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含有定积分的不等式的几种典型证法

含有定积分的不等式的几种典型证法

徐娟娟

(天水师范学院数学系 甘肃 天水 741000)

摘要 :本文阐述并总结了定积分不等式的几种证明方法 .

关键词 :定积分 ; 拉格朗日公式 ; 莱布尼茨公式 ; 泰勒公式 .

0引言

高等数学中定积分不等式的证明 , 难度比较大 , 涉及的知识面广 , 技巧性比较强 , 但又十分的重要 . 因而它是学习高等数学的重点和难点 . 本文结合例题总结了定 积分不等式证明的几种方法 , 加深对定积分不等式证明的理解 .

1利用定积分的性质及其换元法

例题 1.1 设函数 在区间 上连续且单调递减 , 证明:当 时 , . 证明 当 或 时 , 不等式显然成立 .

令 , , 则 .

又因为 ,

当 时 , ,由题设可知 ,根据定积分性质可得

,

即 .原题得证 .

利用定积分的定义 , 把 代换成 ,再取极限 . 已知被积函数仅具有连续的条件 . 例 题 2 已 知 在 上 连 续 , 对 任 意 的 都 有 . 证 明 : .

证明 因为 所以

2构造辅助函数法

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