全国人A学生检测卷(文)单元检测
高三单元滚动检测卷·数学
考生注意：
1．本试卷分(选择题)和(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
单元检测一集合与常用逻辑用语
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2015·安徽)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(?U B)等于()
A．{1,2,5,6} B．{1} C．{2} D．{1,2,3,4}
2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B等于()
A．[－2，－1]B．[－1,1]C．[－1,2) D．[1,2)
3．(2015·长春外国语学校高三期中)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|1≤2x<4}，则A∩B等于()
A．{－1,0,1} B．{0,1,2} C．{0,1} D．{1,2}
4．(2015·宜昌调研)下列说法中，正确的是()
A．命题“若am2 B．命题“存在x0∈R，x20－x0>0”的否定是“对任意的x∈R，x2－x≤0”C．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题 D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 5．(2015·吉林三模)已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是() A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3] 6．已知命题p：?x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，命题q：?x∈(0,1)，log2x<0，则下列命题为真命题的是() A．p∧q B．p∨(非q)C．(非p)∧q D．p∧(非q) 7．(2015·赣州市十二县市期中)已知p：x≥k，q：3 x＋1 <1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是() A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1] 8．(2015·湖南)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．(2015·大连二模)已知集合A＝{(x，y)|x(x－1)＋y(y－1)≤r}，集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤r2}，若A?B，则实数r 可以取的一个值是() A.2＋1 B.3C．2 D．1＋ 2 2 10．(2016·黄冈中学月考)下列四种说法中， ①命题“存在x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“对于任意x ∈R ，x 2－x <0”； ②命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件； ③已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(2， 22)，则f (4)的值等于12 ； ④已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，则向量a 在向量b 方向上的投影是2 5. 说法正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．(2015·宜春模拟)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 12．若p ：a ∈R ，|a |<1，q ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2015·江苏)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________． 14．给定两个命题，命题p ：对任意实数x 都有ax 2>－ax －1恒成立，命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 15．(2015·石家庄二模)已知命题p ：x 2－3x －4≤0；命题q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若非q 是非p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 16．(2015·牡丹江六县市联考)下列命题中： ①命题“?x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“?x ∈R ，x 2＋1≤3x ”； ②“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件； ③“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”?“(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立”； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·b <0”． 其中正确命题的个数是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数m 的值组成的集合． 18．(12分)(2015·杭州重点中学上学期期中联考)已知A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x ∈R |4x －a ·2x ＋9≥0}． (1)当a ＝10时，求A 和B ；(2)若A ?B ，求a 的取值范围． 19.(12分)设函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数g (x )＝3－|x |的定义域为集合B . (1)求A ∩B ； (2)若C ＝{x |m －1 20．(12分)(2015·陕西宝鸡中学上学期期中)设命题p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，a ≠1)的解集为(－∞，0)；命题q ：函数f (x )＝ln(ax 2－x ＋2)的定义域是R .