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含有定积分的不等式的几种典型证法

含有定积分的不等式的几种典型证法

徐娟娟

(天水师范学院数学系 甘肃 天水 741000)

摘要:本文阐述并总结了定积分不等式的几种证明方法.

关键词:定积分;拉格朗日公式;莱布尼茨公式;泰勒公式.

0引言

高等数学中定积分不等式的证明,难度比较大,涉及的知识面广,技巧性比较强,但又十分的重要.因而它是学习高等数学的重点和难点.本文结合例题总结了定积分不等式证明的几种方法,加深对定积分不等式证明的理解.

1利用定积分的性质及其换元法

例题1.1 设函数 在区间 上连续且单调递减,证明:当 时, . 证明 当 或 时,不等式显然成立.

令 , , 则 .

又因为 ,

当 时, ,由题设可知 ,根据定积分性质可得

,

即 .原题得证.

利用定积分的定义,把 代换成 ,再取极限.已知被积函数仅具有连续的条件. 例题2 已知 在 上连续,对任意的 都有 .证明: .

证明 因为 所以

2 构造辅助函数法

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