高斯平面直角坐标系的建立

高斯平面直角坐标系的建立

空间数据的地理参照系和控制基础

4、高斯—克吕格投影

高斯—克吕格投影是一种横轴等角切椭圆柱投影。它是将一椭圆柱横切于地球椭球体上，该椭圆柱面与椭球体表面的切线为一经线，投影中将其称为中央经线，然后根据一定的约束条件即投影条件，将中央经线两侧规定范围内的点投影到椭圆柱面上，从而得到点的高斯投影(图3-2-5)。将一球椭球体地球装在椭圆柱内上下切点为中央经线。

高斯投影的条件为：

(1)中央经线和地球赤道投影成为直线且为投影的对称轴；

(2)等角投影；

(3)中央经线上没有长度变形。

根据高斯投影的条件推导出的高斯—克吕格投影的计算公式为：

式中：X、Y为点的平面直角坐标系的纵、横坐标；

φ、λ为点的地理坐标，以弧度计，λ从中央经线起算；

S为由赤道至纬度φ处的子午线弧长；

N为纬度φ处的卯酉圈曲率半径；

其中η为地球的第二偏心率，a、b则分别为地球椭球体的长短半轴。

高斯投影由于是等角投影，故没有角度变形，其沿任意方向的长度比都相等，其面积变形是长度的两倍。对高斯—克吕格投影长度变形的研究可以依下述长度比表达式进行：

由该长度比公式可以分析出高斯投影变形具有以下特点：

(1)中央经线上无变形；

(2)同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大；

(3)同一条经线上，纬度越低，变形越大；

由此可见，高斯投影的最大变形处为各投影带在赤道边缘处，为了控制变形，我国地形图采用分带方法，即将地球按一定间隔的经差(6°或3°)划分为若干相互不重叠的投影带，各带分别投影。1：2.5万至1：50万的地形图均采用6°分带方案，即从格林尼治零度经线起算，每6°为一个投影带，全球共分为60个投影带。我国领土位于东经72°到136°之间，共包括11个投影带(13带～22带)。1：1万及更大比例尺地形图采用3°分带方案，全球共分为120个投影带。图3—4给出了高斯投影的6°带和3°带分带方案。

为了制作地图和使用地图的方便，通常在地图上都绘有一种或两种坐标网，即经纬线网和方里网。

经纬线网——即指由经线和纬线所构成的坐标网，又称地理坐标网。

在1：1万——1：20万比例尺的地形图上，经纬线只以图廓线的形式直接表现出来，并在图角处注出相应度数。为了在用图时加密成网，在内外图廓间还绘有加密经纬网的加密分划短线(图式中称“分度带”)，必要时对应短线相连就可以构成加密的经纬线网。1：25万地形图上，除内图廓上绘有经纬网的加密分划外，图内还有加密用的十字线。

我国的1：50万——1：100万地形图，在图面上直接绘出经纬线网，内图廓上也有供加密经纬线网的加密分划短线。

方里网——是由平行于投影坐标轴的两组平行线所构成的方格网。因为是每隔整公里绘出坐标纵线和坐标横线，所以称之为方里网，由于方里线同时又是平行于直角坐标轴的坐标网线，故又称直角坐标网。

直角坐标网的坐标系以中央经线投影后的直线为X轴，以赤道投影后的直线为Y轴，它们的交点为坐标原点。这样，坐标系中就出现了四个象限。纵坐标从赤道算起向北为正、向南为负；横坐标从中央经线算起，向东为正、向西为负。

我国位于北半球，全部X值都是正值。在每个投影带中则有一半的Y 坐标值为负。为了避免Y坐标出现负值，规定纵坐标轴向西平移500km(半个投影带的最大宽度不超过500km)。这样，全部坐标值都表现为正值了。

1 绪论

坐标系统的选择对一项工程来说是一项首先必须进行的工作，同时坐标系统选择的适当与否关系到整个工程的质量问题，因此对坐标系统的研究是一项非常重要和必须的工作。

我国《规范》规定：所有国家的大地点均按高斯正形投影计算其在带内的平面直角坐标……。在1：1

万和更大比例尺测图的地区，还应加算其在带内的直角坐标系。我们通常将这种控制点在带或带内的坐标系称为国家统一坐标系统。

在实际应用中，国家统一坐标系统往往不能满足工程建设的需要，所以必须针对不同的工程采用适合它的独立坐标系统。

线路独立坐标系的建立方法研究主要是研究线路工程中如何建立坐标系统而使其精度能满足工程需要。由于线路测量的特点是跨度较长，当采用国家统一坐标系时往往会因为离开中央子午线较远而使变形量超限，因此必须采用独立坐标系统。

由于线路工程的不同，因此需采用的独立坐标系统也不尽相同。所以针对不同的线路工程应采用不同的独立坐标系统。当线路工程是南北走向时由于线路基本上位于中央子午线上,因此不必要对多个独立坐标系统的转换衔接问题进行研究。当线路工程是东西走向时由于线路跨度较长而往往需要建立多个独立坐标系统，因此需要对多个独立坐标系统的转换衔接问题进行研究。

公路、铁路、架空送电线路以及输油管道等均属于线型工程，它们的中线统称线路。一条线路的勘测和设计工作，主要是根据国家的计划与自然地理条件，确定线路经济合理的位置。为达此目的，必须进行反复地实践和比较。

线路在勘测设计阶段首先要进行控制测量工作，由于在线路控制测量过程中，每条线路所在测区的位置不同且距离不可能很短,有的可能跨越一个投影带,二个投影带甚至更多,所以,在线路控制测量中,投影长度变形很容易超限，这就需要我们采取一定的措施来使投影长度变形减弱，将投影长度变形控制在允许的范围之内。最有效的方法就是建立与测区相适应的坐标系统。

坐标系统是所有测量工作的基础，所有测量成果都是建立在其上的,因此坐标系统选择的适当与否关系到整个工程的质量问题。对于线路工程而言，使投影长度变形控制在允许的精度范围之内是建立独立坐标系统主要解决的问题，因此，独立坐标系统的建立主要是根据线路的长度和所在测区的不同而建立与本测区和本线路相适应的坐标系统，从而使其投影长度变形控制在允许范围之内。

