人教版数学中考三轮复习学案全套(基础版)

中考冲刺：阅读理解型问题—知识讲解（基础）

【中考展望】

阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，应该特别引起我们的重视. 它由两部分组成：一是阅读材料；二是考查内容．它要求学生根据阅读获取的信息回答问题．提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新的数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料等．考查内容既有考查基础的，又有考查自学能力和探索能力等综合素质的．这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，内容丰富，超越常规，源于课本，又高于课本，各种关系错综复杂，不仅能考查同学们阅读题中文字获取信息的能力，还能考查同学们获取信息后的抽象概括能力、建模能力、决策判断能力等.同时，更能够综合考查同学们的数学意识和数学综合应用能力.

【方法点拨】

题型特点：先给出一段材料，让学生理解，再设立新的数学概念，新概念的解答可以借鉴前面材料的结论或思想方法．

解题策略：从给的材料入手，通过理解分析本材料的内容，捕捉已知材料的信息，灵活应用这些信息解决新材料的问题．

解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后依题意进行分析、比较、综合、抽象和概括，或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理论证，并能准确地运用数学语言阐述自己的思想、方法、观点．展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题. 阅读理解题一般可分为如下几种类型：

(1)方法模拟型——通过阅读理解，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题； (2)判断推理型——通过阅读理解，对提供的材料进行归纳概括；按照对材料本质的理解进行推理，作出解答；

(3)迁移发展型——从提供的材料中，通过阅读，理解其采用的思想方法，将其概括抽象成数学模型去解决类同或更高层次的另一个相关命题．

【典型例题】

类型一、阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题

1．阅读材料：

例：说明代数式22

1(3)4x x ++-+的几何意义，并求它的最小值．

解：221(3)4x x ++-+=222

(0)1(3)2x x -++-+，

如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，

则2

(0)1x -+可以看成点P 与点A （0，1）的距离，22(3)2x -+可以看成点P 与点B （3，2）的距

离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA+PB 的最小值．

设点A 关于x 轴的对称点为A′，则P A=PA′，因此，求PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角△A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=32，即原式的最小值为32． 根据以上阅读材料，解答下列问题：

（1）代数式22

(1)1(2)9x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、

点B 的距离之和．（填写点B 的坐标）

（2）代数式22491237x x x ++-+的最小值为 ． 【思路点拨】

（1）先把原式化为222

(1)1(2)3x x -++-+的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；

（2）先把原式化为222

(0)7(6)1x x -++-+的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐

标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和，然后在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可． 【答案与解析】

解：（1）∵原式化为222

(1)1(2)3x x -++-+的形式，

∴代数式222

(1)1(2)3x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点

B （2，3）的距离之和， 故答案为（2，3）；

（2）∵原式化为222

(0)7(6)1x x -++-+的形式，

∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和， 如图所示：设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=PA′，

∴PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短， ∴PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度， ∵A（0，7），B （6，1） ∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8， ∴A′B=

222268A C BC '+=+=10，

故答案为：10．

【总结升华】

本题考查的是轴对称——最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．

类型二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法

2．阅读材料：

（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：

当a-b＞0时，一定有a＞b；

当a-b=0时，一定有a=b；

当a-b＜0时，一定有a＜b．

反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．

（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：

∵a2-b2=（a+b）（a-b），a+b＞0，

∴（a2-b2）与（a-b）的符号相同.

当a2-b2＞0时，a-b＞0，得a＞b；

当a2-b2=0时，a-b=0，得a=b；

当a2-b2＜0时，a-b＜0，得a＜b.

