第4讲 功能关系在力学中的应用
1.如图所示,在外力作用下某质点运动的v -t 图象为正弦曲线.从图中可以判断( ).
A .在0~t 1时间内,外力做正功
B .在0~t 1时间内,外力的功率逐渐增大
C .在t 2时刻,外力
的功率最大D .在t 1~t 3时间内,外力做的总功为零
2.一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落,到最低点时距水面还有数米距离.假
定空气阻力可忽略,运动员可视为质点,下列说法正确的是( ).A .运动员到达最低点前重
力势能始终减小B .蹦极绳张紧后的下落过程中,弹力做负功,弹性势能增加C .蹦极过程中,运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒D .蹦极过程中,重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
3.如图所示,楔形木块abc 固定在水平面上,粗糙斜面ab 和光滑斜面bc 与水平面的夹角相同,
顶角b 处安装一定滑轮.质量分别为M 、m (M >m )的滑块、通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接,
轻绳与斜面平行.两滑块由静止释放后,沿斜面做匀加速运动.若不计滑轮的质量和摩擦,在
两滑块沿斜面运动的过程中( ).A .两滑块组成的系统机械能守恒B .重力对M 做的功等于
M 动能的增加C .轻绳对m 做的功等于m 机械能的增加D .两滑块组成系统的机械能损失
等于M 克服摩擦力做的功
4.如图,游乐场中,从高处A 到水面B 处有两条长度相同的光滑轨道,甲、乙两小孩沿不
同轨道同时从A 处自由滑向B 处,下列说法正确的有( ).A .甲的切向加速度始终比乙
的大B .甲、乙在同一高度的速度大小相等C .甲、乙在同一时刻总能到达同一高度D .甲
比乙先到达B 处
主要题型:选择题、计算题 热点聚焦(1)功、功率的理解及定量计算,往往与图象相结合(2)动能定理的应用(3)机械能守恒定律的应用(4)滑动摩擦力做功情况下的功能关系问题
命题趋势 2012年,2013年全国课标卷在力学功能关系中均没有单独命题.(1)结合直线运动考查功、功率的理解及计算.(2)对动能定理的考查,可能出现以下情景:①物体在单一过程中受恒力作用,确定物体动能的变化.②物体经历多个过程,受多个力的作用,且每个过程中所受力的个数可能不同,确定物体动能的变化.③在一个复杂的综合问题的某一过程,应用牛顿第二定律与动能定理相结合,分析力的做功或物体的动能变化情况.(3)对机械能守恒定律的考查,可能出现以下两种情景:①结合物体的典型运动进行考查,如平抛运动、圆周运动、自由落体运动.②在综合问题的某一过程中遵守机械能守恒定律时进行考查.(4)对功能关系的考查,可能出现以下情景:①功能关系结合曲线运动及圆周运动进行考查.②功能关系结合多个物体间的相对运动进行考查.③物体经历多个过程,有多个力做功,涉及多种形式的能量转化的考查.
考向一 功、功率的理解与计算1.恒力做功的公式:W =Fl cos α2.功率(1)平均功率:P =W t
=F v -cos α(2)瞬时功率:P =F v cos α(α为F 与v 的夹角)3.机车的启动问题 解决问题的关键是明确所研究的问题处在哪个阶段上,以及匀加速
过程的最大速度v 1和全程的最大速度v m 的区别和求解方法.(1)求v 1:由F -F 阻=ma ,可求v 1=P F
.(2)求v m :由P =F 阻v m ,可求v m =P F 阻
. 【典例1】 一质量为1 kg 的质点静止于光滑水平面上,从t =0时刻起,第1秒内受到2 N 的水平外力作用,第2秒内
受到同方向的1 N 的外力作用.下列判断正确的是( ).A .0~2 s 内外力的平均功率是94
WB .第2秒内外力所做的功是54 JC .第2秒末外力的瞬时功率最大D .第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是45
求功的主要方法:①公式法:W =Fl cos α其关键:利用运动学公式求位移和利用牛顿第二定律求力.②动能定理法:W 合=ΔE k 其关键:分析各力做功情况及物体的动能变化.
【预测1】 某中学科技小组制作的利用太阳能驱动小车的装置.当太阳光照射到小车上方的光电板时,光电板中产生的电流经电动机带动小车前进.若质量为m 的小车在平直的水泥路上从静止开始沿直线加速行驶,经过时间t 前进的距离为s ,且速度达到最大值v m .设这一过程中电动机的功率恒为P ,小车所受阻力恒为F ,那么这段时间内( ).
A .小车做匀加速运动
B .小车受到的牵引力逐渐增大
C .小车受到的合外力所做的功为Pt
D .小车受到的牵引力做的
功为Fs +12m v 2m
【预测2】 放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用,在0~6 s
内其速度与时间的图象和该拉力的功率与时间的图象分别如图2-4-4
甲、乙所示.下列说法正确的是( ).A .0~6 s 内物体的位移大小为
30 mB .0~6 s 内拉力做的功为70 JC .合外力在0~6 s 内做的功与0~
2 s 内做的功相等D .滑动摩擦力的大小为5 N
考向二 动能定理的应用
【典例2】如图2-4-5所示,水平路面CD的右侧有一长L1=2 m的板M,一物块放
在板M的最右端,并随板一起向左侧固定的平台运动,板M的上表面与平台等高.平
台的上表面AB长s=3 m,光滑半圆轨道AFE竖直固定在平台上,圆轨道半径R=0.4 m,
最低点与平台AB相切于A点.当板M的左端距离平台L=2 m时,板与物块向左运动
的速度v0=8 m/s.当板与平台的竖直墙壁碰撞后,板立即停止运动,物块在板上滑动,
并滑上平台.已知板与路面的动摩擦因数μ1=0.05,物块与板的上表面及轨道AB的动摩擦因数μ2=0.1,物块质量m =1 kg,取g=10 m/s2.(1)求物块进入圆轨道时对轨道上的A点的压力;(2)判断物块能否到达圆轨道的最高点E.如果能,求物块离开E点后在平台上的落点到A点的距离;如果不能,则说明理由.