本文以线路控制测量为例，详细论述了线路独立坐标系统的建立方法。

2 高斯平面直角坐标系的建立

我们已经知道，大地坐标系是以椭球面为基准面的坐标系，它可以用来确定地面点在

椭球面上的位置，但是如果用于大比例尺测图控制网以及工程控制网则不适应。因此

通常是将椭球面上的元素，如大地坐标、长度、方向等转化至平面上，采用平面直角

坐标系进行计算，本章就高斯平面直角坐标系的建立及相关问题进行了讨论。

2.1.1地球椭球的基本几何参数

参考椭球具有一定的几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计算，它是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。

有关元素如图1

O为椭球中心；

NS为旋转轴；

a为长半轴；

b为短半轴；

子午圈（或径圈或子午椭圆）；

平行圈（或纬圈）；

赤道。

旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的五个基本几何参数（元素）（图1：椭球参数示意图）

来决定的，即：

椭圆的长半轴： a

椭圆的短半轴： b

椭圆的扁率：(2-1)

椭圆的第一偏心率：(2-2)

椭圆的第二偏心率：(2-3)

其中：a、b称为长度元素；

扁率反映了椭球体的扁平程度，如=0时，椭球变为球体；=1时，则为平面。

e和e/是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映了椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁。

五个参数中，若知道其中的两个参数就可决定椭球的形状和大小，但其中至少应已知一个长度元素（如a 或b），人们习惯于用和表示椭球的形状和大小，便于级数展开。引入下列符号：

(2-4)

式中B为大地纬度，c为极曲率半径（极点处的子午线曲率半径）。

两个常用的辅助函数，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数。

(2-5)

传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料推求地球椭球的几何参数，自1738年（法国）布格推算出第一个椭球参数以来，200多年间各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目繁多，数值各异的椭球参数。由于卫星大地测量的发展，使推求总地球椭球体参数成为可能，自1970年以后的椭球参数都采用了卫星大地测量资料。长半经变化于6378135m～6378145m之间，扁率分母变化于298.25～298.26之间，可见精度已很高。比较著名的有30个椭球参数，其中涉及我国的如表1示：

（表1：椭球参数表）

椭球参数年代长半径m 扁率分母采用国家、地区

海福特1906 6378283 297.8 美、阿根廷、比利时、大洋洲

克拉索夫斯基1940 6378245 298.3 苏、东欧、中、朝鲜等

1954年

1980年西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。

2.1.2地球椭球参数间的相互关系

由(2-2)和(2-3)式得：

并得：

(2-6)

推得：

同理可得：

(2-8)

1975年大地坐标

系

1975 6378140 298.257 1975年国际第三个推荐值

WGS-84 1984 6378137 298.2572

2

GPS定位系统

。

2.2.1高斯

投影与高斯

平面直角坐

标

地球投影所谓地球投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。

(2-9)

式中L，B是椭球面上某点的大地坐标，而是该点投影后的平面(投影面)直角坐标。

式(2-9)表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系，也叫做坐标投影公式。投影问题也就是建立椭球面元素与投影面相对应元素之间的解析关系式。投影的方法很多，如高斯投影、兰勃脱投影等。我国采用高斯投影。

高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影，是德国测量学家高斯于1825～1830年首先提出的。实际上，直到1912年，由德国另一位测量学家克吕格推导出实用的坐标投影公式后，这种投影才得到推广，所以该投影又称高斯-克吕格投影。想象有一椭圆柱面横套

（图2：横轴椭圆柱等角投影示意图）

在地球椭球体外面，并与某一条子午线（称中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定的投影方法将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。

我国规定按经差和度进行投影分带，大比例尺测图和工程测量一般采用带投影。特殊情况下工程测量控制网也可用带或任意带。

高斯投影带自

子午线起每隔经差

自西向东分带，依

次编号1,2,3,…。我国带中央子午线的经度，由起每隔而至，共计12带，带号用n表示，中央子午线的经度用表示，则与n的关系为。

（图3：高斯投影分带示意图）

高斯投影带是自子午线每隔经差自西向东分带，它的中央子午线一部分同带中央子午线重合，一部分同带分界子午线重合，带号用n/表示，带中央子午线用L表示，关系是：。在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴，这样便形成了高斯平面直角坐标系。在我国坐标均为正，坐标的最大值（在赤道上）约为330KM。为避免出现负的横坐标，可在横坐标上加500KM。

此外还应在坐标前面冠以带号，这种坐标称为国家统一坐标。如某点Y=19123456.789m，该点位于19带内，其相对于中央子午线而言的横坐标是：首先去掉带号，再减去500KM，最后得

y=-376543.211m。

由于分带造成了边界子午线两侧的控制点和地形图处于不同的投影带内，为了把各带连成整体，一般规定各投影带要有一定的重叠度，其中每一带向东加宽，向西加宽，这样在上述重叠范围

内，控制点将有两套相邻带的坐标值，地形图将有两套公里格网，从而保证了边缘地区控制点间的互相应用，也保证了地图的拼接和使用。

由于高斯投影是正形投影，故保证了投影的角度不变性、图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性；由于采用了同样法则的分带投影，既限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简单公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算，且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。高斯投影这些优点使它得到广泛的推广和具有国际性。

2.2.2高斯投影坐标正反算公式

2.2.2. 1高斯投影坐标正算公式：B,x,y

高斯投影必须满足以下三个条件：

⑴中央子午线投影后为直线；⑵中央子午线投影后长度不变；⑶投影具有正形性质，即正形投影条件。

由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即式中，x为的偶函数，y为的奇函数；，即，如展开为的级数，收敛。

（2-10）

式中是待定系数，它们都是纬度B的函数。

由第三个条件知：

分别对和q求偏导数并代入上式

(2-11)

上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即

(2-12)

(2-12)是一种递推公式，只要确定了就可依次确定其余各系数。

由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X，即(2-10)式第一式中，当时有：

(2-13)

顾及(对于中央子午线)

得：

(2-14,15)

(2-16)

依次求得并代入(2-10)式，得到高斯投影正算公式

(2-17)

2.2.2. 2高斯投影坐标反算公式

x,y B,

投影方程：

(2-18)

高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。

⑴由x求底点纬度(垂足纬度),对应的有底点处的等量纬度，求x,y与的关系式，仿照

式有，

由于y和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将展开为y的幂级数；又由于是对称投影，q必是y 的偶函数，必是y的奇函数。

(2-19)

是待定系数，它们都是x的函数.

