第三讲 一次函数
第三讲 一次函数
函数自变量的取值：分母不为零，2次根号下被开方数大于等于零。
例1求下列函数中，自变量的取值范围
（1）、x x y 2112-+-= （2）、2
1--=x x y （3）、312
---=x x y （4）、2)3(50
+-+-=x x x y
例2：确定下列一次函数的解析式
（1）、一次函数的图像平行于正比例函数x y 3
5=的图像，且过点（6,8） （2）、一次函数的图像经过点（0 ， 32），且与坐标轴所围成的图形的面积为3面积单位
例3 有一个水池，既有进水管，又有出水管，每单位时间内各管的进出水量是一定的，水池原来无水，设从某时刻开始的5分钟内只进水，不出水，在随后10分钟内，既有进水又出水，得水量y （升）与时间x （分）之间的关系如图
（1） 每分钟进水多少 ？（2）155≤≤x 时，y 与x 的函数关系式如何？（3）若15分钟后只放水，求
y 的函数表达式。
y
例4：一个一次函数的图像与直线4
9545+=x y 平行， 与x 轴、 y 轴的交点分别是A 、B ，并且过点（ - 1 ，- 25 ），则线段AB 上（包括端点A 、B ），横坐标、纵坐标都是整数的点有多少个。
例5、点P 为直线y = - 3 x + 6 上的一点，且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标为
____________________
例6：某报摊一个月中每天从报社买进的“××晚报”的数量是确定不变的，进价为0.38元/份，零售价为0.5元/份，卖不掉的报纸可按0.16元/份退回报社，在一个月（按30天计算）中有22天可卖出400份，另8天每天只能卖出300份，为了使赚钱更多，请你给该报摊主计算一下，他在一个月中，每天从报社买进多少报纸才能赚钱更多？最多能赚多少元钱？
例7：设b>a ，将一次函数y=bx+a 与y=ax+b 的图像画在平面直角坐标系上，则有一组a ，b 的值，使得下图中的一个是正确的是（ ）
例8：如果一直线L 经过不同的三点A （a ，b ），B （b ，a ），C （a-b ，b-a ）,那么直线L 经过（
）
A 、第二、四象限
B 、第一、三象限
C 、第二、三、四象限
D 、第一、三、四象限
A
B D
C
作业
1.若函数y=(2+m)x
32-m 是正比例函数，则常数m 的值是 . 2.y=3
11-++x x 中x 的取值范围是 . 3.当x= 时，y=2x+2与y=x+1有相同的函数值。
4.已知一次函数2-=kx y ，请你补充一个条件____________，使y 随x 的增大而减小。
5.从A 地向B 地打长途电话，按时收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若通话t 分钟（t ≥3）,则需付电话费y （元）与t （分）之间的函数关系式是__________________。
6、若直线3+=x y 和直线b x y +-=的交点坐标为（m ，8）．则m ＝ ，b ＝ .
7. 把直线y=－x 32向 平移 单位得到直线y=－23
2-x 。 8.某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准。某市居民每月交水费y （元）与水量x （吨）的函数关系如图所示。请你通过观察函数图象，回答自来水公司收费标准：若用水不超过5吨，水费为_________元/吨；若用水超过5吨，超过部分的水费为____________元/吨。
9. 甲和乙同时加工一种产品，如图1所示，图⑴、图⑵分别表示甲和乙的工作
量与工作时间的关系，如果甲已经 加工了75kg ，则乙加工了 kg.