如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求a 的取值范围． 21.(12分)(2015·潍坊高三质检)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}．命题p ：A ∩B ≠?，命题q ：A ?C . (1)若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； (2)若命题p ∧q 为真命题，求实数a 的取值范围． 22．(12分)(2015·湖北省教学合作联考)已知集合U ＝R ，集合A ＝{x |(x －2)(x －3)<0}，函数y ＝lg x －(a 2＋2) a －x 的定义 域为集合B .(1)若a ＝1 2 ，求集合A ∩(?U B )； (2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 答案解析 1．B [∵?U B ＝{1,5,6}，∴A ∩(?U B )＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1}，故选B.] 2．A [A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]，选A.] 3．C [B ＝{x |1≤2x <4}＝{x |0≤x <2}，则A ∩B ＝{0,1}，故选C.] 4．B [对于A ，当m ＝0时，逆命题不正确；对于B ，由特称命题与全称命题的关系知显然正确；命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 中至少有一个是真命题，不一定全为真命题，故C 不正确；“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，D 不正确．选B.] 5．A [设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1，故选A.] 6．C [命题p ：?x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0为假命题，命题q ：?x ∈(0,1)，log 2x <0为真命题，所以(非p )∧q 为真命题．] 7．B [∵3x ＋1<1，∴3 x ＋1－1＝2－x x ＋1<0， 即(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴k >2，故选B.] 8．C [分别判断由“x >1”能否推出“x 3>1”和由“x 3>1”能否推出“x >1”． 由于函数f (x )＝x 3在R 上为增函数，所以当x >1时，x 3>1成立，反过来，当x 3>1时，x >1也成立．因此“x >1”是“x 3>1”的充要条件，故选C.] 9．A [A ＝{(x ，y )|(x －12)2＋(y －12)2≤r ＋1 2}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2}，由于A ，B 都表示圆上及圆内的点的坐标， 要满足A ?B ，则两圆内切或内含．故圆心距满足2 2 ≤|r |－r ＋1 2 ，将四个选项中的数分别代入，可知只有A 选项满足，故选A.] 10．A [①命题“存在x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“对于任意x ∈R ，x 2－x ≤0”，故①不正确； ②命题“p 且q 为真”，则命题p 、q 均为真，所以“p 或q 为真”．反之“p 或q 为真”，则p 、q 中至少有一个为真，所以不一定有“p 且q 为真”所以命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件，故命题②不正确； ③由幂函数f (x )＝x α的图象经过点(2， 22)，所以2α＝22，所以α＝－12，所以幂函数为f (x )＝x －1 2 ， 所以f (4)＝4－12＝1 2，所以命题③正确； ④向量a 在向量b 方向上的投影是|a |cos θ＝ a · b |b |＝25 ＝255，θ是a 和b 的夹角，故④错误．故选A.] 11．B [当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12； 当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－1 2； 当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－1 2； 当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝1 2 . 故P *Q ＝{0，－12，1 2 }，该集合中共有3个元素．] 12．A [p ：a ∈R ，|a |<1?－1 解析 ∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，∴A ∪B ＝{1,2,3,4,5}．故A ∪B 中元素的个数为5. 14．(－∞，0)∪(1 4 ，4) 解析 若p 为真命题，则a ＝0或? ???? a >0，a 2－4a <0，即0≤a <4；若q 为真命题，则(－1)2－4a ≥0，即a ≤1 4. 因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 所以p ，q 中有且仅有一个为真命题． 若p 真q 假，则1 4 综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(1 4，4)． 15．(－∞，－4]∪[4，＋∞) 解析 非q 是非p 的充分不必要条件，等价于p 是q 的充分不必要条件．由题意可得p ：－1≤x ≤4，q ：(x －3＋ m )(x －3－m )≤0.当m ＝0时，显然不符合题意；当m >0时，有????? 3－m <－1，3＋m ≥4或????? 3－m ≤－1，3＋m >4?m ≥4； 当m <0时，有????? 3＋m <－1，3－m ≥4或????? 3＋m ≤－1， 3－m >4 ?m ≤－4. 综上，m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 16．2 解析 特称命题的否定为全称命题，①正确； ②中f (x )＝cos2ax ，其最小正周期为π时，2π 2|a |＝π，即a ＝±1，②正确；③不正确；④不正确，当a·b <0，a ，b 的 夹角可能为π. 17．