解决下列实际问题：

（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：

①W1= （用x、y的式子表示）；

W2= （用x、y的式子表示）；

②请你分析谁用的纸面积更大．

（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：

方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．

方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．

①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）；

②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；

③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．

【思路点拨】

（1）①根据题意得出3x+7y 和2x+8y ，即得出答案；②求出W 1-W 2=x-y ，根据x 和y 的大小比较即可； （2）①把AB 和AP 的值代入即可；②过B 作BM⊥AC 于M ，求出AM ，根据勾股定理求出BM ．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案；

③求出a 12-a 22

=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案． 【答案与解析】

（1）解：①W 1=3x+7y ，W 2=2x+8y ， 故答案为：3x+7y ，2x+8y ．

②解：W 1-W 2=（3x+7y ）-（2x+8y ）=x-y ， ∵x＞y ， ∴x -y ＞0， ∴W 1-W 2＞0， 得W 1＞W 2，

所以张丽同学用纸的总面积更大． （2）①解：a 1=AB+AP=x+3， 故答案为：x+3．

②解：过B 作BM⊥AC 于M ， 则AM=4-3=1，

在△ABM 中，由勾股定理得：BM 2=AB 2-12=x 2

-1， 在△A′MB 中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=22248A M BM x '+=+，

故答案为：248x +．

③解：a 12

-a 22

=（x+3）2

-（248x +）2

=x 2

+6x+9-（x 2

+48）=6x-39，

当a 12-a 22

＞0（即a 1-a 2＞0，a 1＞a 2）时，6x-39＞0，解得x ＞6.5，

当a 12-a 22

=0（即a 1-a 2=0，a 1=a 2）时，6x-39=0，解得x=6.5，

当a 12-a 22

＜0（即a 1-a 2＜0，a 1＜a 2）时，6x-39＜0，解得x ＜6.5， 综上所述，

当x ＞6.5时，选择方案二，输气管道较短， 当x=6.5时，两种方案一样，

当0＜x ＜6.5时，选择方案一，输气管道较短． 【总结升华】

本题考查了勾股定理，轴对称——最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．

举一反三：

【变式】如图所示，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为22和2，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O在直线l上平移时，正方形 EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．

（1）计算：O1D=_______，O2F=______；

（2）当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1 O2 =_________.

（3）随着中心 O2在直线l上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围．（不必写出计算过程）

【答案】

（1）O1D=2，O2F=1；

（2）O1 O2 =3；

（3）当O1 O2＞3或0≤O1 O2＜1时，两个正方形无公共点；

当O1 O2=1时，两个正方形有无数个公共点；

当1＜O1 O2＜3时，两个正方形有2个公共点．

类型三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论

3．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．

如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：

①作点B关于直线l的对称点B′．

②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．

请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC 边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．

（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）请直接写出△PDE周长的最小值：．

【思路点拨】

（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；

（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案．

【答案与解析】

解：（1）如图，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，

P点即为所求；

（2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，

∴DE为△ABC中位线，

∵BC=6，BC边上的高为4，

∴DE=3，DD′=4，

∴D′E=222234DE DD '+=+=5， ∴△PDE 周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8， 故答案为：8．

【总结升华】

此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE 周长的最小值，求出DP+PE 的最小值是解题关键． 举一反三：

【变式】阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()12

1

+=n n n ，其中ｎ是正整数.现在我们来研究一个类似的问题：132+233+…()1+n n ＝？

观察下面三个特殊的等式：

()2103213

1

21??-??=

? ()3214323

1

32??-??=? ()4325433

1

43??-??=

? 将这三个等式的两边相加，可以得到132+233+334＝205433

1=???

读完这段材料，请你思考后回答：

⑴ =?++?+?1011003221 __________________； ⑵1223(1)n n ?+?+++= ______________________； ⑶ ()()=++++??+??21432321n n n ___________________. （只需写出结果，不必写中间的过程） 【答案】

⑴343400(或10210110031

???) ⑵()()

2131

++n n n

⑶()()()

32141+++n n n n 每相邻两个自然数相乘再求和时可以发现结果总是()()2131

++n n n ，但当每相邻三个自然数相乘再求和时就成为()()()32141

+++n n n n 了.

类型四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题

4．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．

（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；

（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

【思路点拨】

（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；

（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；

（3）分别从当0≤t≤4

3

时，当

4

3

＜t≤2时，当2＜t≤

10

3

时，当

10

3

＜t≤4时去分析求解即可求得答

案．

【答案与解析】

解：（1）如图①，

设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，

∵AB=3，BC=6，

∴AG=AB-BG=3-x，

∵GF∥BE，

∴△AGF∽△ABC，

∴AG GF AB BC

=，

即3

36

x x

-

=，

解得：x=2，

即BE=2.