。
10：如图，l 1，l 2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y （费用 = 灯的售价 + 电费，单位：元） 与照明时间x （小时）的函数图像，假设两种灯的使用的寿命都是2000小时，照明效果一样。
（1）根据图像分别求出l 1，l 2的函数关系式， （2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？ （3）小明房间计划照明2500小时，他买了一个
白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯的方法。
图（2）图（1）
802
工作量（kg)时间（分钟）O 506O 时间（分钟）工作量（kg)
最新基本初等函数讲义(全)
一、一次函数 二、二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质
图像 定义域 (),-∞+∞ 对称轴 2b x a =- 顶点坐标 24,24b ac b a a ??-- ??? 值域 24,4ac b a ??-+∞ ??? 24,4ac b a ?? --∞ ?? ? 单调区间 ,2b a ??-∞- ??? 递减 ,2b a ?? -+∞ ??? 递增 ,2b a ? ?-∞- ??? 递增 ,2b a ?? -+∞ ??? 递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为 ,2b x a =-顶点坐标是24(, )24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减， 在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,] 2b a -∞-上递增，在[,)2 b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a -=． 三、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 2b x a =- 2b x a =-
函数极限的定义的多种表达
函数极限的定义 林芳 20101101903 数学科学学院 2010级（1）班 指导教师 韩刚 摘要 极限是数分中的重要内容，用定义证明极限类型题都要用到它。本文就给出二十四个函数极限的定义。 关键词 极限 1函数在一点的极限的定义 1.1函数在0x 点的极限的定义 设函数f(x)在0x 点的附近（但可能除掉点本身）有定义，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0，一定存在δ>0，使得当0<0x x -<δ时，总有A x f -)(<ε，我们就称A 是函数在点0x 的极限，记为 A x f x x =→0 )(lim , 或者记为 f(x)→A(x 0x →). 这时也称函数f(x)在0x 点极限存在，其极限值是A. 1.2函数在点0x 右侧的极限的定义 设函数f(x)在（0x ，η+0x ）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0 我们就称A 是函数f(x)在点x 0的右极限，记为 0)(lim +→x x x f =A 或f(x 0+0)=A 或 f(x)→A (x 0x →+0) 这时也称函数f(x)在点0x 右极限存在。 1.3函数在0x 点左侧的极限的定义 设函数f(x)在（00,x x η-）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0<δ<-x x 0时，有A x f -)(<ε,我们就称A 是函数f(x)在点的左极限，记为 0)(lim -→x x x f =A 或 f(00-x )=A 或 f(x))0(0-→→x x A 这时也称函数f(x)在0x 点左极限存在. 2函数在无限远处的极限 2.1函数在无限远处极限的定义 若对任意给定的ε>0，存在X>0，当X x >时，总有ε<-A x f )(，我们说A 是f(x)在无限远处的极限，或者说A 是当x 的极限时)(x f ∞→,记为 ) ()()()(lim ∞→→=∞=∞→x A x f A f A x f x 或 这时也称函数f(x)在无限远处极限存在 2.2函数在正无限远处的极限的定义 §2.1.3函数的单调性（1） 【教学目标】 1． 会运用函数图象判断函数是递增还是递减； 2． 理解函数的单调性，能判别或证明一些简单函数的单调性； 3． 注意必须在函数的定义域内或其子集内讨论函数的单调性. 【考纲要求】 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性，学会运用函数图象理解和研究函数的性质 【课前导学】 1．下列函数中，在区间()2,0上为增函数的是 ； （1）x y 1 = （2）12-=x y （3）x y -=1 （4）2)12(-=x y 2．若b x k x f ++=)12()(在()+∞∞-,上是减函数，则k 的取值范围是 ； 3．函数122-+=x x y 的单调递增区间为 ； 4．画出函数12+=x y 的图象，并写出单调区间. 【例题讲解】 例1：画出下列函数图象，并写出单调区间． （1）2 2y x =-+； （2）1 y x =； （3）21, 0()22, 0 x x f x x x ?+≤=?-+>?． 例2.求证函数1 ()1f x x =-在()0,+∞上是减函数. 思考：在(),0-∞是 函数，在定义域内是减函数吗？ 例3.求证函数3()f x x x =+在(),-∞+∞上是增函数. 【课堂检测】 1．函数1062+-=x x y 在单调增区间是 ； 2．