吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测三模理科数学试题(含答案)

吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测（三）

理科数学试题

一?选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分?在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设集合2{|4}A x x =∈≤Z ,B={x|-4

A.{x|-2≤x<2}

B.{x|-4

D --2.已知复数z=(a+i)(1-2i)(a ∈R )的实部为3,其中i 为虚数单位,则复数z 的虚部为

A.-1

B.-i

C.1

D.i

3.已知向量a =(1,-2),b =(3,-3),c =(1,t),若向量a 与向量b c + 共线,则实数t=

A.5

B.-5

C.1

D.-1

4.已知函数()cos 22

x x f x =-的图象为C,为了得到关于原点对称的图象,只要把C 上所有的点A.向左平移3

π个单位 B.向左平移23π个单位C.向右平移3π个单位 D.向右平移

23π个单位5.函数3()x x

x f x e e -=-的图象大致为

6.在52

1()x x +的展开式中,一定含有A.常数项 B.x 项1.C x -项3.D x 项

7.已知直线m,n 和平面,,,αβγ有如下四个命题:

①若m ⊥α,m//β,则α⊥β;

②若m ⊥α,m//n,n ?β,则α⊥β;

③若n ⊥α,n ⊥β,m ⊥α,则m ⊥β;

④若m ⊥α,m ⊥n,则n//α.

其中真命题的个数是

A.1

B.2

C.3

D.4

8.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一,风雨桥由桥?塔?亭组成,其塔俯视图通常是正方形?正六边形和正八边形.右下图是风雨桥中塔的俯视图?该塔共5层,若01122334000.5,8.B B B B B B B B m A B m =====这五层正六边形的周长总和为

A.35m

B.45m

C.210m

D.270m

9.已知圆E 的圆心在y 轴上,且与圆C:2220x y x +-=的公共弦所在直线的方程为0,x -=则圆E 的方程为

22.(2

A x y +-=22.(2

B x y ++=

22

.(3C x y +-=22.(3

D x y ++=10.某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中,列出各个学段每个主题所包含的条目数(如下表),下右图是将统计表的条目数转化为百分比,按各学段绘制的等高条形图,由图表分析得出以下四个结论,其中错误的是

A.除了“综合与实践”外,其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加,尤其“图形与几何”在第三学段增加较多,约是第二学段的3.5倍?

B.所有主题中,三个学段的总和“图形与几何”条目数最多,占50%,综合与实践最少,约占4%

C.第一?二学段“数与代数”条目数最多,第三学段“图形与几何”条目数最多.

D.“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长,而其百分比却一直在减少.“图形与几何”条目数,百分比都随学段的增长而增长.

11.已知数列{}n a 的各项均为正数,其前n 项和n S 满足2*42,()n n n S a a n =+∈N ,设1(1),n n n n b a a +=-?T n 为数

列{}n b 的前n 项和,则20T =

A.110

B.220

C.440

D.880

12.设椭圆的左右焦点为12,,F F 焦距为2c,过点1F 的直线与椭圆C 交于点P,Q,若2||2,PF c =且114||||3

PF QF =

,则椭圆C 的离心率为1

.2A 3

.4B 5

.7C 2

.3

D 二?填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分?

13.一名信息员维护甲?乙两公司的5G 网络,一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护的概率分别为0.4和0.3,则至少有一个公司不需要维护的概率为___.

14.等差数列{}n a 中,11,a =公差d ∈[1,2],且391515,a a a λ++=则实数λ的最大值为___.

15.若12,x x 是函数2()74f x x x lnx =-+的两个极值点,则12x x =__；12()()f x f x +=___.(本题第一空2分,第二空3分)

16.现有一批大小不同的球体原材料,某工厂要加工出一个四棱锥零件,要求零件底面ABCD 为正方形,AB=2,侧面△PAD 为等边三角形,线段BC 的中点为E,若PE=1.则所需球体原材料的最小体积为____.

三?解答题:共70分,解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤?第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答?第22~23题为选考题,考生根据要求作答?

(一)必考题:共60分?

17.(12分)

笔?墨?纸?砚是中国独有的文书工具,即“文房四宝”.笔?墨?纸?砚之名,起源于南北朝时期,其中的“纸”指的是宣纸,宣纸“始于唐代,产于泾县”,而唐代泾县隶属于宣州府管辖,故因地而得名“宣纸”,宣纸按质量等级,可分为正牌

和副牌(优等品和合格品),某公司年产宣纸10000刀(每刀100张),公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级,如下表所示:

x(48,52](44,48]∪(52,56](0,44]∪(56,100]

质量等级正牌副牌废品

公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀(100张)进行检验,得到频率分布直方图如图所示,已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元.

(1)估计该公司生产宣纸的年利润(单位:万元);

(II)该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺,这种机器的使用寿命是一年,只能提高宣纸的质量,不影响产量,这种机器生产的宣纸的质量标准值x的频率,如下表所示:

其中x为改进工艺前质量标准值x的平均值,改进工艺后,每张正牌和副牌宣纸的利润都下降2元,请判断该公司是否应该购买这种机器,并说明理由.

18.(12分)

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4ccosB.

(1)求证:sinBcosC=3sinCcosB;

(II)求B-C的最大值.

19.(12分)

四棱锥P-ABCD中,ABCD为直角梯形,BC//AD,AD⊥DC,BC=CD=1,AD=2,PA=PD,E为PC中点,平面PAD⊥平面ABCD，F为AD上一点,PA//平面BEF.

(1)求证:平面BEF⊥平面PAD;

(II)若PC与底面ABCD所成的角为60°.求二面角E-BF-A的余弦值.

20.(12分)

已知点A(0,1),点B在y轴负半轴上,以AB为边做菱形ABCD,且菱形ABCD对角线的交点在x轴上,设点D 的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程;

(II)过点M(m,0),其中1

21.(12分)

已知函数1()ln ,()0)x f x m x g x x x

-==>.(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上的单调性;

(II)是否存在正实数m,使y=f(x)与y=g(x)的图象有唯一一条公切线,若存在,求出m 的值,若不存在,请说明理由.

(二)选考题:共10分,请考生在22-23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4坐标系与参数方程](10分)

以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为

2212([0,])23sin πρθθ=∈+,直线1

的参数方程为23x y ?=-????=??

(t 为参数).

(1)求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程;(II)设点P 为曲线C 上的动点,点M 和点N 为直线l 上的点,且满足△PMN 为等边三角形,求△PMN 边长的取值范围.

23.[选修4-5不等式选讲](10分)

已知函数()()2, , 3f x m x m g x x =--∈=+R .

(1)当x ∈R 时,有f(x)≤g(x),求实数m 的取值范围;

(II)若不等式f(x)≥0的解集为[1,3],正数a,b 满足ab-2a-b=3m-1,求a+b 的最小值.

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