动能定理解题的基本步骤
【预测3】如图2-4-6所示,水平轨道上轻弹簧左端固定,弹簧处于自然状态时,其右端位
于P点,现用一质量m=0.1 kg的小物块(可视为质点)将弹簧压缩后释放,物块经过P点时的速
度v0=16 m/s,经过水平轨道右端Q点后恰好沿光滑半圆轨道的切线进入竖直固定的圆轨道,
最后物块经轨道最低点A抛出后落到B点,若物块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.5,R=1.6 m,
P到Q的长度l=3.1 m,A到B的竖直高度h=1.25 m,取g=10 m/s2.(1)求物块到达Q点时的
速度大小;(2)判断物块经过Q点后能否沿圆周轨道运动;(3)求物块水平抛出的位移大小.
【预测4】如图所示,在光滑水平地面上放置质量M=2 kg的长木板,木板上表面与固定的竖
直弧形轨道相切.一质量m=1 kg的小滑块自A点沿弧面由静止滑下,A点距离长木板上表面
高度h=0.6 m.滑块在木板上滑行t=1 s后,和木板以共同速度v=1 m/s匀速运动,取g=10 m/s2.
求:(1)滑块与木板间的摩擦力;(2)滑块沿弧面下滑过程中克服摩擦力做的功;(3)滑块相对木板
滑行的距离及在木板上产生的热量.
考向三机械能守恒定律的应用
【典例3】山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤,其示意图如图2-4-8.
图中A、B、C、D均为石头的边缘点,O为青藤的固定点,h1=1.8 m,h2=4.0 m,x1
=4.8 m,x2=8.0 m.开始时,质量分别为M=10 kg和m=2 kg的大、小两只滇金丝
猴分别位于左边和中间的石头上,当大猴发现小猴将受到伤害时,迅速从左边石头的
A点水平跳至中间石头.大猴抱起小猴跑到C点,抓住青藤下端,荡到右边石头上的
D点,此时速度恰好为零.运动过程中猴子均可看成质点,空气阻力不计,重力
加速度g=10 m/s2.求:(1)大猴从A点水平跳离时速度的最小值;(2)猴子抓住青藤
荡起时的速度大小;(3)猴子荡起时,青藤对猴子的拉力大小.
用机械能守恒定律解题的基本思路
【预测5】如图2-4-9所示,劲度系数为k的轻质弹簧,
一端系在竖直放置的半径为R的圆环顶点P,另一端系一质
量为m的小球,小球穿在圆环上做无摩擦的运动.设开始
时小球置于A点,弹簧处于自然状态,当小球运动到最低点
时速率为v,对圆环恰好没有压力.下列分析正确的是
().A.从A到B的过程中,小球的机械能守恒B.从
A到B的过程中,小球的机械能减少C.小球过B点时,弹
簧的弹力为mg +m v 2R D .小球过B 点时,弹簧的弹力为mg +m v 2
2R
【预测6】 如图所示,在竖直平面内有一固定光滑轨道,其中AB 是长为R 的水平直轨道,BCD
是圆心为O 、半径为R 的34
圆弧轨道,两轨道相切于B 点.在外力作用下,一小球从A 点由静止开始做匀加速直线运动,到达B 点时撤除外力.已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C ,重力加
速度大小为g .求:(1)小球在AB 段运动的加速度的大小;(2)小球从D 点运动到A 点所用的时间.
考向四 功能关系的应用
力学中常见的功能关系
【典例4】 如图2-4-11所示,水平桌面上的轻质弹簧一端固定,
另一端与小物块相连.弹簧处于自然长度时物块位于O 点(图中未标
出).物块的质量为m ,AB =a ,物块与桌面间的动摩擦因数为μ.现
用水平向右的力将物块从O 点拉至A 点,拉力做的功为W .撤去拉
力后物块由静止向左运动,经O 点到达B
点时速度为零.重力加速度为g .则上述过
程中( ).A .物块在A 点时,弹簧的弹
性势能等于W -12μmga B .物块在B 点时,弹簧的弹性势能小于W -32
μmga C .经O 点时,物块的动能小于W -μmga D .物块动能最大时弹簧的弹性势能小于物块在B 点时弹簧的弹性势能
1.解决功能关系问题应该注意的两个方面(1)分析清楚是什么力做功,并且清楚该力做正功,还是做负功;根据功能之间的一一对应关系,判定能的转化形式,确定能量之间的转化多少.(2)也可以根据能量之间的转化情况,确定是什么力做功,尤其可以方便计算变力做功的多少.
2.易错易混点ΔE 内=F f l 相对中l 相对为相对滑动的两物体间相对滑行路径的总长度.