函数11 -= x y 的单调递减区间为 ； 3．函数???<≥=) 0() 0(2 x x x x y 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 4．求证：函数x x x f +-=2)(在??? ? ? ∞-21,上是单调增函数. §2.1.3函数的单调性（2） 【教学目标】 1．理解函数的单调性、最大（小）值极其几何意义； 2．会用配方法、函数的单调性求函数的最值； 3．培养识图能力与数形语言转换的能力. 【课前导学】 1．函数12+-=x y 在[]2,1-上的最大值与最小值分别是 ； 2．函数x x y +-=2在[]0,3-上的最大值与最小值分别是 ； 3．函数12 +-=x y 在[]3,1上最大值与最小值分别是 ； 4．设函数)0()(≠=a x a x f ，若)(x f 在()0,∞-上是减函数，则a 的取值范围为 . 【例题讲解】 例1. (1)若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数，则实数m 的值为 ； （2）若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围为 ； （3）若函数2()45f x x mx m =-+-的单调递增区间为[2,)-+∞，则实数m 的值为 ． 例2.已知函数)(x f y =的定义域是],[b a ，a c b <<.当],[c a x ∈时，)(x f 是单调增函数；当],[b c x ∈时，)(x f 是单调减函数，试证明)(x f 在c x =时取得最大值. 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 课 时 授 课 计 划 课次序号： 03 一、课 题：§1.3 函数的极限 二、课 型：新授课 三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念； 2.了解函数极限的性质． 四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念． 教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用． 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–3 1（2），2（3），3，6 八、授课记录： 九、授课效果 分析： 第三节 函数的极限 复习 1.数列极限的定义：lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞ =??>?>-<当时，； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系． 在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限． 与数列极限不同的是，对于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多． 一、x →∞时函数的极限 对一般函数y ?f （x ）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的． 定义1 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →+∞ f （x ）?A ． 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＜?X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →-∞ f （x ）?A ． 例1 证明lim x 0． 证 0 -，故?ε＞00-＜εε， 即x ＞21 ε．因此，?ε＞0，可取X ?21ε，则当x ＞X 0-＜ε，故由定义1得 lim x ?0． 例2 证明lim 100x x →-∞ =． 证 ?ε＞0，要使100x -?10x ＜ε，只要x ＜l gε．因此可取X ?｜l gε｜?1，当x ＜?X 时，即有｜10x ?0｜＜ε，故由定义1得lim x →+∞ 10x ?0． 定义2 若?ε＞0，?X ＞0，当｜x ｜＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →∞ f （x ）?A ． 为方便起见，有时也用下列记号来表示上述极限： f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →∞）． 注 若lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x A f x A →∞→+∞→-∞ ===或或，则称y A =为曲线()y f x =的水 平渐近线． 由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理． 定理1 lim x →∞f （x ）?A 的充要条件是lim x →+∞f （x ）?lim x →-∞ f （x ）?A ． 例3 证明2lim 1 x x x →∞--?1． 1.2.2 基本初等函数的导数公式 1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝e 3 ，则y ′＝0 B ．若y ＝ 1 x ，则y ′＝－1 2x C ．若y ＝－x ，则y ′＝－1 2x D ．若y ＝3x ，则y ′＝3 2．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②? ????sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x =3＝－227.