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空间解析几何例题

第4章向量代数与空间解析几何习题解答

习题4.1

一、计算题与证明题

1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ?+?+?．解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向因此0=?b a ，0=?c b ，0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a

2．已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?．解：3cos ||=?=?θb a b a （1）

4sin ||=?=?θb a b a （2）

()2

22)1(+得()252

=?b a

所以 5=?b a

3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小．解：因为()1,6,3A ,()2,7,1-B 所以()31,2--=

力矩()()k j i k j i F AB M 53232++-?-+-=?=

j i k

j i 41614321

2523253315

32312-+=--+-----=---=

所以，力矩的大小为

()136416142

22=-++=M

4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a

, 求向量x 的坐标．解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a

则325=-+=?z y x x a （1）

又x 与a 共线，则0=?a x 即

()()()0

52525121252

51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k

x j y x i z y z y x k

j i

所以

()()()052522

22=-+++--y x x z z y

即01042026529222=-++++xy xz yz z y x （2）又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π

()

325110cos 2

?++=

-++?++?=

=z y x z y x a

整理得 10

++z y x （3）联立()()()321、、解出向量x 的坐标为??

??-51,21,101 5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．

证明：如图所示，因为平行四边形ABCD 的对角线互相平分，则有

==,

由矢量合成的三角形法则有+=

+=+=+=

所以=

即BA 平行且等于CD

四边形ABCD 是平行四边形

6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--B

AB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得

()()()()()()2222

22321783++-++=

-+-+-z y x z y x

化简得0275

32=-++z y x

这就是线段AB 的中垂面的方程。

7．向量a , b , c 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为

)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标．

解：r c b a ===且它们两两所成的角相等，设为θ 则有1101101=?+?+?=?b a 则21

cos r

b a b a =??=

θ 设向量c 的坐标为()z y x ,,

则11

cos 0112=?

?=?=+=?+?+?=?r

r r b a y x z y x c a ? （1） 11

cos 1102=?

?=?=+=?+?+?=?r

r r c b z y z y x c b ? （2） 2011222222=++==++=r z y x c

所以22

=++z y x （3）

联立（1）、（2）、(3)求出?????===101z y x 或??

???-==-=313431z y x

所以向量c 的坐标为()1,0,1或??

? ??--31,34,31

8．已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ， (1)

求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥BCD A -的体积． (3) 求BCD ?的面积．

(4) 求点A 到平面BCD 的距离．

解：因为()103，，A ，()1,4,2-B ,()3,2,0-C ,()3,0,2--D 所以()0,10,1--=

()2,8,3--= ()4,6,5---=AD

（1）()

,,是以它们为邻边的平行六面体的体积

()176121200010034

283

101=+--++---------=V （2）由立体几何中知道，四面体ABCD （三棱锥BCD A -）的体积

881766161=?==V V T

（3）因为()222，，-=，()444--=，，

k j i k

j i

016164

44222

+--=---=?

()()21616162

2=-+-=，这是平行四边形BCED 的面积

因此S S BCD 21=

?□BCED 282162

=?= (4)设点A 到平面BCD 的距离为H ，由立体几何使得三棱锥BCD A -的体积

H S V BCD T ?=?3

所以221121128388

33==?

?BCD

T S V H 习题4.2

一、计算题与证明题

1．求经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程．解：与xoy 平面垂直的平面平行于y 轴，方程为

0=++D Cz Ax (1)

把点()123，，A 和点()321--，，B 代入上式得

03=++D C A (2)

03=+--D C A (3)

由（2），（3）得2D A -=,2

C =

代入（1）得02

2=++

-D z D

x D 消去D 得所求的平面方程为

02=--z x

2．求到两平面0623:=-+-z y x α和11

52:

=+-+z y x β距离相等的点的轨迹方程．解；设动点为()z y x M ,,，由点到平面的距离公式得

()()

()

102510

10252

13623-++-+-+-=

+-+-+-z y x z y z

所以()101025129

14623+-+-±

=-+-z y x z y x

3．已知原点到平面α的距离为120, 且α在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2-, 求α 的方程．

解：设截距的比例系数为k ，则该平面的截距式方程为

1562=++-k

z k y k x 化成一般式为0306515=-++-k z y x 又因点()0,0,0O 到平面α的距离为120，则有

()

1206

515302

=++--k

求出2864±=k

所以，所求平面方程为028********=±++-z y x

4．若点)1,0,2(-A 在平面α上的投影为)1,5,2(-B , 求平面α的方程．解：依题意，设平面的法矢为()2,5,4-=n 代入平面的点法式方程为

()()()0125524=----+z y x

整理得所求平面方程为035254=+--z y x

5．已知两平面02467:=--+z y mx α与平面0191132:=-+-z my x β相互垂直，求m 的值．

解：两平面的法矢分别为()6,1,1--=m n ，()11,3,22m n -=，由1n ⊥2n ，得

066212=--m m

求出19

66-

=m 6．已知四点)0,0,0(A , )3,5,2(,-B , )2,1,0(-C , )7,0,2(D , 求三棱锥ABC D -中ABC

面上的高．

解：已知四点()()()()7,0,2,2,1,0,3,5,2,0,0,0D C B A --,则

()()()9,1,2,4,5,0,7,0,2--=--=--=DC DB DA

为邻边构成的平行六面体的体积为

()

