同济高等数学第七版第4章习题解答

209

教材习题同步解析

习题4-1

2. 求下列不定积分:

(2)x ?;

(3)x (4)?x x x d 32; (5)

?x x

x

d 1

2

; (11)x x x d )1(13?

-+）（;

(12)?-x x x d )1(2; (15)x x e e x x d 1?

???

? ??--; (16)?x e x x d 3; (19)?

x x

d 2

cos 2;

(20)?+x x d 2cos 11; (21)?

-x x x x

d sin cos 2cos ;

(22)?x x

x x

d sin cos 2cos 2

2; (23)?

x x d cot 2; (25)22d 1

x x x +?. (26)?++x x x x d 12322

4.

解

(2)35

222

d 5

x x x x C ==+?? .

(3)x C =. (4)C x x dx

x x x x +=

=?

?

3

3373

210

3d . (5)

C x

x x

x

x x

x

+?-==?

?-

132d d 1

252

.

209

(11) x x x d )1(13?-+）（x x x x d 132?

??

? ??-+-=

??

?

?

-

+

-

=x x x x x x x d d d d 23

21

2

C x x x x +-+-=25

23

35

2

3231. (12)

()?

?

+-=

-x x

x x x x x d 21d 12

2 C x x x x x x x ++-=???

? ??+-=?

-25

232123212152342d 2. (15)C x e x x e x x e e x x x x +-=???

? ??-=???? ??-?

?--21212d d 1.

(16)C e C e e x e x e x

x x x

x

x ++=+=

=?

?

1

3ln 3)3ln()3(d )3(d 3. (19)?

?+=x x

x x d 2cos 1d 2cos 2

C x x x x ++=+=?

)sin (2

1d )cos 1(21. (20)?

?+==+C x x x x x tan 21

d cos 21d 2cos 112.

(21)x x

x x

x x x x x d sin cos sin cos d sin cos 2cos 22??

--=-

?

+-=+=C x x x x x cos sin d )sin (cos .

(22)222222cos 2cos sin d d cos sin cos sin x x x

x x x x x x

-=?

? 22

1

1d sin cos x x x ??=- ???

?C x x +--=tan cot .

209

(23)C x x x x x x +--=-=?

?cot d )1(csc d cot 22.

(25)222

211

d d 11

x x x x x x +-=++?? 21

(1)d arctan 1

x x x C x =-=-++?

(26)??

??? ?

?++-=++x x x x x x x d 1113d 12322

224

C x x x ++-=arctan 3.

5. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.

解 设该曲线的方程为()x f y =, 则由题意得x

x f y 1

)(='='.

所以 C x x x

y +==?

||ln d 1

.

又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有C C e +=+=2ln 32,1=C . 于是所求曲线的方程为:1ln +=x y .

6. 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是(),/32s m t 问 (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完360m 需要多少时间？

解 设位移函数为()t s s =, 则23t v s ==', C t t t s +==?

32d 3.

因为当t =0时, s =0, 所以C =0. 因此位移函数为3t s =. (1)在3秒后物体离开出发点的距离是s =s (3)=33=27.

(2)由3t s ==360, 得物体走完360m 所需的时间11.73603≈=t s.

习题4-2

1. 在下列各式等号右端的横线处填入适当的系数，使等式成立：

（1）d d()x ax =

； （5）2d d(1)x x x =-；

高等数学(同济五版)-第四章-不定积分-练习题册

34 / 8 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 一、求下列不定积分： 1．dx x x ? ． 2．?x x dx 2 ． 3．?-dx x 2 )2(． 4．?-dx x x 2 )1( 5．? +++dx x x x 1133224． 6．?+dx x x 2 2 1． 7．??-?dx x x x 3 2532． 8．?-dx x x x )tan (sec sec ． 二、一曲线通过点)3,(2 e 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程． 第二节 换元积分法

35 / 8 一、填空题： 1．=dx )37(-x d ． 2．=xdx )5(2 x d ． 3．=dx x 3 )23(4 -x d ． 4．=- dx e x 2 )1(2 x e d - +． 5．=xdx 23sin )23(cos x d ． 6．=x dx |)|ln 53(x d -． 7． 291x dx + )3(arctan x d ． 8．=-21x xdx )1(2 x d -． 9． ?=dx x x )(')(φφ ． 10．若 ?+=C x F dx x f )()(则?=)()]([x dg x g f ． 二、选择题(单选)： 设)(x f 为 可导函数，则： (A) ()C x f dx x f +='?)2()2(； (B) ()C x f dx x f +=' ?)2(2)2(； (C) ())2()2(x f dx x f =' ?； (D) C x f dx x f +='?)2()2(． 答：( ) 三、求下列不定积分： 1．?-dx x 3 )23(． 2．? -3 32x dx ． 3．? ?xdx x 210 sec tan ． 4．? x x dx cos sin ． 5．? -dx xe x 2 ． 6．dx x x ? -2 32．