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．1 2 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．??????0，π4∪??????3π4，π B ．[0，π) C ．??????π4，3π4 D ．??????0，π4∪??????π2，3π4 5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2 )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.12e 2 B.94 e 2 C ．2e 2 D ．e 2 6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N * )在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( ) A ．1n B ．1n ＋1 C ．n n ＋1 D ．1 课后探究 1．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为 2．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为 一、选择题 2．已知函数f (x )＝x 3 的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 4．y ＝x α 在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 5．f (x )＝ 1x 3 x 2 ，则f ′(－1)＝( ) A ．52 B ．－52 C ．53 D ．－53 6.函数y ＝e x 在点(2，e 2 )处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( ) A ．94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D ．e 2 2 二、填空题 7．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________． 8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5 t ，则质点在t ＝32时的速度等于________． 9．在曲线y ＝4 x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________． 三、解答题 10．求证双曲线y ＝1 x 上任意一点P 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值． 一、选择题 11．(2014·北京东城区联考)曲线y ＝13x 3 在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．－π4 C ．π4 D ．5π4 2010-2019高考数学理科真题分类训练 专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第三讲 函数的概念和性质 2019年 1.（2019江苏4）函数276y x x =+-的定义域是 . 2.（2019全国Ⅱ理14）已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________. 3.（2019全国Ⅲ理11）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则 A ．f （log 314 ）＞f （322-）＞f （232-） B ．f （log 314 ）＞f （232-）＞f （322-） C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314 ） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314 ） 4.（2019北京理13）设函数()e x x f x e a -=+ (a 为常数)，若()f x 为奇函数,则a =______； 若()f x 是R 上的增函数，则a 的取值范围是 ________. 5.（2019全国Ⅰ理11）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π ,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③ 6.（2019全国Ⅰ理5）函数f (x )=2sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C．D． 7.（2019全国Ⅲ理7）函数 3 2 22 x x x y - = + 在[] 6,6 -的图像大致为 A．B．C．D． 8.（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y=1 x a ，y=log a(x+1 2 )，(a>0且a≠1)的图像可 能是 A. B. C. D. 第三讲 函数的增减性 一、复习 1.罗必塔法则及其应用； 2.应用罗必塔法则需要注意的问题. 二、本节教学内容 1.函数增减性判别法，不等式的各种证明方法； 2.函数极值的概念和必要条件. 【教学目的与要求】 1.熟练掌握函数增减性判别法，熟练不等式的各种证明方法； 2.熟练掌握函数极值的概念和必要条件，熟练掌握极值存在的第一，第二充分条件和求法. 