12450

02,,-------==V ()[]80700090++--++-=

()87090-+-=

28=

由立体几何可知，三棱锥ABC D -的体积为

286161=?==-V V ABC D

设D 到平面ABC 的高为H

则有 ABC ABC D S H V ?-?=3

所以 ABC

ABC

D S V H ?-=3

又()()2,1,0,3,5,2-==

k j i k

j i 2472

10352++=--=?

所以，692124721222=++==

?S ABC 因此，6969286928692

13143==?

=H 7．已知点A 在z 轴上且到平面014724:=+--z y x α的距离为7, 求点A 的坐标．解：A 在z 轴上，故设A 的坐标为()200，，，由点到平面的距离公式，得

()()

77241472

=-+-++-z

所以69147±=+-z 则692±=z

那么A 点的坐标为()

692,0,0±A

8．已知点．A 在z 轴上且到点)1,2,0(-B 与到平面9326:=+-z y x α的距离相等, 求点A 的坐标。

解：A 在z 轴上，故设A 的坐标为()z ,0,0，由两点的距离公式和点到平面的距离公式得()()()2

2693120+-+-=

-+-+z z

化简得022974402

=+-z z

因为()031164229404742

<-=??--

方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。

习题4.3

一计算题与证明题

1．求经过点)0,2,1(-P 且与直线011111-=-=-z y x 和0

11+=-=z y x 都平行的平面的方程．

解：两已知直线的方向矢分别为()()01101121，，，，，-==v v ，平面与直线平行，则平面的法矢()C B A a ，，=与直线垂直

由a ⊥1v ，有00=++B A （1）由a ⊥2v ，有00=--B A （2）联立（1），（2）求得0,0==B A ,只有0≠C 又因为平面经过点()021，，-P ，代入平面一般方程得

()00C 2010=+?+-?+?D

所以0=D

故所求平面方程0=Cz ，即0=z ，也就是xoy 平面。

2．求通过点P(1，0，-2)，而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线1

2341z

y x =--=-相交的直线的方程．

解：设所求直线的方向矢为()p n m v ，，=，直线与平面0123=-+z x 平行，则v ⊥n ，有

023=+-p n m （1）

直线与直线

2341z

y x =--=-相交，即共面则有02

00311124

=+---p

n m

所以01287=+--n m （2）由（1），（2）得

37123212821---=

-=--p

n m ，即31504-=-=p n m 取4=m ，50-=n ，31-=p ，得求作的直线方程为

312

5041-+=-=-z y x 3．求通过点)0,0,0(A )与直线1

1423-=+=-z y x 的平面的方程．解：设通过点)0,0,0(A 的平面方程为0)0()0()0(=-+-+-z C y B x A 即 0=++Cz By Ax (1)

又直线

1423-=+=-z y x 在平面上，则直线的方向矢v 与平面法矢n 垂直所以 02=++C B A (2)

直线上的点()4,4,3-也在该平面上，则

0443=+-C B A （3）

由（1），（2），（3）得知，将C B A ,,作为未知数，有非零解的充要条件为

43112x =-z

即01158=--z y x ，这就是求作的平面方程。

4．求点)0,1,1(-P 到直线

112+=-=-z y x 的距离．解：点()1,0,2-A 在直线上，直线的方向矢()0,1,1-=v

()1,1,1--=,则与v 的夹角为

()

()()

0111110

11cos 2

=-+?+-+-++-=

所以0

90=θ

因此点()0,1,1-P 到直线的距离为()()31112

22=+-+-==AP d

5．λ取何值时直线??

?=--+=-+-0

1540

623z y x z y x λ与z 轴相交?

解：直线?

??=--+=-+-01540

623z y x z y x λ与z 轴相交，则有交点坐标为()z ，，00，

由直线方程得??

?=--=-0

150

62z z λ，求得5-=λ

6．平面01=+++z y x 上的直线l 通过直线1l ：?

??=++=+010

2z y z x 与此平面的交点且与 1l 垂

直, 求l 的方程．

解：依题意，l 与1l 的交点在平面上，设通过交点的平面方程为

()()0211=++++++++z x z y z y x μλ

即()()()012111=++++++++λμλλμz y x （1）已知直线1l ??

?=++=+0

2z y z x 的一组方向数为

0010

1121

120p n m =

所以

12p n m =-=- 由直线与平面垂直得1

211121-++=+=+μ

λλμ

所以???++=--+=+μλμλμ4221221得???

????-=-=313

2μλ

将32-

=λ，31-=μ代入（1）得03

313132=+-+z y x 化简得012=+-+z y x

故所求直线方程为?