解 A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}， ∵A ∪B ＝A ，∴B ?A . ①当m ＝0时，B ＝?，B ?A ，故m ＝0； ②当m ≠0时，由mx ＋1＝0，得x ＝－1 m . ∵B ?A ， ∴－1m ＝2或－1m ＝3，得m ＝－12或m ＝－13. ∴实数m 的值组成的集合为{0，－12，－13}． 18．解 (1)A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}， 当a ＝10时，B ＝{x ∈R |4x －10·2x ＋9≥0}＝{x |x ≤0或x ≥log 29}． (2)由题意，A ＝{x |1≤x ≤2}且A ?B ， 当1≤x ≤2时，2≤2x ≤4， 由4x －a ·2x ＋9≥0，令2x ＝t ， 不等式化为t 2－at ＋9≥0对2≤t ≤4成立，即a ≤t ＋9 t ， 而t ＋9t ≥2 t ×9 t ＝6(当且仅当t ＝3时等号成立)， 所以a 的取值范围为(－∞，6]． 19．解 (1)要使函数f (x )有意义，则x 2－x －2>0， 解得x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}． 要使g (x )有意义，则3－|x |≥0， 解得－3≤x ≤3，即B ＝{x |－3≤x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |x >2或x <－1}∩{x |－3≤x ≤3}＝{x |－3≤x <－1或2 ? m >－2，m －1≥－3，2m ＋1≤3，解得－2 综上，m ≤1. 即实数m 的取值范围是(－∞，1]． 20．解 p 为真命题?00且1－8a <0，即a >18. 由题意，p 和q 有且只有一个是真命题． 若p 真q 假，则0 8； 若p 假q 真，则a ≥1. 综上所述，a ∈(0，1 8 ]∪[1，＋∞)． 21．解 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}， y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1， ∴B ＝{y |y ≥a －1}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}， (1)由命题p 为假命题可得A ∩B ＝?， ∴a －1>2，∴a >3. (2)∵命题p ∧q 为真命题， ∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ≠?且A ?C . ∴???? ? a －1≤2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0， 解可得0≤a ≤3. 22．解 (1)因为集合A ＝{x |2 函数y ＝lg x －(a 2 ＋2) a －x ＝lg x －9412 －x ， 由x －9412 －x >0， 可得集合B ＝{x |12 4}， ?U B ＝{x |x ≤12或x ≥9 4}， 故A ∩(?U B )＝{x |9 4 ≤x <3}． (2)因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A ?B ， 由A ＝{x |2 a －x >0， 因为a 2＋2－a ＝(a －12)2＋7 4>0， 故B ＝{x |a ? ???? a ≤2， a 2＋2≥3， 即a ≤－1或1≤a ≤2， 所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[1,2]． 单元检测二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2015·重庆)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 2．(2015·北京)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－ x 3．(2015·慈溪联考)函数y ＝x 2lg x －2 x ＋2 的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于直线y ＝x 对称 D ．关于y 轴对称 4．(2016·江西省师大附中联考)已知函数f (x )＝? ???? 2x ，x <1， f (x －1)，x ≥1，则f (lo g 25)等于( ) A.516 B.58 C.5 4 D.52 5．(2015·山东)若函数f (x )＝2x ＋1 2x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1，＋∞) 6．下列各式中错误的是( ) A ．0.83>0.73 B ．log 0.50.4>log 0.50.6 C ．0.75 －0.1 <0.750.1D ．lg 1.6>lg 1.4 7．已知函数f (x )＝????? (a －2)x ，x ≥2，(12 )x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为 ( )A ．(－∞，2) B ．(－∞，13 8 ]C ．(－∞，2] D ．[13 8 ，2) 8．(2015·山东19所名校联考一模)函数y ＝x ln|x | |x | 的图象可能是( ) 9．(2015·青海西宁第四高级中学上学期第一次月考)已知函数f (x )＝???? ? －x 2＋x ，x ≤1，log 0.5 x ，x >1.若对于任意x ∈R ，不等式f (x ) ≤t 2 4 －t ＋1恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，1]∪[2，＋∞)B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．[1,3]D ．(－∞，2]∪[3，＋∞) 10．已知函数f (x )＝? ???? －x 2－2x ＋a ，x <0， f (x －1)，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[－1,0) C ．[－1，＋∞) D ．[－2，＋∞) 11．(2015·蚌埠模拟)已知函数f (x ) (x ∈R )是以4为周期的奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln(x 2－x ＋b )．若函数f (x )在区间[－2,2]上有5个零点，则实数b 的取值范围是( ) A ．－1 4 12．