【教学重点与难点】 函数增减性判别法，不等式的各种证明方法 §3.4 函数的增减性 一、判定法 定理：设()x f y =在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导 1. 若对?x ∈（a,b ）,有()x f '>0，则()x f y =在[a,b]上↑； 2. 若对?x ∈（a,b ），有()x f '<0，则()x f y =在[a,b]上↓. 证：?21,x x ∈ [a,b]，且1x <2x ，在[1x ，2x ]运用拉格朗日定理得， ()12)(x f x f -=()ξ'f （2x -1x ）>0，即()2x f >()1x f . 由定义()x f y =在[a,b]上↑. 同理证2. 二、 举例 例1 （79P 例1.2） 例2 确定函数33x x y -=的单调区间 解：定义域为（+∞∞-,），2'33x y -==3（1-)1)(x x +， 令'y =0得1±=x ，无'y 不存在的点. 用'y =0和'y 不存在的点从小到大将定义分区列表（见下页）： 于是33x x y -=在(,1][1,)-∞-+∞ 上↓，在[-1，1]上↑. 注：见教材80P ，若()x f ' 在某区间内除有限个点为0外，其余点均为正（或 负），那么()x f 在该区间上仍为↓（或↑）.如80P 例5. 例3 证明当 0x >时， arctan .x x > 证：方法1 用中值定理，作函数()arctan ,f u u =取区间[0,x ]( ?x o >) 显然()f u 在[0,x ]上连续，在（0，x ）内可导，于是有 2 arctan arctan01 1,(0,)01x x x ξξ -=<∈-+ 即arctan .x x > 证法2 ：用单调性，作函数() arctan f x x x =-， ∵()x f '=1 2 1 01x - >+（对?x o >），∴()f x 在),0[+∞上↑，由单调性的定义知，对 0x >，有()(0)f x f > 而(0)0arctan00f =-=, ∴()0f x >,即arctan x x >（对?x>0）. 例4 设)(x f 在),(+∞-∞有二阶导数,并且0)(≡''x f 求证)(x f 是一次函数. 证 0)())((≡''=''x f x f ?存在常数a ,使a x f =')(. ()0)()(≡' -'=-''a x f ax x f ?存在b 使得b ax x f +=)(. 例5 求证当0>x 时恒有)1ln(212 x x x +<- . 证 研究函数22 1 )1ln()(x x x x f +-+=, 我们有 x x x f +-+= '111)(, 2) 1(11)(x x f +-='' 当0>x ,2 ) 1(11)(x x f +- =''0x 时, 0)(>'x f ?↑)(x f . 即，当0>x 时, 恒有 )1ln(2 12 x x x +<- . 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 1函数（μ是常数）叫做幂函数。 2幂函数的定义域，要看μ是什么数而定。 但不论μ取什么值，幂函数在(0,+ ∞ )内总有定义。 3最常见的幂函数图象如下图所示：[如图] 4 2 -551015 -2 -4 -6 4①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1 注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别. ②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0 上无限接近y轴，向右无限接近x轴. ③当x>1时，指数大的图像在上方. 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 1函数 （a 是常数且a>0,a ≠ 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞ )。 2因为对于任何实数值x ，总有，又，所以指数函数的图形，总在x 轴的上方， 且通过点(0,1)。 若a>1，指数函数是单调增加的。若0 2．对数函数 由此可知，今后常用关系式，如： 指数函数的反函数，记作（a是常数且a>0，≠ a1），叫做对数函数。它的定义域是区间(0,+∞ )。 对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。 的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)。 若a>1，对数函数是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞ )内函数值为正。 若0 三次样条求导函数 function ppd=ppder(pp) % pp=spline(x0,y0) [breaks,coefs,l]=unmkpp(pp); % breaks 是节点横坐标，coefs是每一段上的三次多项式的系数，l 是分的段 数 for n=1:l coefs1(n,:)=polyder(coefs(n,:)); end ppd=mkpp(breaks,coefs1,1); %ppd 是一个类似pp 的结构体数据，计算这样的分段多项式的值可以用 ppval(ppd,x) 举例： >> pp=spline(linspace(0,2*pi,50),sin(linspace(0,2*pi,50))) pp = form: 'pp' breaks: [1x50 double] coefs: [49x4 double] pieces: 49 order: 4 dim: 1 [breaks,coefs,l]=unmkpp(pp) breaks = Columns 1 through 12 0 0.1282 0.2565 0.3847 0.5129 0.6411 0.7694 … ….. Columns 49 through 50 6.1550 6.2832 coefs = -0.1643 -0.0007 1.0000 0 -0.1643 -0.0639 0.9918 0.1279 -0.1581 -0.1270 0.9673 0.2537 ……. 