??=+-+=+++0120

1z y x z y x

7．求过点)25,3(-且与两平面34=-z x 和13=+-z y x 平行直线方程．

解：与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行，则直线的方向矢垂直于这两平面法矢

所确定的平面，即直线的方向矢为

k j i k

j i n n v ---=--=?=1341

1340121

将已知点代入直线的标准方程得

13243-=-=+z y x 8．一平面经过直线（即直线在平面上）l ：4

1235z

y x =-=+，且垂直于平面015=+-+z y x ，求该平面的方程．

解：设求作的平面为0=+++D Cz By Ax (1) 直线

1235z

y x =-=+在该平面上，则有点()0,2,5-在平面上，且直线的方向矢()4,1,3=v 与平面的法矢()C B A n ,,=垂直

所以025=++-D B A (2) 043=++C B A (3) 又平面与已知平面011=+-+z y x 垂直，则它们的法矢垂直所以0=-+C B A (4)

联立(2),(3),(4)得???

???-=-==D C D B D A 342347395

代入（1）式消去D 并化简得求作的平面方程为

039225=+--z y x

习题4.4

一计算题与证明题

1．一动点P 到定点)0,0,4(-A 的距离是它到)0,0,2(B 的距离的两倍, 求该动点的轨迹方程．解：设动点P 的坐标为()z y x P ,,，依题意，得

()()2222

2212

4z y x z y x ++-=+++

化简得082

=-++x z y x

2．已知椭圆抛物面的顶点在原点，xOy 面和xOz 面是它的两个对称面，且过点(6，1，2)与

? ??--1311，，, 求该椭圆抛物面的方程．解：顶点在原点，xoy 面和xoz 面是它的对称面的椭圆抛物线方程为

px b z a 2y 2

22=+ 代入已知点()216，，，??

? ??-131

1，，得

??????

?=+=+p b a

p b a 21911241222

2 联立求出??

??=

=22

23656a b a b

代入（1）式得2

222236106a

a z a y =+ 化简得求作的椭圆抛面方程为

x 5z 2y 1822=+

3．求顶点为)0,0,0(O ，轴与平面x+y+z=0垂直，且经过点)1,2,3()的圆锥面的方程．解：设轨迹上任一点的坐标为()z y x P ，，，依题意，该圆锥面的轴线与平面0=++z y x 垂

直，则轴线的方向矢为()111，，=v ，又点()0,0,0O 与点()1,23，在锥面上过这两点的线的方向矢为

()1,2,31=l ，点)0,0,0(O 与点()z y x P ，，的方向矢为()z y x l ,,2=，则有1l 与v

的夹角和2l 与v 的夹角相等，即

111231112131

111111++?++?+?+?=

++?++?+?+?z y x y x

化简得所求的圆锥面方程为

01414111111222=--++yz xy z y x

4．已知平面α过z 轴, 且与球面04110862

=++--++z y x z y x 相交得到一个半径为2的圆, 求该平面的方程．

解：过z 轴的平面为0=+By Ax （1）球面方程化为()()()[]95432

=--+-+-z y x

表示球心坐标为()5,4,3-'O 到截面圆的圆心的距离为

52322=-=d ,如题三.4图所示

由点到平面的距离公式为

5432

=++B

A B A

化简得0112442

=++B BA A 解

关

于

的

一

元二

次

方

程

地

()4

2114424242

2???-±

B B B A

求出B A B A 2

,2121-=-

= 分别代入(1)式得02

,021=+-=+-By Bx By Bx

消去B 得所求平面方程为y x 2=或y x 11

3= 5．求以轴为母线z , 直线??

?==1

y x 为中心轴的圆柱面的方程．解:

如习题三

.5所示,圆柱面在xoy 平面上投影的圆心坐标为

()1,1,半径为2,所以求作的圆柱面方程为()()2112

=-+-y x

6．求以轴为母线z , 经过点)7,3,6()2,2,4(,-B A 以及的圆柱面的方程解:设以z 轴为母线的柱面方程为()()22

a b y a x =-+- (1)

因为点)2,2,4(,A ,)7,3,6(-B 在柱面上,则有

()()22224R b a =-+- (2) ()()22236R b a =--+- (3)

则 ()()22

00R b a =-+- (4)

联立(2),(3),(4)求出825=

a ,45-=

b ,64

2252=R 代入(1)式得所求的柱面方程为

64225458252

2=?

?? ??++??? ?

-y x 7．根据k 的不同取值, 说明1)1()4()9(2

=-+-+-z k y k x k 表示的各是什么图形．解:方程()()()114922

=-+-+-z k y k x k (1)

①9>k 时,(1)式不成立,不表示任何图形;

②94<

2222=--c z b y a x ,表示双叶双曲线;

③41<

2222=-+c z b y a x ,表示单叶双曲线;

④1

2222=++c

z b y a x ,表示椭球面;

⑤1=k 时,(1)式变为122

22=+b y a x ,表示母线平行于z 轴的椭圆柱面;

⑥4=k 时,(1)式变为122

22=-b z a x ,表示双曲柱面;

⑦9=k 时,(1)式变为122

22=--c

z b y ,不表示任何图形;

8．已知椭球面12

=++Z z Y y X x 经过椭圆??