【预测7】 有一块长木板P 放在固定斜面上,木板上又放物体M ,P 、M 之间有摩擦,斜面和木
板间摩擦不计,以恒力F 沿斜面向上拉木板P ,使之由静止滑动一段距离x 1,M 只向上运动了x 2,
且x 2 B .P 对M 摩擦力做的功等于M 机械能的增量 C .外力F 做的功等于P 和M 机械能的增量与P 克服摩擦力做的功之和D .P 对M 摩擦力做的功等于M 对P 摩擦力做的功 【预测8】 如图2-4-13所示,甲、乙两种粗糙面不同的传送带,倾斜于水平 地面放置,以同样恒定速率v 向上运动.现将一质量为m 的小物体(视为质点) 轻轻放在A 处,小物体在甲传送带上到达B 处时恰好达到传送带的速率v ,在 乙传送带上到达离B 竖直高度为h 的C 处时达到传送带的速率v .已知B 处离地 面的高度皆为H .则在物体从A 到B 的过程中( ).A .两种传送带与小物体 之间的动摩擦因数相同B .将小物体传送到B 处,两种传送带消耗的电能相等 C .两种传送带对小物体做功相等 D .将小物体传送到B 处,两种系统产生的热量相等 技法四 计算题解题技巧 审题技巧与策略 在审题过程中,要特别注意以下几个方面:第一,题中给出什么. 第二,题中要求什么.第三,题中隐含什么.第四,怎样把物理情景转化为具体的物理条件 理解题意的具体方法是:1.认真审题,捕捉关键词. 如“最多”、“最 大”、“最长”、“最短”、“刚好”、“瞬间”等.2.认真审题, 挖掘隐含条件.3.审题过程要注意画好情境示意图,把物理图景转化 为物理条件. 4.审题过程要建立正确的物理模型.5.在审题过程中要特别注意题中 的临界条件. 【典例】 电动机通过一质量不计的轻绳用定滑轮吊起质量为8 kg 的物 体.已知绳能承受的最大拉力为120 N .电动机的输出功率可以调节, 其最大功率为1 200 W .若将此物体由静止开始用最快方式上升90 m(物 体在吊高到接近90 m 时已开始以最大速度匀速上升),试求所需最短时 间为多少?(g 取10 m/s 2) 【即学即练】 蹦床比赛分成预备运动和比赛动作两个阶段.最初,运 动员静止站在蹦床上;在预备运动阶段,他经过若干次蹦跳,逐渐增加 上升高度,最终达到完成比赛动作所需的高度;此后,进入比赛动作阶段.把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧,弹力大小F =kx (x 为床面下沉的距离,k 为常量).质量m =50 kg 的运动员静止站在蹦床上,床面下 沉x 0=0.10 m ;在预备运动中,假定运动员所做的总功W 全部用于增加其机械能;在比赛动作中, 把该运动员视作质点,其每次离开床面做竖直上抛运动的腾空时间均为Δt =2.0 s ,设运动员每次 落下使床面压缩的最大深度均为x 1.取重力加速度g =10 m/s 2,忽略空气阻力的影响.(1)求常量k , 并在图2-4-14中画出弹力F 随x 变化的示意图; (2)求在比赛动作中,运动员离开床面后上升的最大高度h m ;(3)借助F -x 图象可以确定弹力做功 的规律,在此基础上,求x 1和W 的值. 1.用一水平拉力使质量为m 的物体从静止开始沿粗糙的水平面运动,物体的v -t 图象如图2-4 -15所示.下列表述正确的是( ).A .在0~t 1时间内拉力逐渐增大B .在0~t 1时间内物体 做曲线运动C .在t 1~t 2时间内拉力的功率不为零D .在t 1~t 2时间内合外力做功为12 m v 2 2.A 、B 两物体的质量之比m A ∶m B =2∶1,它们以相同的初速度v 0在水平面上做匀减速直线运动,直到停止,其v -t 图象如图2-4-16所示.那么,A 、B 两物体所受摩擦阻力之比F A ∶F B 与A 、B 两物体克服摩擦 阻力做的功之比W A ∶W B 分别为( ).A .2∶1,4∶1 B .4∶1,2∶1C .1∶4,1∶2 D .1∶2,1∶4 3.用竖直向上大小为30 N 的力F ,将2 kg 的物体由沙坑表面静止抬升1 m 时撤去力F ,经一段时 间后,物体落入沙坑,测得落入沙坑的深度为20 cm.若忽略空气阻力,g 取10 m/s 2.则物体克服沙坑 的阻力所做的功为( ).A .20 J B .24 J C .34 JD .54 J 4.光滑水平地面上叠放着两个物体A 和B ,如图2-4-17所示.水平拉力F 作用在物体B 上,使 A 、 B 两物体从静止出发一起运动.经过时间t ,撤去拉力F ,再经过时间t ,物体A 、B 的动能分别 设为E A 和E B ,在运动过程中A 、B 始终保持相对静止.以下有几个说法正确的是( ). A .E A +E B 等于拉力F 做的功B .E A +E B 小于拉力F 做的功 C .E A 等于拉力F 和摩擦力对物体A 做功的代数和D .E A 大于撤去拉力F 前摩擦力对物体A 做的功 5.质量为1 kg 的物体静止于光滑水平面上.t =0时刻起,物体受到向右的水平拉力F 作用,第1 s 内F =2 N ,第2 s 内F =1 N .下列判断正确的是( ).A .2 s 末物体的速度是4 m/sB .2 s 内物 体的位移为3 mC .第1 s 末拉力的瞬时功率最大D .第2 s 末拉力的瞬时功率最大 6.如图2-4-18所示,足够长的水平传送带以稳定的速度v 0匀速向右运动,某时刻在其左端无初速地放上一个质量 为m 的物体,经一段时间,物体的速度达到v 02 ,这个过程因物体与传送带间的摩擦而产生的热量为Q 1,物体继续加速,再经一段时间速度增加到v 0,这个过程中因摩擦而产生的热量为Q 2.则Q 1∶Q 2的值为 ( ).A .3∶1 B .1∶3C .1∶1 D .与μ大小有关 7.在离水平地面h 高处将一质量为m 的小球水平抛出,在空中运动过程中所受空气阻力 大小恒为F f ,水平距离为x ,落地速率为v ,那么,在小球运动过程中( ).A .重力所 做的功为mgh B .小球克服空气阻力所做的功为F f h 2+x 2 C .小球落地时,重力的瞬时功率为mg v D .小球的重力势能和机械能都逐渐减少 8.如图2-4-19所示,一固定斜面倾角为30°,一质量为m 的小物块自斜面底端以一定的初速度 沿斜面向上做匀减速运动,加速度的大小等于重力加速度的大小g .若物块上升的最大高度为H ,则 此过程中,物块的( ).A .动能损失了2mgH B .动能损失了mgH C .机械能损失了mgH D .机械能损失了12 mgH 9.如图2-4-20所示,穿在水平直杆上质量为m 的小球开始时静止.现对小球沿杆方向施加 恒力F 0,垂直于杆方向施加竖直向上的力F ,且F 的大小始终与小球的速度成正比,即F =k v (图 中未标出).已知小球与杆间的动摩擦因数为μ,小球运动过程中未从杆上脱落,且F 0>μmg .下列说法正确的是( ). A .小球先做加速度增大的加速运动,后做加速度减小的加速运动直到静止 B .小球的最大加速度为F 0m C .恒力F 0的最大功率为F 20+F 0μmg μk D .小球在加速运动过程中合力对其做功为12m ??? ?F 0+μmg μk 2 10.如图2-4-21所示,两根等长的细线拴着两个小球在竖直平面内各自做圆周运动.某一时刻 小球1运动到自身轨道的最低点,小球2恰好运动到自身轨道的最高点,这两点高度相同,此时两 小球速度大小相同.若两小球质量均为m ,忽略空气阻力的影响,则下列说法正确的是( ).A .此 刻两根线拉力大小相同B .运动过程中,两根线上拉力的差值最大为2mg C .运动过程中,两根线上拉力的差值最大为10mg D .若相对同一零势能面,小球1在最高点的机 械能等于小球2在最低点的机械能 11.质量为m =4 kg 的小物块静止于水平地面上的A 点,现用F =10 N 的水平恒力拉动物块一段时间后撤去,物块继续滑动一段位移停在B 点,A 、B 两点相距x =20 m ,物块与地面间的动摩擦因数μ=0.2,g 取10 m/s 2,求:(1)物块在力F 作用过程发生位移x 1的大小;(2)撤去力F 后物块继续滑动的时间t . 12.