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晋江市养正中学周练

晋江养正中学2012-2013高三年周练2013.4理科数学

(命卷:郑明铿 审卷:高三备课组 考试时间:120分钟;满分:150分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是满足题目要求的.

1.已知集合{|12},{|03},A x x B x x A B =-<<=<< 则=( ) A .{|02}x x << B .{|12}x x -<<

C .{|02}x x <<

D .{|13}x x -<<

2.复数22i z i

-=+在复平面内对应的点所在象限为( )

A .第一象限

B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

3.对于定义在R 上的奇函数(),(3)(),(1)(2)(3)f x f x f x f f f +=++=满足则( ) A .0

B .—1

C .3

D .2

4.已知向量2

(4,1),(,2),"4"a x b x x =+==则是"a//b"的( )

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

5.把函数()cos(2)2

f x x π=-的图象向左平移6

π

个单位,可得到函数()g x 的图象,则函

数()g x 的解析式为( ) A .()cos(2)6g x x π

=+ B .()cos(2)3

g x x π

=+

C .()sin(2)6

g x x π

=+

D .()sin(2)3

g x x π

=+

6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A B

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C .2

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D .7.椭圆222

2

1x y a

b

+

=的左右焦点分别为F 1,F 2,过点F 1的直线交椭圆于A 、B 两点,若△ABF 2

的周长为20,离心率为

35

,则椭圆方程为( )

A .

2

2

125

9

x

y

+

= B .

2

2

125

16

x

y

+

=

C .

2

2

19

25

x

y

+

= D .

2

2

116

25

x

y

+

=

8.已知函数()()()()f x x a x b a b =-->其中的图象如图所示,则函数()x g x a b =+的

大致图象是( )

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9.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AA 1=1,则异面直线A 1C 1和AB 1所成角的余弦值为( )

A

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2

B

6

C

5

D .

12

10.设P (x ,y )为函数21y x =

-(x >图象上一动点,记35371

2

x y x y m x y +-+-=

+

--,则当

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m 最小时,点 P 的坐标为( ).

答案:. A .(1,3)

B .(2,3)

C .(2,2)

D .(2,1)

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡的相应位置。 11.双曲线

2

2

14

x

y -=的渐近线方程为 。

12.已知函数22

log ,0,

()()32,0,x x f x f a x >?==?-≤?

若,则a= 。 13.已知4tan 3

x =-

,

的值为 。

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14.在△ABC 中,若A=30°,b=2,且2

20AB BC AB ?+= ,

则△ABC 的面积为 .

A .

B .1

C .

D .2

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15.已知[)x 表示大于x 的最小整数,例如[3)4,[1,2) 1.=-=- 下列命题中真命题为 。(写出所有真命题的序号) ①函数()[)f x x x =-的值域是(0,1]; ②若{}n a 为等差数列,则[)n a 也是等差数列; ③若{}n a 为等比数列,则[)n a 也是等比数列;

④若1(1,4),[)2

x x x ∈-=

则方程有3个根。

三解答题:请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本题满分13分) 如图,大风车的半径为50 m,点O 距地面的高度为60 m, 大风车做匀速转动,每3 min 转一圈,

大风车上点P 的起始位置在最低点处.

(1)试确定在时刻t (min)时点P 距离地面的高度;

(2)在大风车转动的一圈内,有多长时间点P 距离地面超过85 m?

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17.

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甲乙两人进行乒乓球对抗赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一个比对方多2分或打满6局时停止。设甲在每局中获胜的概率为P ()2

1>P ,

且各局胜负相互独立。已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为

9

5。若图为统计这次比赛的局数n 和甲,乙的总得

分数T S ,的程序框图。其中如果甲获胜则输入.0,1==b a 如果乙获胜,则输入1,0==b a 。

(1) 在右图中,第一,第二两个判断框应

分别填写什么条件? (2)求P 的值。

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(3)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数, 求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE 。

已知椭圆E 的方程为

2

2

14

3

x

y

+

=,右焦点为

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F ,直线l 的倾斜角为4

π

,直线l 与圆223x y +=相切

于点Q ,且Q 在y 轴的右侧,设直线l 交椭圆E 于两个不同点,A B . (1)求直线l 的方程; (2)求ABF ?的面积;

(3) 求证:||||AF AQ +=||||BF BQ +.