(2015·湖南浏阳一中联考)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2，若对任意x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f (3x ＋1)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－5) B ．(5，＋∞) C ．[5，＋∞) D ．(－∞，－5] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设函数f (x )＝???? ? 1，x >0，0，x ＝0， －1，x <0， g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________． 14．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 12 3)，c ＝f (0.2 － 0.6 )，则a ，b ，c 的大小关系是__________． 15．卡车以x 千米/小时的速度匀速行驶130千米路程，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油(2＋x 2 360)升，司机的工资是每小时42元． (1)这次行车总费用y 关于x 的表达式为________； (2)当x ＝________时，这次行车总费用最低． 16．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝(1 2)1-x ，则给 出下列结论：①2是f (x )的周期；②f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增；③f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝(1 2)x －3.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号) 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3·2-x . (1)当x <0时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )＝1 2 ，求x 的值． 18．(12分)(2015·山东淄博实验中学第一次诊断性考试)已知函数f (x )＝ax 2＋2x －1x 的定义域为不等式log 2|x ＋3|＋log 1 2x ≤3的解集，且f (x )在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围． 19.(12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )万元，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不少于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000 x －1 450(万元)．通过市场分析， 若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完． (1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 20．(12分)(2015·余姚联考)已知函数f (x )＝x 2＋a |x －1|，a 为常数． (1)当a ＝2时，求函数f (x )在[0,2]上的最小值和最大值； (2)若函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围． 21.(12分)(2015·浙江新高考单科综合调研卷(一))已知函数f (x )＝lg(x ＋a x －2)，其中x >0，a >0. (1)求函数f (x )的定义域； (2)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围． 22．(12分)(2015·北京第六十六中学上学期期中)已知函数f (x )对任意实数x ，y 恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x >0时，f (x )<0，且f (1)＝－2. (1)判断f (x )的奇偶性； (2)求f (x )在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式f (ax 2)－2f (x ) 答案解析 1．D 2.B 3．B [∵y ＝x 2lg x －2 x ＋2 ， ∴其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)， ∴f (－x )＝x 2lg x ＋2 x －2 ＝－x 2lg x －2 x ＋2＝－f (x )， ∴函数为奇函数， ∴函数的图象关于原点对称，故选B.] 4．C [∵2 2＝54，故选C.] 5．C [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即2－ x ＋12－x －a ＝－2x ＋1 2x －a ，整理得(1－a )(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋1 2x －1 ＞3， 化简得(2x －2)(2x －1)＜0，∴1＜2x ＜2，∴0＜x ＜1.] 6．C [对于A ，构造幂函数y ＝x 3，为增函数，故A 对；对于B 、D ，构造对数函数y ＝log 0.5x 为减函数，y ＝lg x 为增函数，B 、D 都正确；对于C ，构造指数函数y ＝0.75x ，为减函数，故C 错．] 7．B [由题意知函数f (x )是R 上的减函数， 于是有????? a －2<0，(a －2)×2≤(12)2 －1，由此解得a ≤13 8 ， 即实数a 的取值范围为(－∞，13 8 ]，故选B.] 8．B [函数y ＝x ln|x ||x |的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称．当x >0时，y ＝x ln|x ||x |＝x ln x x ＝ln x ； 当x <0时，y ＝x ln|x ||x |＝x ln (－x ) －x ＝－ln(－x )，此时函数图象与当x >0时函数y ＝ln x 的图象关于原点对称．故选B.] 9．