如图2-4-22所示,质量为m =0.1 kg 的小物块置于平台末端A 点,平台的右下 方有一个表面光滑的斜面体,在斜面体的右边固定一竖直挡板,轻质弹簧拴接在挡板上, 弹簧的自然长度为x 0=0.3 m ,斜面体底端C 距挡板的水平距离为d 2=1 m ,斜面体的倾 角为θ=45°,斜面体的高度h =0.5 m .现给小物块一大小为v 0=2 m/s 的初速度,使之 在空中运动一段时间后,恰好从斜面体的顶端B 无碰撞地进入斜面,并沿斜面运动,经 过C 点后再沿粗糙水平面运动,过一段时间开始压缩轻质弹簧.小物块速度减为零时,弹簧被压缩了Δx =0.1 m .已知小物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.5,设小物块经过C 点时无能量损失,重力加速度g 取10 m/s 2,求:(1)平台与斜面体间的水平距离d 1;(2)小物块在斜面上的运动时间t ;(3)压缩弹簧过程中的最大弹性势能E p . 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b (常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ, (1) 以及 c v =λ, (2) λρρd dv v v -=, (3) 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下: 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知 E=h v , λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2c E e μ<<动),那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子,那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 61051.0?,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有 p h = λ 4.29——6.1 4.29证明在z L ?的本征态下,0==y x L L 。(提示:利用x y z z y L i L L L L =-,求平均。) 证:设ψ是z L 的本征态,本征值为 m ,即ψψ m L z = [] x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ,[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L , ( )( ) ( ) 011 1 =-=-=-= ∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L 同理有:0=y L 。 附带指出,虽然x l ?,y l ?在x l ?本征态中平均值是零,但乘积x l ?y l ?的平均值不为零,能够证明:,2 1 2y x y x l l i m l l -== 说明y x l l ??不是厄密的。2?x l ,2?y l 的平均值见下题。 4.30 设粒子处于()?θ,lm Y 状态下,求()2 x L ?和() 2 y L ? 解:记本征态lm Y 为lm ,满足本征方程 ()lm l l lm L 221 +=,lm m lm L z =,lm m L lm z =, 利用基本对易式 L i L L =?, 可得算符关系 () ()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-== 2 () x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2 将上式在lm 态下求平均, 使得后两项对平均值的贡献互相抵消,因此 2 2 y x L L = 又()[] 222 2 2 1 m l l L L L z y x -+=-=+ ()[] 222 2 12 1 m l l L L y x -+= = ∴ 上题已证 0==y x L L 。 ()() ()[] 222 2 2 2 2 12 1 m l l L L L L L L x x x x x x -+= =-=-=?∴ 第五章: 对称性及守恒定律 P248设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。 (1) 证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2。 (2) 证明:对于定态 V r T ??=2 (证明)(1)z y x p z p y p x p r ??????++=? ,运用力学量平均值导数公式,以及对易算符的公配律: ]?,??[1)??(H p r i p r dt d ?=? )],,(?21,??????[]?,??[2z y x V p p z p y p x H p r z y x +++=?μ )],,()???(21 ,??????[222z y x V p p p p z p y p x z y x z y x +++++=μ )],,(,[21 ],??????[2 2 2 z y x V zp yp xp p p p p z p y p x z y x z y x z y x +++++++=μ (2) 分动量算符仅与一个座标有关,例如x i p x ?? = ,而不同座标的算符相对易,因此(2)式可简化成: ]?,??[21]?,??[21]?,??[21]?,??[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r μ μμ++=? )],,(,??????[z y x V p z p y p x z y x +++ ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[21222 V p z V p y V p x p p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++= μμμ (3) 前式是轮换对称式,其中对易算符可展开如下: x x x x p x p p x p p x ?????]?,??[23 2-= x x x x x x p x p p x p p x p p x ???????????22 23-+-= x x x x x p p x p p p x ?]?,?[??]?,?[2+= 222?2??x x x p i p i p i =+= (4) ],?[?????????????],??[V p x p V x V p x p x V V p x V p x x x x x x x =-=-= 第一章 量子力学的诞生 1、1设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动,用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示:利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? Λ )(x V 解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定:222 1 )(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = , (2) a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a a a a ==?=-=-=??? ?+-+-222222222)21(22πωπ ωωω 得ω ωπm n m nh a η22 = = (3) 代入(2),解出 Λη,3,2,1, ==n n E n ω (4) 积分公式: c a u a u a u du u a ++-=-? arcsin 2222 22 2 1、2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x 方向,有 ()?