（2）存在满足条件的t，

理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，

则BH=AD=2，DH=AB=3，

由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t-2|，EC=4-t，∵EF∥AB，

∴△MEC∽△ABC，

∴ME EC

AB BC

=，即

4

36

ME t-

=，

∴ME=2-1

2

t，

在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2-1

2

t）2=

1

4

t2-2t+8，

在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t-2）2=t2-4t+13，过点M作MN⊥DH于N，

则MN=HE=t，NH=ME=2-1

2

t，

∴DN=DH-NH=3-（2-1

2

t）=

1

2

t+1，

在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=5

4

t2+t+1，

（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，

即5

4

t2+t+1=（

1

4

t2-2t+8）+（t2-4t+13），

解得：t=20

7

，

（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，

即t2-4t+13=（1

4

t2-2t+8）+（

5

4

t2+t+1），

解得：t1=-3+17，t2=-3-17（舍去），∴t=-3+17；

（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，

即：1

4

t2-2t+8=（t2-4t+13）+（

5

4

t2+t+1），

此方程无解，

综上所述，当t=20

7

或-3+17时，△B′DM是直角三角形；

（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，

∴CE=8

3

，

∴t=BB′=BC-B′E-EC=6-2-8

3

=

4

3

，

∵ME=2-1

2

t，

∴FM=1

2

t，

当0≤t≤4

3

时，S=S△FMN=

1

2

3t3

1

2

t=

1

4

t2，

②如图④，当G在AC上时，t=2，

∵EK=EC?tan∠DCB=EC?DH

CH

=

3

4

（4-t）=3-

3

4

t，

∴FK=2-EK=3

4

t-1，

∵NL=2

3

AD=

4

3

，

∴FL=t-4

3

，

∴当4

3

＜t≤2时，S=S△FMN-S△FKL=

1

4

t2-

1

2

（t-

4

3

）（

3

4

t-1）=-

1

8

t2+t-

2

3

；

③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，

即B′C：4=2：3，

解得：B′C=8

3

，

∴EC=4-t=B′C-2=2

3

，

∴t=10

3

，

∵B′N=1

2

B′C=

1

2

（6-t）=3-

1

2

t，

∵GN=GB′-B′N=1

2

t-1，

∴当2＜t≤10

3

时，S=S梯形GNMF-S△FKL=

1

2

323（

1

2

t-1+

1

2

t）-

1

2

（t-

4

3

）（

3

4

t-1）=-

3

8

t2+2t-

5

3

，

④如图⑥，当10

3

＜t≤4时，

∵B′L=3

4

B′C=

3

4

（6-t），EK=

3

4

EC=

3

4

（4-t），B′N=

1

2

B′C=

1

2

（6-t）EM=

1

2

EC=

1

2

（4-t），

S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL-S梯形B′EMN=-1

2

t+

5

2

．

综上所述：

当0≤t≤4

3

时，S=

1

4

t2，

当4

3

＜t≤2时，S=-

1

8

t2+t-

2

3

；

当2＜t≤10

3

时，S=-

3

8

t2+2t-

5

3

，

当10

3

＜t≤4时，S=-

1

2

t+

5

2

．

【总结升华】

此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．

5．阅读理解

如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．

小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．

探究发现:

（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．

（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．

应用提升

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．

请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．

【思路点拨】

（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；

（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；

（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是88°、88°．

【答案与解析】

解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；

理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，

∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，

∴∠B=∠AA1B1；

又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，

∴∠A1B1C=∠C；

∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），

∴∠B=2∠C；

故答案是：是；

（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC 是△ABC的好角．

证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，

∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；

∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，

根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴∠B=3∠C；

由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；

（3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，

∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角，

∴如果一个三角形的最小角是4°，

三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．

【总结升华】

本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质,难度较大．

举一反三：

【高清课堂：阅读理解型问题例3】

【变式】阅读以下短文，然后解决下列问题：

如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC 的“友好矩形”.显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.