B [由题意可知f (x )＝????? －x 2 ＋x ，x ≤1，log 0.5x ，x >1 的最大值为14，若对于任意x ∈R ，不等式f (x )≤t 24－t ＋1恒成立，则1 4≤ t 2 4 －t ＋1，解得t ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，故选B.] 10．C [当x ≥0时，f (x －1)＝f (x )，此时函数f (x )是周期为1的周期函数；当x <0时，f (x )＝－x 2－2x ＋a ＝－(x ＋1)2＋1＋a ，对称轴为x ＝－1，顶点为(－1，1＋a )，若a ≥0，则y ＝f (x )－x 在(－∞，0)上有1个零点，在[0，＋∞)上有2个零点，满足题意；若－1 11．D [本题可以采用排除法．若b ＝0，则f (x )＝ln(x 2－x )，x ∈(0,2)，当x ＝1 2∈(0,2)时，f (x )无意义，故b ≠0，所 以排除A ，C ；若b ＝14，则f (x )＝ln ????x 2－x ＋14，x ∈(0,2)，当x ＝12∈(0,2)时，f (x )无意义，故b ≠1 4，所以排除B ，所以选D.] 12．D [因为当x ≥0时，f (x )＝x 2，所以f (x )是[0，＋∞)上的增函数，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )是R 上的增函数，所以若对任意x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f (3x ＋1)恒成立，即对任意x ∈[a ，a ＋2]，x ＋a ≥3x ＋1?a ≥2x ＋1.因为函数2x ＋1是[a ，a ＋2]上的增函数，所以2x ＋1有最大值2a ＋5，所以a ≥2a ＋5?a ≤－5.] 13．[0,1) 解析 g (x )＝???? ? x 2 ，x >1，0，x ＝1， －x 2，x <1.如图所示， 其递减区间是[0,1)． 14．c 解析 ∵f (x )为偶函数，在(－∞，0]上是单调增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上为单调减函数．∵log 47>1，log 12 3<0,0.2 － 0.6 ＝????15－35>????15－12＝5，f ????log 123＝f (－log 12 3)＝f (log 23)＝f (log 49)，而log 47 x ，x ∈[50,100] (2)1810 解析 (1)由题意知行车所用时间t ＝130x 小时，则这次行车总费用y 关于x 的表达式为y ＝130x ×6×(2＋x 2 360)＋ 42×130x ，x ∈[50,100]，即y ＝7 020x ＋13 6 x ，x ∈[50,100]； (2)y ＝7 020x ＋136x ≥7810，当且仅当7 020x ＝136x ，即x ＝1810时等号成立，故当x ＝1810时，这次行车总费用最 低． 16．①②④ 解析 ①∵对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)， ∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)－1]＝f (x )，即2是f (x )的周期，①正确；②∵当x ∈[0,1]时，f (x )＝(12)1－x ＝2x － 1为增函数，又f (x ) 是定义在R 上的偶函数，∴f (x )在区间[－1,0]上单调递减，又其周期T ＝2，∴f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，②正确；③由②可知，f (x )max ＝f (1)＝21－1＝20＝1，f (x )min ＝f (0)＝20－ 1＝12，③错误；④当x ∈(3,4)时，4－x ∈ (0,1)，∴f (4－x )＝(12)1－(4－x )＝(12)x －3，又f (x )是周期为2的偶函数，∴f (4－x )＝f (x )＝(1 2)x －3，④正确．综上所述， 正确结论的序号是①②④. 17．解 (1)当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－ x －3·2x ， 又f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝2－ x －3·2x ， 即当x <0时，f (x )＝－2－ x ＋3·2x . (2)当x <0时，由－2－ x ＋3·2x ＝12， 得6·22x －2x －2＝0， 解得2x ＝23或2x ＝－1 2(舍去)， ∴x ＝1－log 23； 当x >0时，由2x －3·2－ x ＝12， 得2·22x －2x －6＝0， 解得2x ＝2或2x ＝－3 2(舍去)，∴x ＝1. 综上，x ＝1－log 23或x ＝1. 18．解 由log 2|x ＋3|＋log 1 2x ≤3， 得????? x >0，log 2x ＋3x ≤3，即????? x >0，x ＋3x ≤8， 解得x ≥3 7，即f (x )的定义域为????37，＋∞. 因为f (x )在定义域内单调递减， 所以?x 2>x 1≥3 7 时，恒有f (x 1)－f (x 2)>0， 即????ax 1－1x 1 ＋2－????ax 2－1x 2 ＋2＝a (x 1－x 2)－????1x 1 －1x 2 ＝(x 1－x 2)????a ＋1x 1x 2 >0恒成立． 由x 1 ∴a ＋1x 1x 2<0，即a <－1x 1x 2 恒成立． 又∵x 2>x 1≥37，∴x 1x 2>949，即－x 1x 2<－949， 因此实数a 的取值范围是????－∞，－49 9. 19．解 (1)当0 －10x －250 ＝－1 3x 2＋40x －250； 当x ≥80，x ∈N *时， L (x )＝500×1 000x 10 000－51x －10 000x ＋1 450－250 ＝1 200－(x ＋10 000 x )， ∴L (x )＝??? －1 3 x 2＋40x －250(0 x )(x ≥80，x ∈N * ). (2)当0 3 (x －60)2＋950， ∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950. 当x ≥80，x ∈N *时， L (x )＝1 200－(x ＋10 000 x )≤1 200－2 x ·10 000x ＝1 200－200＝1 000， ∴当x ＝10 000 x ，即x ＝100时， L (x )取得最大值L (100)＝1 000>950. 综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000， 即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大． 