???==+.

0,11692

2z y x 与点)23,2,1(A , 试确定Z Y X ,,的值．

解:因为椭球面12

=++z z y y x x 经过椭圆??

???==+

116

2z y a x 与点)23,2,1(A ,则有 ()

????

???=++=++

)2(12321)1(116922

22z y x

z z y x 所以16,9==y x 代入(2)得36=z

即??

??===36169

z y x

复习题四

一、计算与证明题

1．已知2||=a , 7||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ?+?+?．解: 2||=a , 7||=b , 5||=c , 且0=++c b a 则反向均与、同向，与b c a c a . 所以0=?+?+?a c c b b a

0000cos 25180cos 57180cos 72?+?+?= 103514+--= 39-=

2．设力k j i F 23-+-=作用在原点点, 求力F 对点)1,0,2(-B 的力矩的大小．解:原点坐标()0,0,0O ,则()k j i ++-=-=221,2,2

k j i xF 23-+-=，F 对B 的力矩为

k j i k

j i F OB M 6532

31102---=---=?=

力矩的大小为()()()706532

22=-+-+-=

3．已知点)4,1,0(A , )0,3,2(-B 求线段AB 的中垂面的方程．

解：已知点)4,1,0(A , )0,3,2(-B ，设AB 的中垂面上任一点的坐标为()z y x M ,,，由两点间的距离公式得

()()()()()()2

222

22012410-+-++=

-+-+-z y x z y x

化简得012=-+-z y x

4．已知平面α与三个坐标轴的交点分别为C B A ,,且ABC O -的体积为80, 又α在三个坐标轴上的截距之比为3:5:4--, 求α的方程．

解：设α在三个坐标轴上的截距之比为()()k c b a =--=3:5:4::，则平面α与三个坐标轴的交点为()()()k C k B k A 3,0,0,0,5,0,0,0,4-

803546

0=???==

-k k k V ABC 所以，2,83

==k k

因此，63,105,84-=-=-=-===k c k b k a 平面α的方程为

108=-+-+z

y x 5．已知两平面0112:=+-+-x my x α与平面1:=--z y mx β相互垂直, ,求m 的值．解：平面0112:=+-+-z my x α， ()1,,21--=m n 平面1:=--z y mx β， ()1,1,2--=m n

α与β垂直，则1n ⊥2n ，所以021=?n n

即012=---m m 所以3

m 6．λ取何值时直线??

?=+++=-+-0

1320

12z y x z y x λ与x 轴相交?

解：直线??

?=+++=-+-0

1320

12z y x z y x λ与x 轴相交，则交点坐标为()0,0,x ，代入直线方程为

01=-x （1） 01=+x λ （2）

（1）+（2）得()01=+x λ，而原点()0,0,0O 不在直线上，故0≠x ，所以1,01-==+λλ 7．设圆柱面α过直线??

?==6

0:1y x l , 210

0082-==+z y x l 以及z 轴, 求α的方程．

解：直线???==0

:1y x l 是yoz 平面与6=y 的

平面的交线，在yoz 平面上，与z 轴的距离为6且平行与z 轴

直线2

0082

-==+z y x l ，过点()0,0,8-，方向矢为()2,0,0=v 也平行于z 轴，所

以该圆柱面的母线平行于z 轴，且准线在xoy 平面内，点()()()0,0,8,0,6,0,0,0,0-均在该准线上，所以准线的圆心坐标为()0,3,4-，半径为

