中考数学常见题型几何动点问题

中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题

例1：在△ABC 中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC 的面积；

(2)现有动点P 从A 点出发，沿射线AB 向点B 方向运动，动点Q 从C 点出发，沿射线CB 也向点B 方向运动。如果点P 的速度是4CM/秒，点Q 的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半？ (3)在第（2）问题前提下，P,Q 两点之间的距离是多少？

例2: ()已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 边的中点， P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A →B →C →E 运动，到达点E.若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ， （1）写出y 与x 的关系式

(2)求当y ＝

1

3

时，x 的值等于多少？

例3：如图1 ，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，沿梯形的边由B →C → D → A 运动，设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y , 如果关于x 的函数y 的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为（ ）

A ．32

B ．18

C ．16

D ．10 例4：直线3

64

y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O

点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；

（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；

（3）当48

5

S =

时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．

例5：已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．

（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值围．

A C B

x

A O

Q

P B y

C Q

例6：如图（3），在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，°，厘米，4DC =厘米，BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，

两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒． （1）求边BC 的长； （2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分；

（3）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，

y 有最大值？最大值是多少？

二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。

例7：如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．

（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？

（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？

例8：如图，在梯形ABCD

中，3545AD BC AD DC AB B ====?∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．

（1）求BC 的长．

（2）当MN AB ∥时，求t 的值．

（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．

图（3）

B

A B

O C

D P Q

例9：（如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90o，AB ＝12cm ，AD ＝8cm ，BC ＝22cm ，AB 为⊙O 的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动，P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端 点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t (s)． (1)当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？ (2)当t 为何值时，PQ 与⊙O 相切？

例10. 如图，在矩形ABCD 中，BC =20cm ，P ，Q ，M ，N 分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间，若BQ =x cm(0x ≠)，则AP =2x cm ，CM =3x cm ，DN =x 2cm ．

（1）当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边,以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．

练习1

1．正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同

时从点A 出发，点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D →方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩

的细橡

皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2

cm y ．

（1）当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；

（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动

停止时POQ ∠的变化围；

O A P D B

Q

C

A B D C P Q M

N （第25题） B C

P

O D Q

A B

P C O

D

Q A

y

3

2

（4）当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．

[解] （1）当01x ≤≤时，2AP x =，AQ x =，21

2

y AQ AP x ==， 即2

y x =．

（2）当1

2

ABCD ABPQ S S =

正方形四边形时，橡皮筋刚好触及钉子， 22BP x =-，AQ x =，()211222222x x -+?=?，4

3

x ∴=．

（3）当4

13

x ≤≤时，2AB =，

22PB x =-，AQ x =，

22

23222

AQ BP x x y AB x ++-∴=

=?=-， 即32y x =-．

作OE AB ⊥，E 为垂足．

当4

23

x ≤≤时，22BP x =-，AQ x =，1OE =， BEOP OEAQ y S S =+梯形梯形12211122x x +-+=?+?32x =，即3

2y x =．

90180POQ ≤∠≤或180270POQ ≤∠≤

（4）如图所示：

2.如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点

C 作C

D ⊥x 轴于点D .

(1)求直线AB 的解析式; (2)若S 梯形OBCD ＝

43

,求点C 的坐标; (3)在第一象限是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的 三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.

[解] （1）直线AB 解析式为：y=3

3

-

x+3． （2）方法一：设点Ｃ坐标为（x ，33-

x+3），那么OD ＝x ，CD ＝3

3-x+3． ∴OBCD S 梯形＝

()2

CD CD OB ?+＝36

32

+-

x ． 3

2

1 O

1 2 x

y

4

3

由题意：3632+-

x ＝3

34，解得4,221==x x （舍去） ∴ Ｃ（２，

3

3

） 方法二：∵23321=?=

?OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴6

3

=?ACD S ．

由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．

∴ACD S ?＝

2

1

CD ×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33．

∴ AD=１，OD ＝２．∴C （２，

3

3）． （３）当∠OBP ＝Rt ∠时，如图

①若△BOP ∽△OBA ，则∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，

∴1P （3，

3

3）． ②若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=

3

3

OB=1． ∴2P （1，3）．

当∠OPB ＝Rt ∠时

③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．

方法一： 在Rt △PBO 中，BP ＝

21OB ＝23，OP ＝3BP ＝2

3．

∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°， ∴ OM ＝

21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P （4

3，43

3）．

方法二：设Ｐ（x ，33-

x+3），得OM ＝x ，PM ＝3

3

-x+3 由∠BOP ＝∠BAO,得∠POM ＝∠ABO ．

∵tan ∠POM==

OM

PM =x x 3

33

+-

，tan ∠ABOC=OB

OA =3．

∴33

x+3＝3x ，解得x ＝43．此时，3P （4

3，433）．

④若△POB ∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO ＝30°，∠POM ＝30°． ∴ PM ＝

