9函数的单调性
函数的单调性
一：教学目标
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
二:教学重难点
(1)函数的单调性及其几何意义．
(2)利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
三：新课引入
1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
○
1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○
2 能否看出函数的最大、最小值？ ○
3 函数图象是否具有某种对称性？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f(x) = x
○
1 从左至右图象上升还是下降 ______?
○
2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．
2．f(x) = -2x+1 ○
1 从左至右图象上升还是下降 ______?
○
2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x 2
○
1在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x 的增大而 ________ ．
○
2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．
四：知识呈现
函数单调性定义
1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，
如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 f(x 1) 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动） 注意： ○ 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○ 2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1 2．函数的单调性定义 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间： 3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○ 1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1 2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○ 3 变形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． 4．复合函数单调性的判断 对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当 ),(b a x ∈时，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数 ))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表： 以上规律还可总结为：“ ”. 五：典型例题 考点一：函数单调性的判断 例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数. 解：函数)(x f y =的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中)(x f y =在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数. 说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点. 例2．讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性. 解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x = ∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是增函数； 若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是减函数. 例3．对于函数y=x 3, (1)画出它的图象，(2)写出它的单调区间，并用定义证明之. 解:由图像知:y=x 3的单调增区间为（-∞，+∞）. 证明:显然y=x 3的定义域为（-∞，+∞）, 在R 内任取x 1和x 2, 使x 1 =(x 1-x 2)(x 12+x 1·x 2+x 22)=(x 1-x 2)[(x 1+21x 2)2+4 3x 22 ] ∵x 1 21x 2)2≥0, 43x 22≥0，且(x 1+21x 2)2与4 3 x 22至多一个为0， ∴ f(x 1)-f(x 2)<0 即f(x 1) 练习1：证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数. 证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且1x <2x ，则 )(1x f －)(2x f =(31x +2)-(32x +2)=3(1x －2x ), 由1x <2x x,得1x －2x <0 ,于是)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f . ∴23)(+=x x f 在R 上是增函数. 练习2：证明函数x x f 1 )(= 在(0,+∞)上是减函数. 证明：设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数，且1x <2x ， 则)(1x f －)(2x f = 11x －21x =2 11 2x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞)，得1x 2x >0, 又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f > )(2x f ∴x x f 1 )(= 在(0,+ ∞)上是减函数. 考点二：函数单调性的运用 例4.如果函数f (x )＝x 2 ＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.[－3，＋∞) B.(－∞，－3] C.(－∞，5] D.[3，＋∞) 解析：f (x )＝x 2 ＋2(a －1)x ＋2的对称轴为x ＝1－a ， ∴f (x )在(－∞，1－a ]上是减函数，要使f (x )在区间(－∞，4]上是减函数，则只需1－a ≥4，即a ≤－3. 答案：B 例5.已知函数f (x )a ≠1). (1)若a ＞0，则f (x )的定义域是 ； (2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是 . 解析：当a ＞0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤ 3a ，即此时函数f (x )的定义域是(－∞，3a ]； (2)当a －1＞0，即a ＞1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需3－a ×1≥0，此时1＜a ≤3. 当a －1＜0，即a ＜1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需－a ＞0， 此时a ＜0. 