由第三条件知：

，

，(2-20)

(2-19)式分别对x和y求偏导数并代入上式

上式相等必要充分条件，是同次幂y前的系数相等，

第二条件，当y=0时，点在中央子午线上，即x=X，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度，也就是x=X时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为。也就是在底点展开为y的幂级数。由(2-19)1式

依次求得其它各系数

(2-21)

(2-21)1

…………

将代入(2-19)1式得

(2-22)1

(2-22)

将代入(2-19)2式得(2-23)2式。(最后表达式)

⑵求与的关系。

由式知：

(2-23)

(2-24)

按台劳级数在展开

(2-25)

(2-25)

由式可求出各阶导数：

(2-26)

(2-27)1

(2-27)2

…………………

将式(2-22)1(2-22)(2-26)(2-27)入(2-25)并按y幂集合得高斯投影坐标反算公式(2-28)

(2-28)

归纳由求的基本思想：由点得到底点，将底点f作为过渡，也就是说将坐标原点o移到f点，先求关系式，再将关系式代入

关系式得关系式，最后将坐标原点移回到o点,从而求得点。

2.2.2. 3高斯投影坐标正反算公式的几何解释：

（图4：高斯投影坐标正反算公式的几何解释示意图）

⑴当B=0时x=X=0，y则随的变化而变化，这就是说，赤道投影

为一直线且为y轴。当=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。⑵当=常数时(经线),随着B值增加，x值增大，y值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因，即当

用-B代替B时，y值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。⑶当B=常数时(纬线)，随着的增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。又当用-代替时，x

值不变，而y值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。⑷距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。

七年级第六章平面直角坐标系基础训练题

七年级第六章平面直角坐标系基础训练题 一、填空题 1、原点O 的坐标是 ，x 轴上的点的坐标的特点是 ，y 轴上的点的坐标的特点是 ；点M （a ，0）在 轴上。 2、点A （﹣1，2）关于y 轴的对称点坐标是 ；点A 关于原点的对称点的坐标是 。点A 关于x 轴对称的点的坐标为 3、已知点M ()y x ,与点N ()3,2--关于x 轴对称，则______=+y x 。 4、已知点P ()3,3b a +与点Q ()b a 2,5+-关于x 轴对称，则___________==b a 。 5、点P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则P 点的坐标是 。 6、线段CD 是由线段AB 平移得到的。点A （–1，4）的对应点为C （4，7），则点B （–4，–1）的对应点D 的坐标为______________。 7、在平面直角坐标系内，把点P （－5，－2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点的坐标是 。 8、将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x ，-1)，则xy=___________ 。 9、已知AB ∥x 轴，A 点的坐标为（3，2），并且AB ＝5，则B 的坐标为 。 10、A （– 3，– 2）、B （2，– 2）、C （– 2，1）、D （3，1）是坐标平面内的四个点，则线段AB 与CD 的关系是_________________。 11、在平面直角坐标系内，有一条直线PQ 平行于y 轴，已知直线PQ 上有两个点，坐标分别为（－a ，－2）和（3，6），则=a 。 12 、点A 在x 轴上，位于原点左侧，距离坐标原点7个单位长度，则此点的坐标为 ； 13、在Y 轴上且到点A （0，－3）的线段长度是4的点B 的坐标为___________________。 14、在坐标系内，点P （2，－2）和点Q （2，4）之间的距离等于 个单位长度。线段PQ 的中点的坐标是________________。 15、已知P 点坐标为（2－a ，3a ＋6），且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是_________________________________________________。 16、已知点A （－3+a ，2a+9）在第二象限的角平分线上，则a 的值是____________。 17、已知点P （x ，－y ）在第一、三象限的角平分线上，由x 与y 的关系是_____________。 18、若点B(a ，b)在第三象限，则点C(－a+1，3b －5) 在第____________象限。 19、如果点M （x+3，2x －4）在第四象限内，那么x 的取值范围是______________。 20、已知点P 在第二象限，且横坐标与纵坐标的和为1，试写出一个符合条件的点P 。点K 在第三象限，且横坐标与纵坐标的积为8，写出两个符合条件的点 。 21、已知点A （a ，0）和点B （0，5）两点，且直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a 的值是________________。 22、已知0=mn ，则点（m ，n ）在 。 二、选择题 1、在平面直角坐标系中，点() 1,12+-m 一定在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2、如果点A （a.b ）在第三象限，则点B （－a+1,3b －5）关于原点的对称点是（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3、点P （a ，b ）在第二象限，则点Q(a-１，b+1)在( ) （A ） 第一象限 （B ） 第二象限 （C ） 第三象限 (D)第四象限 4、若4,5==b a ，且点M （a ，b ）在第二象限，则点M 的坐标是（ ）

建立适当的平面直角坐标系解决实际问题

建立适当的平面直角坐标系解决实际问题 例1、如图，一石拱桥呈抛物线状，已知石拱跨度AB为40 m，拱高CM为16m，把桥拱看作一个二次函数的图象，建立适当的平面直角坐标系. (1)写出这个二次函数的表达式. (2)已知点N在距离中心M5 m处，求点N正上方桥高DN的 长. 例2、如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m. (1)若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少m，才能 使喷出的水流不能落到池外？ (2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为 3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度可达多少 米？

例3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C 离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大 门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断 这辆汽车能否顺利通过大门． 练习 1、如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥面顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=-(x-6)2+4，则选取点B为坐标原点时 的抛物线解析式是____________. 2、(2016·唐山二模)设计师以y=2x2-4x+8的图形为灵感设计 杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=( ) A.17 B.11 C.8 D.7 3、一个横断面是抛物线的渡槽如图所示，根据图中 所给的数据求出水面的宽度是______.

平面直角坐标系教案(DOC)

7.1平面直角坐标系 7.1.1有序数对 教学三维目标 知识与技能： 1.理解有序数对的意义。 2.能用有序数对表示实际生活中物体的位置 过程与方法： 1.学生经历有序数对的学习过程，培养学生的概括能力，发展学生的数感。 2. 体会具体-抽象-具体的数学学习过程 情感态度与价值观： 1.通过在游戏中学习有序数对，培养学生合作交流意识和探索精神. 2.经历用有序数对表示位置的过程，体验数、符号是描述现实世界的重要手段 . 教学重点：有序数对及平面内确定点的方法. 教学难点：利用有序数对表示平面内的点. 教学课型：新授课 教学课时：1课时 教学方法：启发、讨论、交流 教学准备：三角尺粉笔多媒体 教学过程： 一、问题与情境 情景引入：游戏“找朋友” 问题： （1）只给一个数据如“第3列”你能确定好朋友的位置吗？ （2）给两个数据如“第3列第2排”你能确定好朋友的位置吗？为什么？（3）你认为需要几个数据能确定一个位置？