0.1453 -0.2731 -0.8381 0.5455 0.1546 -0.2172 -0.9010 0.4339 …… -0.1503 0.2457 0.8713 -0.4907 -0.1581 0.1879 0.9269 -0.3753 -0.1643 0.1270 0.9673 -0.2537 -0.1643 0.0639 0.9918 -0.1279 l = 49 >> pp1=mkpp(breaks,coefs,1) pp1 = form: 'pp' breaks: [1x50 double] coefs: [49x4 double] pieces: 49 order: 4 dim: 1 >>ppd=ppder(pp) ppd = form: 'pp' breaks: [1x50 double] coefs: [49x3 double] pieces: 49 order: 3 dim: 1 >>ppval(pp,3) ans = 0.1411 >> sin(3) ans = 0.1411 三次样条函数的自动求法 摘要：在MATLAB 的The Spline Toolbox 中，没有给出三次样条函数表达的求法，可在教学过程中，或在实际问题中，我们需要知道样条插值函数的分段表达式。在现行数值分析教材中，一般都是通过解方程确定三次样条插值函数的表达式，但这种方法的工作量很大。在本文中，我们用MATLAB 语言编制了三个程序，给出在三种边界条件下，三次样条插值函数表达式的自动求法。 关键词：三次样条函数；边界条件；插值 0 引言 分段低次插值多项式具有计算简单、收敛性有保证、数值稳定等优点，但它不能保证整条曲线的光滑性甚至连续性，从而不能满足一些工程技术的要求。从20 世纪60 年代开始，由航空、造船等工程设计的需要而发展起来的样条插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又保证了插值函数的光滑性，已在许多领域里得到越来越广泛的应用。在教学过程中，或在实际问题中，我们需要知道样条插值函数的分段表达式。可在MATLAB 的The Spline Toolbox 中，没有直接给出三次样条函数表达式的求法，在现行数值分析教材中，一般都是在给定条件下，通过解方程而确定三次样条插值函数的表达式，尽管在计算过程中可借助数学软件来完成，但这种方法的工作量仍然很大。本文中，利用数学软件MATLAB ，我们给出了三次样条插值函数表达式的自动求法，这样不但解决了上述问题，而且给出了用数学软件解决实际问题的一个范例。 1 计算方法 定义对于给定的函数值 ),,1,0)((n k x f y k k == 其中b x x x a n =<<<= 10，如果函数)(x S 满足条件： （1）)(x S 在每个子区间[k k x x ,1-](k=1,2,n , )上都是不高于三次的多项式； （2）)(x S 、)(x S '、)(x S ''在[a,b]上都连续； （3）),2,1,0()(n k y x S k ==。 则称)(x S 为函数)(x f 关于节点n x x x ,,,10 的三次样条插值函数。 要求三次样条插值函数)(x S ，只需在每个子区间[k k x x ,1-]上确定一个三次多项式k k k k k d x c x b x a x S +++=23)( )(x S k 共有4个系数， 确定它们需要4个条件，因此要完全确定)(x S 共需4n 个条件。由)(x S 所满足的条件(1)、(2)、(3），可确定4n-2个条件，还缺少两个条件。这两个条件通常由实际问题对三次样条插值函数在端点的状态要求给出，称之为边界条件，常用的边界条件有以下三类。 专题02 函数及基本初等函数 第三讲 函数的概念与性质答案部分 2019年 1.[1,7]-【解析】由2 760x x +-，得267 0x x --，解得17x -． 所以函数276y x x =+-的定义域是[1,7]-． 2.D 【解析】设 ，则 ， 所以f (-x )=e 1x --， 因为设 为奇函数，所以()e 1x f x --=-， 即()e 1x f x -=-+． 故选D ． 3.130 15 【解析】①草莓和西瓜各一盒的价格为6080140120+=>，则支付 14010130-=元； ②设促销前顾客应付y 元，由题意有()80%70%y x -，解得1 8 x y ，而促销活动条件是120y ，所以max min 111201588 x y ?? ==?= ???. 学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。 4.A 【解析】由基本初等函数的图像与性质可知，只有12 y x =符合题意.故选A. 5.C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，所以331(log )(log 4)4 f f =， 因为33lo g 4log 31>=，2303 2 02 2 21- -<<<=，所以233 2 302 2 log 4- - <<<， 又()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以233 2 31(2)(2)(log )4 f f f -->>. 故选C ． 2015-2018年 1．