()5342

2=+-

故圆柱面α的方程为()0,6,0

()()253422=-++y x

8．已知球面面α的方程为04110862

=-+--++z y x z y x , 求α的与z 轴垂直相交的直径所在直线的方程．

解：求面α的方程为041108622

=-+--++z y x z y x 化为()()()0915432

=-++-+-z y x

所以球心坐标为()5,4,3-'O

所求直径与z 轴垂直，则垂足坐标为()3,0,0-A ，则该直径所在直线的方向矢为

()()0,4,3)5(5,04,03=-----=v ，把点()3,0,0-A 与v 代入直线的准线方程得所求直线方程

为

43+==z y x

空间解析几何考题

《空间解析几何》试卷A 班级：姓名：学号：分数：我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。试卷共 5 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。一．选择题（每小题3分，共10分） 1. 平面的法式方程是（）. Ａ. 0=+++D Cz By Ax Ｂ. 1=++r z q y p x Ｃ. ()0,1cos cos cos 0cos cos cos 2 2 2 >=++=-++p p z y x γβαγβα其中Ｄ. ()0,1cos cos cos 0 cos cos cos 2 22>=++=+++p p z y x γβαγβα其中 2. 两向量 21,n n 互相垂直的充要条件是（）. Ａ. 021=?n n Ｂ. 021=?n n Ｃ. 21n n λ=. Ｄ. 以上都不对 3. 平面 0:11111=+++D z C y B x A π 与平面 0:22222=+++D z C y B x A π 互相垂直的充要条件是（）. Ａ. 2 12 12 1C C B B A A == Ｂ. 0212121=++C C B B A A Ｃ. 021212121=+++D D C C B B A A Ｄ. 以上都不对. 4. 1 11 11 11: n z z m y y l x x l -= -= -与2 22 22 22: n z z m y y l x x l -= -= -是异面直线，则必有（）. Ａ.0212121=++n n m m l l Ｂ. 0212121≠++n n m m l l Ｃ. 021212122 2 1 11 =---z z y y x x n m l n m l Ｄ. 02 1212122 2 1 11 ≠---z z y y x x n m l n m l . 5. 若向量γβα ,,线性无关，则在该向量组中必有（）Ａ. 每个向量都可以用其它向量表示。Ｂ. 有某个向量可以用其它向量表示。

空间解析几何(练习题参考答案)

1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3．在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ → -AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ．设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4．过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线 1422 =+z y 绕z 轴

§ 7 空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章空间解析几何与向量代数 A 一、 1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及；及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.

3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 __ _____________，曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中2 x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、

空间解析几何试题

空间解析几何试卷一、填空题（本大题共计30分，每空3分。请把正确答案填在横线上） 1. 设向量{}{}1,1,2,0,1,1=--=→→b a ，则→→b a 在上的射影是_____________,→ a 是_______________. 2. 设向量{}3,5,4-=→a ,向量225共线，反向且模为与→→a b ,那么向量→ b 的坐标是 ________________. 3. 已知向量{}{}3,2,,1,1,1x b a ==→→, 如果→ →b a ,垂直, 那么x =_________. 4. 已知向量{}{},0,3,2,1,0,1=-=→→b a {}2,1,0=→c ，则由这3个向量张成的平行六面体的体积是_________. 5. 直线z y x -=-+=-3212与直线2 112-+=-=z y x 间的距离是_____________. 6. 若直线1 23z y a x ==- 与平面x-2y+bz=0平行，则a,b 的值分别是______________. 7. 经过直线???=-+-=-+0 201z y x y x 且与直线z y x 2==平行的平面的方程是_________________. 8. 空间曲线? ??+==-+1022x z z y x 在y x 0坐标面上的射影曲线和射影柱面的

方程分别是_____________________________. 9. 顶点在原点、准线为抛物线???==1 22z x y 的锥面方程是 ________________(请用x y x ,,的一个方程表示). 10.曲线?????==-0 19422y z x 绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__________________,此曲面表示______________曲面. 二、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若=?-+=+-=→ →→→→→→→→→b a k j i b k j i a 则,23,532( ) A. 7 B. -7 C. -1 D. 0 2. 已知→→b a ,不共线, 与→→b a ,同时垂直的单位向量是( ) A. →→?b a B. →→?a b C. ||→→→ →??±b a b a D. ||→→→→??b a b a 3. 在空间右手直角坐标系下，点P(-1,2,-3)在第( )卦限. A. II B. III C. V D. VI 4. 若两个非零向量→→b a ,满足|→→+b a |=|→→-b a |，则一定有( ) A. →→⊥b a B. →→b a // C. →→b a 与同向 D. → →b a 与反向 5. 点M(1,-3,-2)关于y 轴的对称点N 的坐标是( )

第六章-空间解析几何要求与练习(含答案)

第六章要求与练习一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求（1）AB 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量；（2）AB 的模；（3）AB 的方向余弦；（4）AB 方向上的单位向量. 解：（1）()3,8,2AB =-，AB 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的分向量2k ；（2）AB = ；（3）AB ；（4）AB 382) i j k -++. 2、设向量a 和b 夹角为60o ，且||5a =，||8b =，求||a b +，||a b -. 解：()2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b += +=++= ( ) 2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b -= -=+-=7. 3、已知向量{2,2,1}a =，{8,4,1}b =-，求（1）平行于向量a 的单位向量；（2）向量b 的方向余弦. 解（1）2223a = +=平行于向量a 的单位向量221 {,,}333±；（2）2849b =+=，向量b 的方向余弦为：841,,999 -. 4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求（1）垂直于a 和b 的单位向量；（2）向量a 在b 上的投影；

空间解析几何答案word

第八章空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题（1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21= M M ，方向余弦为2 2 cos = α，22cos = β，0cos =γ，方向角为4πα=，4π β=， 2 πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ，即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量. 解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=，所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为 9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为 k k a z 7-=. 6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.