综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]. 答案：(1)(－∞， 3 a ](2)(－∞，0)∪(1,3] 考点三:函数单调性与最值 例6已知函数)(x f 对任意R y x ∈,总有)()()(y x f y f x f +=+，且当0>x 时， 3 2 )1(,0)(-= （1） 求证：函数)(x f 是R 上的减函数； （2） 求)(x f 在[]3,3- 上最大值和最小值。 解（略） 六：课后练习 1、求证：函数11 )(--=x x f 在区间)0,(-∞上是单调增函数。 2、判断下列说法正确的是 。 （1）若定义在R 上的函数)(x f 满足(2)(1)f f >，则函数)(x f 是R 上的单调增函数； （2）若定义在R 上的函数)(x f 满足(2)(1)f f >，则函数)(x f 在R 上不是单调减函数； （3）若定义在R 上的函数)(x f 在区间(]0,∞-上是单调增函数，在区间[)+∞,0上也是单调增函数，则函数)(x f 是R 上的单调增函数； （4）若定义在R 上的函数)(x f 在区间(]0,∞-上是单调增函数，在区间()+∞,0上也是单调增函数，则函数)(x f 是R 上的单调增函数。 3、函数1)(2 -=x x f 在),0(+∞上是___ ___；函数x x x f 2)(2 +-=在)0,(-∞上 是__ _ ____。（单调性） 4、若函数12)1(2 +-=+x x x f ，求函数)(x f 的单调区间。 5、已知函数,1)(2-+=mx x x f 且3)1(-=-f ，求函数)(x f 在区间[2，3]内的最值。 6、函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（]4,∞-上是减函数，求实数a 的取值范围。 7、（1）函数12+-=x y 在]2,1[-上的最大值和最小值分别是____ _____。 （2）、函数2 y x =-在]3,1[上的最大值为__________，最小值为_________。 （3）、求函数132)(2 -+-=x x x f 在]1,2[-上的最大值为 ，最小值为 。 8、函数12)(2 ++-=mx x x f ，当),2(+∞-∈x 时是减函数，则m 的取值范围 是 。 答案 1、 2、 （2）（3） 3、 增函数，增函数 4、 增区间[)2,+∞，减区间(],2-∞ 5、最大值17，最小值9 6、3a ≤- 7、（1）最大值3，最小值3-（2）最大值23-，最小值2-（3）最大值1 8 ，最小值15- 8、8m ≤- 函数的单调性 题型一 判断、讨论、证明函数的 单调性 1 判断函数 y=x- 1 在其定义域上的单调性。 x 2 讨论并证明 y=x+ 1 在定义域上的单调性。 x 3 定义在R 上的函数 f （x ）对任意不相等实数 a ，b 总有 f （a ）- f （b ） >0成立，则必有 a -b A 、函数 f （x ）是先增加后减小 B 、函数 f （x ）是先减小后增加 C 、f （x ）在R 上是增函数 D 、f （x ）在 R 上是减函数 4已知 f （x ） =（2k +1）x + b 在实数R 是减函数，则k 的取值范围为（ ） 5 已知函数 f （x ） = x 2 +bx +c ,x （0,+）是单调函数，则实数b 的取值范围为（ ） A .b 0. B .b 0 C .b 0 D , b 0 6 已知 f （x ） = x 2 -2（1-a ）x + 2在（- ,4］上是减函数，求实数a 的取值范围。 题型二 抽象函数的单调性 1、已知 f （x ）是定义在［-1,1］上的增函数，且 f （x-2） 题型四用图形讨论函数单调性 1 函数y=|x—3|—|x+1|的单调递减区间是。 2画出函数y=-x2+2x +3的图像，并指出函数的单调区间. 3 画出函数y=|x| 的图像，并判断其单调性。 4画出函数y=|x2+2x-1|的图像，并指出其在R 上的单调性。 题型五基本初等函数的单调性问题 1.设函数y = x2-4x+3,x[1,4]，则f（x）的最小值和最大值为（） A.-1 ，3 B.0 ，3 C.-1，4 D.-2，0 2．函数f（x）=—x2+2（a—1）x+2 在（—∞，4）上是增函数，则a 的范围是 A 、a≥5 B 、a≥3 C、a≤3 D、a≤—5 2.1.3 函数的单调性 【学习要求】 1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念． 2.掌握增(减)函数的证明和判别，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，能利用函数图象划分函数的单调区间．【学法指导】 考察函数的单调性，可以从函数的图象、函数值的变化情况，增(减)函数的定义等多方面进行，但函数单调性的证明必须根据增(减)函数的定义加以证明. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.增函数与减函数的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间M?A.如果取区间M中的任意两个值x1，x2， 改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，当Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数. 2.如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性. (区间M称为单 调区间). 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就把握了相应事物的变化规律．因此研究函数的性质是非常重要的．日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降．很多函数也具有类似性质，这就是我们要研究的函数的重要性质——函数的单调性． 探究点一函数单调性的有关概念 问题1 观察下列函数的图象，回答当自变量x的值 增大时，函数值f(x)是如何变化的？ 问题2 如何用x与f(x)来描述当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大？ 问题3在函数y＝f(x)的图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝y2－y1， 如何用Δx与Δy来描述：“当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大”？ “当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次减小”？ 问题4 对于函数f(x)，当Δx>0时，有Δy>0，我们说f(x)是增函数；当Δx>0时，有Δy<0. 我们说f(x)是减函数．如果给出函数y＝f(x)，x∈A，你能给增函数和减函数下个定义吗？ 例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函 数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： （1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； （2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性： 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间． 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升哪些区间下降？ 