D 【解析】当0x ≤时，函数()2x f x -=是减函数，则()(0)1f x f =≥，作出()f x 的 大致图象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2)+ 一、选择题 1．(2011·山东烟台模拟)幂函数y ＝f (x )的图像经过点(4，12)，则f (14 )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：设幂函数f (x )＝x α，把(4，12)代入得α＝－12 ， 则f (x )＝x 12-－12，f (14)＝(14)12-＝2. 答案：B 2．(2011·福州质检)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，0]∪[2，＋∞) D ．[0,2] 解析：二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，又f (x )＝a (x －1)2－a ＋c ， 所以a >0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. 答案：D 3.设00，ab >b 2，因此A 不正确；同理可知C 不正确；由 函数y ＝(12)x 在R 上是减函数得，当0(12)b >(12)a >(12)1，即12<(12)a <(12 )b ，因此B 正确；同理可知D 不正确． 答案：B 4．(2011·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为 给定数据表如下： 试求三次样条插值S（X），并满足条件： i)S’(0.25)=1.0000, S’(0.53)-0.6868; ii) S”(0.25)= S”（0.53）=0； 解： 由给定数据知： h0 =0.3-0.25 - 0.05 , h 1=0.39-0.30-0.09 h 2=0.45-0.39-0.06, h 3=0.53-0.45-0.08 由μ i=h i/(h i1+h i), λ i= h i/(h i1+h i) 得: μ1= 5/14 ; λ 1= 9/14 μ2= 3/5 ; λ 2= 2/5 μ3= 3/7 ; λ 3=4/7 0.25 0.5000 ﹨ ﹨ 1.0000 ∕﹨ 0.25 0.5000 ∕ -0.9200-f[x 0,x 0, x 1 ] ﹨∕ 0.9540 ∕﹨ 0.30 0.5477 -0.7193-f[x 0,x 1,x 2 ] ﹨∕ 0.8533 ∕﹨ 0.39 0.6245 -0.5440-f[x1,x2,x 3 ] ﹨∕ 0.7717 ∕﹨ 0.45 0.6708 -0.4050-f[x 2,x 3,x 4 ] ﹨∕ 0.7150 ∕﹨ 0.53 0.7280 -0.3525-f[x 3,x 4,x 5 ] ﹨∕ 0.6868 ∕ 0.53 0.7280 i)已知一节导数边界条件，弯矩方程组 ┌┐┌┐ │ 2 1 │┌M 0 ┐│-0.9200 ︳ ︳5/14 2 9/14 ︳︳M ︳︳-0.7193 ︳ 1 ︳3/5 2 2/5 ︳︳M 2 ︳_6 ︳-0.5440︳ ︳ 3/7 2 4/7 ︳︳M ︳︳-0.4050 ︳ 3 66 一、常见数列极限的存在情况： (1)1,1,1,1,1,L L 。通项1n y =，极限11()n y n =??￥（收敛） 即lim11n ?￥ = (2)11111, ,,,,,234n L L 。通项1n y n =，极限1 0()n y n n =??￥（收敛） 即01 lim =￥?n n (如图2) (3) 01 n n =+ (4))?￥（收 敛）即n ( (5)2,(6)1,-(如图6) n y 67 (7) 1,2,3,,,n L L 。通项n y n =，极限()n y n n =?￥?￥（发散）(如图7) 。 (8) (1)2n n y =- 极限 (1)n n y =-(如图8) （一）当x (1) 函数y y -￥ 68 (3)函数y x =-，极限lim x x ?±￥ -=￥m （）； (4)函数1y x = ，极限1 lim 0x x ?±￥= 限不存 y 69 2、指数函数部分 (9)函数(1x y a a =>），极限lim (1)x x a a ?+￥ =+￥>（极限不存在）（注意：x ?+￥） (10)函数(1x y a a =>）极限lim 0 (1)x x a a ?-￥ =>;（注意：x ?-￥） (11)函数 (01)x y a a =<<，极限lim 0 (01)x x a a ?+￥ =<< （注意：x ?+￥） (12)函数 (01)x y a a =<<，极限lim (01)x x a a ?-￥ =+￥<< 极限不存在（注意：x ?-￥） （x ?+￥ （注意：x ?-￥） x x 第三章 基本初等函数 第一讲 幂函数 1、幂函数的定义 一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 如112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 注意： y x α=中，前面的系数为1，且没有常数项 2、幂函数的图像 （1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3 y x = y x = 2 y x = 3 y x = 12 y x = 1y x -= 定义域 R R R {}|0x x ≥ {}|0x x ≠ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限单调增减性 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递减 定点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） 3（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x =）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 第二讲 指数函数 1、指数 （1）n 次方根的定义 若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n ”是方根的记号. 