二、合作探究 1.【提出问题】 请在教室找到如下表用数对表示的同学位置： 发现：在教室里排数与列数的先后顺序没有约 定的情况下，不能确定参加数学问题讨论的同学 假设约定“列数在前，排数在后”，你能找到参加数学问题讨论的同学的座位吗？ 思考： （1）（2，4）和（4，2）在同一个位置吗？ （2）如果约定“排数在前，列数在后”，刚才那些同学对应的有序数对会变化吗？ 2. 【师生归纳】 思考：在生活中还有用有序数对表示一个位置的例子吗？ 3. 【例题讲解】 例1：如图，甲处表示2街与5巷的十字路口，乙处表示5街5巷的十字路口，如果用（2,5）表示甲处的位置，那么（2,5）→（3,5）→（4,5）→（5,5）→（5,4）→（5,3）→（5,2）表示从甲处到乙处的一种路线，请你用有序数对写出几种从甲处到乙处的路线。 3街4街5街6街2巷 1巷 1街2街6巷 5巷 4巷 3巷 变式练习：设计一个容易用有序数对描述的图形，并用自己的语言描述这个图形 有序数对： 我们把有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对。 记作（a ，b ）

完整word版平面直角坐标系基础知识讲解

平面直角坐标系（基础）知识讲解 【学习目标】 1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系. 2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征. 3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想. 【要点梳理】 要点一、有序数对 定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)． 要点诠释： 有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号． 要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念 1. 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1). 要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 2. 点的坐标 平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2. 要点诠释：）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，（1”隔开．

（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. (3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 要点三、坐标平面 1. 象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下 图． 要点诠释： （1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限． （2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方. 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 要点四、点坐标的特征 1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律 要点诠释： （1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上. （2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0． （3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． 2.象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)． 3.关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)． 4.平行于坐标轴的直线上的点

七年级平面直角坐标系动点规律问题(经典难题)

平面直角坐标系动点问题 （一）找规律 1．如图1，一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ） 图1 A ．（4，0） B ．（5，0） C ．（0，5） D ．（5，5） 图2 2、如图2，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A 1，A 2，A 3，A 4，…表示，则顶点A 55的坐标是（ ） A 、（13，13） B 、（﹣13，﹣13） C 、（14，14） D 、（﹣14，﹣14） 3.如图3，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中点的坐标分别为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…的规律排列，根据这个规律，第2019个点的横坐标为 ． 4．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示。 图3 （1）填写下列各点的坐标：1A （____，____），3A （____，____），12A （____，____）； （2）写出点n A 4的坐标（n 是正整数）； （3）指出蚂蚁从点100A 到101A 的移动方向．

5.观察下列有序数对：（3，﹣1）（﹣5，）（7，﹣）（﹣9，）…根据你发现的规律，第100个有序数对是 ． 6、观察下列有规律的点的坐标： 依此规律，A 11的坐标为 ，A 12的坐标为 ． 7、以0为原点，正东，正北方向为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，一个机器人从原点O 点出发，向正东方向走3米到达A 1点，再向正北方向走6米到达A 2，再向正西方向走9米到达A 3，再向正南方向走12米到达A 4，再向正东方向走15米到达A 5，按此规律走下去，当机器人走到A 6时，A 6的坐标是 ． 8、如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2019次，点P 依次落在点 201921,,,P P P 的位置，则点2019P 的横坐标为 . 9、如图，在平面直角坐标系上有个点P （1，0），点P 第1次向上跳动1个单位至点P 1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P 2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P 第100次跳动至点P 100的坐标是 ．点P 第2019次跳动至点P 2019的坐标是 ． 图4 图5 10、如图5，已知A l （1，0），A 2（1，1），A 3（﹣1，1），A 4（﹣1，﹣1），A 5（2，﹣1），…．则点A 2019的坐标为 ．

(完整)平面直角坐标系练习题(巩固提高篇)

平面直角坐标系练习题（巩固提高篇） 一、选择题： 1、下列各点中，在第二象限的点是（） A．（2，3） B．(2,－3) C．(－2,3) D．(－2, －3) 2、已知点M(－2,b)在第三象限，那么点N(b, 2 )在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3、若点P（a，b）在第四象限，则点M（b-a，a-b）在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4、已知点P（a,b）,且ab＞0,a＋b＜0,则点P在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5、如果点P（a,b）在第二象限内，那么点P（ab,a-b）在（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 6、若点P（x ,y）的坐标满足xy=0(x≠y)，则点P在（） A．原点上 B．x轴上 C．y轴上 D．x轴上或y轴上 7、平面直角坐标中，和有序实数对一一对应的是（） A．x轴上的所有点 B．y轴上的所有点 C．平面直角坐标系内的所有点 D．x轴和y轴上的所有点 8、将点A（-4，2）向上平移3个单位长度得到的点B的坐标是（） A. （-1，2） B. （-1，5） C. （-4，-1） D. （-4，5） 9、线段CD是由线段AB平移得到的,点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（-4，–1）的对应点D的 坐标为（） A．（2，9） B．（5，3） C．（1，2） D．（– 9，– 4） 10、点P（m+3，m+1）在x轴上，则P点坐标为（） A．（0，-2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，-4） 11、点P的横坐标是-3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是（） A. （5，-3）或（-5，-3） B. （-3，5）或（-3，-5） C. （-3，5） D. （-3，-5） 12、已知点P（x，y）在第四象限，且│x│=3，│y│=5，则点P的坐标是（） A．（-3，5）B．（5，-3）C．（3，-5）D．（-5，3） 13、点P（x,y）位于x轴下方，y轴左侧，且x=2 ，y=4，点P的坐标是（） A．（4，2） B．（－2，－4） C．（－4，－2） D．（2，4） 14、点P（0，－3），以P为圆心，5为半径画圆交y轴负半轴的坐标是（） A．（8，0） B．（ 0，－8） C．（0，8） D．（－8，0） 15、点E（a,b）到x轴的距离是4，到y轴距离是3，则有（） A．a=3, b=4 B．a=±3,b=±4 C．a=4, b=3 D．a=±4,b=±3