解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降； （2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ 邹平一中2020级高一数学导学案018 主备人：刘学兰审核人：贾新日期：10.12 3.2.1 函数的单调性 【学习目标】 1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性． 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性． 3．会求一些具体函数的单调区间． 【自主学习】 一、设计问题，创设情境 问题1：观察上面几个函数的图象，说说它们各自有什么样的特点？ 问题2：以上三个函数图象，它们分别反映了相应函数的什么性质？ 二、学生探索、尝试解决 问题3;再去观察二次函数图象，在y轴左侧，函数值随着自变量的增大有怎样的变化趋势, y轴的右侧呢？ 问题4;你能用符号语言来描述这种变化趋势吗？ 问题5：尝试总结出单调递增和增函数的定义. 问题6;类比于单调递增和增函数的定义，写出单调递减和减函数的定义. 问题7：增(减)函数定义中的x 1，x 2有什么特征？ 问题8：函数y ＝－1x 在定义域上是减函数吗？ 问题9：学习了增函数和减函数的定义后，你能给出函数单调性的定义吗? 三、运用规律，解决问题 例1 根据定义，判断函数f (x )＝3x+2在区间R 上的单调性并给出证明. 例2 根据定义,研究函数f (x )＝kx+b (k ≠0)的单调性. 例3 物理学中的玻意耳定律p= k V (k 为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体当其体积V 减小时，压强p 将增大. 试对此用函数的单调性证明. 例4 证明函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数． 四、变练演练，深化提高 1. 证明函数f (x )＝x ＋1x 在(1,+∞)上是增函数 2.. 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． (1)f (x )＝－1x ； (2)f (x )＝????? 2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1； 五、信息交流，教学相长 你能总结出用定义去证明函数单调性的步骤吗？ 1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为 负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：： ，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点 知识点一：导数与函数的单调性 方法归纳： 在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间； 1.3.1函数的单调性 题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间 （1）12-=x y ; （2）322++-=x x y ; （3）2 )2(1-++=x x y ; （4）969622++++-=x x x x y 相应作业1：课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性 用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论 ?取值，即_____________________________； ?作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等； ?定号，即____________________________________________________________; ④下结论，即______________________________________________________。 例2.用定义法证明下列函数的单调性 （1）证明：1)(3 +-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数. ▲定义法证明单调性的等价形式： 设[]b a x x ,21∈、，21x x ≠,那么 [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?>--? >--在[]b a ,上是增函数； [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?<--? <--在[]b a ,上是减函数. (2)证明：x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数； （3）证明：21 )(x x f = 在()0,∞-上是增函数； 法一： 作差 法二：作商 函数的单调性 1.单调性与单调区间： 例1.下列函数中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x ”的是（ ） A ．()f x =1x B ．()f x =2(1)x - C ．()f x =x e D ．()ln(1)f x x =+ 演变1.给定函数：①1 2y x =，②12 log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间 (0,1)上单调递减的函数序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 例2.函数2()21 x f x x -= -的单调区间为__________ 演变1.函数25---=a x x y 在),1(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是__________ 例3.函数267)(x x x f --=的单调递增区间为__________ 演变1. 函数()f x =__________ 例4.函数2()2||3f x x x =--的单调递增区间为__________ 演变1.函数|32|)(2--=x x x f 的单调递增区间为__________ 2.利用单调性求参数范围： 例1.已知函数2)1(22+-+=x a x y 在)4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______ 演变1.若ax x x f 2)(2+-=与1 )(+=x a x g 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________ 例2.已知函数(31)4(1)()log (1)a a x a x f x x x -+ 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0 函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 1.1 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）； （5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 ).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=， 又210x x <<所以021<-x x ，021>x x ， 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直 接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我 【第二章计算题类型】 计算： (1)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8； (2)23×612×332. （3）lg2·lg 52 ＋lg0.2·lg40. （利用函数单调性比大小）★常考类型★ 1-1．