==?Λ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 (a 2:一来一回为一个周期) a h n p x x 2/=∴, 同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, Λ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量 2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为,下面就和两种情况来讨论(一)的情形 此时,粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 (1)粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波,所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波,所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 (二)的情形 令 ,不变 此时,粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 (1)粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波,所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去,所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 在有隧穿效应,粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点,如图所示 (1) ∞ ∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成 由波函数归一化条件得 所以波函数 (2) ∞∞ 左中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当,为任意整数, 则 当,为任意整数, 则 综合得 ∴ 当时,, 波函数 归一化后 当时,, 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中 其解为 由在右边波函数的有界性得为零 ∴ 再由连续性条件,即由 得 则 得 得 除以得 再由公式 ,注意到 令 , 第四章态叠加原理及力学量的算符表示 4-1 下列算符哪些是线性的?为什么? (1) (2) ( )2 (3) (4) 4-2 线性算符具有下列性质:,式中C是复数。下列算符哪些是线性的?(1)(2)(3)(4)(5)(6) 4-3 若都是厄米算符,但,试问:(1)是否厄米算符? (2)是否厄米算符? 4-4 证明下列算符哪些是厄米算符: 4-5 (1)证明(2) 4-6试判断下述二算符的线性厄米性,(1)(2) 4-7 试证明任意一个算符不可能有两个以上的逆。又问,算符的情况下,是什么样的算符? 4-8 对于一维运动,求的本征函数和本征值。进而求的本征值。 4-9 若算符有属于本征值为的本征函数,且有:和,证明和也是的本征函数,对应的本征值分别是和。 4-10 试求能使为算符的本征函数的值是什么?此本征函数的本征值是什么? 4-11 如果为线性算符的一个本征值,那么为的一个本征值。一般情况下,设为的多项式,则便为的一个本征值。试证明之。 4-12 试证明线性算符的有理函数也是线性算符。 4-13 当势能改变一个常数C时,即时,粒子的波函数与时间无关的那部分改变否?能量本征值改变否? 4-14 一维谐振子的势能,处于的状态中,其中,问:(1)它的能量有没有确定值?若有,则确定值是多少? (2)它的动量有没有确定值? 4-15 在时间时,一个线性谐振子处于用下列波函数所描写的状态:式中是振子的第n个时间无关本征函数。(a)试求C3的数值。(b)写出在t时的波函数。(c)在时振子的能量平均值是什么?在秒时的呢? 4-16 证明下列对易关系: ,4-17 证明下列对易关系: 第四章 量子力学的表述形式 (本章对初学者来讲是难点) 表象:量子力学中态和力学量的具体表示形式。 为了便于理解本章内容,我们先进行一下类比: 矢量(欧几里德空间) 量子力学的态(希尔伯特空间) 基矢),,(321e e e ~三维 本征函数,...),...,,(21n ψψψ~无限维 任意矢展开∑=i i i e A A 任意态展开 ∑=n n n a ψψ ),,(z y x e e e ),...)(),...,(),((21x x x n ψψψ 取不同坐标系 ),,(?θe e e r 取不同表象 ),...)(),...,(),((21p C p C p C n ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换 由此可见,可以类似于矢量A ,将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。 为此,我们将 ① 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间; ② 给出态和力学量算符在该空间的表示; ③ 建立各种不同表示之间的变换关系。 最后介绍一个典型应用(谐振子的粒子数表象)和量子力学的三种绘景。 4.1希尔伯特空间 狄拉克符号 狄拉克符号“ ”~类比: ),,(z y x A A A 欧氏空间的矢量 A →坐标系中的分量 ),,(?θA A A r ………. )(r ψ →表象下的表示 )(p C ………. 引入狄拉克符号的优点:①运算简洁;②勿需采用具体表象讨论。 一、 希尔伯特空间的矢量 定义:希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间,并且一般 是无限维的。 1、线性:①c b a =+;②a b λ=。 2、完备性:∑=n n n a a 。 3、内积空间: 引入与右矢空间相互共轭的左矢空间 ∑ ==? +n n n a a a a * ; )(:。 定义内积:==* a b b a 复数,0≥a a 。 1=a a ~归一化;b a b a ,~0=正交; m n n m δ=~正交归一;)(x x x x '-='δ~连续谱的正交归一。 二、 量子体系的态用希尔伯特空间的矢量表示 (此属“符号问题”,仅作简要介绍,主要由学生自己通过练习来熟悉符号) 1、态矢符合线性空间的要求:?λψψψψ=+=21。 2、任意态矢可用一组完备的基矢展开: nm m n n n n f f f a δψ==∑, 。 ∑∑ =→====n n n n m mn n n m n m n f a a a f f a f a ψδψ? 。 3、态可以求内积: ??==dx x x dx x x )(,)(??ψψ ~ 以}{x 为基, 其中 ??ψψx x x x ==)()(。 取ψ的左矢:?=dx x x )(*ψψ,有内积 ????='''='''=dx x x dx x d x x x x x d x x dx x x )()()()()()(***?ψ?ψ?ψ?ψ 上式已利用了连续谱的正交归一性)(x x x x '-='δ。 三、 希尔伯特空间的算符 算符 ψ?F F =: 1、算符对左矢的作用: F b 存在,其意义(定义)为 )()(a F b a F a F ==。 