(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；

(2) 如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；

(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.

①②③

【答案】

(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.

(2) 此时共有2个友好矩形，如图中的矩形BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC 面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.

(3) 此时共有3个友好矩形，如图的矩形BCDE 、CAFG 及ABHK ，其中矩形ABHK 的周长最小 .

证明如下：

易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE 、CAFG 及ABHK 的周长分别为L 1，L 2，L 3， △ABC 的边长BC=a ，CA=b ，AB=c ， 则L 1=

2S a +2a ，L 2=2S b +2b ，L 3=2S c +2c . ∴L 1-L 2=(

2S a +2a)-(2S b +2b)=2(a-b)ab S

ab

- ， 而ab ＞S ，a ＞b ， ∴L 1-L 2＞0，即L 1＞L 2 . 同理可得，L 2＞L 3 .

∴L 3最小，即矩形ABHK 的周长最小.

中考冲刺：阅读理解型问题—巩固练习（基础）

【巩固练习】 一、选择题

1.对于二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数2

2y x mx m =-+-(m 为实数)的零点的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．0

D ．不能确定

2．若一个图形绕着一个定点旋转一个角α(0°＜α＜180°)后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形．例如：等边三角形绕着它的中心旋转120°(如图所示)能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形．显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面图所示的图形中，是旋转对称图形的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

二、填空题

3．阅读下列材料，并解决后面的问题．

在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过A 作AD ⊥BC 于D(如图)，则sinB=

c

AD

，sinC=

b AD ，即AD=csinB ，AD=bsinC ，于是csinB=bsinC ，即C c

B b sin sin =．

同理有A a C c sin sin =，B b

A a sin sin =． 所以C

c

B b A a sin sin sin ==………(*)

即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．

在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未

知元素c 、∠B 、∠C ，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：

第一步：由条件a 、b 、∠A ∠B ；

第二步：由条件 ∠A 、∠B ．

∠C ；

第三步：由条件．

c ．

4．请耐心阅读，然后解答后面的问题：上周末，小明在书城随手翻阅一本高中数学参考书时，无意中看到了几个等式：sin51°cos12°+cos51°sin12°=sin63°, sin25°cos76°+cos25°sin76°=sin101°

一个猜想出现在他脑海里，回家后他马上用科学计算器进行验证，发现自己的猜想成立，并能推广到一般．其实这是大家将在高中学的一个三角函数知识．你是否和小明一样也有想法了？下面考考你，看你悟到了什么： ①根据你的猜想填空:

sin37°cos48°+cos37°sin48°=_________. sin αcos β+cos αsin β＝____________.

②尽管75°角不是特殊角，请你用发现的规律巧算出sin75°的值为 ．

三、解答题 5. 阅读材料：

为解方程222(1)5(1)40x x ---+=，我们可以将2

1x -看作一个整体，然后设21x y -=，那么原方程可化为2540y y -+=①，解得y 1＝1，y 2＝4．

当y ＝1时，2

11x -=，∴ 2

2x =，∴ 2x =±； 当y ＝4时，2

14x -=，∴ 2

5x =，∴ 5x =±． 故原方程的解为：

12x =，22x =-，35x =，45x =-．

解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；

(2)请利用以上知识解方程4

2

60x x --=．

6．阅读材料，解答问题：图2－7－2表示我国农村居民的小康生活水平实现程度．地处西部的某贫困县，农村人口约50万，2002年农村小康生活的综合实现程度才达到68％，即没有达到小康程度的人口约为（1－68 ％）350万= 16万．

（1）假设该县计划在2002年的基础上，到2004年底，使没有达到小康程度的16万农村人口降至10．24万，那么平均每年降低的百分率是多少？

（2）如果该计划实现，2004年底该县农村小康进程接近图2－7－2中哪一年的水平？（假设该县人口2年内不变）

7. 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．

(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m °和n °，将菱形的“接近度”定义为|m-n|，于是，|m-n|越小，菱形越接近于正方形．

①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于________； ②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形．

(2)设矩形相邻两条边长分别是a 和b(a ≤b)，将矩形的“接近度”定义为|a-b|，于是，|a-b|越小，矩形越接近于正方形．

你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理的定义．

8．先阅读下列材料，再解答后面的问题:

材料：23

=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为()38log 8log 22=即．一般地，若

()0,10>≠>=b a a b a n 且，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为()813.log log 4==如即n b b a a ，

则4叫做以3为底81的对数，记为)481log (81log 33=即． 问题：（1）计算以下各对数的值: =

==

64log 16log 4log 222.