高等数学(同济大学版)第四章练习(含答案)

第四章 不定积分 一、学习要求 1、理解原函数与不定积分的概念及性质。 2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。 二、练习 1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A. '()()f x dx f x =? B.()()df x f x =? C. ()()d f x dx f x dx =? D.[()]()d f x dx f x =? 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2 x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）； A. 2x e - B. 22x e -- C. 24x e -- D. 24x e - 4．'' ()xf x dx =? （ C ）. A.'()xf x C + B. '()()f x f x C -+ C. '()()xf x f x C -+ D. '()()xf x f x C ++. 5 ．将 化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3t B. 4 t C. 7 t D. 12 t 6.dx = 1/7 ()73d x -， 2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，2 19dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =1 3 3x e c ++. 8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ?为()f x C +. 9.过点(1,2)且切线斜率为34x 的曲线方程为41y x =+ 10.已知()cos xf x dx x C =+?，则()f x =sin x x - 11.求下列不定积分 解: (1) 22 32tan 1tan tan tan 1sin 3 x dx xd x x c x ==+-?? (2) 22arctan 11 x x x x x x x dx e dx de e c e e e e -===++++??? 5 34 2 (3)t a n s e c t a n s e c s e c x x d x x x d x ? =??? 22 2(s e c 1)s e c s e c x x d x =-?? ()642sec 2sec sec sec x x x d x =-+?753121 sec sec sec 753 x x x c = -++

同济大学(高等数学)-第四章-不定积分

第四章 不定积分 前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法． 第1节 不定积分的概念与性质 1.1 不定积分的概念 在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为 ()s s t =， 则质点在时刻t 的瞬时速度表示为 ()v s t '=． 实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度 ()v v t =， 求出质点的位移函数 ()s s t =． 即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念． 1.1.1原函数 定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有 ()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数． 例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0), x x x =>所以ln x 是 1 x 在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件． 定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有 ()()'=F x f x ． 简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数． 定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论：

高等数学同济七版第四章电子教案

第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义：如果在区间I 上，可导函数 ()F x 的导函数为()f x ，即对于任一x I ∈都有 ()()F x f x '=或d ()()d ,F x f x x =则称函数()F x 为()f x （或()d f x x ）在区间I 上的 一个原函数. 例如：因() 22x x '=，故2 x 是2x 的一个原函数. 定理（原函数存在定理）：如果函数 ()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数 ()F x ，使对任一x I ∈都有()().F x f x '=即连续函数必有原函数. 注：①如果()f x 有一个原函数的话，那么()f x 就有无限多个原函数. ②()f x 的任意两个原函数只差一个常数. 定义：在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()d f x x ）在区间I 上的不定积分，记作()d f x x ?， 其中? 称为积分号， ()f x 称为被积函数，()d f x x 称 为被积表达式， x 称为积分变量. 即()d ().f x x F x C =+? 注：()d f x x ?是()f x 的原函数，故有 d ()d ()d f x x f x x ? ?=???或d ()d ()d ;f x x f x x ??=??? 又因为()F x 是()F x '的原函数，所以有()d ()F x x F x C '=+?或d ()().F x F x C =+? 所以记号? 与d 是互逆的 例：求 d x x ? 解：由于2 2 x x ' ??= ??? ，所以22x 是x 的一个原函数，因此2 d 2 x x x C = +? 例：求1 d x x ? 解：当0x ＞时，有1(ln )x x '= 当0x ＜时，有[]11ln()(1)x x x '-= ?-=-，故ln |1d |x C x x =+? 函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线.

高等数学同济第七版上册知识点总结归纳

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法

1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x

同济高等数学第七版第4章习题解答

209 教材习题同步解析 习题4-1 2. 求下列不定积分: (2)x ?; (3)x (4)?x x x d 32; (5) ?x x x d 1 2 ; (11)x x x d )1(13? -+）（; (12)?-x x x d )1(2; (15)x x e e x x d 1? ??? ? ??--; (16)?x e x x d 3; (19)? x x d 2 cos 2; (20)?+x x d 2cos 11; (21)? -x x x x d sin cos 2cos ; (22)?x x x x d sin cos 2cos 2 2; (23)? x x d cot 2; (25)22d 1 x x x +?. (26)?++x x x x d 12322 4. 解 (2)35 222 d 5 x x x x C ==+?? . (3)x C =. (4)C x x dx x x x x += =? ? 3 3373 210 3d . (5) C x x x x x x x +?-==? ?- 132d d 1 252 .