高斯平面直角坐标系的建立

空间数据的地理参照系和控制基础 4、高斯—克吕格投影 高斯—克吕格投影是一种横轴等角切椭圆柱投影。它是将一椭圆柱横切于地球椭球体上，该椭圆柱面与椭球体表面的切线为一经线，投影中将其称为中央经线，然后根据一定的约束条件即投影条件，将中央经线两侧规定范围内的点投影到椭圆柱面上，从而得到点的高斯投影(图3-2-5)。将一球椭球体地球装在椭圆柱内上下切点为中央经线。 高斯投影的条件为： (1)中央经线和地球赤道投影成为直线且为投影的对称轴； (2)等角投影； (3)中央经线上没有长度变形。 根据高斯投影的条件推导出的高斯—克吕格投影的计算公式为： 式中：X、Y为点的平面直角坐标系的纵、横坐标；

φ、λ为点的地理坐标，以弧度计，λ从中央经线起算； S为由赤道至纬度φ处的子午线弧长； N为纬度φ处的卯酉圈曲率半径； 其中η为地球的第二偏心率，a、b则分别为地球椭球体的长短半轴。 高斯投影由于是等角投影，故没有角度变形，其沿任意方向的长度比都相等，其面积变形是长度的两倍。对高斯—克吕格投影长度变形的研究可以依下述长度比表达式进行： 由该长度比公式可以分析出高斯投影变形具有以下特点： (1)中央经线上无变形； (2)同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大； (3)同一条经线上，纬度越低，变形越大； 由此可见，高斯投影的最大变形处为各投影带在赤道边缘处，为了控制变形，我国地形图采用分带方法，即将地球按一定间隔的经差(6°或3°)划分为若干相互不重叠的投影带，各带分别投影。1：2.5万至1：50万的地形图均采用6°分带方案，即从格林尼治零度经线起算，每6°为一个投影带，全球共分为60个投影带。我国领土位于东经72°到136°之间，共包括11个投影带(13带～22带)。1：1万及更大比例尺地形图采用3°分带方案，全球共分为120个投影带。图3—4给出了高斯投影的6°带和3°带分带方案。

平面直角坐标系教案(1)

平面直角坐标系教案（1） 【教学目标】 1、认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系； 2、在给定的直角坐标系中，能由点的位置写出点的坐标（坐标都为整数）； 3、渗透数形结合的思想； 4、通过介绍数学家的故事，渗透理想和情感的教育． 【重点难点】 重点：认识平面直角坐标系。 难点：根据点的位置写出点的坐标。 【教学准备】 教师：收集有关法国数学家笛卡儿的有关资料（也可以将有关的直角坐标系制作成课件）。【教学过程】 一、情境导入 1、在一条笔直的街道边，竖着一排等距离的路灯，小华、小红、小明的位置如图1所示，你能根据图示确切地描述他们三个人的位置关系吗？ 在学生进行叙述后，教师可以抓住以什么为“基准”，并借助于数轴来处理这个问题，从而进入课题． 设计意图：学生可以以其中的一人为基准进行描述，其目的是为数轴上的点的坐标的确定做准备。 2、如果我们画一条数轴，取小红的位置为原点，取向右的方向为正方向，取两盏路灯间的距离为一个单位长度，那么小华的位置（A）就可以用－3来表示，小明的位置（B）就可以用6来表示（如图2).此时，我们说点A在数轴上的坐标是－3，点B在数轴上的坐标是6．这样数轴上的点的位置与坐标之间就建立了对应关系．

设计意图：将数轴上点的坐标的概念学习置于具体的问题情境中。 问题：(1)在上述情境中，如果小兵位于小明左侧的第二盏路灯处，你能说出小兵在数轴上对应的点的坐标吗？ (2)如果小兵站在一个长方形的操场上，你用什么方法可以确定小兵的位置？ (3)如果小兵站在一个大操场上，你用什么方法可以确定小兵的位置？ 设计意图：三个问题的安排有一定的层次性，为下一步引出平面直角坐标系作铺垫。 二、探究新知 1、平面直角坐标系的引入 对于上述第(2)个问题，我们可以用图3来表 示：这时，小兵(P)的位置就可以用两个数来表 示．如点P离AB边1 cm，离AD边1. 5 cm，如 果1 cm代表20 m，那么小兵离AB边20 m，离AD 边30 m. 对于上述第(3)个问题，我们是否也可以借助 于这样的一些线来确定小兵的位置呢？我们在小兵所在的平面内画上一些方格线（如图4)，利用上节课所学的知识，就可以解决这个问题了． （然后由学生回答这个问题的解决过程） 受上述方法的启发，为了确定平面内点的位置，我们可以画一些纵横交错的直线，便于标记每一条直线的顺序，我们又可以以其中的两条为基准（如图5).

平面直角坐标系构建知识结构图

平直角坐标系构建知识结构图教学设计 教学目标 知识与技能 1、会建立平面直角坐标系解决问题 2、建立平面直角坐标系的知识结构图过程与方法 通过问题串的设计，层层引导学生积极构建知识结构图，渗透对学生数学知识的严谨性、逻辑性的培养。 情感态度价值观 进一步培养学生严谨的数学态度和思维。 教学重难点 教学重点：构建平面直角坐标系结构图 教学难点：构建平面直角坐标系结构图 教学过程 （一）设计情境，导入新课 小明、小丽、小华三人周末相约到生态园游玩 活动一：某一时刻他们停留在竖琴广场，三人对着景区示意图发现, 如下描述竖琴广场的位置（图中小正方形2,2）竖琴广场的坐标是（长）

葡萄竖琴广望亭九和植物动物园 7654葡萄园32竖琴广场望湖亭1654 — 1 - 2123 — 3 - 5 - 7 - 6 - 4X0 九和塔一1植物园一2 - 3动物园—4 活动二：随后小明提议，接下来到植物园，你能帮助他们读岀植物园的坐标吗？ 2问题：能读 岀其余各个景点的坐标吗？ ：在3问题y 轴上的景点有哪些？在 x 轴上的景点有哪些？ 4问题： 在第一、三象限角平分线上的景点有哪些？ ：连接竖琴广场和动物园的直线与坐标轴有何位置 1000m 的边长代表. 问题1：能建立平面直角坐

关系？他们之间的距离是多少？5问题.