20.(本题满分14分)

已知函数()ln(1)f x x mx =++,当0x =时,函数()f x 取得极大值.

(Ⅰ)求实数m 的值;

(Ⅱ)已知结论:若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在,且1a >-,则存在0(,)x a b ∈,使得0()()()f b f a f x b a

-'=

-.试用这个结论证明:若121x x -<<,函数

121112

()()

()()()f x f x g x x x f x x x -=

-+-,则对任意12(,)x x x ∈,都有()()f x g x >;

(Ⅲ)已知正数,,,,,321n λλλλ 满足,1321=++++n λλλλ 求证:当2n ≥,

n N ∈时,对任意大于1-,且互不相等的实数n x x x x ,,,,321 ,都有 ()()()()

n n n n x f x f x f x x x f λλλλλλ+++>+++ 22112211

21. 本题(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题做答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分. 作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.

(1)选修4-2:矩阵与变换

已知1

00

2??

=?

???M ,1011??=??-??

N ,求曲线2

2210x xy -+=在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程.

(2)选修4-4:坐标系与参数方程

若极坐标系的极轴与直角坐标系的x 轴非负半轴重合,单位长度相等,已知曲线C 的参数方程

为2

sin ,[0,2)cos x y ααπα

=?∈?=?,曲线D

的极坐标方程为sin()4π

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ρθ+=(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程;

(2)曲线C 与曲线D 有无公共点?试说明理由.

(3)选修4-5:不等式选讲

设x ,y 均为正数,且x >y ,求证:2x +1

x 2-2xy +y

2≥2y +3.

参考答案

DDAAD BBACB

X+2y=0,x-2y=0 8, 1/4, 3

8 ,(1)(4)

16.(本题满分13分)

(1)解:设点P 离地面的距离为y ,则可令 y =A sin(ωt +φ)+b .

由题设可知A =50,b =60

又T =

2πω=3,所以ω=2π3,从而y =50sin(2π

3

t +φ)+60 再由题设知t =0时y =10,代入y =50sin(2π3t +φ)+60,得sin φ=-1,从而φ=-π

2.

因此,y =60-50cos

3

t (t ≥0) (2)要使点P 距离地面超过85 m,则有y =60-50cos 2π3t >85,即cos 2π3t <-1

2

.

于是由三角函数基本性质推得2π3<2π3t <4π

3

,即1

所以,在大风车转动的一圈内,点P 距离地面超过85 m 的时间有1分钟.

17.

令PD 中点为F 。连接EF ,则可证FABE 为平行四边形。 ??

?

?????PAD EF PAD AF AF BE AB EF 面面//// PAD BE 面//?

(2)在梯形ABCD 中。可证BD BC ⊥

???

?

?

?

??⊥=?⊥PCD PD CD PD CD ABCD PCD ABCD

PCD 面面面面面?????=?⊥⊥?D

PD BD BC PD ABCD PD 面????⊥?PBC BC PDB BC 面面? 面⊥PBD 面PBC

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81

1681

209

51)4()2(1)6(=

-

-

==-=-==ξξξP P P

所以ξ的分布列为:

ξ 2 4 6

P

9

5

8120

8116

81

266

8116681204952=

?+?+?=∴ξE

19.(本题满分13分)

解:(1)设直线l 的方程为y x m =+,

=

,得m = ……………………………………3分

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又切点Q 在y 轴的右

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侧,所以m =2分 所以直线l

的方程为y x =-…………………………………2分

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(2)设1122(,),(,)A x y B x y

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由2214

3y x x y ?=-??+=?

?

得27120x -+= …………………………2分

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1212127

7

x x x x +=

=

12|||7AB x x =

-==

……………2分

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又(1,0)F ,所以F 到直线l

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的距离|112

d -

=

= ……2分

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所以ABF ?

的面积为12||2

7

A B d = ……………1分

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(3)因为AOQ ?

