第一章 集合与常用逻辑用语

高效测评卷(一)

第一章集合与常用逻辑用语

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【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题共60分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案m]

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列特称命题中真命题的个数为( )

①存在实数x，使x2＋2＝0；

②有些角的正弦值大于1；

③有些函数既是奇函数又是偶函数．

A．0 B．1

C．2 D．3

2．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?U B)∩A＝{9}，则A ＝( )

A．{1,3} B．{3,7,9}

C．{3,5,9} D．{3,9}

3．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( )

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

5．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝( )

A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}

C．{x|0≤x≤1} D．?

6．设全集U＝{x∈N＋|x≤a}，集合P＝{1,2,3}，Q＝{4,5,6}，则a∈[6,7)是?U P＝Q的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

7．“a 2

＋b 2

≠0”的含义为( ) A ．a ，b 不全为0 B ．a ，b 全不为0 C ．a ，b 至少有一个为0

D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0

8．已知M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1

D ．0或1或－1

9．已知实数a 、b ，则“ab ≥2”是“a 2

＋b 2

≥4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

10．已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直，则p 是q 的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

11．定义：A ?B ＝?

?????

???

?z ???

z ＝xy ＋x

y ，x ∈A ，y ∈B

，设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ?B )?C 的所有元素之和为( )

A ．3

B ．9

C ．18

D ．27

12．已知命题p ：存在x ∈R ，使sin x －cos x ＝3，命题q ：集合{x |x 2

－2x ＋1＝0，

x ∈R }有2个子集，下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且?q ”是假命题；③

命题“?p 或?q ”是真命题，正确的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

题 号 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷

总 分

二 17 18 19 20 21 22 得 分

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{3,4}，A ∪B ＝{1,2,3,4}，则m ＝________.

14．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N ＋|lg x ＜1}．若A ∩(?U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝________.

15．已知命题p ：1∈{x |x 2＜a }，q ：2∈{x |x 2

＜a }，则“p 且q ”为真命题时a 的取值范围是________．

16．给定下列四个命题：

①“x ＝π6”是“sin x ＝1

2”的充分不必要条件；

②若“p 或q ”为真，则“p 且q ”为真； ③若a ＜b ，则am 2

＜bm 2

； ④若集合A ∩B ＝A ，则A ?B .

其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)写出下列命题非的形式：

(1)p ：函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c 的图象与x 轴有唯一交点； (2)q ：若x ＝3或x ＝4，则方程x 2

－7x ＋12＝0. 18．(12分)判断下列命题的真假． (1)任意x ∈R ，都有x 2

－x ＋1＞12

.

(2)存在α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β. (3)任意x ，y ∈N ，都有x －y ∈N . (4)存在x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.

19.(12分)设集合A ＝{x 2,

2x －1，－4}，B ＝{x －5，1－x,9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B . 20．(12分)已知A ＝{x ||x －a |＜4}，B ＝{x ||x －2|＞3}． (1)若a ＝1，求A ∩B ；

(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．

21.(12分)已知p ：2x 2

－9x ＋a ＜0，q ：?

????

x 2

－4x ＋3＜0，x 2

－6x ＋8＜0，且?p 是?q 的充分条件，求

实数a 的取值范围．【解析方法代码108001006】

22．(14分)已知P ＝{x |x 2

－8x －20≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m }．

(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围． 答案：

卷(一)

一、选择题

1．B x 2

＋2≥2，故①是假命题；任意x ∈R 均有|sin x |≤1，故②是假命题；f (x )＝0

既是奇函数又是偶函数，③是真命题，故选B.

2．D ∵A ∩B ＝{3}，(?U B )∩A ＝{9}且B ∪(?U B )＝U ， ∴A ＝{3,9}，故选D.

3．B 结论与条件互换位置，选B.

4．A 由x ＝4知|a |＝42

＋32

＝5；反之，由|a |＝x 2

＋32

＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件，故选A.

5．C ∵A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }＝{x |－1≤x ≤1}，

B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}＝{x |x ≥0}，

∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}．

6．C 若a ∈[6,7)，则U ＝{1,2,3,4,5,6}，则?U P ＝Q ，若?U P ＝Q ，则U ＝{1,2,3,4,5,6}，结合数轴可得6≤a ＜7，故选C.

7．A a 2

＋b 2

＝0?a ＝0，b ＝0，于是a 2

＋b 2

≠0就是对a ＝b ＝0，即a ，b 都为0的否定，而“都”的否定为“不都是”或“不全是”，所以应该是“a ，b 不全为0”．

8．D 由M ∩N ＝N 得N ?M .当a ＝0时，N ＝?，满足N ?M ；当a ≠0时，M ＝{a }，N ＝????

??1a ，

由N ?M 得1

a

＝a ，解得a ＝±1.故选D.

9．A 当ab ≥2时，a 2＋b 2≥2ab ≥4，充分性成立；当a 2＋b 2

≥4时，取a ＝－1，b ＝3，有ab ＝－3＜2，此时ab ≥2不成立，故必要性不成立，故选A.