33OM ＝4

3

． ∴4P （

4

3

，43）（由对称性也可得到点4P 的坐标）．

当∠OPB ＝Rt ∠时，点P 在ｘ轴上,不符合要求.

综合得，符合条件的点有四个，分别是：

1P （3，

33），2P （1，3），3P （43，433），4P （4

3，43）．

3．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA ，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不与点0、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ． (1)求点B 的坐标；

(2)当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标； (3)当点P 运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB ，且

AB BD =8

5

，求这时点P 的坐标。 [解] (1)作BQ ⊥x 轴于Q.

∵ 四边形ABCD 是等腰梯形, ∴∠BAQ ＝∠COA ＝60° 在Rt ΔBQA 中,BA=4,

∴BQ=AB ·sin ∠BAO=4×sin60°=32 AQ=AB ·cos ∠BAO=4×cos60°=2, ∴OQ=OA-AQ=7-2=5 ∵点B 在第一象限, ∴点B 的的坐标为(5,32)

(2)若ΔOCP 为等腰三角形,∵∠COP=60°,

此时ΔOCP 为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形

若ΔOCP 为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P 在x 轴的正半轴上, ∴点P 的坐标为(4,0)

若ΔOCP 是顶角为120°的等腰三角形,则点P 在x 轴的负半轴上,且OP=OC=4 ∴点P 的坐标为(-4,0) ∴点P 的坐标为(4,0)或(-4,0) (3)若∠CPD=∠OAB ∵∠CPA=∠OCP+∠COP 而∠OAB=∠COP=60°, ∴∠OCP=∠DPA 此时ΔOCP ∽ΔADP ∴

AP

OC AD OP = ∵8

5=AB BD

∴258

5==AB BD ,

AD=AB-BD=4-25=2

3 AP=OA-OP=7-OP ∴

OP OP -=742

3 得OP=1或6

∴点P 坐标为(1,0)或(6,0).

4． 已知：如图①，在Rt ΔABC 中，∠C=900

，AC=4cm ，BC=3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速

度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）

（0

），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ΔABC 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC ，并把ΔPQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由． 解：（1）在Rt △ABC 中，522=+=AC BC AB ，由题意知：

AP = 5－t ，AQ = 2t ，

若PQ ∥BC ，则△APQ ∽△ABC ，∴

=AC

AQ AB AP

，∴5

542t t -=，∴710

=t ．

（2）过点P 作PH ⊥AC 于H ． ∵△APH ∽△ABC ， ∴

=BC PH AB AP ，∴=3

PH 55t -，∴t PH 53

3-=，∴t t t t PH AQ y 353)533(221212+-=-??=??=．

图①

B

（3）若PQ 把△ABC 周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ ．∴)24(32)5(t t t t -++=+-， 解得：1=t ．

若PQ 把△ABC 面积平分，则ABC APQ S S ??=2

1，即－25

3t ＋3t =3．

∵t =1代入上面方程不成立，

∴不存在这一时刻t ，使线段PQ 把Rt △ACB 的周长和面积同时平分． （4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，

若四边形PQP ′C 是菱形，那么PQ ＝PC ． ∵PM ⊥AC 于M ，∴QM=CM ． ∵PN ⊥BC 于N ，易知△PBN ∽△ABC ． ∴

AB BP AC PN =，∴5

4t

PN =， ∴5

4t PN =，∴54t

CM QM ==，

∴

425454=++t t t ，解得：9

10

=t ． ∴当9

10

=t 时，四边形PQP ′C 是菱形．

此时375

33=

-=t PM ， 9

854==t CM ， 在Rt △PMC 中，9

505816494922=+=

+=CM PM PC ， ∴菱形PQP ′C 边长为9

505．

B

N