空间解析几何练习题

习题一空间解析几何一、填空题 1、过两点(3,-2)和点(-1,0)的直线的参数方程为。 2、直线2100x y --=方向向量为。 3、直角坐标系XY 下点在极坐标系中表示为。 4、平行与()6,3,6a =-的单位向量为。 5、过点(3,-2,1)和点(-1,0,2)的直线方程为。 6、过点(2,3)与直线2100x y +-=垂直的直线方程为。 7、向量(3,-2)和向量(1,-5)的夹角为。 8、直角坐标系XY 下区域01y x ≤≤≤≤在极坐标系中表示为。 9、设 (1,2,3),(5,2,1)=-=-a b , 则(3)?a b = 。 10、点(1,2,1)到平面2100x y z -+-=的距离为。二、解答题 1、求过点(3,1,1)且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程。 2、求过点(4,2,3) 且平行与直线 31215 x y z --==的直线方程。 3、求过点(2,0,-3) 且与直线247035210x y z x y z -+-=??+-+=? 垂直的平面方程。 4、一动点与两定点(2,3,2)和(4,5,6)等距离, 求这动点的方程。

5、求222,01z x y z =+≤≤在XOZ 平面上的投影域。 6、求222 19416 x y z ++=在XOY 平面上的投影域。 7、求2z z =≤≤在XOZ 平面上的投影域。 8、求曲线222251x y z x z ?++=?+=? 在XOY 平面上的投影曲线。 9、求曲线 22249361x y z x z ?++=?-=? 在XOY 平面上的投影曲线。 10、求由曲面22z x y =+与曲面2222x y z ++=所围成的区域在柱面坐标系下的表示。

第七章_空间解析几何与向量代数复习题(答案)

第八章空间解析几何与向量代数答案一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ） A （-1,1,5）. B （-1,-1,5）. C （1,-1,5）. D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 213+= -=z y x 的距离是：（ A ） A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ?是：（ D ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ） A 2 B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ） A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01=-+y x ． 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）； A -+a b =a b ； B =a b ； C 0?a b =； D ?a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=-

向量代数与空间解析几何复习题

第七章向量代数与空间解析几何（一）空间直角坐标系、向量及其线性运算一、判断题 1．点（-1，-2，-3）是在第八卦限。（） 2．任何向量都有确定的方向。（） 3．任二向量b a , =.则=同向。 ( ) 4．若二向量, + ,则,同向。（） 5．若+=+,则= ( ) 6．向量, ,同向。（） 7．若={ z y x a a a ,,}，则平行于向量的单位向量为| |a x | |a a | |a z 。（） 8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。 ( ）二、填空题 1．点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是 2．点（4，3，-5）在坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3．点（5，-3，2）关于的对称点是M （5，-3，-2）。 4．设向量与有共同的始点，则与,共面且平分与的夹角的向量为 5．已知向量与方向相反，且|2|a b =，则由表示为= 。 6．，与轴l 的夹角为 6 π，则a l prj = 7．已知平行四边形ABCD 的两个顶点A （2，-3，-5）、B （-1，3，2）。以及它的对角线交点E （4，-1，7），则顶点C 的坐标为，则顶点D 的坐标为。 8．设向量与坐标轴正向的夹角为α、β、γ，且已知α =ο 60，β=ο 120。则γ= 9．设的方向角为α、β、γ，满足cos α=1时，垂直于坐标面。三、选择题 1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为（A ）2225)3(4+-+ （B ） 225)3(+- （C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 已知梯形 OABC 、 21AB 2 1 -b a 21-a b -21a b 21-b a ,⊥b

第七章向量代数与空间解析几何复习题

第七章向量代数与空间解析几何（一）空间直角坐标系、向量及其线性运算一、判断题 1．点（ -1， -2， -3）是在第八卦限。（）2．任何向量都有确定的方向。（） 3．任二向量a,b，若a b .则 a = b 同向。() 4．若二向量a,b满足关系a b = a + b ,则 a,b 同向。（）5．若a b a c, 则b c() 6．向量a, b满足a = b ，则a, b同向。（）a b 7．若a ={ a x,a y, a z } ，则平行于向量 a 的单位向量为{a x，a y ， a z }。（） | a || a || a | 8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。(）二、填空题 1．点（ 2， 1， -3）关于坐标原点对称的点是 2．点（ 4， 3， -5）在坐标面上的投影点是 M （0， 3， -5） 3．点（ 5， -3， 2）关于的对称点是 M（ 5， -3， -2）。 4．设向量 a 与 b 有共同的始点，则与a, b 共面且平分 a 与 b 的夹角的向量为 5．已知向量 a 与 b 方向相反，且 | b | 2 | a | ，则 b 由 a 表示为 b =。 6．设 a =4， a 与轴l的夹角为，则 prj l a= 6 7．已知平行四边形ABCD 的两个顶点 A （2， -3，-5）、 B（ -1， 3， 2）。以及它的对角线交点 E（ 4，-1，7），则顶点 C 的坐标为，则顶点 D 的坐标为。8．设向量 a 与坐标轴正向的夹角为、、，且已知=60，=120。则= 9．设 a 的方向角为、、，满足 cos=1时， a 垂直于坐标面。三、选择题 1．点（ 4，-3， 5）到oy轴的距离为（A）42( 3)252（ B）( 3)252 （C）42( 3)2（D）4252 2．已知梯形 OABC 、CB // OA且CB =1 OA 设 OA = a ， OC = b ，则 AB 2 =