第四章:力学量用算符表示 [1]设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数,证明下述各式:[一维算符] (1)[] .2)(,2hipf q f p q = (证明)根据题给的对易式及[];0)(,=q f q []qf p f qp fq p f qp f p q 2222 2 ,-=-= f ih qp p qppf f pq p qppf )()(--=-= hipf pf hi pq qp 2)(=+-= (2))(])(,[pf fq ih p q pf q += (证明)同前一论题 )(],[hi qp pf qpfp pfpq qpfp pfp q --=-= hipf pqfp qpfp hipf pfpq qpfp +-=+-= )()(pf fp hi hipf fp pq qp +=+-= (3)ihfp p q f q 2])(,[2 = [证明]同前一题论据: fppq fqpp fppq qfpp fp q -=-=],[2 hifp fpqp fqpp hi qp fp fqpp +-=--=)( hifp hifp p pq qp f 2)(=+-= (4)i f p i h q f p p 22 )](,[= [证明]根据题给对易式外,另外应用对易式 i f i h q f p = )](,[ dq df f i ≡)( )(],[2222fp pf p fp p f p f p p -=-= 物83-309蒋 ~80~ i f p i h f p p 22],[= = (5)p pf i h p q pf p i = ])(,[ (证明)论据同(4): p fp pf p pfp fp p pfp p )(],[22-=-= p pf i h i = (6)2 2 ])(,[p f i h p q f p i = (证明)论据同(4): 2 2222)(],[p f i h p fp pf fp pfp fp p i = -=-= (2)证明以下诸式成立: (1) (证明)根据坐标分角动量对易式 为了求证 该矢量关系式,计算等号左方的矢量算符的x 分量。 以及 看到 由于轮换对称性,得到特征的公式。 ~81~ 第一章 绪论 1.1 由黑体辐射公式导出维思位移定律,能量密度极大值所对应的波长m λ与温 度T 成反比,即 b T m =λ (常数),并近似计算b 的数值,准确到二位有效值。 [解]:由黑体辐射公式,频率在ν与ννd +之间的辐射能量密度为 ννπνρννd e c h d kT h 1 183 3 -= 由此可以求出波长在λ与λλd +之间的能量密度λλρd )( 由于 λν/c =, λ λ νd c d 2 + = 因而有: λλπλλρλ d e hc d kT hc 1 1 8)(5 -= 令 λkT hc x = 所以有: 11 )(5 -=x e Ax λρ (44558c h T k A π=常数) 由 0 ) (=λλρd d 有 0)1(115)(254=??????---=λλλρd dx e e x e x A d d x x x 于是,得: 1 )51(=-x e x 该方程的根为 965.4=x 因此,可以给出, k hc xk hc T m 2014.0== λ 即 b T m =λ (常数) 其中 k hc b 2014.0=2383410380546.110997925.21062559.62014.0--????? = k m ??=-310898.2 [注] 根据 1183 3 -= kT h e c h νννπρ 可求能量密度最大值的频率: 令 kT h x ν= 11 3 -=x e Ax νρ (23338h c T k A π=) 0]11[3=-=ννρνd dx e Ax dx d d d x 因而可得 1 31=??? ?? -x e x 此方程的解 821.2=x h kT h kTx 821.2max == ν b T T b '=?'=-1 max max νν 其中 3423 1062559.610380546.1821 .2821.2--??=='h k b 1910878.5-???=s k 这里求得m ax ν与前面求得的m ax λ换算成的m ν的表示不一致。 1.2 在0k 附近,钠的价电子能量约为3电子伏,求其德布罗意波长。 [解] 德布罗意公式为 p h = λ 因为价电子能量很小,故可用非相对论公式 μ22 p E = 代入德布罗意公式得 λ= = 这里利用了电子能量 E eV =。将普朗克常数h ,电子质量μ和电子 电量电e 的数值代入后可得 第一章 量子力学的诞生 1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω= 中运动,用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示:利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===?? )(x V 解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定:2221)(a m x V E a x ω= ==。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = , (2) a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 得ω ωπm n m nh a 22== (3) 代入(2),解出 ,3,2,1,==n n E n ω (4) 积分公式: c a u a u a u du u a ++-=-?arcsin 222222 2 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x 方向,有 即 h n a p x x =?2 (a 2:一来一回为一个周期) a h n p x x 2/=∴, 同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, 粒子能量 1.3设一个平面转子的转动惯量为I ,求能量的可能取值。 提示:利用,,2,1,20 ==?n nh d p π ?? ?p 是平面转子的角动量。转子的能量I p E 2/2?=。 解:平面转子的转角(角位移)记为?。 它的角动量. ??I p =(广义动量),?p 是运动惯量。按量子化条件 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b (常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 λνc =, (2) ||λνρρλd d v =, (3) 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下: 如果令x=kT hc λ ,则上述方程为 这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。 解:根据德布罗意波粒二象性的关系,可知 λ h P =。 所考虑的粒子是非相对论性的电子(动能eV c m E e k 621051.0?=<<),满足 e k m p E 22 =, 因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式,有 在这里,利用了 m eV hc ??=-61024.1, eV c m e 621051.0?=。 最后,对 E m h e 2= λ 作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。 自然单位制: 在粒子物理学中,利用三个普适常数(光速c ,约化普朗克常数,玻耳兹曼常数 k )来减少独立的基本物理量的个数,从而把独立的量纲减少到只有一种(能量量纲,常用单位eV )。例:1nm=5.07/keV ,1fm=5.07/GeV , 电子质量m=0.51MeV . 核子(氢原子)质量M=938MeV ,温度5 18.610K eV -=?. 