20．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2 ＋2|x －1|＝????? x 2＋2x －2，x ≥1，x 2－2x ＋2，x ≤1＝? ??? ? (x ＋1)2－3，x ≥1，(x －1)2 ＋1，x <1， 所以当x ∈[1,2]时，[f (x )]max ＝6，[f (x )]min ＝1， 当x ∈[0,1]时，[f (x )]max ＝2，[f (x )]min ＝1， 所以f (x )在[0,2]上的最大值为6，最小值为1. (2)因为f (x )＝? ???? x 2＋ax －a ，x ≥1， x 2－ax ＋a ，x <1， ＝??? (x ＋a 2)2－a 2 4 －a ，x ≥1， (x －a 2)2 －a 2 4＋a ，x <1， 而f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以当x ≥1时，f (x )必单调递增，得－a 2≤1即a ≥－2， 当0≤x <1时，f (x )亦必单调递增，得a 2≤0即a ≤0， 且12＋a －a ≥12－a ＋a 恒成立． 即a 的取值范围是{a |－2≤a ≤0}． 21．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x >0， 因为x >0，所以x 2－2x ＋a >0. 当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}， 当01＋1－a }． (2)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0， 即x ＋a x －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2对x ∈[2，＋∞)恒成立， 而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋9 4在x ∈[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2.∴a >2. 故a 的取值范围是{a |a >2}． 22．解 (1)取x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝2f (0)，∴f (0)＝0. 取y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )， ∴f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 恒成立， ∴函数f (x )为奇函数． (2)任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1 ∴f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)<－f (－x 1)． 又∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数． ∴对任意x ∈[－3,3]，恒有f (x )≤f (－3)． ∵f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝3f (1) ＝－2×3＝－6， ∴f (－3)＝－f (3)＝6， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为6. (3)∵f (x )为奇函数， ∴整理原不等式得f (ax 2)＋f (－2x ) ∴当a ＝0时，x ∈(－∞，1)； 当a ＝2时，x ∈{x |x ≠1且x ∈R }； 当a <0时，x ∈{x |2 a 当02 a 或x <1}； 当a >2时，x ∈{x |x <2 a 或x >1}． 综上所述，当a ＝0时，x ∈(－∞，1)； 当a ＝2时，x ∈{x |x ≠1且x ∈R }； 当a <0时，x ∈{x |2 a 当02 a 或x <1}； 当a >2时，x ∈{x |x <2 a 或x >1}． 单元检测三 导数及其应用 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2015·赣州联考)函数f (x )＝3ln x ＋x 2－3x ＋3在点(3，f (3))处的切线斜率是( ) A ．－2 3 B. 3 C ．2 3 D ．4 3 2．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．e C.ln 2 2 D ．ln 2 3．(2015·黑龙江双鸭山一中期中)若函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝3x －2，则函数g (x )＝x 2＋f (x )的图象在点(1，g (1))处的切线方程为( ) A ．5x －y －3＝0 B ．5x －y ＋3＝0 C ．x －5y ＋3＝0 D ．x －5y －3＝0 4．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( ) A ．20 B ．18 C ．3 D ．0 5．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( ) A.112 B.16 C.13 D.1 2 6．(2015·河北衡水中学调考)函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A ．0 B ．b <1 C ．b >0 D ．b <1 2 7．(2015·辽宁丹东五校协作体期末)若曲线y ＝1 2e x 2与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，则实数 a 等于( ) A ．－2 B.1 2 C ．1 D ．2 8．设函数f (x )＝ax 3＋3x ，其图象在点(1，f (1))处的切线l 与直线x －6y －7＝0垂直，则直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．1 B ．3 C ．9 D ．12 9．(2015·淄博一模)曲线f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1上的点到直线2x －y ＝3的距离的最小值为( ) A.5 5 B. 5 C.25 5 D ．2 5 10．(2015·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A.??? ?