- 4 1 y ................... 葡萄竖琴广望亭一一一一一一一九和一植物一—动物园一4 葡萄园竖琴广场望亭湖xO 九和塔植物园动物园

葡萄竖琴广望亭九和植物动物园 76543葡萄园2竖琴广场望亭湖1651 —2 - 1234 —

平面直角坐标系基础篇

一、填空题 1.已知点O（0，0），B（1，2），点A在坐标轴上，且S =2，则满足条件的点A的坐标为． △OAB 2.已知AB∥x轴，且AB=3，若点A的坐标是（﹣1，2），则B点的坐标是． 3.已知：点A（0，5），B（0，2），在坐标轴上找点C，使△ABC的面积为5，则点C的坐标是 ． 4.在平面直角坐标系中，若点M（﹣2，6）与点N（x，6）之间的距离是3，则x的值是． 5.在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点坐标分别为（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（5，﹣1），则第四个顶点的坐标是． 6.已知A（2，﹣6），B（2，﹣4），那么线段AB= ． 二、解答题 7.已知：点P(2m－6，m－1)．试分别根据下列条件，求出P点的坐标． (1)点P在y轴上； (2)点P在x轴上； (3)点P的纵坐标比横坐标大3；(4)点P到x轴的距离为2． (5)点P在过A(2，－3)点，且与x轴平行的直线上． (6)点P到坐标轴的距离之和为10． 8.在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来： （1）（-5，0），（-4，3），（-3，0），（-2，3），（-1，0），（-5，0）； （2）（2，1），（6，1），（6，3），（7，3），（4，6），（1，3），（2，3），（2，1）． 观察得到的图形，你觉得它们像什么？求出所得到图形的面积． 9.在如图所示的平面直角坐标系中描出下面各点：A（0，3）；B（1，﹣3）；C（3，﹣5）；D（﹣3，﹣5）；E（3，5）；F（5，7）；G（5，0）． （1）将点C向x轴的负方向平移6个单位，它与点重合． （2）连接CE，则直线CE与y轴是什么关系？ （3）顺次连接D、E、G、C、D得到四边形DEGC，求四边形DEGC的面积．

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第六章平面直角坐标系练习题 一、（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30 分 .在每题所给出的四个选项中，只有一项 是符合题意的 . 把所选项前的字母代号填在题后的括号内.相信你一定会选对！） 1.某同学的座位号为（2,4 ），那么该同学的位置是（） （ A）第 2 排第 4 列（B）第4排第2列（C）第2列第4排（D）不好确定2.下列各点中，在第二象限的点是（） （ A）（ 2， 3）（B）（2，－3）（C）（－2，－3）（D）（－2，3） 3.若x轴上的点P到y轴的距离为 3,则点P的坐标为（） （A）（ 3,0 ）（B）（0,3）（C）（3,0）或（－3,0）（D）（0,3）或（ 0,－ 3） 4.M （m 1 ， m 3 ）在 x 轴上，则点 M 坐标为（）． 点 （A）（ 0，－ 4）（ B）（ 4，0）（C）（－ 2，0）（ D）（0，－ 2 ） 点在 x 轴上方， y 轴左侧，距离 x 轴 2 个单位长度，距离 y 轴 3 个单位长度，则点 5. C C 的坐标为（） （ A）（2,3）（B）（2, 3 ）（C）（3,2 ）（D）（3, 2） 6.如果点P（5, y）在第四象限 ,则y的取值范围是（） （ A）y0（B）y0（C）y0（D）y0 7.如图：正方形 ABCD 中点 A 和点 C 的坐标分别为( 2,3)和 Y 4 (3, 2) ，则点B和点D的坐标分别为（） .A 3D 2 1 1 2 3 4X （ A）(2,2)和(3,3)（B）(2, 2) 和 (3,3)-3 -2 -1-1 B-2 -3 C

（ C）( 2, 2)和(3, 3)（D）(2,2)和(3, 3) 8.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（－1,－ 1） ,（－ 1,2） ,（3,－ 1）?, 则第四个顶点的坐标为（） （ A）（ 2,2）（B）（ 3,2）（ C）（ 3,3）（ D）（ 2,3） 9.线段 AB 两端点坐标分别为A（1,4），B（4,1），现将它向左平移 4 个单位长度， 得到线段 A1111 ） B，则 A、 B 的坐标分别为（ （ A）A1（5,0 ），B1（8, 3 ）（ B）A1（3,7）， B1（ 0，5） （ C） A1（5,4 ）B1（－8，1）（D） A1（3,4）B1（0,1） 10.在方格纸上有 A、B 两点，若以 B 点为原点建立直角坐标系，则 A 点坐标为（2，5）， 若以 A 点为原点建立直角坐标系，则 B 点坐标为（）. （A）（－ 2，－ 5）（ B）（－ 2， 5）（ C）（ 2，－ 5）（ D）（ 2，5） 二、细心填一填 : （本大题共有 8 小题，每题 3分，共 24 分．请把结果直接填在题中的 横线上．只要你理解概念，仔细运算，积极思考，相信你一定会填对的！） 11.七年级（ 2）班教室里的座位共有 7 排 8 列，其中小明的座位在第 3排第 7 列，简记 为（ 3 ，7），小华坐在第 5 排第 2列，则小华的座位可记作__________. 12.若点 P（a ,b）在第二象限,则点Q（ ab , a b ）在第_______象限. 13.若点 P 到x轴的距离是 12, 到y轴的距离是 15, 那么 P 点坐标可以是（写出 一个即可） . 14.小华将直角坐标系中的猫的图案向右平移了 3 个单位长度 , 平移前猫眼的坐标为（－4,3 ）, （－ 2,3 ） , 则移动后猫眼的坐标为 _________. 15.已知点 P （x， y ）在第四象限，且|x|=3，| y |=5，则点 P 的坐标是______. 16.如图，中国象棋中的“象”，在图中的坐标为（1， 0）， ?若“象”再走一步，试写 出下一步它可能走到的位置的坐标 ________．

平面直角坐标系难题(难)