第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1)设A 与B 为厄米算符,则 ()BA AB +21 和()BA AB i -21也是厄米算符。由此证明,任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ,+F 与-F 均为厄米算符,且 ()()+++-=+= F F i F F F F 21 ,21 证:ⅰ)()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=?? ? ???++++++ 21212121 ()BA AB +∴2 1 为厄米算符。 ⅱ)()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=?? ? ???-+++++ 21212121 ()BA AB i -∴21 也为厄米算符。 ⅲ)令AB F =,则()BA A B AB F ===+++ +, 且定义 ()()+++-=+= F F i F F F F 21 ,21 (1) 由ⅰ),ⅱ)得-+ -++ +==F F F F ,,即+F 和-F 皆为厄米算符。 则由(1)式,不难解得 -++=iF F F 4.2)设),(p x F 是p x ,的整函数,证明 [][]F , F,,p i F x x i F p ??=?? -= 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞ == ,),(n m n m mn p x C p x F 。 证: (1)先证[ ][] 11 , ,,--=-=n n m m p ni p x x mi x p 。 [][][][][ ] [][ ] []()() []()1 111 11 3 3 1 3 32312 2211 1 1,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m m x m i x i x i m x x p x i m x x p x i x x p x x p x x i x x p x x p x x i x x p x p x x p 同理, 4.29——6.1 4.29证明在z L ?的本征态下,0==y x L L 。(提示:利用x y z z y L i L L L L =-,求平均。) 证:设ψ是z L 的本征态,本征值为 m ,即ψψ m L z = [] x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ,[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L , ( )( ) ( ) 011 1 =-=-=-= ∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L 同理有:0=y L 。 附带指 值不为零,能够证明: y x l l 4.30 L 因此 又()[] 222 2 2 1 m l l L L L z y x -+=-=+ ()[] 222 2 12 1 m l l L L y x -+= =∴ 上题已证 0==y x L L 。 ()() ()[] 222 2 2 2 2 12 1 m l l L L L L L L x x x x x x -+= =-=-=?∴ 同理 () ()[] 222 12 1 m l l L y -+= ?。 (补白)若需要严格论证2 x l 与2y l 的相等关系,可设 y x l i l l ???+≡+ y x l i l l ???-≡- 于是有)??(21?-++=l l l x )??(2 ?+--=l l i l y 求其符2 ?x l 的平方,用- +l l ??来表示: )????????(4 1?2- -+--++++++=l l l l l l l l l x )????????(4 1?2--+++--+--+=l l l l l l l l l y 再求它们在态im Y 中的平均值,在表示式中用标乘积符号时是 ))????????(4 1,(?2im im x Y l l l l l l l l Y l --+--++++++= (1) ))????????(4 1,(?2im im y Y l l l l l l l l Y l --+++--+--+= (2) 或都改写成积分形式如下,积分是对空间立体角取范围的: Ω+++= ??Ω --+--+++*d Y l l l l l l l l Y l im im x )????????((41 2 (3) = Ω l y 412 (4) (5) (6) 0?2,=Ω?=Ω????+* ++*d Y Y d Y l l Y m i im im im 常数 0??2,=Ω?=Ω????-*--*d Y Y d Y l l Y m i im im im 常数 2)1)((?? +-+=Ω??-+* m l m l d Y l l Y im im 2)1)((?? ++-=Ω?? +-*m l m l d Y l l Y im im 注意上述每一个积分的被积函数都要使用(5)的两个式子作重复运算, 再代进积分式中,如: 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b (常量) ; 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1833 -? =πρ, (1) 以及 c v =λ, (2) λρρd dv v v -=, (3) 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下: 011511 86' =???? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 011 5=-?+--kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b (常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 λνc =, (2) ||λνρρλd d v =, (3) 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是 要求的,具体如下: 011511 86=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 第四章习题解答 4.1.求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2x L 的矩阵元。 解:? ??'-'-=τπd e p z p y e L r p i y z r p i p p x )??()21()(3 ? ??'--=τπd e zp yp e r p i y z r p i )()21(3 ???'-??-??-=τπd e p p p p i e r p i z y y z r p i ))(()21(3 ? ?'-??-??-=τπd e p p p p i r p p i z y y z ) (3)21)()(( )()(p p p p p p i y z z y '-?? -??= δ ?''=τψψd L x L p x p p p x 2 *2)()( ? ??'--=τπd e p z p y e r p i y z r p i 23)??()21( ???'---=τπd e p z p y p z p y e r p i y z y z r p i )??)(??()21(3 ?''-??-??-=τπd e p p p p i p z p y e r p i y z z y y z r p i ))()(??()21(3 ???'--??-??=τπd e p z p y e p p p p i r p i y z r p i y z z y )??