209 (11) x x x d )1(13?-+）（x x x x d 132? ?? ? ??-+-= ?? ? ? - + - =x x x x x x x d d d d 23 21 2 C x x x x +-+-=25 23 35 2 3231. (12) ()? ? +-= -x x x x x x x d 21d 12 2 C x x x x x x x ++-=??? ? ??+-=? -25 232123212152342d 2. (15)C x e x x e x x e e x x x x +-=??? ? ??-=???? ??-? ?--21212d d 1. (16)C e C e e x e x e x x x x x x ++=+= =? ? 1 3ln 3)3ln()3(d )3(d 3. (19)? ?+=x x x x d 2cos 1d 2cos 2 C x x x x ++=+=? )sin (2 1d )cos 1(21. (20)? ?+==+C x x x x x tan 21 d cos 21d 2cos 112. (21)x x x x x x x x x d sin cos sin cos d sin cos 2cos 22?? --=- ? +-=+=C x x x x x cos sin d )sin (cos . (22)222222cos 2cos sin d d cos sin cos sin x x x x x x x x x -=? ? 22 1 1d sin cos x x x ??=- ??? ?C x x +--=tan cot .

同济版 高等数学 课后习题解析

书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1） （数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限， 得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去） ，故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(21+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+= +=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12--+x ax ，求常数a .

同济大学高等数学第四版 详解 习题九

194 习题九 1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程： (1)x =a sin 2t ,y =b sin t cos t ,z =c cos 2t ,点π 4 t = ; (2)x 2+y 2+z 2=6,x +y +z =0,点M 0(1,-2,1); (3)y 2=2mx ,z 2=m -x ,点M 0(x 0,y 0,z 0). 解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===- 曲线在点π 4 t = 的切向量为 {}πππ,,,0,444T x y z a c ????????'''==-?? ? ? ????????? 当π 4 t =时， ,,222a b c x y z === 切线方程为 2220a b c x y z a c - --==-. 法平面方程为 0()0.222a b c a c x y z ??????++-=--- ? ? ??????? 即 22 022 a c ax cz -- +=. （2）联立方程组 2226 x y z x y z ?++=? ++=? 它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得 d d 2220d d d d 10d d y z x y z x x y z x x ? +?+?=??? ?++=?? 解 得 d d ,,d d y z x z x y x y z x y z --==-- 在点M 0（1，-2，1）处，00 d d 0,1d d M M y z x x ==- 所以切向量为{1，0，-1}. 故切线方程为 121 101 x y z -+-==- 法平面方程为 1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0 即x -z =0. (3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得 d d 22,21d d y z y m z x x ==- 于是 d d 1,d d 2y m z x y x z ==- 曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为0011,,2m y z ??-???? ,故切线方程 为 000 00 ,112x x y y z z m y z ---==- 法平面方程为 00000 1()()()02m x x y y z z y z -+ ---=. 2. t (0 < t < 2π)为何值时，曲线L ：x = t -sin t , y =1-cos t , z = 4sin 2 t 在相应点的切线垂直于平面0x y ++=，并求相应的切 线和法平面方程。 解：1cos ,sin ,2cos 2t x t y t z '''=-==, 在t 处切向量为{} 1cos ,sin ,2cos 2 t T t t =-, 已知平面的法向量为{1,1,2n = . 且T ∥n , 故 2cos 1cos sin 11 t t t -==解得 π2t =，相应点的坐 标为π1,1,2?- ? .且 {1,1T = 故切线方程为 π 1 1211x y - +-== 法平面方程为 π 1102 x y z - ++--= 即 π042x y ?? ++-=+ ??? . 3. 证明：螺旋线x = acost, y = asint, z = bt 的切线与z 轴形成定 角。 证明：sin ,cos ,.x a t y a t z b '''=-== 螺旋线的切向量为 {sin ,cos ,}T a t a t b =-. 与z 轴同向的单位向量为 {0,0,1}k = 两向量的夹角余弦为 cos θ= = 为一定值。 故螺旋线的切线与z 轴形成定角。

同济高等数学(第6版)习题答案7-4

习题7-4 1. 画出下列曲线在第一卦限内的图形: (1)???==2 1y x ; (2)???=---=0 422y x y x z ; (3) ???=+=+222222a z x a y x .