设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7=，则（ ）. A. c > B. b a c >> C. c a b >> D. b c a >> 1-3.设a ＝log 132，b ＝log 13 3，c ＝? ????120.3，则( ) A ．a 常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 例题：y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： b 反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三 象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较 3）、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点 当00时，函数图象与x 轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（ ）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定 义 域：R 值 域：当0>a 时，值域为（ ）；当0a 时；当0 1.4. 2.2正、余弦函数的单调性与最值 基础知识和技能训练(九) 1．函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A.???? ??－π4，π4 B.?????? π4，3π4 C.? ?? ???0，π2 D.???? ??π2，π 解析 ∵y ＝cos2x ， ∴2k π≤2x ≤π＋2k π(k ∈Z )， 即k π≤x ≤π 2＋k π(k ∈Z )． ∴? ?? ???k π，k π＋π2(k ∈Z )为y ＝cos2x 的单调递减区间． 而? ?? ? ??0，π2显然是上述区间中的一个． 答案 C 2．函数y ＝cos ? ????x ＋π6，x ∈??????0，π2的值域是( ) A.? ???? －32，12 B.?????? －12，32 C.???? ?? 32，1 D.? ??? ?? 12，1 解析 由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π 3， ∴－12≤cos ? ????x ＋π6≤3 2，选B. 答案 B 3．设M 和m 分别表示函数y ＝1 3cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( ) A.23 B ．－23 C ．－43 D ．－2 解析 依题意得M ＝13－1＝－23，m ＝－1 3－1 ＝－4 3，∴M ＋m ＝－2. 答案 D 4．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 解析 cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°. sin80°＞sin12°＞sin11°， 即cos10°＞sin168°＞sin11°. 答案 C 5．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间??? ? ??0，π3上单调递增，在区间???? ?? π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32 课题3.4 函数的基本性质（2）——函数单调性 学 科：高中数学 课程类型：基础型 课式类型：新授课 执教老师：田红兵 授课班级：高一（2）班 一、教学目标 1.理解单调函数（增函数、减函数）、单调区间（增区间、减区间）的概念和图像特征， 能根据函数的图象判断单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性概念证明简单函 数的单调性。 2.经历函数单调性概念抽象提炼的过程，体会数形结合的思想， 培养抽象概括、推理论 证和语言表达的能力。 3.通过函数单调性概念的抽象过程，感受数学的严谨性，培养严谨的科学态度，养成良 好的思维习惯。 二、教学重点及难点 重点：函数单调性的概念 难点：领悟函数单调性的本质, 掌握函数单调性的判断和证明 三、教学用具准备：多媒体课件 四、教学过程设计 策略与方法 （一）情景引入 1． 观察关于上海市园林绿地面积的图形，（见ppt ） 问题：从1990年到2000年上海市园林绿地面积变化 由生活情境引入新课， 趋势如何？ 激发兴趣，了解新概念 预案：随年份的增加而增加。 在生活的原型，认识研 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 究单调性的必要性。 预案：长江水位高低、燃油价格、股票价格等． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的增加，函数 值是增大还是减小， 对于自变量增大时，函数值是增大还是减小，初中同 学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们继续 研究这个问题。 (二).归纳探索，形成概念 1.借助图象，直观感知 问题1：观察函数x y 3=，22+-=x y ，x x y 22+-=， x y 1 =的图象，自变量增大时，函数值有什么变化规律？ 策略与方法 预案:(1)函数x y 3=在整个定义域内 y 随x 的增大而增大； 从初中学过的四类 (2)函数22+-=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而减小． 函数入手，通过观察图 (3)函数x x y 22+-=在[)+∞,1上 y 随x 的增大而减小， 像直观感知函数单调性。 在()1,∞-上y 随x 的增大而增大． (4)函数x y 1 =在（0,)∞+上 y 随x 的增大而减小，在 ()0,∞-上y 随x 的增大而减小． 引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的 单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质． 问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案1：如果函数)(x f 在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数)(x f 在该区间上为增函数；如果函 通过观察图像，获 数)(x f 在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们 得感性认识，得到初步 说函数)(x f 在该区间上为减函数． 概念，完成对单调性的 预案2：在区间I 上，若函数y=)(x f 的图像从左至右看总是上升 第一次认识 的，则称函数y=)(x f 在区间I 上是增函数；若函数y=)(x f 的图像从左至右看总是下降的，则称函数y=)(x f 在区间I 上 是减函数； 通过讨论，使学生 感受到用函数图象判断 2．探究规律，理性认识 函数单调性虽然比较直 问题3：二次函数2)(x x f = 的图象可能会在区间[)+∞,100 观，但有时不够严密， 上降下来？可能会在区间会在[)+∞,200 上降下来？可能会在 需要结合解析式用准确 [)+∞,300上降下来？。。。。。。。 的数学语言刻画概念。 问题4：如何从解析式的角度说明2)(x x f =在[)+∞,0为 增函数？ 