－3 2e ，1 B.???－32e ，34 C.???32e ，3 4 D.????32e ，1 11．(2015·广东阳东一中摸底)曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋3 B ．y ＝1 2 x －3 C ．y ＝2x ＋3 D ．y ＝3x －2 12．(2015·西安模拟)设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个 “次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋5 2在区间[1,4]上存在“次不动点”， 则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B.????0，12 C.??? ?1 2，＋∞ D.? ???－∞，1 2 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围是________． 14．(2015·百色模拟)已知a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e － x 的导函数y ＝f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率 为3 2 ，则切点的横坐标为________． 15．(2015·豫东、豫北十所名校联考)若0 sin x x ，b ＝sin x x ，c ＝sin x x ，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 16．(2015·湖南雅礼中学5月一模)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 在(0，＋∞)上存在公共点，则a 的取值范围为____________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2015·河北保定第一中学模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2f ′(1)＋1，且f ′(－1)＝9. (1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)若存在x ∈(1，＋∞)使得函数f (x ) 3处取得极值． (1)确定a 的值； (2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性． 19.(12分)(2015·赣州联考)已知函数f (x )＝1 2x 2－a ln x . (1)求f (x )的单调区间； (2)设g (x )＝f (x )＋2x ，若g (x )在[1，e]上不单调且仅在x ＝e 处取得最大值，求a 的取值范围． 20．(12分)(2015·南宁联考)已知函数f (x )＝－a ln x ＋(a ＋1)x －1 2x 2(x >0)． (1)若x ＝1是函数f (x )的极大值点，求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f (x )≥－1 2x 2＋ax ＋b 恒成立，求实数ab 的最大值． 21.(12分)(2015·安徽)已知函数f (x )＝ ax (x ＋r )2 (a >0，r >0)． (1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若a r ＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值． 22．(12分)(2015·豫东、豫北十所名校联考)已知函数f (x )＝a e x ＋a x ＋ln x ，a ∈R . (1)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值； (2)当a ＝1e －1 时，求证：?x ∈(0，＋∞)，f (x )＋1 x ≥ln x ＋2a ＋2. 答案解析 1．C 2.B 3.A 4．A [因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，可知f (x )在x ＝±1处取得极值． 又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1， 所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19. 由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ， 从而t ≥20， 所以t 的最小值是20.] 5．B [求导得y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3， 所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝3(x －1)， 结合图象易知所围成的三角形是直角三角形， 三个交点的坐标分别是(2 3，0)，(1,0)，(1,1)， 于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝1 6，故选B.] 6．A [设f ′(x )＝3(x 2－b )， ∵函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值， ∴? ???? f ′(0)<0 f ′(1)>0，解得0 由y ＝a ln x ，得y ′＝a x . ∵它们在点P 处有公共切线， ∴x e ＝a x ，解得x ＝e a ，代入两曲线得12e ·e a ＝a 2(ln a ＋1)， ∴ln a ＋1＝1，解得a ＝1，故选C.] 8．B [f ′(x )＝3ax 2＋3，由题设得f ′(1)＝－6，所以3a ＋3＝－6，a ＝－3.所以f (x )＝－3x 3＋3x ，f (1)＝0，切线l 的方程为y －0＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋6.所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝1 2×1×6＝3.选B.] 9．B [f ′(x )＝e x ＋2x ＋1，设与直线2x －y ＝3平行且与曲线f (x )相切于点P (s ，t )的直线方程为2x －y ＋m ＝0，则e s ＋2s ＋1＝2，解得s ＝0. ∴切点为P (0,2)． ∴曲线f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1上的点到直线2x －y ＝3的距离的最小值为点P 到直线2x －y ＝3的距离d ，且d ＝|0－2－3| 5 ＝ 5.