2. 指出下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形: (1)? ??-=+=3215x y x y ; 解 在平面解析几何中, ? ??-=+=3215x y x y 表示直线y =5x +1与y =2x -3的交点)317 ,34(--; 在空间解析几何中, ? ??-=+=3215x y x y 表示平面y =5x +1与平面y =2x -3的交线, 它过点)0 ,3 17 ,34(--, 并且行于z 轴. (2)?????==+3 19422y y x . 解 在平面解析几何中, ?????==+3 19422y y x 表示椭圆19422=+y x 与其切线y =3的交点(0, 3); 在空间解析几何中, ?????==+3 19422y y x 表示椭圆柱面19 422=+y x 与其切平面y =3的交线. 3. 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线 ? ??=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程. 解 把方程组中的x 消去得方程3y 2-z 2=16, 这就是母线平行

于x 轴且通过曲线???=-+=++0 162222222y z x z y x 的柱面方程. 把方程组中的y 消去得方程3x 2+2z 2=16, 这就是母线平行于 y 轴且通过曲线???=-+=++0 162222222y z x z y x 的柱面方程. 4. 求球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线在xOy 面上的投影的方程. 解 由x +z =1得z =1-x 代入x 2+y 2+z 2=9得方程2x 2-2x +y 2=8, 这是母线平行于z 轴, 准线为球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线的柱面方程, 于是所求的投影方程为 ? ??==+-082222z y x x . 5. 将下列曲线的一般方程化为参数方程: (1)???==++x y z y x 9222 ; 解 将y =x 代入x 2+y 2+z 2=9得2x 2+z 2 =9, 即13 )2 3(2222=+z x . 令t x cos 23=, 则z =3sin t . 故所求参数方程为 t x cos 23=, t y cos 2 3=, z =3sin t . (2)???==+++-0 4)1()1(222z z y x . 解 将z =0代入(x -1)2+y 2+(z +1)2=4得(x -1)2+y 2=3. 令t x cos 31+=, 则t y sin 3=. 于是所求参数方程为

(完整版)同济版《高等数学》稿WORD版导数与微分

第二章 导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系. 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分. 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数. 4、 会求分段函数的导数. 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数. 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数. 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数. §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取

比值 0) ()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t --=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0 000) ()(tan x x x f x f x x y y --= --= ?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x --=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00) ()(lim 0x x x f x f x x --→. 令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x --→ 成为 x y x ??→?0lim 或x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000. 定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000,

同济大学(高等数学)_第四章_不定积分

第四章 不定积分 令狐采学 前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法． 第1节 不定积分的概念与性质 1.1 不定积分的概念 在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为 ()s s t =， 则质点在时刻t 的瞬时速度表示为 ()v s t '=． 实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度 ()v v t =，

求出质点的位移函数 ()s s t =． 即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念． 1.1.1原函数 定义1如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有 ()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数． 例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1 (ln )'(0),x x x =>所以ln x 是 1x 在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件． 定理1如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有 ()()'=F x f x ． 简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义

高等数学(同济版)第四章复习资料

第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质一、 原函数与不定积分的概念 1.原函数:设函数及在区间上有定义，若满足 或，则称为在区间上的一个原函数例如：由于，故是的一个原函数 关于原函数，一般有如下两个问题需要解决： (1). 在什么条件下, 一个函 数的原函数存在? (2). 若函数的原函数存在, 它如何表示下面的原函 数存在定理能解决这两个问题. 2.原函数存在定理定理1. 若函数在区 间上连续，则在上存在原函数，即. 推论：初等函数在定义区间上有原函数 定理2. 若函数是的一个原函数，则的所有原函数都在函数族(是任意常数) 内. 证明： (1).因为，所以是的原函数 (2).设是的任一原函数， 即，又，两式相减得，故(为某个常数)，它属于函数族定理2 说明，一个函数的所有原函数在形式上只差一个常数.函数的全体原函数又 叫不定积分 3.不定积分：称函数在区间上的原函数全体为的不定积分， 记作，其中—积分号; —被积函数; x—积分变量;—被积表达式. 注： 1°.若是的一个原函数，则就是的不定积分,即不定积分是原函数族. 2°.，或其中为任意常数，称为积分常数，不可省缺3°. 或 4.不定积分的几何意义: 函数的原函数的图形称为积分曲线 例1. 例2. 例3. 设曲线通过点, 且其上任一点处切线 的斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程解：设所求曲线方程 为，由题知曲线上任一点处的切线斜率为是的一个原函数.于是又 曲线过点，故有，解得.于是所求曲线的方程为. 二、基本积分表 1. (为常数). 2. 3. (). . 或. 4. 5. 或 6. . 7. . 9. 8. 10. . 11. . 12. 13. . 例4. 例 . 例6. 三、不定积分的性质 1. ； 2.； 3.. 例7. 例8. 例9. . 例10. . 练习： 1. 若是的一个原函数，则提示：，2.若是的原函数 , 则 . . . 提示: 已知,所以，于是 3. 若的导函数为，则的一个原函数为( B ) A. ; B. ; C. ; D.. 提示：；；第二节换元积分法 一、换元法的基本思想设，可导，则有，于是二、第一类换元 法从左到右的计算称为第一类换元法；从右到左的计 算称为第二类换元积分法定理 1.设函数具有原函数，可导，则有换元 公式：也称配元法或凑微分法注：第一换元法的使 用：. 例1.. 例2. . 例 3. . 例 4. 例5. 例 . 例 . 例8. 求 . ，于是 有，解得，于 是 . . 例9. 例10. . 例11. 例12.

