的高度． 2、摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C 处测得摩天轮的最高点A的仰角为45?，再往摩天轮的方向前进50 m至D处，测得最高点A的仰角 为60?． 3、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高， 在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋 楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为多少米。 4、中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到 达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是45°，底部C的俯角是60°. 为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？ 中考链接 5．（8分）（2018?泸州）如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的 仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB 间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．

6．（10分）（2008?巴中）又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博 物馆”． 下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60o；乙：我站在此处看塔顶仰角为 30o；甲：我们的身高都是1.5m；乙：我们相距20m；请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度 （精确到1米）． 7、（2017?广元）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得 ∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，≈1.732）． 8．（8分）（2015?巴中）如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得 大厦顶端A的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得大厦顶 端A的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732） 题型三、关于方位角的题型 1.如图1，一架飞机在空中P处探测到某高山山顶D处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿 平行于地面AB的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D的正上方C处，此时测得飞机距地平面的垂直 高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米） 2．在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处 有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的 北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又 83km的C 测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距 处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由． N M 东 北 B C A l

解直角三角形练习题及答案经典

28.2 解直角三角形 一、选择题 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长 线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)．1 (B)．2 (C)．2 2 (D)．22 2、如果α是锐角，且5 4cos =α，那么αsin 的值是（ ）． （A ）259 （B ） 54 （C ）53 （D ）25 16 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ） 513 （B ）1213 （C ）1013 （D ）512 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( ) （A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）． （A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53cos =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）． （A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）516 7、某市在“旧城改造”中计划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）α的度数为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75° 9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( ) （A ）135 （B ）1312 （C ）125 （D ）5 12 10、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）． A B C D E ?15020米 30米

解直角三角形的应用典型习题(方位角)

1.如下图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B 测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁。（1）说明点B 是否在暗礁区域内；（2）若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由。 2.如图，海岛A 四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B 处见岛A 在北偏西60?，航行24海里到C ，见岛A 在北偏西15?，货轮继续向西航行，有无触礁的危险 3.如图所示， A 、 B 两城市相距 100km ．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段 AB ），经测 量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在 以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路 会不会穿越保护区．为什么？（参考数据： 3 1.7322 1.414≈，≈） 4.为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航 舰正在某小岛A 北偏西45°并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60°的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 处？（结果精确到个位） 5.如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长. 6.如图，A 城气象台测得台风中心在A 城的正西方300千米处，以每小时10千米的速度向北偏东60o 的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。（1） 问A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2） 若A 城受到这次台风的影响，那么A 城遭受这次台风影响的时间有多长？ 7． 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距83km 的C 处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正 好行至码头MN 靠岸？请说明理由． A B F E P 45° 30° N M 东 北 B C A l

九年级解直角三角形题型总结高考原题

解直角三角形习题总结 例1、（2011?宜昌）教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，，则边BC 的长为（） 例2、（2011?临沂）如图，△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，则△ABC的面积是（） B．12 A． C．14 D．21 例3、(2010·茂名）已知∠A是锐角，，则5cosA＝（） D．5 A．4 B．3 C． 例4、（2007?天水）在△ABC中，∠C=90°，若sinB=，则cosA的值为（） A． B． C．1 D． 例5、(2000?广西)在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=，那么tanB的值为() A. B. C. D. 例6、(2010?苏州)如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值() A. B.2 C. D. 例7、（2010?攀枝花）如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值是（） A． B． C． D．

例8、在数学活动课上，小敏，小颖分别画了△ABC和△DEF，AB=DE，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC′小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为小敏和小颖画的两个三角形的面积的大小关系是S△ABC()S△DEF．(填“＞，＜，或=”) 例9、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高______． 例10、（2010 宁洱县）某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上探测点A、B相距4m，探测线与地面的夹角分别是30°和60°，试确定生命所在点C的深度 例11、（2011四川绵阳）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测出A、B两点的距离为30米。假设她们的 眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为(结果精确到0.01，参考数据：=1.414， =1.73) A.36.21米 B.37.71米 C.40.98米 D.42.48米

北师大版九年级下册数学[解直角三角形及其应用--知识点整理及重点题型梳理]

北师大版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 解直角三角形及其应用—知识讲解 【学习目标】 1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形； 2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题． 【要点梳理】 要点一、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： ①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系： ，，， ，，. ④，h为斜边上的高. 要点诠释： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 求∠

要点诠释： 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 要点三、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.

解直角三角形的应用经典题型

解直角三角形应用经典 1.如图1，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米） 2.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡 角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度, 将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡 的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米, 参考数据: 414.12≈,732.13≈). 3．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两 棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米． （1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）； （2）若这段斜坡用厚度为17c m 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶? (2题图) 17cm （第3题） A B C 参考数据 cos20°≈0.94， sin20°≈0.34， sin18°≈0.31， cos18°≈0.95 A B 12千 P C D G 60 图1

4．在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距 83的C处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正 好行至码头MN靠岸？请说明理由． 5. 如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹 角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米. （1）求新传送带AC的长度； （2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24， 6≈2.45) 第5题 6．如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BF Q＝60°，EF＝1km． （1）判断ABAE的数量关系，并说明理由； （2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：3≈1.73，sin74°≈，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24） N M 东 北 B C A l