故选B.] 10．D [由已知函数关系式，先找到满足f (x 0)<0的整数x 0，由x 0的唯一性列不等式组求解． ∵f (0)＝－1＋a <0，∴x 0＝0. 又∵x 0＝0是唯一的使f (x )<0的整数， ∴? ???? f (－1)≥0，f (1)≥0， 即????? e － 1[2×(－1)－1]＋a ＋a ≥0，e (2×1－1)－a ＋a ≥0， 解得a ≥32e . 又∵a <1，∴32e ≤a <1，经检验a ＝3 4，符合题意． 故选D.] 11．C [因为f ′(x )＝cos x ＋e x ，所以f ′(0)＝2， 所以曲线在x ＝0处的切线方程为y －3＝2(x －0)， 即2x －y ＋3＝0.故选C.] 12．D [设g (x )＝f (x )＋x ，依题意，存在x ∈[1,4]，使g (x )＝f (x )＋x ＝ax 2－2x －a ＋52＝0.当x ＝1时，g (1)＝1 2≠0；当 x ≠1时，由ax 2 －2x －a ＋5 2＝0得a ＝4x －52(x 2－1).记h (x )＝4x －52(x 2－1)(1 ＝0得x ＝2或 x ＝1 2(舍去)．当x ∈(1,2)时，h ′(x )>0；当x ∈(2,4)时，h ′(x )<0，即函数h (x )在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，因此当x ＝2时，h (x )取得最大值，最大值是h (2)＝1 2，故满足题意的实数a 的取值范围是????－∞，12，选D.] 13．(－1,0) 解析 当a ＝0时，则f ′(x )＝0，函数f (x )不存在极值． 当a ≠0时，令f ′(x )＝0，则x 1＝－1，x 2＝a . 若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)2≤0，函数f (x )不存在极值；若a >0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意； 解析 由题意可得，f ′(x )＝e x －a e x 是奇函数， ∴f ′(0)＝1－a ＝0， ∴a ＝1，f (x )＝e x ＋1e x ，f ′(x )＝e x －1 e x ， ∵曲线y ＝f (x )在(x ，y )的一条切线的斜率是3 2， ∴32＝e x －1e x ， 解方程可得e x ＝2，∴x ＝ln 2. 15．a >b >c 解析 易知当0 < sin x x .设f (x )＝sin x x ，则f ′(x )＝x cos x －sin x x 2 ，设h (x )＝x cos x －sin x ，则h ′(x )＝－x sin x ．当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴当x ∈(0,1)时，h (x ) ＝0，∴f ′(x )<0在(0,1)上恒成立，∴f (x )在(0,1)上单调递减，又∵0 x . 综上： sin x x >sin x x >sin x x ，即a >b >c . 16.????e 2 4，＋∞ 解析 由题意知方程ax 2 ＝e x (a >0)在(0，＋∞)上有解，则a ＝e x x 2，x ∈(0，＋∞)， 令f (x )＝e x x 2，x ∈(0，＋∞)， 则f ′(x )＝x e x －2e x x 3，x ∈(0，＋∞)， 由f ′(x )＝0得x ＝2， 当0 x 2在区间(0,2)上是减函数， 当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e x x 2在区间(2，＋∞)上是增函数， 所以当x ＝2时，函数f (x )＝e x x 2在(0，＋∞)上有最小值f (2)＝e 24，所以a ≥e 2 4. 17．解 (1)∵f (x )＝ax 3＋x 2f ′(1)＋1， ∴f ′(x )＝3ax 2＋2xf ′(1)， ∴???? ? f ′(1)＝3a ＋2f ′(1)，f ′(－1)＝3a －2f ′(1)＝9. ∴? ???? a ＝1，f ′(1)＝－3.∴f (x )＝x 3－3x 2＋1， ∴f (1)＝－1. 故曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－3(x －1)－1＝－3x ＋2， 即3x ＋y －2＝0. (2)f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 当1 则函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增，f (x )≥f (2)＝－3. 则由题意可知，m >－3，即所求实数m 的取值范围为(－3，＋∞)． 18．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 因为f (x )在x ＝－4 3处取得极值，所以f ′????－43＝0， 即3a ·169＋2·????－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝????12x 3＋x 2e x ， 故g ′(x )＝????32x 2＋2x e x ＋??? ?1 2x 3＋x 2e x ＝????12x 3＋52x 2 ＋2x e x ＝1 2 x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x ＜－4时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数； 当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当x ＞0时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数． 综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数． 19．解 (1)f ′(x )＝x 2－a x (x >0)， 当a ≤0时，f ′(x )≥0，增区间为(0，＋∞)， 当a >0时，f ′(x )≥0?x >a ，f ′(x )<0?0 x ＋2＝x 2＋2x －a x (x >0)， 设h (x )＝x 2＋2x －a (x >0)，
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