第六章平面直角坐标系 一、基础知识 1：有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对（ordered pair）,记作（a,b） 利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。 常见的确定平面上的点位置常用的方法 （1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。 （2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。 2：直线上点的位置：在一条直线上规定了原点，正方向和单位长度，就得到一个数轴，这时，数轴上的点就可以用一个数表示，这个数叫做点的坐标。 3：平面直角坐标系：平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系（rectangular coordinate system）.水平的数轴称为x轴（x-axis）或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴（y-axis）或纵轴，取向上方向为正方向；两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 点的坐标：我们用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标。表示方法为（a,b）.a是点对应横轴上的数值，b是点在纵轴上对应的数值。 建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限和第四象限。 4.由坐标确定点的方法:要确定由坐标（a,b）所表示的点P的位置，先在x轴上找到表示a的点，过这点做x轴的垂线，再在y轴上找到表示b的点，过这点作y轴的垂线，两条垂线的交点为P. 5由点求坐标的方法：先由已知点P分别向x轴和y轴作垂线，设垂足分别为A和B，再求出A在x 轴上的坐标a和B在y轴上的坐标b,则P的坐标为P(a,b). 6关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标：关于x轴对称的点，其横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，其横坐标互为相反数，纵坐标相同；关于原点对称的点，其横坐标，纵坐标均互为相反数。设点P(a,b),它关于x轴对称的点的坐标为（a,-b）,关于y轴对称点的坐标为（-a,b），关于原点对称点的坐标为（-a,-b）.反之亦成立。 7用坐标表示地理位置的过程 （1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； （2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； （3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 8用坐标表示平移的方法 规律：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）（或（x-a ，y ）；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）（或（x ，y-b ）． 二、精典题 一.选择部分 1点P（m，1）在第二象限内，则点Q（-m，0）在（） （A）x轴正半轴上（B）x轴负半轴上（C）y轴正半轴上（D）y轴负半轴上 2.（2008年南昌）若点A(2、n)在x轴上则点B(n-2 ，n+1)在（）

平面直角坐标系教学设计(省一等奖)

课题：7.1.2平面直角坐标系 教学内容：新人教版七年级下册第六章第二节平面直角坐标系 一、设计理念 以教材中提供的素材和实际生活中的一些问题为载体，通过一系列探究互动过程,将静态的教学内容，设计成动态的过程，将传统的教学方法演变成更加生动有趣的数学课堂。引导学生在丰富、有趣的数学活动中，积极思考、充分探究、获取知识、发展能力、培养学生的数学自信和良好思维品质。 二、材的地位和作用分析 1.内容的地位和作用 《平面直角坐标系（一）》是新人教版教科书七年级下册第七章第二节内容。本节课是学生刚刚学习的用有序实数对来表示位置的内容基础上学习的，它不仅强化了平面直角坐标系的意义，而且还用平面直角坐标系来应用于现实生活中，对现实生活很有用的知识，与此同时也是为今后的解析几何做好铺垫，平面直角坐标系是用途很广泛的知识点之一，在学习时要多加注意平面直角坐标系的特点和应用时的方便性。 2.课标要求 通过对平面直角坐标系的学习，加深对坐标系的理解，也是学习空间直角坐标系做前提。作为很有用的平面直角坐标系，它在现实生活中

应用非常广泛，所以要求我们的学生在学习平面直角坐标系时要抓住它的特性去学习，以便在今后的学习中有所应用。 三、教学内容的分析 “平面直角坐标系”是“数轴”的发展，使点与坐标的对应关系顺利实现了从一维到二维的过渡．“平面直角坐标系”的建立使有序数对与平面内的点产生了一一对应，提供了用代数方法来研究几何问题的重要数学工具。 学生已在具体情境中学习了有序数对表示物体的位置．本节课先介绍数轴上点与坐标的一一对应，在此基础上说明建立平面直角坐标系的必要性以及合理性，同时引入相关的概念以及平面内点与坐标一一对应的结论。并进一步学习平面直角坐标系中象限、坐横轴、纵轴、原点、坐标的概念；如何书写坐标、描点；探究总结坐标轴上、象限中点的符号特征。 一般地，在平面内互相垂直且原点重合，分别位于水平位置与铅直位置的两条数轴组成平面直角坐标系，习惯取向右、向上为正方向．建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标．反过来，对于任何一个坐标，可以在坐标平面内确定它所表示的一个点，从而建立坐标平面内点与有序数对的一一对应，体现数形结合的思想。 四、目标及其解析

七年级下册平面直角坐标系练习题

平面直角坐标系 一、选择题:(每小题3分,共12分) 1.如图1所示,点A 的坐标是 ( ) A.(3,2); B.(3,3); C.(3,-3); D.(-3,-3) 2.如图1所示,横坐标和纵坐标都是负数的点是 ( ) 点 点 点 点 3.如图1所示,坐标是(-2,2)的点是 ( ) A.点A B.点B C.点C D.点D 4.若点M 的坐标是(a,b),且a>0,b<0,则点M 在( ) A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限 二、填空题:(每小题3分,共15分) 1.如图2所示,点A 的坐标为_______,点A 关于x 轴的对称点B 的坐标为______, 点B 关于y 轴的对称点C 的坐标为________. 2.在坐标平面内,已知点A(4,-6),那么点A 关于x 轴的对称点A ′的坐标为_____,点A 关于y 轴的对称点A″的坐标为_______. 3.在坐标平面内,已知点A(a,b),那么点A 关于x 轴的对称点A ′的坐标为______,点A 关于y 轴的对称点A″的坐标为_____. 4.点A(-3,2)在第_______象限,点D(-3,-2)在第 _______象限,点C( 3, 2) 在第______象限,点D(-3,-2)在第_______象限,点E(0,2)在______轴上, 点F( 2, 0) 在______轴上. 5.已知点M(a,b),当a>0,b>0时,M 在第_______象限;当a____,b______时,M 在第二象限;当a_____,b_______时,M 在第四象限;当a<0,b<0时,M 在第______象限. 三、基础训练:(共12分) 如果点A 的坐标为(a 2+1,-1-b 2),那么点A 在第几象限?为什么? 四、提高训练:(共15分) 如果点A(t-3s,2t+2s),B(14-2t+s,3t+2s-2)关于x 轴对称,求s,t 的值. 五、探索发现:(共15分) 如图所示,C,D 两点的横坐标分别为2,3,线段CD=1;B,D 两点的横坐标分别为-2,3,线段BD=5;A,B 两点的横坐标分别为-3,-2,线段AB=1. (1)如果x 轴上有两点M(x 1,0),N(x 2,0)(x 1

