2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第9课时)知识过关检测 理 新人教A版

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第2章《基本初等函数、导数及其应用》（第9课时）（新人教A 版）

一、选择题

1．(2011·高考湖北卷)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M ()t ＝M 02

－

t

30

，其中M 0为t ＝0时铯137的

含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2()太贝克/年，则M ()60＝( )

A ．5太贝克

B ．75ln 2太贝克

C ．150ln 2太贝克

D ．150太贝克

解析：选D.∵M ′()t ＝－130M 02－t

30

·ln 2，

∴M ′()30＝－130×1

2

M 0ln 2＝－10ln 2，

∴M 0＝600. ∴M ()t ＝600×2－t

30，

∴M ()60＝600×2－2

＝150()太贝克.

2．国家规定某行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( )

A ．560万元

B ．420万元

C ．350万元

D ．320万元 解析：选D.设该公司的年收入为a 万元， 则280p %＋(a －280)(p ＋2)%＝a (p ＋0.25)%.

解之得a ＝280×2

2－0.25

＝320.

3．(2013·武汉调研)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( )

A ．5 km 处

B ．4 km 处

C ．3 km 处

D ．2 km 处

解析：选A.设仓库建在离车站x km 处，则y 1＝k 1

x

，y 2＝k 2x ，根据已知数据可得k 1＝20，

k 2＝0.8，两项费用之和y ＝20

x

＋0.8x ≥2

20

x

×0.8x ＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，

故仓库应建在离车站5 km 处．

4．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，则汽车离开A 地的距离x (千米)与时间t (小时)之间的函数表达式是( )

A ．x ＝60t

B ．x ＝110t

C ．x ＝????

?

60t 0≤t ≤2.5150－5t t >3.5

D ．x ＝???

?

?

60t t t 150－

t －

t

解析：选D.到达B 地需要150

60

＝2.5(小时)，

所以当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ； 当2.5

当3.5

某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如右图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

解析：选C.由题图可知营运总利润y ＝－(x －6)2

＋11，

则营运的年平均利润y x ＝－x －25

x

＋12，

∵x ∈N *

，∴y x

≤－2

x ·25

x

＋12＝2，

当且仅当x ＝25

x

，即x ＝5时取“＝”．

∴x ＝5时营运的年平均利润最大． 二、填空题

6．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元．

解析：设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2

－225]，

∴当x ＝95时，y 最大． 答案：95

7．司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车．(精确到1小时)

解析：设x 小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/mL ，则有0.3·(34

)x

≤0.09，即

(34

)x

≤0.3，估算或取对数计算得5小时后，可以开车． 答案：5

8．某种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价________． 解析：设商品原价为a ，应提价为x ， 则有a (1－10%)(1＋x )＝a ，

∴x ＝11－10%－1＝109－1＝1

9≈11.11%.

答案：11.11%

三、解答题 9.

(2013·济宁质检)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB ＝3米，AD ＝2米．

(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ (2)当DN 的长为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：(1)设DN 的长为x (x ＞0)米， 则AN ＝(x ＋2)米． ∵DN AN ＝DC AM ，∴AM ＝x ＋x

，

∴S AMPN ＝AN ·AM ＝x ＋

2

x .

由S AMPN ＞32，得

x ＋2

x

＞32，又x ＞0，

得3x 2

－20x ＋12＞0，

解得：0＜x ＜2

3

或x ＞6，

即DN 的长的取值范围是 ? ??

??0，23∪(6，＋∞)． (2)矩形花坛AMPN 的面积为

y ＝x ＋2x ＝3x 2＋12x ＋12x

＝3x ＋12

x

＋12≥2

3x ·12

x

＋12＝24，

当且仅当3x ＝12

x

，即x ＝2时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24.

故DN 的长为2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米． 10．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝

k 3x ＋5

(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k 的值及f (x )的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值． 解：(1)设隔热层厚度为x cm ，

由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝

k

3x ＋5

(0≤x ≤10)， 再由C (0)＝8，得k ＝40，

因此C (x )＝40

3x ＋5

(0≤x ≤10)．

而建造费用为C 1(x )＝6x .

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )

＝20×

403x ＋5＋6x ＝800

3x ＋5

＋6x (0≤x ≤10)． (2)法一：f ′(x )＝6－2400

x ＋2

.

令f ′(x )＝0，即2400

x ＋2＝6，

解得x ＝5或x ＝－25

3

(舍去)．

当0≤x <5时，f ′(x )<0； 当50. 故x ＝5是f (x )的最小值点，

对应的最小值为f (5)＝6×5＋800

15＋5

＝70.

当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．

法二：f (x )＝800

3x ＋5＋2(3x ＋5)－10

≥2

800

3x ＋5x ＋－10＝70，

当且仅当800

3x ＋5

＝2(3x ＋5)，即x ＝5时，等号成立．

∴当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．

一、选择题

1．(2013·青岛质检)牛奶保鲜时间因储藏时温度不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度是一种指数函数型关系．若牛奶放在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是192 h ，而在22 ℃的厨房中则约是42 h ，则保鲜时间y (h)关于储藏温度x (℃)的函数解析式是( )

A ．y ＝192·? ????32722x

B ．y ＝192·? ????327x

22

C ．y ＝192·? ????73222x

D ．y ＝192·? ????732x

22

解析：选D.设y ＝a ·b x

.

则由已知得：?

????

192＝a ·b

42＝a ·b 22

，解得????

?

a ＝192

b ＝? ????7321

22

，

∴y ＝192·? ??

??732x 22.

2．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )

A ．y ＝[x 10]

B ．y ＝[x ＋3

10]

C ．y ＝[x ＋410]

D ．y ＝[x ＋5

10

]

解析：选B.由题意，当x ＝17时，A 选项错误，当x ＝16时，[x ＋410]＝2，[x ＋5

10

]＝2，

所以C 、D 选项错误，故选B.

二、填空题

3．某服装商贩同时卖出两套服装，卖出价为168元/套，以成本计算一套盈利20%，而另一套亏损20%，则此商贩________(赚或赔多少钱)．

解析：设盈利的那套服装成本价为x ，则x ＋20%x ＝168，x ＝140元，设亏损的那套服装成本价为y ，则y －20%y ＝168，y ＝210元，所以商贩赔(210－168)－(168－140)＝14(元)．

答案：赔14元

4．(2013·惠州调研)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水

量符合指数衰减曲线y ＝a e nt

.假设过5分钟后甲桶与乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a

8

升，则m ＝________.

解析：根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt

，因为12＝e 5n ，故18

＝e 15n ，解得t ＝15，故

m ＝15－5＝10.

答案：10 三、解答题

5．(2011·高考湖南卷)

如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向作匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1)P 或

P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为1

10

；(2)

其他面的淋雨量之和，其值为1

2

.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面

积S ＝3

2

时，

(1)写出y 的表达式；

(2)设0

解：(1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝

100

v

? ????320|v －c |＋12＝5v

(3|v －c |＋10)． (2)由(1)知：

当0

v

－15；

当c

v (3v －3c ＋10)＝

－3c

v

＋15.

故y ＝?

??

??

c ＋

v

－15，0

－3c

v

＋15，c

①当0

2.

②当10

3

在(c,10]上，y 是关于v 的增函数，故当v ＝c 时，y min ＝50

c

.