在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根. （2）方根的性质 ①当n 为奇数时，n n a =a . ②当n 为偶数时，n n a =|a |=?? ?<-≥). 0(), 0(a a a a （3）分数指数幂的意义 ①a n m =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②a n m - = n m a 1= n m a 1 （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. 2、指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 说明： 因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R . 学习报告—— 三次样条函数插值问题的讨论 班级：数学二班 学号：152111033 姓名：刘楠楠 样条函数： 由一些按照某种光滑条件分段拼接起来的多项式组成的函数；最常用的样条函数为三次样条函数，即由三次多项式组成，满足处处有二阶连续导数。 一、三次样条函数的定义： 对插值区间[,]a b 进行划分，设节点011n n a x x x x b -=<< <<=，若 函数2()[,]s x c a b ∈在每个小区间1[,]i i x x +上是三次多项式，则称其为三次样条函数。如果同时满足()()i i s x f x = (0,1,2)i n =，则称()s x 为()f x 在 [,]a b 上的三次样条函数。 二、三次样条函数的确定： 由定义可设：101212 1(),[,] (),[,]()(),[,] n n n s x x x x s x x x x s x s x x x x -∈??∈?=???∈?其中()k s x 为1[,]k k x x -上的三次 多项式，且满足11(),()k k k k k k s x y s x y --== (1,2,,k n = 由2()[,]s x C a b ∈可得：''''''()(),()(),k k k k s x s x s x s x -+-+== 有''1()(),k k k k s x s x -++= ''''1()(),(1 ,2,,1)k k k k s x s x k n -+ +==-， 已知每个()k s x 均为三次多项式，有四个待定系数，所以共有4n 个待定系数，需要4n 个方程才能求解。前面已经得到22(1)42n n n +-=-个方程，因此要唯一确定三次插值函数，还要附加2个条件，一般上，实际问题通常对样条函数在端点处的状态有要求，即所谓的边界条件。 1、第一类边界条件：给定函数在端点处的一阶导数，即 ''''00(),()n n s x f s x f == 2、第二类边界条件：给定函数在端点处的二阶导数，即 计算方法实验报告 1、实验题目 三次样条插函数。 2、实验内容 三次样条插值是建立在Hermite 插值的基础上的。Hermite 插值是在一个区间上的插值，而三次样条插则是建立多个区间上插值，构造一个具有二阶光滑度的曲线，在求出给定点上对应的函数。本实验就是建立一个能根据三次样条插值函数求根的程序。 3、算法思想 给定一个区间，并把它分成n 等份，并且给出了每个结点对就的横坐标和纵坐标。利用程序输出给定插值点对应的值。横坐标设为：X 0, X 1, X 2, X 3, …X n 纵坐标为Y 0, Y 1, Y 2, …Y n ,设插点为u 。则令h k =X k+1-X k ,λk =1-+k k k h h h , μk =11--+k k k h h h , g k =3(1 11--+-+-k k k k k k k k h y y h y y λμ), 其中k=1,2,…,n-1 再根据第一类边界条件则可以确定公式6.16，再根据6.17解出方程中的m 向量，最后代入公式6.8求解。 4、源程序清单 #include float aa[N],bb[N],tt[N]; /*矩阵分解时用到的中间变量aa、bb、tt分别对应：α、β数组以及A=LU时中间矩阵*/ float mm[N]; /*最后要用到的系数m*/ int n,k,kv,chose; /* n为实际结点个数,k为下标,kv为最后确定k的值*/ float s,u; /*最后计算u对应的值*/ printf("请输入区间段数："); scanf("%d",&n); /*输入结点个数*/ /*输入所有横坐标：*/ printf("输入所有横坐标："); for(k=0; k<=n; k++) scanf("%f",&x[k]); /*输入对应纵坐标：*/ printf("输入对应纵坐标："); for(k=0; k<=n; k++) scanf("%f",&y[k]); for(k=0; k第三讲 函数的基本性质
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专题一 第三讲 二次函数、基本初等函数及函数的应用
试求三次样条插值S(X)
常见基本初等函数极限
基本初等函数(3)
关于三次样条插值函数的学习报告(研究生)资料
三次样条函数