空间解析几何习题答案解析(20210120005111)

WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1．已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0．计算 a b b c c a ．解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向，且 a b 与 c 反向因此 a b 0 ， b c 0 ， c a 0 所以 a b b c c a 0 2．已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|．解： |a b| a b cos 3 （1） |a b| a bsin 4 （ 2）（1）2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4．已知向量 x 与 a （,1,5, 2）共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标．解：设 x 的坐标为 x,y,z ，又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线，则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 （2）又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得

WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5

6．已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程．解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M x,y,z ，则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7．向量 a , b , c 具有相同的模 , 且两两所成的角相等 , 若 a , b 的坐标分别为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标．解： abc r 且它们两两所成的角相等，设为则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8．已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3)， (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥 A BCD 的体积． x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)

空间解析几何例题

第4章向量代数与空间解析几何习题解答习题4.1 一、计算题与证明题 1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ?+?+?．解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向因此0=?b a ，0=?c b ，0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2．已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?．解：3cos ||=?=?θb a b a （1） 4sin ||=?=?θb a b a （2） ()2 22)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小．解：因为()1,6,3A ,()2,7,1-B 所以()31,2--=AB 力矩()()k j i k j i F AB M 53232++-?-+-=?= k j i k j i k j i 41614321 2523253315 32312-+=--+-----=---= 所以，力矩的大小为 ()136416142 22=-++=M 4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a , 求向量x 的坐标．解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a （1）

又x 与a 共线，则0=?a x 即 ()()()0 52525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以 ()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即010********* 2 2 =-++++xy xz yz z y x （2）又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π () 30 3 25110cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?++= -++?++?= =z y x z y x a x 整理得 10 3 2 2 2 = ++z y x （3）联立()()()321、、解出向量x 的坐标为?? ? ??-51,21,101 5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．证明：如图所示，因为平行四边形ABCD 的对角线互相平分，则有 MA CN ND BM ==, 由矢量合成的三角形法则有MA BM BA += MA BM BM MA MD CM CD +=+=+= 所以CD BA = 即BA 平行且等于CD 四边形ABCD 是平行四边形 6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--B AB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得 ()()()()()()2222 22321783++-++= -+-+-z y x z y x 化简得027532=-++z y x

空间解析几何习题答案解析

一、计算题与证明题 1.已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a . 计算a c c b b a ?+?+?. 解:因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向,且b a +与c 反向因此0=?b a ,0=?c b ,0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2.已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?. 解:3cos ||=?=?θb a b a (1) 4sin ||=?=?θb a b a (2) ()222)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 4.已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a ρ ρ, 求向量x 的坐标. 解:设x 的坐标为()z y x ,,,又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a (1) 又x 与a 共线,则0=?a x 即 ()()()0 52525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即01042026529222=-++++xy xz yz z y x (2) 又x 与a 共线,x 与a 夹角为0或π ()30325110cos 22222 2222?++=-++?++?==z y x z y x a x 整理得 10 3222=++z y x (3) 联立()()()321、、解出向量x 的坐标为??? ??-51,21,101

向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册

第七章空间解析几何一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141: 1+= +=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=

C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程22 222x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ] A. 3 B.3 1- C. -1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. 222()a b a b =? B. 222()a b a b ?=? C. 22()()a b a b ?=? D. 2222()()a b a b a b ?+?= 11．直线1l 的方程为0 3130290 x y z x y z ++=?? --=?，直线2l 的方程为

向量与空间解析几何练习题

题型 1.向量的线性运算（三角形法则、平行四边形法则）；向量的坐标运算 2.向量的平行、垂直以及它们之间的夹角、向量的投影 3.向量的数量积（点积）；向量的向量积（叉积）4．直线方程、平面方程 5.曲线方程、曲面方程内容一．向量的概念及其运算 1.向量的概念 6.数乘向量 2.向量的模7.向量的数量积 3.单位向量8.向量的向量积 4.方向角9.向量的混合积 5.向量的加减运算10.向量之间的关系二．平面与直线 1.平面方程 2.直线方程 3.平面束 4.两平面的位置关系

5.平面与直线的位置关系 6.两直线的位置关系 7.点到平面的距离三．曲面方程 1.球面方程 2.柱面方程 3.旋转方程 4.锥面 5.其他二次曲面四．空间曲线方程 1.空间曲线的一般方程（面交式） 2.空间曲线的参数方程 3.空间曲线在平面上的投影方程典型例题向量I 向量的概念与运算向量II 平面与直线方程向量III 曲面与空间曲线方程自测题七综合题与方法相结合

