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2013年湖北高考数学(理科)试题及答案(word版)

2013年湖北高考数学(理科)试题及答案(word版)

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绝密 ★ 启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数 学(理科)

4.将函数3cos sin ()y x x x R =+∈的图像向左平移(0)m m >个单位长度后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是 A .

12πB .6πC .3

π

D .56π

5.已知04π

θ<< ,则双曲线2222

1222222:

1:1cos sin sin sin tan x y y x C C θθθθθ

-=-=与的 A .实轴长相等 B .虚轴长相等 C .焦距相等 D .离心率相等

6.已知点A (-1,1)、B (1,2)、C (-2,1)、D (3,4),则向量AB 和CD

方向上的投影为

A .

322 B .3152 C .322 D .315

2

7.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度

25

()73(,/)1v t t t s v m s t

=-+

+的单位:的单位:行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m )是

A .1+25ln 5

B .11

8+25ln

3

C .4+25ln 5

D .4+50ln 2 8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别为1234V V V V ,,,,

这四个几何体为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 1243.AV V V V <<< 1324.B V V V V <<< 2134.C V V V V <<< 2314.D V V V V

<<<

9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中抽

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取一个小正方体,记它的涂漆面数为X ,则X 的均值E(X)= A .

126125 B .65 C .168

125

D .75

11.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方

图如图所示。

(1)直方图中x 的值为___________;

(2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为___________。 12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i=___________。

13.设,,x y z R ∈,且满足:222+y +z =12+3=14x y z ,x+,

则x+y+z=___________。 14.古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n 个三角形数为

2(+1)11

=n +222

n n n ,记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥,以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:

三角形数

211

(,3)=+n 22

N n n 正方形数 2

(,4)=N n n 五边形数 231(,5)=

-n 22

N n n 六边形数 2

(,6)=2-n N n n

……………………………………………………………..

可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=_________________。

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二.填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的.....对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.

(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请现在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框图用2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分.) 15.(选修4-1:几何证明选讲) 如图,圆

O

上一点

,.C AB D D OC E 在直径上的射影为点在半径上的射影为若

3,

CE

AB AD EO

=的值为 .

16.(选修4-4:坐标系与参数方程) 在直线坐标系xoy 中,椭圆C 的参数方程为

{

()cos sin ,0.x a y b a b ?

?

?==>>为参数在极坐标系(与直角坐标系

xoy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴为正半轴 为极轴)中,直线l 与圆O 的极坐标分

别为()2sin =.42

m m b πρθρ??

+

= ??

?为非零常数与若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭圆的离心率为 .

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)

在,,.cos23cos() 1.ABC A B C a b c A B C ?-+=中,角、、对应的边分别为已知 (I )求角A 的大小;

(II )若53,5,sin sin .ABC S b B C ?==的面积求的值

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数学(理工类) 试卷A 型 第4页(共6页)

18.(本小题满分12分)

已知等比数列{}n a 满足:2312310,125.a a a a a -==

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(I )求数列{}n a 的通项公式; (II )是否存在正整数,m 使得12111

1?n

m a a a ++??????+>若存在,求的最小值;

若不存在,说明理由.

19.(本小题满分12分)

如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A B 、的点,直线,PC ABC ⊥平面

,,E F PA PB 分别为的中点.

(I )记平面BEF ABC l l PAC 与平面的交线为,是判断与平面的位置关系,并加以说明;

(II )设(I )中的直线1,.2

l O D Q DQ CP =

与圆的另一个交点为且点满足记直线

,P Q A B C O 与平面所成的角为异面直线所成的锐角为o

,二面角

sin sin sin .E l C βθαβ--=的大小为,求证:

20.(本小题满分12分)

假设每天从甲地去乙地的旅客人数()

2

800,50X N 是服从正态分布的随机变量,

记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为.n P 求n P 的值;

(I )(参考数据:若()

()2,,0.6826,X N P X μσμσμσ-<≤+= 有)

()()220.9544,330.9974.P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=

(II )某客运公司用A B 、两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每年每天往返一次,A B 、两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B 型车不多于A 型车7辆。若每天要以不小于

0P 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备

A B 型车、型车各多少辆?

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数学(理工类) 试卷A 型 第5页(共6页)

21.(本小题满分13分)

如图,已知椭圆12,C C O 与的中心原点坐标长轴均为MN x 且在轴上,短轴长分别为()22m n m n >、,过原点且不与x 轴重合的直线l 与12C C 、的四个交点按纵坐标从大到小依次为.A B C D 、、、记

12,.m

BDM ABN S S n

λ=

??和的面积分别为、 (I )当直线l 与y 轴重合时,若12,S S λλ=求的值;

(II )当λ变化时,是否存在于坐标轴不重合的直线l ,使得12,.S S λ=

并说明理由

22.(本小题满分14分)

设n 为正整数,r 为正有理数. (I )求函数()()

()()1

1111r f x x r x x +=+-+->-的最小值;

(II )证明:

()

()2

1

1111;1

1

r r r r r

n n n n n r r ++++--+-<<++

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(III )设x R ∈,记[]x 为不小于...x 的最小整数,例如[][]322π??-????

=2,=4,=-1. 令[]3333818283125,.S S =+++??????+求的值

(参考数据:4

4443

3

3

3

80344.7,81350.5,124618.3,126631.7.====)

数学(理工类) 试卷A 型 第6页(共6页)