平面直角坐标系教案全

第三章平面直角坐标系 集体备课：（共7课时） 教材内容 本章内容包括平面直角坐标系及有关概念，点的坐标，用坐标表示地理位置和平移等。 实际生活中常用有序实数对表示位置，由此引出平面直角坐标系，建立点与有序实数对的对应关系，从而把数和形结合起来。用坐标法表示地理位置体现了直角坐标系在实际生活中的应用。用坐标表示地理位置，可以通过建立直角坐标系，绘制出一个区域内地点分布的平面示意图来完成。用坐标表示平移，从数的角度刻画了第五章有关平移的内容，主要研究了两方面的问题，一方面探讨点或图形的平移引起的点或图形顶点坐标的变化规律，另一方面探讨点或图形顶点坐标的有规律变化引起的点或图形的平移。 此外，用极坐标表示一个地点的地理位置，在本章最后的“数学活动”中有所渗透。 教学目标 〔知识与技能〕 1、能利用有序数对来表示点的位置；２会画出平面直角坐标系，能建立适当的直角坐标系描述物体的位置；３、在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。 〔过程与方法〕 1、经历画坐标系、描点，由点找坐标的过程和图形的坐标变化与图形平移之间关系的探索过程，发展学生的形象思维能力与数形结合意识； 2、通过平面直角坐标确定地理位置，提高学生解决问题的能力。 〔情感、态度与价值观〕 明确数学理论来源于实践，反过来又能指导实践，数与形是可以相互转化的，进一步发展学生的辩证唯物主义思想。 重点难点 在平面直角坐标糸中，由已知点的坐标确定这一点的位置，由已知点的位置确定这一点的坐标和平面直角坐标系的应用是重点；建立坐标平面内点与有序实数对之间的一一对应关系和由坐标变化探求图形之间的变化是难点。 课时分配 6.1平面直角坐标系……………………………………… 3课时 6.2 坐标方法的简单应用…………………………………2课时 本章小结……………………………………………………2课时 3.1平面直角坐标系（1） 〔教学目标〕理解有序数对的意义，能利用有序数对表示物体的位置。

平面直角坐标系全章教案

1 2 345 6 7 654 321 纵排 横排 有序数对 【教学目标】 1、理解有序数对的意义。 2、能用有序数对表示实际生活中物体的位置 3、经历用有序数对表示位置的过程，体验数、符号是描述世界的重要手段，体验数形结合思想 【教学重点】利用有序数对准确地表示出一个点的位置 【教学难点】有序数对中有序的理解 教学过程 一、自主学习 问题：如果老师要提问同学（下面为某教室平面图） 1、只给一个数据“第3列”，你能确定回答问题的同学的位置吗？ 2、给两个数据“第3列第2排”，你能确定该同学的位置吗？ 3、你认为在平面中需要几个数据才能确定一个位置？ 二、合作探究 通过找“列数”和“排数”的交叉点，我们就能找个具体的位置。 问题1、（约定“列数”在前，“排数”在后） （1） 请在教室内找到下表用数对表述的位置。 数对 列数 排数 列数 排数 1，3 3，1 4，6 6，4 2，5 5，2 3，6 6，3 （2）观察上面四组数对以及他们所对应的位置，思考：1，3和3，1表示的是不是同一位置？ 归纳：有顺序的两个数a 与b 组成的数对，如果约定了前面的数表示“列数”，后面的数表示“排数”，那么a 与b 组成的数对就表示一个确定的位置。我们把这种有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b ）。像表格中的数对可以记作（1，3）、（5，2）（3，6）。 问题2：利用有序数对可以准确表示一个位置，你能举出生活中用有序数对表示地理位置的例子吗？ 三、巩固训练， 游戏情境：下面我们通过游戏来加强同学们对有序数对的了解。约定“列数”在前，“排数”在后，

B A 请找出与以下有序数对相对用的同学 （1，5)），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（7，3），看看叫什么名字？ 练习1、根据左下图例子（3，2），口答其他圆点的有序数对？ 练习2、如右下图，红马的位置是（2，1），你能表示出红帅、红车、红炮的位置吗？ 练习3、如果将一张“12排10号”的电影票记为（12，10），那么（10，12）的电影票表示的位置是 ，“6排25号”简单记为 练习4、下列数据不能确定物体位置的是（ ） A 、希望路25号 B 、北偏东30° C 、东经118°，北纬40° D 、西南方向50米处 四、课堂小结：本节课主要学习了有序数对 1、什么叫做有序数对？ 2、注意的问题：（1）表示平面内的点的位置可以用有序数对；（2）有序数对用符号表示时，中间用逗号隔开，外边必须加小括号。 平面直角坐标系（1） 【教学目标】 1、掌握平面直角坐标系的有关概念；了解点的坐标的意义 2、根据点的位置写出点的坐标，能建立平面直角坐标系，并根据坐标找点； 3、通过建立平面直角坐标系的过程，进一步渗透数形结合的思想 【教学重点】平面直角坐标系和点的坐标 【教学难点】在平面直角坐标系中根据点的位置写出点的坐标，由坐标描出点 教学过程 一、自主学习 问题:(1)什么是数轴，画出数轴. (2)指出课本图6.1.2中A 、B 点所表示的数是什么?并在数轴上描出“-3 ”表示的点在数轴上的位置.

平面直角坐标系基础知识总结与考题题型

平面直角坐标系基础知识总结与考题题型 一、本章的主要知识点 （一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。 1、记作（a ，b）； 2、注意：a、b的先后顺序对位置的影响。 （二）平面直角坐标系 1、构成坐标系的各种名称； 2、各种特殊点的坐标特点。 （三）坐标方法的简单应用 1、用坐标表示地理位置； 2、用坐标表示平移。 二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点：平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。 三、各象限的角平分线上的点的坐标特点：第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。 四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点：关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数

五、特殊位置点的特殊坐标：坐标轴上点P（x，y）连线平行于坐标轴的点点P（x，y）在各象限的坐标特点象限角平分线上的点X轴Y轴原点平行X轴平行Y轴第一象限第二象限第三象限第四象限第一、三象限第二、四象限(x,0)(0,y)(0,0)纵坐标相同横坐标不同横坐标相同纵坐标不同x＞0y＞0x＜0y＞0x＜0y＜0x＞0y ＜0(m,m)(m,-m)六、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：?建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；?根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；?在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。七、用坐标表示平移：见下图P（x，y）P（x，y－a）P（x－a，y）P（x＋a，y）P（x，y＋a）向上平移a个单位长度向下平移a个单位长度向右平移a个单位长度向左平移a个单位长度 二、经典例题知识 一、坐标系的理解例 1、平面内点的坐标是（） A 一个点 B 一个图形 C 一个数 D 一个有序数对学生自测 1、在平面内要确定一个点的位置，一般需要________个数据；在空间内要确定一个点的位置，一般需要________个数据、 2、在平面直角坐标系内，下列说法错误的是（） A 原点O不在任何象限内 B 原点O的坐标是0 C 原点O既在X轴上也在Y轴上D 原点O在坐标平面内知识