最新高等数学(同济五版)-第四章-不定积分-练习题册

精品文档 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 一、求下列不定积分： 1．dx x x ? ． 2．?x x dx 2 ． 3．?-dx x 2 )2(． 4．?-dx x x 2 )1( 5．? +++dx x x x 1133224． 6．?+dx x x 2 2 1． 7．??-?dx x x x 3 2532． 8．?-dx x x x )tan (sec sec ． 二、一曲线通过点)3,(2 e 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．

精品文档 第二节 换元积分法 一、填空题： 1．=dx )37(-x d ． 2．=xdx )5(2 x d ． 3．=dx x 3 )23(4-x d ． 4．=- dx e x 2 )1(2 x e d - +． 5．=xdx 23sin )23(cos x d ． 6．=x dx |)|ln 53(x d -． 7． 2 91x dx + )3(arctan x d ． 8．=-2 1x xdx )1(2x d -． 9． ?=dx x x )(')(φφ ． 10．若 ?+=C x F dx x f )()(则?=)()]([x dg x g f ． 二、选择题(单选)： 设)(x f 为 可导函数，则： (A) ()C x f dx x f +='?)2()2(； (B) ()C x f dx x f +='?)2(2)2(； (C) ())2()2(x f dx x f ='?； (D) C x f dx x f +='?)2()2(． 答：( ) 三、求下列不定积分： 1．?-dx x 3 )23(． 2．? -3 32x dx ． 3．? ?xdx x 210 sec tan ． 4．? x x dx cos sin ．

同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第四章 不定积分【圣才

第四章　不定积分 4.1　复习笔记 一、 不定积分的概念与性质1 ．原函数与不定积分的概念（ 1）原函数 ①定义 如果在区间I 上，可导函数 的导函数为，即对任意一， 都有 ，则函数就称为 在区间 I 上的一个原函数．②原函数存在定理如果函数 在区间I 上连续，则在区间I 上存在可导函数使对任一都有即连续函数一定有原函数． ③注意两点 a ．如果有一个原函数，则就有无限多个原函数． b ．若和都是的原函数，则 ()F x ()x φ()f x （C 0为某个常数） （ 2）不定积分 在区间I 上，函数的带有任意常数项的原函数称为 （或）

在区间I上的不定积分，记作，其中称为积分号，称为被积函数， 称为被积表达式，x称为积分变量． 2．基本积分表

3．不定积分的性质 （1）性质1 设函数的原函数存在，则 注：性质1对于有限个函数都是成立的． （2）性质2 设函数的原函数存在，k为非零常数，则 二、换元积分法

1．第一类换元法设具有原函数, 可导，则有换元公式()[()]()[()] u x f x x dx f u du ?? ?= '= ??2．第二类换元法 设是单调的可导函数，并且 又设 具有原函数，则有换元公式1() ()[[()]()]t x f x dx f t t dt ψψψ-=' =?? 其中的反函数． 三、分部积分法 1．分部积分法 设函数 具有连续导数，则两个函数乘积的导数公 式为移项，得 对这个等式两边求不定积分，得 称为分部积分公式．

注：2．运用分部积分法需注意 （1）v 要容易求得； （2）要比容易积出； （3）遵循“反对幂指三”原则. ①“反对幂指三”定义 “反对幂指三”分别指反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数和三角函数．②“反对幂指三”原则 “反对幂指三”原则是指在用分部积分法计算积分时，若出现上面相关函数，把被积表达式按照 “反对幂指三”的积分次序，排在前面的看成“u”，排在后面的看成“dv”． 【例】