把对单调性的 认识由感性上升到理性 预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22, 认识的高度, 完成对概 所以2)(x x f =在[)+∞,0为增函数． 念的第二次认识． 函数的单调性 一、教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题． 二、教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用． 三、教学过程： （一）主要知识： 1、函数单调性的定义； 2、判断函数单调性（求单调区间）的方法： （1）从定义入手（2）从导数入手（3）从图象入手（4）从熟悉的函数入手 （5）从复合函数的单调性规律入手注：先求函数的定义域 3、函数单调性的证明：定义法；导数法。 4、一般规律 （1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数； （3）互为反函数的两个函数有相同的单调性； （4）设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是 减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。 （二）主要方法： 1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数． 3．注意函数的单调性的应用；4．注意分类讨论与数形结合的应用． （三）例题分析： 例1．（1）求函数2 0.7log (32)y x x =-+的单调区间； （2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性． 解：（1）单调增区间为：(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞， （2）2 2 2 ()82(2)(2)g x x x =+---4228x x =-++，3 ()44g x x x '=-+， 令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<，1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-． 例2．设0a >，()x x e a f x a e = + 是R 上的偶函数． （1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数． 例3．若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ?<的解集为 (,2)(2,) -∞-+∞ ． 例4．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有 1 21 2()()()f x x f x f x ?=+，且当 1x >时()0,(2)1f x f >=， （1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2 (21)2f x -<． 解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=， ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-?=-+=，∴()f x 是偶函数． （2）设210x x >>，则221111 ()()()()x f x f x f x f x x -=? -22111 1 ()( )()( )x x f x f f x f x x =+-= (一)判断函数单调性的基本方法 Ⅰ、定义法： 定义域判断函数单调性的步骤：取值、作差（或商）变形、定号、判断。例1：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明 Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）： 在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数 例2：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性 Ⅲ、图像法： 说明：⑴单调区间是定义域的子集 ⑵定义x 1、x 2 的任意性 ⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数 自变量与函数相对→单调减函数 例3：y＝|x2＋2x－3| 练习： (二) 函数单调性的应用 Ⅰ、利用函数单调性求连续函数的值域（最值） 根据增函数减函数的定义我们可得到如下结论： （1）若 f(x)在某定义域[a,b]上是增函数，则当x=a 时, f(x) 有最小值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最大值 f(b)。 （2）若 f(x)在某定义域[a,b]上是减函数，则当x=a 时, f(x) 有最大值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最小值 f(b)。 例1：求下列函数的值域 (1)y=x 2-6x+3, x ∈[-1,2] (2)y=-x 2+2x+2, x ∈[-1,4] 练习题： 1.已知函数f(x)在区间[a,c]上单调减小，在区间[c,b]上单调增加,则f(x)在 [a,b]上的最小值是 ( ) 2.数f(x)=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是 ( ) 3、( )有函数13+--=x x y 存在、最大值、最小值都不，最小值、最大值，最小值、最大值，最小值、最大值D C B A 4 -44 -00 4 4、](()()的值域为 时，函数当1435,02+-=∈x x x f x ()()][()()]()][5,5,323205,0f c D f f C f f B f f A 、、、、、????? ? ??????????? ?? 5、求函数y=-x-6+ 的值域 x -1 §4.8正弦、余弦函数的单调性（一） 班级 学号 姓名 一、 课堂目标： 能正确地求出正弦、余弦函数及一些简单复合函数的单调区间 二、 要点回顾： 1增函数定义回顾：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x 1, x 2，当x 1函数单调性讲解及常见类型(整理)
2.1.3函数的单调性教案学生版
函数的单调性知识点总结与题型归纳
3.2.1函数的单调性 (2)(1)
知识点一-导数与函数的单调性
1.3.1函数的单调性例题
2函数的单调性及其应用高三复习专题
函数的单调性 知识点与题型归纳
导数与函数的单调性练习题
函数单调性的判定方法
利用函数单调性比大小-第二章总结
高中的常见函数图像及基本性质
人教版高中数学必修4试题 1.4.2.2正、余弦函数的单调性与最值
函数的基本性质(2)函数单调性
函数的单调性题型归纳
函数单调性方法和各种题型
正弦、余弦函数的单调性
- 2.3-函数的单调性2
- 函数的单调性2
- 2函数的单调性及其应用高三复习专题
- 【2019年整理】函数的单调性与极值 (2)
- 2函数的单调性图像与性质
- 高一数学教案：2.3.2函数的单调性2
- 二、函数及基本初等函数3. 函数的单调性
- 2.3.2函数的单调性2(1)-完整PPT课件
- 函数的单调性 (2)
- 高二 数学 选修2-2函数的导数与单调性、极值
- 高一数学函数的单调性2
- 3.2.1函数的单调性 (2)(1)
- 2.2 函数的单调性与最值
- 函数单调性2
- 1.3.1-2函数的单调性
- 函数的单调性知识点
- 利用函数单调性比大小-第二章总结
- 函数的单调性(2)
- 2021年高考数学第二章第2讲：函数的单调性与最值
- 函数的单调性 (2)