为直角三角形,所以||AQ ==

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2

2

1

114

3

x y +

=得11||2

A Q x =

……………………………………………2分

||AF =

2

2

1

114

3

x y +

=得11||22

A F x =-

……………2分

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所以||||2AF AQ +=,同理可得||||2BF BQ += ……………2分 所以||||AF AQ +=||||BF BQ + ……………………………………………1分

20.(本题满分14分) 解:(Ⅰ)1()1

f x m x '=

++. 由(0)0f '=,得1m =-,此时()1

x f x x '=-

+.

当(1,0)x ∈-时,()0f x '>,函数()f x 在区间(1,0)-上单调递增;

当(0,)x ∈+∞时,()0f x '<,函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减.

∴函数()f x 在0x =处取得极大值,故1m =-.…………………………3分 (Ⅱ)令121112

()()

()()()()()()f x f x h x f x g x f x x x f x x x -=-=-

---,………4分

则1212

()()

()()f x f x h x f x x x -''=-

-.函数()f x 在12(,)x x x ∈上可导,∴存在

012(,)x x x ∈,使得12012

()()

()f x f x f x x x -'=

-.

又11

1)(-+=

'x x f 000011()()()1

1

(1)(1)

x x h x f x f x x x x x -'''∴=-=

-

=

++++

当10(,)x x x ∈时,()0h x '>,()h x 单调递增,1()()0h x h x ∴>=; 当02(,)x x x ∈时,()0h x '<,()h x 单调递减,2()()0h x h x ∴>=; 故对任意12(,)x x x ∈,都有()()f x g x >.…………………………8分 (Ⅲ)用数学归纳法证明.

①当2n =时,121λλ+=Q ,且10λ>,20λ>,

112212(,)x x x x λλ∴+∈,∴由(Ⅱ)得()()f x g x >,即

121122112211112212

()()

()()()()()f x f x f x x x x x f x f x f x x x λλλλλλ-+>

+-+=+-,

∴当2n =时,结论成立.…………………………9分

②假设当(2)n k k =≥时结论成立,即当,1321=++++k λλλλ 时,

()()()()k k k k x f x f x f x x x f λλλλλλ+++>+++ 22112211. 当1n k =+时,设

正数,,,,121+k λλλ 满足,11321=+++++k λλλλ 令k m λλλλ++++= 321, ,,,,2

21

1m

m m k

k λμλμλμ=

=

=

则11=++k m λ,且121=+++k μμμ .

()()[]112211112211++++++++=++++k k k k k k k k x x x x m f x x x x f λμμμλλλλ

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21. (1)选修4-2:矩阵与变换 【解析】本题考查矩阵的乘法,MN =????

??20

01101

1????-??=1022??

??-??

, 设,P x y ''()是曲线22210x xy -+=上任意一点,点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点,P x y '(),则有10'2

2'22x x x y y x y '????????

==?????

???

''--+?????

??? 于是x x '=,2

y y x '=+

代入22210x x y '''-+=得1xy =,

所以曲线22210x xy -+=在MN 对应的变换作用下 得到的曲线方程为1xy = (2)选修4-4:坐标系与参数方程

解:(1)由2

sin ,[0,2)cos x y α

απα

=?∈?=?得 21,[1,1]x y x +=∈- 4 分 (2)

由sin()4

π

ρθ+

=D 的普通方程为20x y ++=6 分

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2

201

x y x y ++=??+=?得2

30x x --= 8 分

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解得1[1,1]2

x ±

=

-,故曲线C 与曲线D 无公共点 10 分

(3)选修4-5:不等式选讲

证明:由题设x >0,y >0,x >y ,可得x -y >0

因为2x +

1

x 2-2xy +y 2

-2y =2(x -y )+

1 (x -y )2

=(x -y )+(x -y )+

1 (x -y )2

又(x -y )+(x -y ) +

1 (x -y )2

3

3=≥,等号成立条件是x -y =1 .

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所以,2x +

1

x 2-2xy +y 2

-2y ≥3,即2x +

1

x 2-2xy +y 2

≥2y +3