10．B 直线a 垂直于平面α内无数条直线，但直线a 与平面α不一定垂直．如直线

a 垂直于平面α内的一组平行线，反过来，直线a 垂直于平面α肯定能推出直线a 垂直于

平面α内无数条直线．

11．C 当x ＝0，y ＝1时，z ＝0； 当x ＝0，y ＝2时，z ＝0； 当x ＝2，y ＝1时，z ＝4； 当x ＝2，y ＝2时，z ＝5. 所以A ?B ＝{0,4,5}，

同理可得(A ?B )?C ＝{0,8,10}．故选C.

12．C 由sin x －cos x ＝2sin ?

????x －π4∈[－2，2]，而3?[－2，2]，故命题

p 是假命题；集合{x |x 2

－2x ＋1＝0，x ∈R }＝{1}，故其子集有?与{1}两个，命题q 是真命题．所

以有命题“p 且?q ”是假命题，命题“?p 或?q ”是真命题，②③正确，选C.

二、填空题

13．解析： ∵A ∪B ＝{1,2,3,4}， ∴2∈(A ∪B )．∵2?B ，∴2∈A ，

∴m ＝2. 答案： 2

14．解析： ∵lg x ＜1，∴0＜x ＜10. 又∵x ∈N *

，

∴U ＝A ∪B ＝{1,2,3，…，9}． 又∵A ∪B ＝U ，∴?U B ＝A ， ∴A ∩(?U B )＝?U B ＝{1,3,5,7,9}， ∴B ＝{2,4,6,8}． 答案： {2,4,6,8}

15．解析： 由1∈{x |x 2

＜a }，得a ＞1；由2∈{x |x 2

＜a }，得a ＞4.当“p 且q ”为真命题时，有p 真q 真，所以a ＞4.

答案： a ＞4

16．解析： ①中，若x ＝π6，则sin x ＝12，但sin x ＝12时，x ＝π6＋2k π或5π

6＋2k π.

故“x ＝π6”是“sin x ＝1

2”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p 为假命题，q

为真命题，有“p 或q ”为真命题，则“p 且q ”为假命题，故②为假命题；③中，当m ＝0时，am 2

＝bm 2

，故③为假命题；④中，由A ∩B ＝A 可得A ?B ，故④为真命题．

答案： ①④ 三、解答题

17．解析： (1)函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c 的图象与x 轴没有交点或至少有两个交点． (2)若x ＝3或x ＝4，则x 2

－7x ＋12≠0.

18．解析： (1)真命题，∵x 2

－x ＋1＝? ????x －122＋34≥34＞12

.

(2)真命题，如α＝π4，β＝π

2，符合题意．

(3)假命题，例如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4?N . (4)真命题，例如x 0＝0，y 0＝3，符合题意． 19．解析： 由9∈A ，可得x 2

＝9，或2x －1＝9， 解得x ＝±3或x ＝5. 当x ＝3时，

A ＝{9,5，－4}，

B ＝{－2，－2,9}，B 中元素重复，故舍去．

当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8,4,9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－7，－4，－8,4,9}．

当x ＝5时，A ＝{25,9，－4}，B ＝{0，－4,9}，

此时A ∩B ＝{－4,9}与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去． 综上所述，A ∪B ＝{－8，－4,4，－7，9}．

20．解析： (1)当a ＝1时，A ＝{x |－3＜x ＜5}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}． ∴A ∩B ＝{x |－3＜x ＜－1}． (2)∵A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，

B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，且A ∪B ＝R ，

∴?

??

??

a －4＜－1，a ＋4＞5?1＜a ＜3.

故实数a 的取值范围是(1,3)．

21．解析： 由?????

x 2

－4x ＋3＜0，x 2

－6x ＋8＜0，

得?????

1＜x ＜3，

2＜x ＜4，

即2＜x ＜3.

∴q ：2＜x ＜3.

设A ＝{x |2x 2

－9x ＋a ＜0}，

B ＝{x |2＜x ＜3}，

∵?p ??q ，∴q ?p .∴B ?A . ∴2＜x ＜3含于集合A ，

即2＜x ＜3满足不等式2x 2

－9x ＋a ＜0. 设f (x )＝2x 2

－9x ＋a ，

要使2＜x ＜3满足不等式2x 2

－9x ＋a ＜0， 需???

??

f ，f

，

即????

?

8－18＋a ≤0，18－27＋a ≤0，

∴a ≤9.

故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}．

22．解析： (1)由题意x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则S ＝P . 由x 2

－8x －20≤0?－2≤x ≤10， ∴P ＝[－2,10]．

由|x －1|≤m ?1－m ≤x ≤1＋m ， ∴S ＝[1－m,1＋m ]． 要使P ＝S ，

则?

??

??

1－m ＝－2，

1＋m ＝10.∴?

??

??

m ＝3，

m ＝9.

∴这样的m 不存在．

(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则满足S P . 由|x －1|≤m 可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S P ，

则?????

1－m ≥－2，1＋m ≤10

且不同时取等号，∴m ≤3.

综上可知，m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．