（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？64log 16log 4log 222、、之间又满足怎样的关系式？

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

()0,0,10log log >>≠>=

+N M a a N M a a 且

根据幂的运算法则：m n m

n

a a a +=?以及对数的含义证明上述结论．

9. 某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形

的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方…．请你协助他们探索这个问题． （1）写出判定扇形相似的一种方法：若 ，则两个扇形相似；

（2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a 、弧长为m ，另一个半径为2a ，则它的弧长为 ； （3）如图1是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 为30cm ，现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径．

10. 阅读材料，如图(1)所示，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，

求证：1

2

ABCD S AC BD =

四边形． 证明：1,2

1,2

ACD ACB

S AC PD AC BD S AC PB ?

=??⊥???=?? △△

∴ACD ACB ABCD S S S ==△△四边形

11

22AC PD AC PB =

+ 11

()22AC PD PB AC BD =+= ．

解答问题：

(1)上述证明得到的性质可叙述为________．

(2)已知：如图(2)所示，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 且相交于点P ，AD ＝3 cm ， BC ＝7 cm ，利用上述性质求梯形的面积．

11.阅读下面的材料：

小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x ≤m ，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论．

他的解答过程如下：

∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =， ∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等． ∴若1≤m ＜5，则1x =时，y 的最大值为2； 若m ≥5，则m x =时，y 的最大值为267m m -+． 请你参考小明的思路，解答下列问题：

（1）当2-≤x ≤4时，二次函数1422++=x x y 的最大值为_______； （2）若p ≤x ≤2，求二次函数1422++=x x y 的最大值；

（3）若t ≤x ≤t +2时，二次函数1422++=x x y 的最大值为31，则t 的值为_______．

【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ； 2.【答案】C ；

二、填空题 3.【答案】

B b

A a sin sin =, ∠A+∠B+∠C=180°，a 、∠A 、∠C 或b 、∠

B 、∠

C ， A a C c sin sin =或C

c

B b sin sin =

4.【答案】①sin85°；sin(α+β)；

②

6+2

4

【解析】②sin75°＝sin （45°+30°）＝sin45°cos30°+ cos45°sin 30°=6+2

4

. 三、解答题

5. 【答案与解析】

(1)换元；

(2)设2

x y =，则原方程可化为2

60y y --=，

解得y 1＝3，y 2＝-2．

当y ＝3时，2

3x =，所以3x =±．

因为2

x 不能为负，所以y ＝-2不符合题意，应舍去．所以原方程的解为13x =，23x =-．

6.【答案与解析】

（1）设平均每年降低的百分率为. 据题意，得 16（1－x ）2

=10.24，

（1－x ）2

=0．64,（1－x ）= ±0.8，x 1=1.8（不合题意，舍去），x 2=0.2． 即平均每年降低的百分率是20％. （2）

50-10.24

50

3100%=7 9.52％. 所以根据图2－7－2所示，如果该计划实现，2004年底该县农村小康进程接近1996年全国农村小康进程的水平．

7.【答案与解析】 (1)①40；②0；

(2)不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a-b|却

不相等．合理定义方法不唯一，如定义为b a ，b a 越小，矩形与正方形的形状差异越小；1b

a

=时，矩形就变成了正方形． 8．【答案与解析】

（1）24log 2=， 416log 2=，664log 2= （2）4316=64，4log 2 + 16log 2=64log 2 （3）M a log + N a log =)(log MN a 证明：设M a log =b 1 , N a log =b 2 则M a

b =1

，N

a b =2

∴2121b b b b a a a MN

+=?=

∴b 1+b 2=)(log MN a

即M a log + N a log =)(log MN a