()21)()((3 ??'-??-??-=τπd e p p p p r p p i y z z y )(322 )21()( )()(22p p p p p p y z z y '-??-??-= δ # 4.2 求能量表象中,一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。 解:基矢:x a n a x u n π sin 2)(= 能量:2 2 222a n E n μπ = 对角元:2sin 202 a xdx a m x a x a mm ==?π 当时,n m ≠ ???=a mn dx a x x a m a x 0)(sin )(sin 2π 量 子 力 学 习 题 第一章 绪论 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反比,即 λm T=b (常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。 1.3 氦原子的动能是E=3kT/2(k 为玻耳兹曼常数),求T =1K 时,氦原子的德布罗意波长。 1.4 利用玻尔-索末菲的量子化条件,求: (1)一维谐振子的能量; (2)在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场H =10特斯拉,玻尔磁子M B =9×10-24焦耳/特斯拉,试计算动能的量子化间隔?E ,并与T =4K 及T =100K 的热运动能量相比较。 1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等,问要实现这种转化,光子的波长最大是多少? 第二章 波函数和薛定谔方程 2.1 由下列两定态波函数计算几率流密度: (1) ψ1=e ikr /r , (2) ψ2=e -ikr /r . 从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波,ψ2表示向内(即向原点)传播的球面波。 2.2 一粒子在一维势场 a x a x x x U >≤≤? ? ??∞∞=00,, 0,)( 中运动,求粒子的能级和对应的波函数。 2.3 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。 2.4 一粒子在一维势阱 a x a x U x U ≤>?? ?>=, 0, 0)(0 中运动,求束缚态(0 —— 证明在z L ?的本征态下,0==y x L L 。(提示:利用x y z z y L i L L L L η=-,求平均。) 证:设ψ是z L 的本征态,本征值为ηm ,即ψψηm L z = [] x L i ηΘ=-=y z z y z y L L L L L ,L ,[]y L i η=-=z x x z x z L L L L L ,L , ( )( ) ( ) 011 1 =-=-=-= ∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L ηηη ηη 同理有:0=y L 。 附带指出,虽然x l ?,y l ?在x l ?本征态中平均值是零,但乘积x l ?y l ?的平均值不为零,能够证明:,2 1 2y x y x l l i m l l -== η说明y x l l ??不是厄密的。2?x l ,2?y l 的平均值见下题。 设粒子处于()?θ,lm Y 状态下,求()2 x L ?和() 2 y L ? 解:记本征态lm Y 为lm ,满足本征方程 ()lm l l lm L 221η+=,lm m lm L z η=,lm m L lm z η=, 利用基本对易式 L i L L η=?, 可得算符关系 () ()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-==ηη2 () x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2 ηη 将上式在lm 态下求平均, 使得后两项对平均值的贡献互相抵消,因此 2 2 y x L L = 又()[] 222 2 2 1 ηΘm l l L L L z y x -+=-=+ ()[] 222 2 12 1 ηm l l L L y x -+= =∴ 上题已证 0==y x L L 。 ()() ()[] 222 2 2 2 2 12 1 ηm l l L L L L L L x x x x x x -+= =-=-=?∴ 4-18 如果算符βα ?,?满足下列对易规则:1????=-αββα,求证:1?????-=-n n n n βαββα(n 为正整数)。 4-19 参考矢量情况下的斯密特正交化步骤,试阐述由属于同一本征值而并一定正交的本征函数构成正交函数的方法。 4-20 有两个归一化的但不是正交的波函数1φ及2φ,? =αφφdt 2*1(实数),10<<α,试将1φ及2φ进行叠加组成两个正交归一化的函数1ψ及2ψ。 4-21 证明一维谐振子不管处于哪一个定态,它的动量都没有确定值。 4-22 电子在原子大小范围(数量级为10-10m )内运动,试用测不准关系估计电子的最小能量。 4-23 质量为m ,速度为v ,能量为E=1/2mv 2的粒子沿x 轴方向运动,其位置测量的误差为x ?,设v x t /?=?,试由测不准关系 2 1≥???p x ,导出能量和时间的测不准关系 2 1≥???t E 4-24 求证力学量x 与F( p x )的测不准关系x p F F x ??≥???2))()((2/122 4-25 设),(?p x F 是x ,p 的多项式,证明[]x F i F p ??-=??,? ,[] p F i F x ??=??,? 4-26 计算:[]??????????? ???????r r p r p r p r p ?,?,1,,?,?,1,?2222 。 4-27 设算符B A ?,?不可对易,[]c B A ??,?=,但C ?和A ?及B ?可对易,即[][]0?,?,0?,?==C B C A ,试计算:[][][])?(,?,,?,?,??B f A e A B A B n λ 。其中n 为正整数,λ为参变量, f 为任何可以表示为正幂级数的函数。 4-28 设算符B A ?,?不可对易,[] c B A ??,?=但C ?和A ?及B ?可对易,即[][]0?,?,0?,?==C B C A ,试证Glauber 公式:C A B C B A B A e e e e e e e ? 2/1???2/1????==-+ 。 4-29 证明:[][][][][][] ++++=-A B B B A B B A B A e A e B B ?,?,??!31?,?,?!21?,????? (提示:考虑B B e A e f ???)(λλλ-=按λ展开,然后令=1) 4-30 设B A ?,?与[]B A ?,?对易,证明[][]B A B n B A n n ?,???,?1-= , [][] B A A n B A n n ?,???,?1-=量子力学教程课后习题答案
量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案第4章-2
量子力学第四版卷一曾谨言著习题答案第章
量子力学 第四版 卷一 习题答案
量子力学习题答案.
量子力学第四章习题(1)
量子力学讲义第4章
量子力学曾谨言习题解答第四章
量子力学答案
量子力学第四版卷一曾谨言著习题答案
量子力学(周世勋)课后答案-第一二章
量子力学导论习题答案(曾谨言)
量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著)习题答案第4章-2
量子力学答案-周世勋
量子力学(周世勋)课后答案解析-第一二章
量子力学周世勋习题解答第四章
量 子 力 学 习 题 钱
量子力学 第四版 卷一 习题答案第4章
量子力学第四章习题