4月6日向量练习题基础题： 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ; A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 4. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（） A ）5焦耳 B ）10焦耳 C ）3焦耳 D ）9焦耳 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（） A ） 2π B ）4π C ）3 π D ）π 6. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ?是：（） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k 7. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（） A ）362 B ）3 64 C ）32 D ）3 8.点P(-3,2,-1)关于平面XOY 的对称点是_______，关于平面YOZ 的对称点是_________，关于平面ZOX 的对称点是__________，关于X 轴的对称点是__________，关于Y 轴的对称点是____________，关于Z 轴的对称点是____________。 9.设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ 10. 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 11.设向量的模是4，它与轴的夹角是3 π，则它在轴上的投影为_________。 12.已知A(4，0，5)，B （7，1，3），则=→-0AB ____ _____。 13.已知5,3==b a ，问________=λ时，b a λ+与b a λ-相互垂直。 14.已知7,3,2=-==b a b a ，则.________ ),(=∧b a 15．已知a 与b 垂直，且,12,5==b a 则._____________,=-=+b a b a 16．向量c b a ,,两两垂直，且3,2,1===c b a ，则c b a s ++=的长度为______.

空间解析几何及向量代数测试题及答案

军教院第八章空间解析几何测试题一、填空题（共7题，2分/空，共20分） 1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是___1 6___. 2.已知向量(1,1,1)a → =,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→ →→??c b a )(=__(-2,-1,0)____. 3.点)1,0,1(到直线???=-=03z x y x 的距离是 4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是___________. 5.曲线C:220 1 x y z z x ?+-=?=+?对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____, 对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________. 6.曲线C:220 x y z ?=?=?绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线 C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________. 7.椭球面125 492 22=++z y x 的体积是_____40π____________. 二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分） 1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里 ,,a b c 是3个非零实数. 解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-， 13(0,,)M M b c =-

高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案

空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5’x9=45分 1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________，方向余弦_________________和方向角_________________ 3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 5、方程22x y z +=表示______________曲面. 6、222x y z +=表示______________曲面. 7、在空间解析几何中2x y =表示______________图形. 二计算题 11’x5=55分 1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 3、求过点(1,2,3)且平行于直线51 132-=-=z y x 的直线方程. 4、求过点(2,0,-3)且与直线???=+-+=-+-012530 742z y x z y x 垂直的平面方 5、已知：k i 3+=，k j 3+=，求OAB ?的面积。

参考答案一填空题 1、?????? -±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22 cos ,21 cos ==-=γβα,3 ,43,32π γπ βπ α=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x 4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面 5、旋转抛物面 6、圆锥面 7、抛物柱面二计算题 1、04573=-+-z y x 2、029=--z y 3、53 1221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x 5 219 ==?S

空间解析几何(练习题参考答案)

1. 过点Ｍo （１,1-，１)且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程. 3９．02=+-z y 3．在平面02=--z y x 上找一点p ,使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等. 7.)5 1,1,57(. ５.已知：→ →-AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= ( ）Ａ.4 B ．1 C. 2 1 D ．2 ７.设平面方程为0=-y x ,则其位置( ）Ａ．平行于x 轴 B.平行于y 轴Ｃ．平行于z 轴Ｄ.过z 轴. 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系( ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D.重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系( ) Ａ.平行Ｂ.垂直 C ．斜交 D.直线在平面内 1０．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ) Ａ.5 B ． 6 1 C. 51 D.8 1 5.Ｄ 7．D ８.B 9．A 10．A. 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ．设 ++=2, 22+-=, 243+-=，则 )(prj c += . 4．过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 1０．曲面方程为:442 2 2 =++z y x ,它是由曲线___＿____绕____＿_______＿旋转而成的.

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空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5 ’x9=45 分 1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________. 2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________ 3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面. 5、方程x2 y2 z 表示______________曲面. 6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 . 7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 . 二计算题11 ’x5=55 分 1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线x y 3 z 1 的直线方程 . 2 1 5 4、求过点 (2,0,-3) x 2 y 4z 7 0 且与直线 5 y 2z 1 垂直的平面方3x 0 5、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。 1

参考答案一填空题 1、 6 , 7 , 6 11 11 11 2、 M 1 M 2 =2, cos 1 ,cos 2 ,cos 1 , 2 , 3 , 2 2 2 3 4 3 3、 ( x 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 2 14 4、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为 6 的球面 5、旋转抛物面 6、圆锥面 7、抛物柱面二计算题 1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、 x 1 y 2 z 3 4 、 16x 14y 11z 65 0 2 1 5 5 S 1 OA OB 19 2 2 2

空间解析几何例题

空间解析几何考题

空间解析几何(练习题参考答案)

§ 7 空间解析几何与向量代数习题与答案

空间解析几何试题

第六章-空间解析几何要求与练习(含答案)

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第七章_空间解析几何与向量代数复习题(答案)

向量代数与空间解析几何复习题

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